analyse de modèles dynamiques linéaires

1
I. INTRODUCTION
Deux types de commande
Commande par bouclage de la sortie (Figure 1) : le signal de commande est élaboré à partir
• de la mesure de la sortie,
• de la valeur de la consigne.
Commande par retour d’état (Figure 2) : le signal de commande est élaboré à partir
• des mesures des variables d’état,
• de la valeur de la consigne.
Figure 1
Figure 2
II. CAHIER DES CHARGES D’UN ASSERVISSEMENT
1) Sensibilité aux variations des paramètres du modèle (« perturbations
paramétriques »)
a/
Définition
Sensibilité d’une fonction de transfert
Soit une fonction de transfert F(s ; p) où p est un paramètre du modèle. La sensibilité de la fonction de transfert aux variations du paramètre p est définie par :
dF s; p F s; p
S pF =
dp p
( ) ( )
b/
Application aux systèmes asservis
Propriété générale
La sensibilité d’un système asservi (Figure 3) aux perturbations paramétriques
de la fonction de transfert du processus commandé est d’autant plus petite que le
module du gain en boucle ouverte G ( s ) H ( s ) est grand.
2
Figure 3
Exercice 1 : supposons que la fonction de transfert Gp(s ; p) du processus dépende d’un paramètre p. Montrer que la sensibilité de l’asservissement aux va1
riations de p a pour expression S pM =
S Gp .
1 + G ( s; p ) H ( s )
Exercice 2 : supposons que la fonction de transfert H(s) de la boucle de retour
dépende d’un paramètre p. Montrer que la sensibilité de l’asservissement aux vaG ( s ) H ( s; p ) H
riations de p a pour expression S pM = −
Sp .
1 + G ( s ) H ( s; p )
Exercice 3 : soit un asservissement à retour unitaire (H(s) = 1) où G(s) est un
premier ordre de gain statique K = 100 et de constante de temps τ. Montrer que
si K varie de 1%, le gain statique de l’asservissement varie de 0,01%.
2) Sensibilité aux perturbations externes (« perturbations non paramétriques »)
Exemple : modélisation d’un laminoir. Voir détails en annexe 1
3) Réponse transitoire à une variation de la consigne
Définition
La réponse transitoire est la réponse que l’on observe entre l’application de la variation de consigne et l’établissement du régime permanent.
a/
Exemple du laminoir : voir détails en annexe 1.
L’effet d’une régulation sur la réponse en régime permanent est étudié de manière générale dans la section 4).
3
b/
Effet des pôles non dominants et des zéros de la fonction de transfert sur la
réponse transitoire
Définition
Les pôles dominants d’une fonction de transfert d’un processus stable sont les
pôles dont l’effet sur la réponse transitoire se fait sentir le plus longtemps : ce
sont les pôles dont la partie réelle est la plus petite en valeur absolue.
Ce sont donc les pôles dont les points représentatifs, dans le plan complexe, sont
les plus proches de l’axe des imaginaires.
La Figure 4 montre l’influence d’un pôle non dominant sur la réponse indicielle
d’un processus du deuxième ordre, et la Figure 5 l’influence sur celle d’un processus du deuxième ordre.
Figure 4
Définition
Un processus dont la fonction de transfert a un zéro dans le demi-plan droit du
plan complexe est dit à phase non minimale.
4
Figure 5
Propriété
La réponse indicielle d’un modèle du second ordre à phase non minimale est caractérisée par une dérivée négative à l’origine.
La réponse indicielle d’un modèle du second ordre à phase non minimale est représentée sur la Figure 6.
Visualiser l’influence de la position des pôles et des zéros dans le plan complexe
sur la réponse indicielle :
http://www.jhu.edu/signals/explore/index.html
4) Erreur stationnaire (erreur en régime permanent)
a/
Erreur stationnaire en réponse à un échelon (erreur « de position »)
Théorème
L’erreur de position d’un système asservi (Figure 3) est nulle si et seulement si
la fonction de transfert du processus en boucle ouverte possède au moins un pôle
à l’origine dans le plan complexe (donc s’il existe au moins un intégrateur dans
la boucle ouverte).
