Exercices M1 SES 2014-2015

Exercices M1 SES 2014-2015
Ana Fermin (http:// fermin.perso.math.cnrs.fr/ )
14 Avril 2015
Les exemples numériques présentés dans ce document d’exercices ont été traités sur le logiciel R, téléchargeable
par l’intermédiaire du CRAN (Comprehensive R Archive Network) à l’adresse http://www.r-project.org. Dans
chaque exercice, nous ne donnerons que les sorties de R (ici nous ne donnerons pas les commandes utilisées).
Exercice 1 : Nous souhaitons étudier les données enregistrées dans le fichier salaires.txt (téléchargeable
sur http://www.stat.ucl.ac.be/cours/stat2430/exercices.html et également sur ma page web).
Ce fichier contient les données observées sur un échantillon de 474 employés tirés au sort dans une entreprise
canadienne. Les variables étudiées sont les suivantes :
•
•
•
•
•
•
•
salary : salaire brut actuel, en $/an
salbegin : salaire de départ, en $/an
jobtime : nombre de mois depuis l’entrée dans l’entreprise
prevexp : expérience professionnelle antérieure (nombre de mois de travail avant l’entrée dans l’entreprise)
educ : nombre d’années d’étude
minority : appartenance à une minorité (Non, Oui)
sex : sexe (H = Homme, F = Femme)
1. Décrire les données à l’aide du résumé de variables et des graphiques ci-dessous. Indiquer quelles sont
les variables quantitatives et qualitatives. Commenter les graphiques.
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
Observations: 474
Variables:
$ salary
(int) 57000, 40200, 21450, 21900, 45000, 32100, 36000, 2190...
$ salbegin (int) 27000, 18750, 12000, 13200, 21000, 13500, 18750, 9750...
$ jobtime (int) 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 9...
$ prevexp (int) 144, 36, 381, 190, 138, 67, 114, 0, 115, 244, 143, 26...
$ educ
(int) 15, 16, 12, 8, 15, 15, 15, 12, 15, 12, 16, 8, 15, 15,...
$ minority (fctr) Non, Non, Non, Non, Non, Non, Non, Non, Non, Non, No...
$ sex
(fctr) H, H, F, F, H, H, H, F, F, F, F, H, H, F, H, H, H, H...
salary
Min.
: 15750
1st Qu.: 24000
Median : 28875
Mean
: 34420
3rd Qu.: 36938
Max.
:135000
educ
Min.
: 8.00
1st Qu.:12.00
Median :12.00
Mean
:13.49
3rd Qu.:15.00
Max.
:21.00
salbegin
Min.
: 9000
1st Qu.:12488
Median :15000
Mean
:17016
3rd Qu.:17490
Max.
:79980
minority sex
Non:370
H:258
Oui:104
F:216
jobtime
Min.
:63.00
1st Qu.:72.00
Median :81.00
Mean
:81.11
3rd Qu.:90.00
Max.
:98.00
1
prevexp
Min.
: 0.00
1st Qu.: 19.25
Median : 55.00
Mean
: 95.86
3rd Qu.:138.75
Max.
:476.00
300
count
count
200
100
200
100
0
0
H
F
Non
sex
Oui
minority
150
90
count
count
100
60
50
30
0
0
5e+04
1e+05
20000
salary
40000
60000
80000
salbegin
Nous avons déterminé la matrice des corrélations pour l’ensemble des variables quantitatives.
##
##
##
##
##
##
salary
salbegin
jobtime
prevexp
educ
salary
1.00000000 0.88011747 0.084092267 -0.097466926 0.66055891
salbegin 0.88011747 1.00000000 -0.019753475 0.045135627 0.63319565
jobtime
0.08409227 -0.01975347 1.000000000 0.002978134 0.04737878
prevexp -0.09746693 0.04513563 0.002978134 1.000000000 -0.25235252
educ
0.66055891 0.63319565 0.047378777 -0.252352521 1.00000000
2. Indiquer pour quels couples de variables la corrélation linéaire observée est la plus forte, la plus faible.
Nous avons tracé, ci-dessous, à gauche le nuage de points représentant les observations conjointes des deux
variables salaire de départ salbegin et salaire actuel salary et à droite l’ajustement avec un modèle de
régression linéaire simple. Nous avons également relevé les sorties de la régression linéaire simple.
