Droite et cercle d`Euler

Droite et cercle d’Euler
Hypothèses
A’, B’ et C’ sont les milieux des cotés du triangle ABC.
P est le pied de la hauteur issue de A,
H est le point d’intersection des hauteurs donc l’orthocentre,
G est le point d’intersection des médianes donc le centre de gravité
O est le point de concours des médiatrices donc le centre du cercle circonscrit
du triangle ABC.
D est le symétrique de A par rapport à O.
Z est le milieu de [OH] et U celui de [AH]
Droite et cercle d’Euler, démonstration
Démontrons que les points O, H et G sont alignés :
Les triangles ADC et ADB sont inscrits dans le cercle de diamètre [AD] ils sont donc
rectangles respectivement en C et B.
(AC)┴(DC) et (BD)┴(AB)
(BH) et (CH) étant des hauteurs du triangle ABC
(AC)┴(BH) et (CH)┴(AB)
d’où (BH)//(CD) et (CH)//(BD)
conclusion : BHCD est donc un parallélogramme.
A’ est le milieu de [BC] donc milieu de la deuxième diagonale [HD] du parallélogramme.
Donc [AA’] est aussi une médiane du triangle AHD
G centre de gravité du triangle ABC est au 2/3 de [AA’]
Donc G est le centre de gravité de AHD.
O est le milieu de [AD] donc [HO] est une médiane de ADH et G le centre de gravité est sur
cette médiane.
Donc H, G et O sont alignés cette droite est appelée « droite d’Euler »
Cercle des neufs points
(A’O) étant la médiatrice de [BC] et (AH) étant la hauteur relative à [BC] :
(A’O) // (AH)
O et U sont les milieux respectifs de [AD] et [AH]
donc d’après le théorème de la droite des milieux dans le triangle ADH
(OU) //(DH)
donc (OU)//(A’H)
conclusion OUHA’ est un parallélogramme
Z milieu de [OH] est donc milieu de [A’U] deuxième diagonale de OUHA’
Le triangle A’UP est rectangle en P et son hypoténuse est un diamètre du cercle de centre Z et
de rayon A’Z, il est donc inscrit dans ce cercle.
Conclusion : Le cercle de centre Z et de rayon ZA’ passe par les points :
• A’ milieu de [BC]
• P pied de la hauteur relative à [BC]
• U milieu du segment joignant A à l’orthocentre.
Par un même raisonnement on montrerait que ce cercle passe par
• Les milieux des trois cotés.
• Les pieds des hauteurs.
• Les milieux des segments joignant les sommets à l’orthocentre.
D’où son nom « cercle des neufs points » (numérotés sur la figure).
Exercice supplémentaire
M
r
A
M'
O
C
B
m
Hypothèses :
ABC est rectangle en A
(C) est le cercle de centre B passant par A
(C’) est le cercle de centre C passant par A
r est un point variable
M = (Ar)∩(C) et M’ = (Ar)∩ (C’).
m = (BM) ∩(CM’)
Démontrons que m se déplace sur le cercle circonscrit au triangle ABC quand r varie:
A et M sont sur le cercle (C) de centre B donc BA = BM
A et M’ sont sur le cercle (C’) de centre C donc CA = CM’.
Les triangles BAM et CAM’ sont isocèles respectivement en B et en C et les angles à la bases
sont égaux.
Æ = BMA
Æ et CAM’
Æ = CM’A
Æ
BAM
A, M et M’ sont alignés et le triangle ABC est rectangle en A
Æ + M’AC
Æ = 90° et donc AMB
Æ + AM’C
Æ = 90°
Donc MAB
donc le triangle MmM’ est rectangle en m
B sur [Mm] et C sur [M’m]
donc le triangle BCm est aussi rectangle en m
m est sur le cercle de diamètre [BC]
Quand la droite (MM’) varie m se déplace sur le cercle circonscrit au triangle ABC