5
Figure 6
b/
Erreur stationnaire en réponse à une rampe (erreur « de vitesse » ou erreur
« de traînage »)
Théorème
L’erreur de vitesse d’un système asservi est nulle si et seulement si la fonction
de transfert du processus en boucle ouverte possède au moins deux pôles à
l’origine dans le plan complexe (donc s’il existe au moins deux intégrateurs dans
la boucle ouverte).
c/
Erreur stationnaire en réponse à une parabole (erreur « d’accélération »)
Théorème
L’erreur d’accélération d’un système asservi est nulle si et seulement si la fonction de transfert du processus en boucle ouverte possède au moins trois pôles à
l’origine dans le plan complexe (donc s’il existe au moins trois intégrateurs dans
la boucle ouverte).
d/
Exemple : commande intégrale du laminoir, voir annexe 1.
6
5) Stabilité
Des critères de stabilité ont déjà été étudiés dans le chapitre précédent. D’autres critères sont présentés dans la section III de ce chapitre.
6) Expression du cahier des charges dans le domaine fréquentiel
Les éléments précédents, exprimés dans le domaine temporel, peuvent aussi être exprimés dans le domaine fréquentiel, notamment par la marge de gain et la marge de
phase. Voir section III.4.
III. ANALYSE HARMONIQUE DES ASSERVISSEMENTS LINÉAIRES
Préliminaire
Sans perte de généralité, on peut se ramener à l’étude d’un bouclage à retour unitaire
(Figure 7).
Figure 7
Objectif
Prédire le comportement du processus asservi à partir de son comportement en boucle
ouverte.
7
1) Abaque de Black
Définition
Un abaque de Black (Figure 8) est un plan de Black dans lequel ont été portés les
lieux des points à gain constant et des points à phase constante du système en boucle
fermée à retour unitaire, calculés par la relation
G jω
M jω =
1 + G jω
( )
( )
( )
où G(jω) est le gain complexe en boucle ouverte.
Utilisation
Étant donné un point du plan de Black représentant le module et la phase du gain
complexe en boucle ouverte G(jω) pour une pulsation ω donnée, le lieu de gain passant par ce point indique le module de M(jω) à cette pulsation, et le lieu de phase
passant par ce point indique la phase de M(jω) à cette même pulsation.
Propriété
Le comportement harmonique d’un processus en boucle ouverte est représenté par
une courbe dans le plan de Black. Le lieu de gain auquel cette courbe est tangente
donne le gain à la résonance en boucle fermée. La fréquence correspondant au point
de tangence est la fréquence de résonance (fréquence à laquelle le module du gain est
maximum) en boucle fermée.
Exemple 1 : diagramme de Bode (Figure 9) et diagramme de Black (Figure 10) d’un
1
.
processus de fonction de transfert G s =
s s + 1 0,2s + 1
()
(
)(
)
La Figure 11 représente le diagramme de Bode du système bouclé constitué du processus précédent placé dans une boucle à retour unitaire. On retrouve sur ce diagramme les informations que l’on peut déduire de la Figure 10.
8
Figure 8
9
Figure 9
10
Figure 10
11
Figure 11
2) Critère de stabilité de Nyquist
Objectif
Prévoir la stabilité du processus asservi à partir du comportement fréquentiel du processus en boucle ouverte.
Avantages
Les critères fondés sur le signe des pôles de la fonction de transfert ou des valeurs
propres de la matrice A nécessitent que l’on connaisse une expression analytique du
modèle du processus à asservir.
§ Le critère de Nyquist peut être utilisé même si l’on ne connaît pas le modèle : il
suffit de disposer de mesures du module et de la phase du système en boucle ouverte à différentes fréquences.
§ De plus il permet de savoir si le système asservi est proche ou éloigné de
l’instabilité, par l’intermédiaire des notions de marge de gain et de marge de
phase.
