Corrigé du DM 7(problème bac S Inde 2003)
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Corrigé du DM 7(problème bac S Inde 2003)
Corrigé du DM 7(problème bac S Inde 2003) Conjectures a. Il semble que cette fonction soit croissante sur [–3 ;2] b. Il semble que la courbe soit en dessous de l’axe des abscisses sur [–3 ;0[ et au dessus sur ]0 ;2]. Il semble que la courbe coupe l’axe des abscisses une seule fois pour x = 0. Partie A 1. Pour dériver x ex – 1, nous utilisons la formule (eu)’ = u’eu avec u(x) = x – 1 donc u’(x) = 1. La dérivée est donc ex – 1. Pour dériver f, nous avons un produit : (x² ex – 1)’ = 2x ex – 1+ x² ex – 1 et la dérivée de x² x est x x donc f ’(x) = 2x ex – 1+ x² ex – 1 –x = x (2 ex – 1 + x ex – 1 –1) 2 x–1 = x[e (2 + x) – 1] donc f ’(x) = x g(x). 2. a. lim ex – 1 = + et lim x + 2 = + donc par produit puis par différence avec 1 x + x + lim g(x) = +. x + Pour lim g(x), nous avons une forme indéterminée ( 0). Posons X = x – 1. Nous avons x – alors x = X + 1 et si x tend vers – alors X tend vers –. Donc lim g(x) = lim (X + 3) eX – 1 = lim XeX + 3 eX –1. Nous savons que x – X – X – X lim Xe = 0 (formule du cours) et que lim eX = 0 donc lim g(x) = 0 – 1 = –1. X – X – x – b. Pour dériver g nous utilisons la formule du produit : g’(x) = ex – 1 + (x + 2) ex – 1 = ex – 1(1 + x + 2) = ex – 1(x + 3). Nous savons que pour tout x, ex – 1 > 0 donc le signe de g’(x) est le même que celui de x + 3. Or x + 3 > 0 x > –3. Signe résumé dans le tableau de variation de la question c. c. g(–3) = –e–4 –1 x – –3 + g’(x) – 0 + g(x) –1 + –e–4 –1 d. • Sur ]– ;–3], d’après le tableau de variations, g(x) –1 donc l’équation g(x) = 0 n’a pas de solution sur ]– ;–3]. • Sur ]–3 ;+[, g est continue, strictement croissante et 0 ]g(–3) ; lim g(x)[ donc, x + d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation g(x) = 0 admet une unique solution dans ]–3 ;+[. Par conséquent, l’équation g(x) = 0 admet une unique solution dans IR. Avec la calculatrice, j’obtiens g(0,20) –0,0115 < 0 et g(0,21) 0,003 > 0 donc nous avons : g(0,20) < g(α) < g(0,21). g est strictement croissante sur ]–3 ;+[ donc 0,20 < α < 0,21. e. Nous savons déjà que sur ]– ;–3], g(x) < 0. Sur ]–3 ;+[, g est strictement croissante et g(α) = 0 donc : g(x) < 0 sur ]– ;α[ et g(x) > 0 sur ]α ;+[. 3. a. et b. f ’(x) = x g(x). Nous pouvons donc dresser un tableau de signes puis de variations : x – signe de x signe de g(x) signe de f’(x) sens de variation de f de f – – + 0 0 0 α + – – 0 0 + + + + c. La 1ère conjecture était donc fausse. Partie B α² 2 Mais nous savons aussi que g(α) = 0 et g(α) = (α + 2)eα – 1 –1. 1. Nous savons que f(α) = α²eα – 1 – 1 Nous pouvons utiliser cette α+2 1 α² 2α² – α²(α + 2) – α3 expression dans f(α) : f(α) = α² – = = α+2 2 2(α + 2) 2(α + 2) 3 3 –3x²(2(x + 2)) + 2x –4 x – 12x² 4x²(–x –3) 2. a. h’(x) = = = 4(x + 2)² 4(x + 2)² 4(x + 2)² Il est évident que sur ]0 ;1], 4x² > 0, 4(x + 2)² > 0 et –x –3 < 0 donc h’(x) < 0 sur ]0 ;1]. h est donc strictement décroissante sur [0 ;1]. b. Nous savons que 0,20 < α < 0,21 et h est strictement décroissante sur [0 ;1] donc h(0,21) < h(α) < h(0,20). Or h(0,21) –0,0021 et h(0,20) –0,0018 donc –0,003 < h(α) < –0,001. Enfin nous remarquons que h(α) = f(α) donc un encadrement pour f(α) est : –0,003 < f(α) < –0,001. Remarque : nous venons de démontrer que f(α) < 0 donc la 2ème conjecture est fausse. x² 1 1 3. a. Il faut résoudre f(x) = 0 x² ex – 1 – = 0 x²( ex – 1 – ) = 0 x² = 0 ou ex – 1 – = 0 2 2 2 1 1 1 x = 0 ou ex – 1 = x = 0 ou x – 1 = ln x = 0 ou x = 1 – ln 2 (car ln = – ln 2). 2 2 2 b. Il y a donc deux points d’intersection entre la courbe et l’axe des abscisses. En utilisant le tableau de variation sur lequel on peut placer ces points d’intersection, on a : La courbe est en dessous de l’axe des abscisses sur ]– ;0[ et sur ]0 ;1–ln 2[, elle est au dessus de l’axe des abscisses sur ]1 – ln 2 ;+[ et elle a un point de contact avec l’axe des abscisses en 0 et en 1 – ln 2. c. La 2ème conjecture est donc fausse. Nous pouvons en déduire que (α + 2)eα – 1 –1 = 0 eα – 1 = Partie C 1. x f(x) –0.20 –0.15 –0.10 –0.05 –4 –4 –4 –80•10 –41•10 –17•10 –4•10–4 0 0.05 0 –3•10–4 0.10 –9•10–4 0.15 0.20 0.25 0.30 –4 –4 –4 –16•10 –20•10 –17•10 –3•10–4 0.35 27•10–4 0.40 78•10–4 2. y 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 -0,001 -0,002 -0,003 -0,004 -0,005 -0,006 -0,007 -0,008 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 x