2
160000
120000
salary
salary
1e+05
80000
5e+04
40000
20000
40000
60000
80000
20000
salbegin
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
40000
60000
salbegin
Call:
lm(formula = salary ~ salbegin, data = Salaire)
Residuals:
Min
1Q Median
-35424 -4031 -1154
3Q
2584
Max
49293
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1.928e+03 8.887e+02
2.17
0.0305 *
salbegin
1.909e+00 4.741e-02
40.28
<2e-16 ***
--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 8115 on 472 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7746, Adjusted R-squared: 0.7741
F-statistic: 1622 on 1 and 472 DF, p-value: < 2.2e-16
3. Que peut-on dire de la corrélation linéaire entre le salaire de départ et le salaire actuel? La dispersion
des salaires actuels augmente-t-elle quand le salaire de départ augmente ? Commenter.
4. Commenter les résultats de la régression linéaire simple. On veut savoir si la variable salaire du départ
a une influence sur le salaire actuel. Effectuer un test d’hypothèses au niveau α = 5% pour répondre à
la question (écrire les hypothèses du test, donner la p-valeur et conclure).
5. Que vaut R2 (coefficient de détermination) ? Donner son interprétation.
6. Quel est le graphe qui permet de vérifier la normalité des résidus ? Quel est le graphe qui permet de
vérifier l’homoscédasticité des résidus ? Commenter ces deux graphiques : pensez vous que ces deux
conditions sur le modèle sont vérifiées ? Justifier.
3
80000
Normal Q−Q
20000
0
−20000
40000
80000
18
218
274
5.0
Standardized residuals
Residuals
40000
Residuals vs Fitted
218 18
274
2.5
0.0
−2.5
120000 160000
Fitted values
−2
0
2
Theoretical Quantiles
7. Commenter les résultats la régression linéaire multiple suivante. Que vaut R2 ? Donner son interprétation.
Que vaut R2 ajusté ?
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
Call:
lm(formula = salary ~ salbegin + jobtime + prevexp + educ + sex,
data = Salaire)
Residuals:
Min
1Q Median
-28446 -4048 -1014
3Q
2598
Max
45788
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -1.255e+04 3.475e+03 -3.612 0.000337 ***
salbegin
1.723e+00 6.051e-02 28.472 < 2e-16 ***
jobtime
1.545e+02 3.408e+01
4.534 7.37e-06 ***
prevexp
-1.944e+01 3.583e+00 -5.424 9.36e-08 ***
educ
5.930e+02 1.666e+02
3.559 0.000410 ***
sexF
-2.233e+03 7.921e+02 -2.819 0.005021 **
--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 7410 on 468 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8137, Adjusted R-squared: 0.8117
F-statistic: 408.7 on 5 and 468 DF, p-value: < 2.2e-16
4
Exercice 2 : Nous traitons un problème de défaut bancaire (données du livre “An Introduction to Statistical
Learning” de Gareth James, Daniela Witten Trevor Hastie et Robert Tibshirani, également disponibles sur R)
. Nous cherchons à déterminer quels clients seront en défaut sur leur dette de carte de crédit (ici defaut =
yes si le client fait défaut). La variable defaut est la variable réponse. Nous disposons d’un échantillon de
taille 10000 et 3 variables explicatives :
• student: Yes si le client est un étudiant et No sinon
• balance: montant moyen mensuel d’utilisation de la carte de crédit
• income: revenu du client.
1. Décrire les données à l’aide du résumé des variables et des graphiques suivants :
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
Observations: 10000
Variables:
$ default (fctr) No, No, No, No, No, No, No, No, No, No, No, No, No, N...
$ student (fctr) No, Yes, No, No, No, Yes, No, Yes, No, No, Yes, Yes, ...
$ balance (dbl) 729.5265, 817.1804, 1073.5492, 529.2506, 785.6559, 919...
$ income (dbl) 44361.625, 12106.135, 31767.139, 35704.494, 38463.496,...
default
No :9667
Yes: 333
student
No :7056
Yes:2944
balance
Min.
:
0.0
1st Qu.: 481.7
Median : 823.6
Mean
: 835.4
3rd Qu.:1166.3
Max.
