Sujets de bac : Exponentielle
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Sujets de bac : Exponentielle
Sujets de bac : Exponentielle On considère la fonction définie sur par Sujet 1 : Polynésie – septembre 2002 1) 2) 3) 4) 5) 1 1 Etudier la parité de . Montrer que pour tout , 1 1. Déterminer les limites de en ∞ et en ∞. Donner l’interprétation graphique de ces limites. Etudier les variations de et dresser son tableau de variations. En déduire le signe de sur . Soit un réel de l’intervalle 1; 1. Montrer que l’équation admet une unique solution sur . On considère la fonction définie sur par : Sujet 2 : Réunion – juin 2007 si 0 1 0 1 On note la courbe représentative de dans un repère orthonormal ; ; . 1. a. Déterminer la limite de en ∞. b. Etablir que, pour tout nombre réel non nul, on a 1 " # $!%. En déduire la limite de en ∞. ! 2. Donner, sans démontrer, la limite de " # $! quand tend vers 0 et démontrer que est continue en 0. 3. a. Démontrer que, pour tout nombre réel , on a & 1 et que l’égalité n’a lieu que pour 0. b. Calculer la dérivée ' de la fonction et déterminer la fonction ( telle que, pour tout nombre réel non nul, ) " # $!+. " # * c. Donner le tableau de variations de . 4. Soient un nombre réel non nul et les points ,-; . et ,) - ; . de la courbe . a. Etablir que " # $! puis déterminer le coefficient directeur de la droite ,,) . b. On admet que la fonction est dérivable en 0. Que suggère alors le résultat précédent ? On considère la fonction définie sur par : Sujet 3 : Amérique du Sud – novembre 2001 2 1 $ Et sa courbe représentative 1 dans le repère orthonormal ; ; (unité graphique : 2 cm). Partie A : Etude de la fonction 2. 1) a. Déterminer la limite de en ∞. Que peut-on en déduire pour 1 ? b. Déterminer la limite de en ∞. 2) Calculer ) et étudier le signe de ' sur . 3) Dresser le tableau de variations de . 4) a. Déterminer les coordonnées du point 3 d’intersection de 1 avec l’axe des abscisses. b. Etudier le signe de suivant les valeurs de . Partie B : Etude d’une tangente 1) On rappelle que '' désigne la dérivée seconde de . a. Montrer que, pour tout réel , )) 42 1 $ b. Résoudre l’équation )) 0. 2) Soit 5 le point d’abscisse de la courbe 1 . Déterminer une équation de la tangente 6 à 1 en 5. 3) On veut étudier la position relative de 1 et 6. Pour cela, on considère la fonction ( définie sur par 2 3 ( 7 9 a. Déterminer () et ()) . b. Etudier le signe de ()) suivant les valeurs de . En déduire le sens de variations de (' sur . c. En déduire le signe de () puis le sens de variations de ( sur . d. Déterminer alors le signe de ( suivant les valeurs de . Que peut-on en conclure sur la position relative de 1 et 6 ? 4) Dans le repère ; ; , placer les points 3 et 5 puis tracer 6 et la courbe 1 . ! On considère deux courbes ! et d’équations : et : 1 dans un repère du plan. On va démontrer qu’il existe une unique tangente 6 commune aux deux courbes. 1) Sur le graphique ci-dessous, tracer approximativement une telle tangente. Lire graphiquement l’abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe ! puis celle du point de contact avec . 2) On note ; et < deux réels quelconques, 3 le point de ! d’abscisse ; et 5 le point de d’abscisse <. a. Déterminer une équation de la tangente 6= à ! au point 3. b. Déterminer une équation de la tangente 6> à au point 5. c. En déduire que les droites 6= et 6> sont confondues si et seulement si les réels ; et < sont solutions @ 2< du système ? @ ; @ < 1 @ 2< d. Montrer que ce système est équivalent à ? @ 4; @ 4 @ 4 0 3) Nous allons démontrer que l’équation A B 4 4 4 0 a une unique solution dans . Pour cela, on considère la fonction : D 4 4 4 définie sur . a. Montrer que pour 0, 4 0 et que 4 1 0. b. En déduire que A n’a pas de solutions dans ∞; 0. c. Démontrer que est strictement croissante sur 0; ∞. d. Démontrer que A a une unique solution dans 0; ∞. On note ; cette solution. Donner un encadrement d’amplitude 10$ de ;. 