exercice 2

Dénombrement: Le célèbre problème des danseurs
1. Introduction.
Au cours de samba , il y a ce soir 4 couples sur la piste. Le professeur demande de changer de partenaire. En
supposant que les couples se reforment de façon équiprobable ( ce qui autorise donc qu’un couple se reforme à
l’identique) ,quelle est la probabilité que dans la nouvelle configuration les couples aient tous changé. Essayez
d’abord de résoudre sans regarder l’indication.
Indication: Pour résoudre ce problème on remarquera qu’en numérotant les couples Ci = (fi ; hi ) avec
1 6 i 6 4; pour définir la nouvelle configuration Ci0 ; il suffit de se donner une permutation de f1; 2; 3; 4g
et de poser Ci0 = (fi ; h (i) ): Par exemple si l’ancienne configuration est (f1 ; h1 )(f2 ; h2 )(f3 ; h3 )(f4 ; h4 ) et la
nouvelle (f1 ; h2 )(f2 ; h3 )(f3 ; h1 )(f4 ; h4 ) alors la permutation est : (2; 3; 1; 4) car (1) = 2; (2) = 3; (3) =
1; (4) = 4
l’univers est assimilable à l’ensemble des permutations de f1; 2; 3; 4g et l’évènement A recherché correspond
à l’ensemble des permutations qui modifient la place de chaque entier. Rappel : la formule de l’équiprobabilité
est P (A) = card(A)
card( ) : Pour résoudre le problème il faut donc chercher le nombre de permutations sans points
fixes du type : (2; 3; 4; 1): Examinez par exemple tous les cas ou (1) = 2:
2. La formule du crible ( ou formule de Poincaré)
Si A et B sont deux parties finies d’un ensemble E , vous connaissez la formule
card(A [ B) = card(A) + card(B) card(A \ B):
Mais pourquoi se limiter à deux parties
(a) Démontrer en s’appuyant sur la formule rappelée que pour toutes parties finies A; B; C de E on a
card(A[B [C) = card(A)+card(B)+card(C) card(A\B) card(A\C) card(B \C)+card(A\B \C):
(b) On considère n parties finies de E numérotées A1 ; A2 ; ::::; An : si I est une partie de [[1; n]] on note
\i2I Ai l’intersection de toutes les parties Ai 2 I; par exemple si I = f1; 2g alors \i2I Ai = A1 \ A2 :
Pour tout entier naturel k 2 [[1; n]]; Ik désigne l’ensemble des parties à k éléments de [[1; n]]: Par exemple
I1 = ff1g f2g ::: fngg ; I2 = ff1; 2g f1; 3g ::: fn 1; ngg etc . La formule du crible dit que
Pn
P
card([ni=1 Ai ) = k=1 ( 1)k 1 ( I2Ik card(\i2I Ai ))
Pour comprendre cette formule il faut donc interpréter :
X
card(\i2I Ai ) = card(A1 ) + card(A2 ) + ::: + card(An );
X
I2I2
I2I1
card(\i2I Ai ) = card(A1 \ A2 ) + card(A1 \ A3 ) + ::: + card(An
1
\ An )
et ainsi de suite
(i) Vérifier cette formule lorsque n = 2 et n = 3
(ii) Rem: On peut laisser de coté cette question très délicate dans un premier temps. La formule du crible
de Poincaré n’est pas censée être connue des étudiants de prépa, contrairement à ce que pensent
certains examinateurs peu attentifs au programme!
Démontrer par récurrence sur n que la formule du crible est vraie pour n 2 quelconque.
Indication: si k 2 [[1; n + 1]]; toute partie à k éléments de [[1; n + 1]] , est soit une partie à k
éléments de [[1; n]] lorsqu’elle ne contient pas n + 1; soit la réunion de fn + 1g et d’une partie à
k 1 élément de [[1; n]] dans le cas contraire.
(iii) Lorsque n est quelconque et k 2 [[1; n]]; quel est le cardinal de Ik ?
