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MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual Covariance et contravariance Le tenseur métrique Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs Géométrie différentielle Repère naturel Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs Accélération d’un point Gradient, divergence Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point CALCUL TENSORIEL MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual Covariance et contravariance Le tenseur métrique Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs Géométrie différentielle Repère naturel a2 u a2 Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs a1 Accélération d’un point Gradient, divergence a1 Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point E : e.v. sur un corps K u = xi ai E* : formes linéaires de E vers K u*(e) = u.e identification de E et de E* xi= u*(ai) = u.ai MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual Covariance et contravariance Le tenseur métrique Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs Géométrie différentielle Repère naturel Symboles de Christoffel u a2 b2 Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs Accélération d’un point Gradient, divergence b1 a1 Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point E : e.v. sur un corps K u = xi ai = yi bi Composantes « contravariantes » xi = u . ai et yi = u . bi Composantes « covariantes » MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual Covariance et contravariance Le tenseur métrique Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs y Géométrie différentielle Repère naturel x a2 Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs a1 Accélération d’un point Gradient, divergence Exemple 1 : coordonnées polaires x.y = xi yi = xi yi = gij xi yj = gij xi yj Tenseur métrique Accélération d’un point gij = ai .aj gij = gij-1 x . y = xiyi = xiyi = gijxiyj = gijxiyj g : tenseur métrique caractérisant le système de coordonnées MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual produit tensoriel = produit des composantes Covariance et contravariance Le tenseur métrique Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs Géométrie différentielle exemple : 1 u 2 3 3 ⊗v -1 = 4 3 -1 4 6 -2 8 9 -3 12 Repère naturel Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs Tenseur d ’ordre N = élément de E⊗E⊗E … ⊗E Accélération d’un point Gradient, divergence Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point N fois MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual Covariance et contravariance Le tenseur métrique Si u ∈ E, alors u = ui ai = ui ai Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur Composantes physiques d ’un tenseur Si T ∈ E⊗E, alors T = Tij ai ⊗ aj = Tij ai ⊗ aj = Tij ai ⊗ aj = Tij ai ⊗ aj Opérations sur les tenseurs Géométrie différentielle Repère naturel Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs Accélération d’un point Gradient, divergence Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point Composantes contravariantes Composantes covariantes Composantes mixtes MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual Covariance et contravariance Le tenseur métrique Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes « physiques » d ’un tenseur = projection sur les axes de coordonnées Composantes mathématiques d ’un tenseur Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs Géométrie différentielle Repère naturel Si u ∈ E, alors uI= u . ai || ai || Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs Accélération d’un point Gradient, divergence Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point Si T ∈ E⊗E, alors TIJ = T: ai ⊗ aj || ai ⊗ aj || MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual X et Y deux tenseurs d’ordre 2 (c’est-à-dire sur E⊗E) Covariance et contravariance Le tenseur métrique Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs Géométrie différentielle Repère naturel Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs Accélération d’un point Gradient, divergence Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point Z = X+Y : ordre 2 (somme des composantes de même type) Z = X-Y : ordre 2 (différence entre des composantes de même type Z = X⊗Y : ordre 4 (produit des composantes) Z = X.Y : ordre 2 (produit contracté) Z = X:Y : ordre 0 (produit doublement contracté) MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Repère naturel Lignes de coordonnées Espace vectoriel et espace dual Covariance et contravariance (x2) Le tenseur métrique Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs a2 M a1 (x1) Géométrie différentielle Repère naturel Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs O Accélération d’un point Gradient, divergence Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point En chaque point M de l ’espace : ai = ∂OM ∂xi Tenseur métrique local (gij) MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual Covariance et contravariance (x2) Le tenseur métrique Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur a2 Composantes physiques d ’un tenseur M Opérations sur les tenseurs a1 (x1) Géométrie différentielle Repère naturel Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs O Accélération d’un point Gradient, divergence Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point ∂ai ∂xk = Γikj aj Symboles de Christoffel MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual Covariance et contravariance (x2) Le tenseur métrique u+du Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur a2 Composantes physiques d ’un tenseur M Opérations sur les tenseurs Géométrie différentielle a1 u (x1) Repère naturel Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs O Accélération d’un point Gradient, divergence Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point du = (∆u)k ak = duk ak + uk dak = (duk + Γkji uj dxi) ak uk,i = ∂uk ∂xi (∆u)k = uk,i dxi + Γkji uj Terme « convectif » dû au système de coordonnées MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Trajectoire (courbe paramétrée) Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual Covariance et contravariance (x2) Le tenseur métrique Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs a2 M a1 v Géométrie différentielle (x1) Repère naturel Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs Accélération d’un point O Gradient, divergence Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point dOM ∂OM dxi = = vi ai v= Vitesse d ’un point i dt Terme « convectif » ∂x dt dv dvi + Γikl vk vl Accélération d ’un point γ = γi= dt dt MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) u = ui ai Espace vectoriel et espace dual Covariance et contravariance A = Aij ai ⊗ aj (x2) Le tenseur métrique Algèbre tensorielle u Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur a2 Composantes physiques d ’un tenseur M Opérations sur les tenseurs a1 (x1) Géométrie différentielle Repère naturel Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs O Accélération d’un point Gradient, divergence Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point Gradient : Divergence : grad(u) = ui,j ai ⊗ aj div(u) = ui,i grad(A) = Aij,k ai ⊗ aj ⊗ ak div(A) = Aij,j a i MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Repère naturel : a1 u Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual Le tenseur métrique Les tenseurs euclidiens a2 r cos(θ) a1 (θ) Algèbre tensorielle sin(θ) -r sin(θ) (r) a2 Covariance et contravariance cos(θ) M x2 u = ui ai (contravariantes) Composantes mathématiques d ’un tenseur ui = u.ai (covariantes) Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs Géométrie différentielle Repère naturel Symboles de Christoffel O x1 Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs Accélération d’un point Gradient, divergence OM x1 = r cos(θ) x2 = r sin(θ) Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point Tenseur métrique : [gij] = Composantes physiques de u : 1 0 0 r2 [gij] = 1 0 0 1/r2 ur = u1 = u1 uθ = u2 /r = r u2 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Symboles de Christoffel : [Γ1ij] u Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual Le tenseur métrique 0 -r a1 (θ) Algèbre tensorielle 0 [Γ2ij] 1/r 0 Tenseur métrique : M x2 = 0 1/r (r) a2 Covariance et contravariance Les tenseurs euclidiens = 1 Composantes mathématiques d ’un tenseur [gij] = Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs 1 0 0 r2 [gij] = 1 0 0 1/r2 Géométrie différentielle Repère naturel Symboles de Christoffel O x1 Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs Accélération d’un point Gradient, divergence OM x1 = r cos(θ) x2 = r sin(θ) Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point Accélération radiale d’un point : vr = 0 γr = γ1 = dv1 dt + Γ1kl vk vl = γr = - vθ2 / r dvr dt - r (vθ /r)2
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