Exercice p 160, n° 60

☺ Exercice 3 :
Les points A, B, C et D sont alignés.
Les points A, E, F et H sont alignés.
Les droites ( DE ) et ( CF ) sont sécantes au point G.
( BE ) // ( DH )
1) Justifier que les droites ( BE ) et ( CF ) sont parallèles.
2) Justifier que le point G est le milieu du segment [ DE ] .
3) Prouver que : FH = EF = AE .
Correction :
1) Dans le triangle ACF, B est le milieu du côté [ AC ] et E le milieu du côté [ AF ] .
Donc, d’après le théorème de la droite des milieux, les droites ( BE ) et ( CF ) sont parallèles.
2) Les points C, G et F sont alignés, donc les droites ( CG ) , ( CF ) et ( GF ) sont confondues.
Donc, d’après la question 1, les droites ( CG ) et ( BE ) sont parallèles.
Dès lors, dans le triangle BDE, C est le milieu du côté [ BD ] , G un point du côté [ DE ] , et les droites ( CG ) et
( BE )
sont parallèles.
Donc, d’après la réciproque du théorème de la droite des milieux, le point G est le milieu du segment [ DE ] .
3) Les droites ( GF ) et ( DH ) sont toutes deux parallèles à la droite ( BE ) .
Or, si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Donc les droites ( GF ) et ( DH ) sont parallèles.
Dès lors, dans le triangle EDH, G est le milieu du côté [ ED ] , F un point du côté [ EH ] , et les droites ( GF ) et
( DH ) sont parallèles.
Donc, d’après la réciproque du théorème de la droite des milieux, le point F est le milieu du segment [ EH ] .
D’où : FH = EF = AE .