12
Définition
La fonction de transfert en boucle ouverte G(s) d’un système physique est uniforme :
à un contour fermé dans le plan complexe de la variable s correspond un contour
fermé dans le plan de Nyquist ⎡⎣ Re G ( s ) ,Im G ( s ) ⎤⎦ (Figure 12).
(
) (
)
Figure 12
Convention
On dit qu’un point est à l’intérieur d’un contour fermé orienté s’il se trouve à droite
lorsque l’on parcourt le contour dans le sens prescrit.
Définition : contour d’exclusion
Soit un système dont la fonction de transfert en boucle ouverte est G(s). Un contour
d’exclusion dans le plan de la variable complexe s est un contour fermé qui contient
tous les points qui ne doivent pas être les pôles de la fonction de transfert du système
bouclé pour que celui-ci soit stable.
Conséquence
Pour un processus commandé en temps continu, le contour d’exclusion contient tout
le demi-plan droit du plan complexe (Figure 13).
Pour un processus commandé en temps discret, il contient tout l’extérieur du cercle
de rayon unité dans le plan complexe (Figure 14).
Remarque
Si un pôle de G(s) se trouve sur le contour d’exclusion, on modifie celui-ci de telle manière que
ce pôle soit à l’extérieur du contour (Figure 15).
Définition : diagramme de Nyquist
On appelle diagramme de Nyquist l’image du contour d’exclusion dans le plan de
Nyquist.
13
Figure 13
Figure 14
Figure 15
Convention
On dit que le diagramme de Nyquist tourne N fois (N > 0) autour du point -1 si le
rayon vecteur tracé (dans le plan de Nyquist) du point [-1, 0] au point courant du
diagramme tourne de N x 360°, dans le sens trigonométrique, lorsque le point courant parcourt complètement le diagramme. N est négatif si le diagramme est parcouru
dans le sens opposé au sens trigonométrique.
14
Critère de Nyquist
Un système bouclé à retour unitaire est stable si et seulement si le nombre de tours
effectués par le diagramme de Nyquist autour du point -1 est égal au nombre de
pôles de la fonction de transfert en boucle ouverte qui se trouvent à l’intérieur du
contour d’exclusion.
La démonstration du critère de Nyquist est présentée en annexe 2.
Conséquence (critère du revers)
Si le processus étudié est stable en boucle ouverte (marginalement ou asymptotiquement), le système bouclé est stable si et seulement si le diagramme de Nyquist
tourne 0 fois autour du point -1, c’est à dire s’il ne contient pas le point -1.
Cas particulier
Si le diagramme passe juste par le point -1, le système bouclé est à la limite de
l’instabilité : il oscille à la fréquence correspondant au point -1, c’est-à-dire à la fréquence pour laquelle le module du gain en boucle ouverte vaut 1 et la phase vaut
-180°.
Remarque
On retrouve ici le critère de stabilité énoncé dans le cours d’électronique à propos de la compensation interne des amplificateurs opérationnels, et à propos de la conception d’oscillateurs.
Contour d’exclusion pour les processus commandés en temps continu
Pour un système commandé en temps continu strictement physiquement réalisable,
l’image du demi-cercle dans le plan de Nyquist est un cercle de rayon nul centré à
l’origine.
Propriété
Pour un système physique, le diagramme de Nyquist est symétrique par rapport à
l’axe horizontal.
3) Exemples
a/
Exemple 1 :
On veut prédire la stabilité d’un asservissement constitué d’un processus du
K
, τ > 0 placé dans une boucle à retour unitaire.
premier ordre G s =
1+ τs
()
15
Propriété
Un asservissement constitué d’un premier ordre, stable en boucle ouverte et de
gain statique supérieur à -1, placé dans une boucle à retour unitaire, est stable
(Figure 16 et Figure 17).
Figure 16 (K > 0)
Figure 17 (K < −1)
b/
Exemple 2
On veut prédire la stabilité d’un asservissement constitué d’un processus de
K
, K > 0 , placé dans une boucle à retour unifonction de transfert G s =
s s +1
()
taire (Figure 18).