:2654.3
income
Min.
: 772
1st Qu.:21340
Median :34553
Mean
:33517
3rd Qu.:43808
Max.
:73554
10000
600
count
count
7500
5000
400
2500
200
0
0
No
Yes
0
default
2000
balance
6000
count
600
count
1000
400
200
0
4000
2000
0
0
20000 40000 60000 80000
No
income
Yes
student
Sans perte de généralité, nous notons X une variable ou un vecteur de plusieurs variables explicatives. Nous
allons estimer π(x) = P(default = 1|X = x) à l’aide du modèle logistique. Pour illustrer un peu le problème
5
et le jeu de données, nous commencerons par des modèles simples et nous terminerons par des modèles
multiples.
Modèle 1 :
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
Call:
glm(formula = default ~ balance, family = binomial(link = "logit"),
data = Default)
Deviance Residuals:
Min
1Q
Median
-2.2697 -0.1465 -0.0589
3Q
-0.0221
Max
3.7589
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) -1.065e+01 3.612e-01 -29.49
<2e-16 ***
balance
5.499e-03 2.204e-04
24.95
<2e-16 ***
--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
Null deviance: 2920.6
Residual deviance: 1596.5
AIC: 1600.5
on 9999
on 9998
degrees of freedom
degrees of freedom
Number of Fisher Scoring iterations: 8
1. On veut savoir si la variable balance a une influence sur la variable default. Effectuer un test d’hypothèses
au niveau α = 5% pour répondre à la question (écrire les hypothèses du test. donner la p-valeur et
conclure).
2. Utiliser les résultats ci-dessus pour donner l’équation du modèle logistique ave les coefficients estimés.
3. Relever la valeur de la probabilité de défaut pour un client qui a un balance de 1000 dollars et 2000
dollars. Que peut-on en conclure ?
##
balance
## 1
1000
## 2
2000
##
1
2
## 0.005752145 0.585769370
Modèle 2 :
##
## Call:
## glm(formula = default ~ student, family = binomial(link = "logit"),
##
data = Default)
##
## Deviance Residuals:
6
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
Min
-0.2970
1Q
-0.2970
Median
-0.2434
3Q
-0.2434
Max
2.6585
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) -3.50413
0.07071 -49.55 < 2e-16 ***
studentYes
0.40489
0.11502
3.52 0.000431 ***
--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
Null deviance: 2920.6
Residual deviance: 2908.7
AIC: 2912.7
on 9999
on 9998
degrees of freedom
degrees of freedom
Number of Fisher Scoring iterations: 6
4. Relever les coefficients estimées du modèle 2 et donner l’équation du modèle logistique avec les coefficients
estimés. Calculer aussi “à la main” les coefficients estimés du modèle à l’aide du tableau de contingence
suivant :
##
student
No Yes
## default
## No
6850 2817
## Yes
206 127
Est-ce que vous obtenez les mêmes résultats que celui du logiciel R ?
5. Donner “à la main” les estimations de P(default = Yes|student = Yes) et P(default = Yes|student = No)
(aide : considerer Yes = 1 et No =0) . Est-ce que vos résultats coïncident avec les sorties ci-dessous ?
##
student
## 1
Yes
## 2
No
##
1
2
## 0.04313859 0.02919501
Modèle 3 :
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
Call:
glm(formula = default ~ student + balance, family = binomial(link = "logit"),
data = Default)
Deviance Residuals:
Min
1Q
Median
-2.4578 -0.1422 -0.0559
Coefficients:
3Q
-0.0203
Max
3.7435
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
7
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
(Intercept) -1.075e+01
studentYes -7.149e-01
balance
5.738e-03
--Signif. codes: 0 '***'
3.692e-01 -29.116 < 2e-16 ***
1.475e-01 -4.846 1.26e-06 ***
2.318e-04 24.750 < 2e-16 ***
0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
Null deviance: 2920.6
Residual deviance: 1571.7
AIC: 1577.7
on 9999
on 9997
degrees of freedom
degrees of freedom
Number of Fisher Scoring iterations: 8
0.4
0.6
Yes
No
0.0
0.2
π (x)
0.8
1.0
student (Yes ou 1) et no student (No ou 0)
0
500
1000
1500
2000
2500
balance
6. Commenter le graphique obtenu avec les sorties du Modèle 3. Que pouvez vous suggérer ?
7. Relever les valeurs estimées des trois coefficients du Modèle 3. Donner l’équation du modèle logistique
avec les coefficients estimés pour les “student=Yes” et pour les “student=No”.