4) On prend 3 le point d’abscisse ;. Déterminer un encadrement d’amplitude 10$! du réel < pour lequel les droites 6= et 6> sont confondues. Sujet 4 : Centres étrangers – juin 2010 8 7 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 Correction 1) est définie sur qui est symétrique par rapport à 0 et pour tout réel : $ 1 $ 1 1 $ 1 $ 1 1 Donc la fonction est impaire et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère. 2) Pour : Sujet 1 : Polynésie – septembre 2002 1 1 et comme 1 est strictement positif, nous avons : Par ailleurs, 1 " +# $!E" +# E! " +# E! " +# E! F 0 donc F 1. " +# " +# $! " +# E! 1 autrement dit 1. Finalement, pour tout réel , on a 1 1 3) 1 lim 0 et lim 1 donc par composition lim 1 I$J IM 1 I$J Ceci indique que la courbe de admet une tangente horizontale en ∞ d’équation : 1. 1 1 % 1 $ $ 1 1 % 1 1 $ 0 et lim 1 donc par composition lim 1 lim IEJ IM 1 IEJ Ceci indique que la courbe de admet une tangente horizontale en ∞ d’équation : 1. U 4) est de la forme V avec W: D 1 dérivable sur et X: D 1 dérivable sur et qui ne s’annule pas donc est dérivable sur et : W) X WX ) 2 1 2 1 4 ) F0 1 1 X Donc la fonction est strictement croissante sur . De plus 0 0. On en déduit le tableau de variations et de signe de . ∞ 0 ∞ ) Signe de 1 Variations de 0 1 Signe de 0 5) est dérivable sur donc continue sur . Grâce à l’étude précédente 1; 1 et comme est strictement croissante, d’après le théorème de la bijection, tout élément de 1; 1 admet un unique antécédent par . Donc pour tout 1; 1, l’équation a une unique solution dans . Sujet 2 : Réunion – juin 2007 a. Quand tend vers ∞, on peut supposer que 0 : lim 0 I$J Y donc, par quotient lim 0 lim 1 1 I$J 1. I$J b. Pour 0 : 1 " # $!% lim ∞ IEJ ! " # $!E! " # $! " # $! " # ] donc, par multiplication, lim ∞ 1 IEJ 1 IEJ IEJ 1 " # $! 2. D’après le cours, la limite de quand tend vers 0 est égale à 1 (utilisation de la dérivabilité de la lim 1 ∞ donc lim 1 fonction exponentielle en 0) donc : lim^IM " # $! 1 Pour 0 : " # $! _ : lim 1 IM 1 ] donc, par multiplication, lim 1 0 donc est continue en 0 IM lim M 1 IM a. On considère la fonction ` définie sur par ` 1. Par somme de fonctions dérivables sur , ` est dérivable sur et `) 1. `) F 0 a 1 F 0 a F M a F 0 Donc ` est décroissante sur ∞; 0 et croissante sur 0; ∞ . ` admet donc un minimum en 0 qui est égal à `0 M 0 1 0. Donc, pour tout réel, ` & 0 et ` 0 n’a lieu que pour 0. Donc, pour tout réel , & 1 et l’égalité a lieu uniquement pour 0. 3. b. est de la forme avec W: D dérivable sur et W) et X: D 1 dérivable U V sur et s’annule en 0 donc est dérivable sur b et : 1 _ 1 ( ) avec (: D 1 1 1 1 c. Sur b, F 0, 1 F 0 donc ' est du signe de (. Or d’après la question précédente, ( & 0. Signe de ) Variations de ∞ 0 0 1 ∞ ∞ a. Pour 0 : $ $ _ $ $ 1 1 1 1 _ Coefficient directeur de ,,) : ) :d :d 1 1 1 1 ) d d 2 2 1 21 2 b. On suppose que est dérivable en 0, donc la courbe de admet une tangente au point d’abscisse 0 de coefficient directeur ) 0. Or la droite ,,) est une sécante à la courbe de . Quand tend vers 0, la sécante ,,) tend vers la tangente à la courbe de au point d’abscisse 0. Les coefficients directeurs sont donc égaux. 4. Finalement, ) 0 ! Sujet 3 : Amérique du Sud – novembre 2001 Partie A 1) a. En ∞ : 2 $ $ : en posant e 2, on a e f f lim e ∞ IEJ Y donc par somme et composition lim 0 IEJ lim e f 0 et lim f 0 fI$J fI$J On en déduit que l’axe des abscisses est une asymptote horizontale à 1 en ∞. b. En ∞ : lim 2 1 ∞ ^I$J lim 2 ∞ g par produit I$J Y par composition lim $ ∞ lim ∞ I$J IEJ lim ∞ I$J 2) est de la forme W _ V avec W: D 2 1 dérivable sur et X: D 2 dérivable sur donc est une fonction dérivable sur et ) W) V W _ X ) V 2 $ 2 1 _ 2 $ 2 4 2 $ 4 $ L’exponentielle est strictement positive donc ) est du signe de 4, autrement dit positif sur $ et négatif sur E . 