(
)
16
Figure 18
c/
Exemple 3
On veut prédire la stabilité d’un asservissement constitué d’un processus du
s+2
, K > 0 placé dans une boucle à retour
premier ordre G s = 10K 3
s + 3s 2 + 10
unitaire.
Voir annexe 3.
Exercices interactifs
()
http://www-hadoc.lag.ensieg.inpg.fr/hadoc/exocontinu/questions/efr19.html
http://www-hadoc.lag.ensieg.inpg.fr/hadoc/exocontinu/questions/efr26.html
4) Marge de gain et marge de phase
Objectif
La marge de gain et la marge de phase sont des indicateurs du fait que le système asservi est plus ou moins éloigné de l’instabilité. Elles quantifient la robustesse de la
stabilité vis-à-vis de modifications du processus.
17
Marge de gain : définition (Figure 19)
§ Pour un système stable en boucle ouverte : la marge de gain est le gain (en dB)
que l’on peut ajouter au système en boucle ouverte, à la fréquence d’inversion de
phase, sans que le système bouclé à retour unitaire devienne instable.
§ Pour un processus instable en boucle ouverte : la marge de gain est le gain (en
dB) que l’on peut retirer au système en boucle ouverte, à la fréquence d’inversion
de phase, sans que le système bouclé à retour unitaire devienne instable.
( )
Marge de gain = − 20log G jω ϕ
Figure 19
Conséquences
Pour un système stable en boucle ouverte : le système bouclé à retour unitaire est
stable si et seulement si la marge de gain est positive.
Pour un système instable en boucle ouverte : le système bouclé à retour unitaire est
stable si et seulement si la marge de gain est négative.
Les représentations graphiques de la marge de gain dans le diagramme de Bode et
dans le diagramme de Black sont indiquées sur la Figure 20.
18
Figure 20
Exemple : asservissement de position de la tête de lecture d’un disque dur
Figure 21
Condition de stabilité du système bouclé établie par le critère de Routh (chapitre
K + 6 60 − K
“Modélisation”) : 0 < K < 60 ; α <
(Figure 22).
36K
(
)(
)
Figure 22
La Figure 23 montre graphiquement la marge de gain pour diverses valeurs de K.
19
Figure 23
La Figure 24 montre la marge de gain sur le diagramme de Bode du processus en
boucle ouverte, pour diverses valeurs de K.
Figure 24
La Figure 25 montre la réponse indicielle de l’aservissement en réponse à un échelon
de consigne r(t). On observe, comme prévu, que la réponse est d’autant plus oscillante que l’asservissement est proche de l’instabilité. Pour K = 8,2 l’asservissement
oscillerait à la pulsation ωϕ ; pour K = 7, la pseudo-période est peu supérieure à
2π / ωϕ.
20
Figure 25
La Figure 26 montre le tracé du diagramme de Black du système en boucle ouverte
et met en évidence la marge de phase.
Figure 26
Enfin, la Figure 27 représente le diagramme de Bode du système bouclé. On observe
que, comme prévu, le pic de résonance est d’autant plus affirmé que l’asservissement
est proche de l’instabilité. On observe également que la phase varie d’autant plus vite
au voisinage de ωϕ que l’asservissement est proche de l’instabilité.
En pratique, le tracé de ce diagramme est généralement inutile, car toutes les informations qu’il contient se trouvent dans les diagrammes précédents.
21
Figure 27
Marge de phase : définition
• Pour un système stable en boucle ouverte : la marge de phase est la quantité de
phase que l’on peut retirer au système en boucle ouverte, à la fréquence pour laquelle le gain vaut 1 (0 dB), sans que le système bouclé à retour unitaire devienne
instable.
• Pour un processus instable en boucle ouverte : la marge de phase est la phase que
l’on peut ajouter au système en boucle ouverte, à la fréquence pour laquelle le
gain vaut 1 (0 dB), sans que le système bouclé à retour unitaire devienne instable.