8. Commenter les sorties R suivantes :
##
default student
balance
income
## 1
No
No 729.5265 44361.63
## 137
Yes
Yes 1486.9981 17854.40
## 9999
No
No 1569.0091 36669.11
9. Nous avons relevé les valeurs estimées de la proportion de defaut selon les caractéristiques de trois
clients au hasard. Est-ce qu’on peut dire si ces trois clients feront default ? Que peut-on en conclure ?
8
##
1
137
9999
## 0.001409096 0.050602655 0.148507089
Modèle 4 :
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
Call:
glm(formula = default ~ balance + income + student, family = binomial,
data = Default)
Deviance Residuals:
Min
1Q
Median
-2.4691 -0.1418 -0.0557
3Q
-0.0203
Max
3.7383
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) -1.087e+01 4.923e-01 -22.080 < 2e-16 ***
balance
5.737e-03 2.319e-04 24.738 < 2e-16 ***
income
3.033e-06 8.203e-06
0.370 0.71152
studentYes -6.468e-01 2.363e-01 -2.738 0.00619 **
--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
Null deviance: 2920.6
Residual deviance: 1571.5
AIC: 1579.5
on 9999
on 9996
degrees of freedom
degrees of freedom
Number of Fisher Scoring iterations: 8
10. Utiliser le critère AIC pour choisir un modèle. Lequel choisissez-vous ? Justifier.
##
AIC.glm1 AIC.glm2 AIC.glm3 AIC.glm4
## [1,] 1600.452 2914.683 1579.682 1581.682
9
Exercice 3 : Une étude conduite aux USA en 1986 cherche à cerner les facteurs pouvant augmenter le risque
de donner naissance à des bébés de faible poids inférieur à 2500 g.
Source : Hosmer, D.W. and Lemeshow, S. (1989). Applied Logistic Regression. New York : Wiley (site
http://web.mit.edu/r_v3.0.1/lib/R/library/MASS/html/birthwt.html). Les données sont stockées aussi
dans le fichier birthwt.txt téléchargeables sur ma page web et également sous R dans le package MASS. Les
variables considérées sont mesurées sur 189 bébés.
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
Variable
Nom
low
1 si poids à la naisance est superieur à 2.5 kg, 0 sinon.
age
âge de la mère.
lwt
le poids de la mère lors des dernières menstruations
race
l’ethnicité de la mère (1 = white, 2 = black, 3 = other).
smoke
1 si tabagisme pendant la grossesse, 0 sinon
ptl
nombre d’accouchement prématuré précédente.
ht
1 si antécédent d’hypertension, 0 sinon.
ui
1 si présence d’irritabilité utérine, 0 sinon.
ftv
le nombre de visites médicales durant le premier trimestre de grossesse.
bwt
poids à la naissance en grammes.
Observations:
Variables:
$ low
(int)
$ age
(int)
$ lwt
(int)
$ race (int)
$ smoke (int)
$ ptl
(int)
$ ht
(int)
$ ui
(int)
$ ftv
(int)
$ bwt
(int)
189
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,...
19, 33, 20, 21, 18, 21, 22, 17, 29, 26, 19, 19, 22, 30, ...
182, 155, 105, 108, 107, 124, 118, 103, 123, 113, 95, 15...
2, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 1, 1, 2, 1, 3,...
0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0,...
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0,...
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,...
1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1,...
0, 3, 1, 2, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 3, 0,...
2523, 2551, 2557, 2594, 2600, 2622, 2637, 2637, 2663, 26...
Ces nécessitent quelques recodages. Nous avons transformé certains variables à facteur (variables qualitatives).
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
Observations: 189
Variables:
$ low
(fctr) normal, normal, normal, normal, normal, normal, normal,...
$ age
(int) 19, 33, 20, 21, 18, 21, 22, 17, 29, 26, 19, 19, 22, 30, ...
$ lwt
(int) 182, 155, 105, 108, 107, 124, 118, 103, 123, 113, 95, 15...