3. Retour sur le problème des danseurs
Pour résoudre le première question vous avez sans doute compté toutes les permutations de [[1; 4]]
qui n’ont pas de points fixes , et ce n’est pas si évident. La formule du crible permet de trouver une
réponse rapide. On note l’ensemble des 24 permutations de [[1; 4]]; et pour i 2 [[1; 4]] Ai désigne
l’ensemble des permutations qui vérifient (i) = i:par exemple A1 est constitué des 6 permutations
1
(1; 2; 3; 4); (1; 2; 4; 3); (1; 3; 2; 4); (1; 3; 4; 2); (1; 4; 2; 3); (1; 4; 3; 2)
(a) On note A l’ensemble des permutations sans points fixes de [[1; 4]] :par exemple (2; 4; 3; 1) 2
= A car
(3) = 3; mais (2; 4; 1; 3) 2 A
(Ai désigne le complémentaire de Ai dans )
(i) Démontrer que A = A1 \ A2 \ A3 \ A4
4
(ii) En déduire que Card(A) = 24 card([i=1 Ai )
P
(iii) Déterminer card(A1 ) en déduire I2I1 card(\i2I Ai )
P
(iv) Déterminer card(A1 \ A2 ) en déduire I2I2 card(\i2I Ai )
P
(v) Déterminer
card(A1 \ A2 \ A3 ) et card(A1 \ A2 \ A3 \ A4 ); puis en déduire I2I3 card(\i2I Ai )
P
et I2I4 card(\i2I Ai )
(vi) Retrouver la valeur de P (A)
(b) Cet effort de modélisation n’aurait aucun intérêt s’il ne s’appliquait qu’au cas n = 4: Voici donc une salle
de danse avec n couples (n
2) et le même problème qui se pose , à savoir quelle est la probabilité
qu’après reformation des n couples, aucun danseur ne retrouve son partenaire précédent. On reprend les
notations du a) c’est à dire que l’on note l’ensemble des n! permutations de [[1; n]]; et pour i 2 [[1; n]
, Ai désigne l’ensemble des permutations qui vérifient (i) = i et A l’ensemble des permutations sans
points fixes de [[1; n]]
(i) Déterminer en fonction de n la valeur de card(A1 ) et celle de card(A1 \ A2 )
(ii) Pour k 2 [[1; n]]; déterminer en fonction de n la valeur de card(A1 \ A2 \ ::\ Ak )
(iii) En déduire la formule
n
n
X
X
n!
k 1 n!
( 1)
Card(A) = n!
( 1)k
=
k!
k!
k=1
(iv) Démontrer que limn!1 P (A) =
1
e
k=0
= 0:367
4. Ca se corse.
La salle contient n danseurs. On note X le nombre de couples qui se retrouvent après reformation. Ainsi X peut
être nul ( c’est le cas étudié plus haut) ;mais aussi on peut avoir X = n si tous les couples restent inchangés. On
notera aussi Xi la variable aléatoire de Bernouilli qui vaut 1 si le couple n i reste inchangé et 0 sinon
(a) Déterminer la loi de Xi son espérance et sa variance
Pn
(b) Préciser X( ): Démontrer que X = i=1 Xi : En déduire E(X)
(c) Démontrer que pour tout entier naturel k 2 [[0; n]]; on a
Pk
n
i k!
Xk ( 1)i
1
i=0 ( 1) i!
=
P (X = n k) = n k
i=0
n!
(n k)!
i!
(d) Montrer que lorsque n est très grand, on peut approximer P (X = k) par
1
ek!
(e) Ecrire une fonction python qui retourne en fonction de n et de k la valeur P (X = k): On importera le
module math et on utilisera la fonction math.factorial(n).
Ecrire une fonction python qui calcule la valeur numérique de E(X) et de V (X) en fonction de n .
En déduire E(X) et V (X) pour n = 5 et n = 20: Emettre une conjecture
(f) On se propose de démontrer que V (X) = 1: On rappelle que
V (X1 + X2 ) = V (X1 ) + V (X2 ) + 2Cov(X1 ; X2 ):
On admettra que cette formule se généralise en:
Xn
Xn
X
V(
Xi ) =
V (Xi ) +
Cov(Xi ; Xj )
i=1
i=1
i6=j
(i) Calculer lorsque i 6= j la valeur de P (Xi Xj ) = 1: En déduire que E(Xi Xj ) =
(ii) En déduire que Cov(Xi ; Xj ) =
1
n(n 1)
1
n2 (n 1)
(iii) justifier rapidement que le nombre de couples (i; j) tels que i 6= j vaut n(n
V (X) = 1
1): En déduire que
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