calculs de primitives et d`intégrales (je sais faire)

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
CALCULS
DE PRIMITIVES ET D ’ INTÉGRALES
(JE
SAIS FAIRE )
Je sais qu’on ne dit pas « LA primitive » mais « une primitive ».
Je sais donner instantanément les primitives des fonctions :
α 6= −1,
x 7−→ p
1
x 7−→ sin x,
1 − x2
x 7−→ cos x,
x 7−→ tan x,
x 7−→ e x ,
x 7−→ sh x,
x 7−→ ln x,
x 7−→ ch x,
x 7−→
1
,
x
x 7−→ th x,
x 7−→ x α avec
x 7−→
1
1 + x2
et
.
Je sais que la primitivation est un problème difficile en général — on peut savoir primitiver f et g sans savoir
f
primitiver f g, et g ◦ f .
g
1
Calculer une primitive des fonctions :
x 7−→ sin(3x + 2),
Je sais calculer les primitives des fonctions x 7−→
2
Calculer une primitive des fonctions :
p
cos x
x−
7 → p
,
x
x 7−→
1
x2 + 4
ax2
x 7−→
1
tan x
1
pour lesquelles :
+ bx + c
x 7−→
et
et
x 7−→
ex
.
ex + 1
b2 − 4ac < 0.
1
.
x2 + x + 1
ax
ax
Je sais calculer les primitives des fonctions x 7−→ e cos(bx) et x 7−→ e sin(bx).
3
Calculer une primitive de la fonction :
x 7−→ e2x sin(5x).
x 7−→ sin4 x,
Je sais calculer les primitives des fonctions du genre :
4
Calculer une primitive de la fonction :
x 7−→ sin3 x cos5 x,
x 7−→ sin4 x cos2 x.
Je sais calculer les primitives d’une fraction rationnelle.
5
Calculer une primitive de la fonction :
x 7−→
x2
x
.
+ 1 (x − 1)
Je sais énoncer les deux formes du théorème fondamental du calcul intégral.
1
x 7−→ sin2 x cos(2x). . .
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
6
Dériver les fonctions :
f
x 7−→
Z
x
0
Je sais utiliser la notation «
Z
et
dt,
t +1
g
x 7−→
Z
ex
sin
p
0
t dt
et
h
x 7−→
Z
2x
x
et
dt.
t
f (x) dx » sans bornes.
1
Je sais définir la notion de fonction de classe C .
Je sais effectuer rapidement une intégration par parties, y compris pour des intégrales sans bornes.
7
Calculer une primitive des fonctions :
x 7−→ x ln x
et
x 7−→ x 2 Arctan x.
Je sais énoncer la formule de changement de variable et la mettre en œuvre rapidement, y compris pour des intégrales
sans bornes.
8
Effectuer sucessivement dans l’intégrale :
u = ln x.
Z
2
1
sin t
dt
t2 + t + 1
2
les changements de variable suivants :
x = t 2,
puis :
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
CORRECTION DES EXERCICES
1
1
Z
2
Z
1
1
x
= Arctan
x2 + 4
2
2
3
Z
e2x sin(5x) =
4
Z
cos(3x + 2)
sin(3x + 2) = −
,
3
Z
Z
p
p
cos x
= 2 sin x ,
p
x
Z
1
= ln | sin x|
tan x
————————————–
et
ex
= ln e x + 1 .
x
e +1
2
2x + 1
1
= p Arctan p .
x2 + x + 1
3
3
————————————–
e2x
2 cos(5x) + 5 sin(5x) .
29
sin4 x cos2 x =
et
Z
————————————–
x
sin(2x) sin(4x) sin(6x)
−
−
+
.
16
64
64
192
————————————–
5
Après calcul de la décomposition en éléments simples :
Par conséquent :
X2
X −1
X
1
+
=0+
.
2
2(X
− 1)
+ 1 (X − 1)
2 X +4
ln x 2 + 4
x
x ln |x − 1|
x
=
− Arctan +
.
2
4
4
2
2
x + 1 (x − 1)
Z
————————————–
x
6
Pour tout x ∈ ] − 1, +∞[ :
Pour tout x ∈ R :
f ′ (x) =
e
.
x +1
p
x
g ′ (x) = e x × sin e x = e x sin e 2 .
ex ex − 1
e2x e x
Pour tout x ∈ R : h (x) = 2 ×
−
=
.
2x
x
x
————————————–
Z
Z
x2
x2
x3
x2 1
x ln x =
ln x −
et
x 2 Arctan x =
Arctan x −
+ ln x 2 + 1 .
7
2
4
3
6
6
∗
8
Z
2
1
sin t
x=t 2
dt
=
t2 + t + 1
′
Z
4
1
p
sin x
dx
× p
p
x + x +1 2 x
————————————–
Z 2 ln 2 u
Z 2 ln 2
u
u
e 2 sin e 2
1
1
sin e 2
u=ln x
u
×
du.
×
e
du
=
=
u
u
u
2 0
eu + e 2 + 1 2e 2
eu + e 2 + 1
0
————————————–
3