$ race (fctr) black, other, white, white, white, other, white, other,...
$ smoke (fctr) no, no, yes, yes, yes, no, no, no, yes, yes, no, no, no...
$ ptl
(int) 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0,...
$ ht
(fctr) no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, yes, no...
$ ui
(fctr) yes, no, no, yes, yes, no, no, no, no, no, no, no, no, ...
$ ftv
(int) 0, 3, 1, 2, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 3, 0,...
$ bwt
(int) 2523, 2551, 2557, 2594, 2600, 2622, 2637, 2637, 2663, 26...
10
100
75
count
count
100
50
50
25
0
0
normal
low
white
black
low
other
race
120
15
count
count
90
60
10
30
5
0
0
no
yes
20
30
smoke
40
age
100
30
75
count
count
20
50
10
25
0
0
100
150
200
250
0
lwt
2
4
ftv
11
6
15
150
count
count
10
100
5
50
0
0
1000 2000 3000 4000 5000
0
1
bwt
2
3
ptl
150
100
count
count
150
100
50
50
0
0
no
yes
no
ui
yes
ht
Parmi les variables d’intérêt figurent : low, age, lwt, ftv, race.
Nous avons croisé la varaible quantitative age avec la variable catégorielle low. Les résumés numériques
séparés pour chaque niveau de la variable catégorielle sont :
## low: normal
##
Min. 1st Qu. Median
Mean 3rd Qu.
Max.
##
14.00
19.00
23.00
23.66
28.00
45.00
## -------------------------------------------------------## low: low
##
Min. 1st Qu. Median
Mean 3rd Qu.
Max.
##
14.00
19.50
22.00
22.31
25.00
34.00
Pour comprende le problème nous avons commencé par des modèles simples et nous avons terminé par des
modèles plus complexes.
Nous avons ajusté un modèle logistique expliquant la probabilité qu’un bébé naisse avec un faible poids à
partir de la variable explicative lwt.
12
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
Call:
glm(formula = low ~ lwt, family = binomial, data = Poids)
Deviance Residuals:
Min
1Q
Median
-1.0951 -0.9022 -0.8018
3Q
1.3609
Max
1.9821
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) 0.99831
0.78529
1.271
0.2036
lwt
-0.01406
0.00617 -2.279
0.0227 *
--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
Null deviance: 234.67
Residual deviance: 228.69
AIC: 232.69
on 188
on 187
degrees of freedom
degrees of freedom
Number of Fisher Scoring iterations: 4
Nous avons ajusté un modèle logistique expliquant la probabilité qu’un bébé naisse avec un faible poids à
partir des variables explicatives age et lwt.
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
Call:
glm(formula = low ~ lwt + age, family = binomial, data = Poids)
Deviance Residuals:
Min
1Q
Median
-1.1352 -0.9088 -0.7480
3Q
1.3392
Max
2.0595
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) 1.748773
0.997097
1.754
0.0795 .
lwt
-0.012775
0.006211 -2.057
0.0397 *
age
-0.039788
0.032287 -1.232
0.2178
--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
Null deviance: 234.67
Residual deviance: 227.12
AIC: 233.12
on 188
on 186
degrees of freedom
degrees of freedom
Number of Fisher Scoring iterations: 4
Nous avons ajusté un modèle logistique expliquant la probabilité qu’un bébé naisse avec un faible poids à
partir des variables explicatives age, lwt, ftv et race.
##
13
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
Call:
glm(formula = low ~ lwt + race + ftv + age, family = binomial,
data = Poids)
Deviance Residuals:
Min
1Q
Median
-1.4163 -0.8931 -0.7113
3Q
1.2454
Max
2.0755
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) 1.295366
1.071443
1.209
0.2267
lwt
-0.014245
0.006541 -2.178
0.0294 *
raceblack
1.003898
0.497859
2.016
0.0438 *
raceother
0.433108
0.362240
1.196
0.2318
ftv
-0.049308
0.167239 -0.295
0.7681
age
-0.023823
0.033730 -0.706
0.4800
--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
Null deviance: 234.67
Residual deviance: 222.57
AIC: 234.57
on 188
on 183
degrees of freedom
degrees of freedom
Number of Fisher Scoring iterations: 4
14