Exercice 1, inspiré du brevet de Nouvelle

Exercice 1, inspiré du brevet de Nouvelle-Calédonie, décembre 2010.
Soit le triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 5 cm et BC = 13 cm.
1. Construire le triangle ABC.
2. Calculer l'angle ̂
BCA en donnant l'arrondi au degrés près.
3. Démontrer que AC = 12 cm.
4. Soit un point M sur le segment [AC] tel que CM= 2,4 cm. Tracer la droite parallèle à (AB) et passant par le point M. Cette droite coupe (BC) en
un point N. Calculer alors la longueur CN.
5. Préciser la nature du triangle CMN. Justifier la réponse.
Exercice 2, inspiré du brevet d'Amérique du nord, juin 2009. Les longueurs sont données en centimètres.
On sait que les droites (BD) et (CE) sont parallèles. On donne OB = 7,2 ; BC = 3,6 ; OD = 6 et CE = 5,1.
On ne demande pas de faire une figure en vraie grandeur.
1. Calculer OC.
2. Calculer OE puis BD.
3. On donne OG = 2,4 et OF = 2. Démontrer que (GF) et (BD) sont parallèles.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Correction exercice 1.
1. Il faut d'abord construire le
segment [AB] de 5cm puis
construire une droite
perpendiculaire à ce segment
passant par A.
Traçons un arc de cercle de
centre B et de rayon 13 cm
avec le compas. Cet arc de
cercle rencontre la droite
perpendiculaire
précédemment tracée au
point C.
2. Le triangle ABC est
rectangle en A.
AB
sin ̂
et donc
BCA =
BC
5
sin ̂
et ainsi
BCA =
13
5
−1
̂
)
BCA = sin (
13
̂
BCA vaut environ 23°.
3. Le triangle ABC est rectangle en A, donc, d'après le théorème de Pythagore, nous avons BC²=AB²+AC² soit 13²=5²+AC² et donc AC²=13²-5² ;
AC²=169-25=144 or Ac est une longueur donc AC>0, nous avons donc AC = √ 144=12 cm.
4. Les droites (AB) et (MN) sont parallèles et les droites (AM) et (BN) sont sécantes en C, donc , d'après le théorème de Thalès, nous avons :
CN CM MN
CN 2,4 MN
13×2,4
=
=
=
=
=2,6 cm.
soit
et donc CN =
CB CA AB
13 12
5
12
5. Les droites (BA) et (MN) sont parallèles et les droites (BA) et (CM) sont perpendiculaires or si deux droites sont parallèles toute droite
perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre donc les droites (MN) et (CM) sont perpendiculaires. Le triangle CMN est donc rectangle en M.
Correction exercice 2, Amérique du nord, juin 2009.
1.Les points O, B et C sont alignés. OC =OB+ BC=7,2+3,6=10,8. OC vaut 10,8 cm.
2. Attention, dans cette question il ne faut pas parler du point G et du point F.
Les droites (BD) et (CE) sont parallèles et les droites (BC) et (DE) se coupent en O, donc, d'après le théorème de Thalès nous avons
OD OB BD
6
7,2 BD
6×10,8
7,2×5,1
=
=
=
=
=9 cm et BD=
=3,4 cm.
et donc
. Ainsi OE=
OE OC CE
OE 10,8 5,1
7,2
10,8
3. Attention, dans cette question il ne faut pas parler du point C et du point E.
Les points F, O et D et les point G, O et B sont alignés dans le même ordre.
OF 2 1
OG 2,4 1
OF OG
= = et d'autre part
=
= , nous constatons que
=
D'une part
, donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les
OD 6 3
OB 7,2 3
OD OB
droites (FG) et (BD) sont parallèles.