3) ∞ 0 ∞ ) Signe de 0 1 Variations de ∞ 0 4) a. L’axe des abscisses a pour équation : 0. Pour déterminer l’abscisse de 3, on doit résoudre l’équation 0. Pour , 0 a 2 1 $ 0 a 2 1 0 car $ F 0 1 a 2 ! Le point 3 a donc pour coordonnées ; 0% b. Surh ∞; h, est strictement croissante et admet 0 comme maximum donc est négative sur cet ! Sur i ; ∞i, a pour maximum 1 et pour minimum 0 donc est positive sur cet intervalle. ! intervalle. Partie B 1) a. ' est le produit d’une fonction polynôme et de la composée de la fonction exponentielle et d’une fonction affine donc elle est dérivable sur et )) 4 $ 4 _ 2 $ 4 8 $ 42 1 $ b. Pour )) 0 a 42 1 $ 0 a 2 1 0 car $ F 0 1 1 a donc k l m 2 2 2) L’équation de la tangente à la courbe de 1 au point d’abscisse est : ) % % % or ! ! 1 1 2 1 1 2 ) 7 9 4 _ $_ 2 $! et 7 9 72 _ 19 $_ d'où 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 3 : 7 9 et donc l'équation est : 2 3) a. ( est la différence entre une fonction dérivable sur et une fonction affine dérivable sur donc ( est dérivable sur et () ) " g’ est dérivable également sur et ()) )) 42 1 $ b. La fonction exponentielle est strictement positive sur donc ()) est du signe de 2 1. 1 ∞ ∞ 2 Signe de ()) 0 ! Variations de (' ! ) % ( ! 0 1 2 2 2 ) 7 9 0 2 c. (' a donc comme minimum 0 ce qui indique que (' est positive sur . ∞ ∞ Signe de () Variations de ( ! ! d. En , ( s’annule car c’est l’abscisse du point d’intersection de 1 et de sa tangente 6. Donc ( est ! négative sur h ∞; h et positive sur i ; ∞i. On en déduit que sur h ∞; h, 1 est en dessous de 6 et sur i ; ∞ i, 1 est au dessus de 6. 4) ! ! ! ! 1 B A -1 0 1 2 3 -1 5 1) Graphiquement, on lit ; q 1 et < q 1 2) 4 a. ! a pour équation : . C’est la courbe de la fonction : D dérivable sur . Une équation de la tangente à ! au point d’abscisse 3 ; est : ) ; ; ; soit : @ ; @ ou encore 2 : @ ; @ @ b. a pour équation : 1. C’est la courbe de la fonction 1 (: D 1 dérivable sur avec () 2. Une équation de la tangente à au point d’abscisse < est : () < < (< soit -3 -2 -1 0 1 2 3 : 2< < < 1 ou encore : 2< < 1 -1 c. Les droites 6= et 6> sont confondues si et seulement si elles -2 sont les mêmes coefficients directeurs et les mêmes ordonnées à l’origine @ 2< autrement dit si ? -3 ; @ @ < 1 d. -4 @ @ 2< 2< @ 2< a at -5 @ @ ? @ @ @ @ ; r s 1 ; < 1 @ ; @ 1 2 4 @ 2< a ? @ 4 @ 4; @ 4 0 3) a. Pour 0, on a 2 0 et donc M car la fonction exponentielle est croissante et donc 1 ce qui signifie que 4 0 . Par ailleurs, 4 est positif car l’exponentielle est toujours positive et comme 1 0, on a bien 4 1 0 b. Pour 0, 4 4 4 4 4 1 est donc la somme de deux termes strictement négatifs donc est strictement négatif et l’équation 0 n’a pas de solutions dans ∞; 0. c. Sur 0; ∞, est une fonction dérivable et ) 2 4 4 4 2 4 . Tout est strictement positif donc ' est positive et la fonction est strictement croissante sur 0; ∞. d. Sur 0; ∞, la fonction est continue car dérivable, strictement croissante et 0; ∞ 7; ∞ car 0 7 et lim 4 ∞ ; lim 4 4 lim 4 1 ∞donc par somme lim ∞ Sujet 4 : Centres étrangers – juin 2010 IEJ IEJ IEJ IEJ Donc d’après le théorème de la bijection, l’équation 0 a une unique solution dans 0; ∞. Grâce à la calculatrice, on obtient, 0,84 v ; v 0,85 4) 6= et 6> sont confondues donc la seule valeur possible pour ; est la valeur définie à la question précédente et on a 0,84 v ; v 0,85. De plus, on a alors @ 2< ou encore < . 0,84 v ; v 0,85 a M,yz v @ v M,y{ car la fonction exponentielle est strictement croissante. a " |,}~ &<& " |,} car la fonction D est décroissante sur "x Par application numérique, on trouve : 1,17 v < v 1,15 soit 1,2 v < v 1,1
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