Marge de phase = phase ⎡⎣G jω c ⎤⎦ + 180°
( )
(voir Figure 28 et Figure 29).
22
Figure 28
Figure 29
23
ANNEXE 1
Régulation de la vitesse de rotation des rouleaux d’un laminoir
Figure 30
MODÉLISATION
Le schéma fonctionnel du moteur est représenté sur la Figure 31.
24
Figure 31
Les variables sont la tension v(t) (variable de commande) et le couple antagoniste γp(t) (variable de perturbation) dû à la présence de la tôle entre les rouleaux. La variable à réguler est
la vitesse angulaire ω(t). La matrice de transfert est
KK
K
1
G s =
B −1 , J > 0, A = f + 1 2 > 0 , B = 1 > 0
Js + A
R
R
()
(
)
EFFET DE LA COMMANDE PROPORTIONNELLE SUR LA SENSIBILITE A UNE PERTURBATION EXTERNE
Commande en boucle ouverte :
Supposons qu’une tension constante v ait été appliquée depuis un temps très grand devant la constante de temps du système, en l’absence de perturbation (γp(t) = 0) ; la vitesse angulaire est donc la réponse en régime permanent à un échelon de tension dont
la transformée de Laplace est V(s) = v / s :
B v B
lim t→∞ ω b.o. t = lim s→0 s
= v
Js + A s A
(on a le droit d’appliquer cette formule puisque A et J sont positifs).
Cherchons à présent la vitesse en régime permanent, en présence d’une perturbation
constante p appliquée depuis un temps infini, modélisée par un échelon de Heaviside
d’amplitude p :
⎡ B v
1 p⎤ 1
−
Bv − p
lim t→∞ ω b.o. t = lim s→0 s ⎢
⎥=
⎣ Js + A s Js + A s ⎦ A
()
()
(
)
La variation de vitesse angulaire en régime permanent due à la présence de la tôle, à
tension de commande v constante, est donc
1
Δω b.o. = − p
A
Comme on pouvait s’y attendre, cette variation de vitesse est négative, et proportionnelle à p.
25
Régulation par commande proportionnelle :
On fixe une vitesse angulaire de consigne vc(t), on mesure la vitesse angulaire ω(t) à
l’aide d’un tachymètre de gain KT (volt.rad-1.sec-1) ; la tension de commande est proportionnelle à l’erreur (différence entre la vitesse de consigne et la vitesse réelle), avec
un coefficient de proportionnalité Ka > 0. Pour simplifier on prend KT = 1. Le schéma
fonctionnel de la régulation, et le graphe de fluence correspondant, sont représentés
sur la Figure 32.
Figure 32
Un amplificateur opérationnel monté en ampli différentiel de gain Ka fournit la tension
de commande v(t). Les entrées sont la tension de consigne vc (proportionnelle à la vitesse angulaire de consigne ωc(t)) et le couple perturbateur. La sortie est toujours la vitesse angulaire, notée ωa(t). On peut calculer la matrice de transfert du système asservi
en appliquant successivement la règle de Mason aux deux couples de variables (tension de consigne et vitesse angulaire) et (couple perturbateur et vitesse angulaire). On
obtient
1
K B −1
M s =
Js + A +K a B a
()
(
)
La vitesse angulaire en régime permanent sous l’effet d’une consigne constante vc et
d’une perturbation constante p est :
⎡
Ka B
vc
Ka B
p⎤
1
1
(1)
lim s→0 s ⎢
−
vc −
p
⎥=
A +K a B
⎣ Js + A +K a B s Js + A +K a B s ⎦ A +K a B
Effet d’une perturbation à consigne de vitesse constante
26
D’après (1), la variation de vitesse angulaire en régime permanent, à consigne
constante, sous l’effet d’une perturbation constante p est
1
p
Δω a = −
A +K a B
Donc on a
Δω a
A
=
=
Δω b.o. A +K a B
1
B
A
Donc on peut rendre ce rapport aussi petit que l’on veut en choisissant un gain
1 + Ka
suffisamment grand pour la commande proportionnelle. On remarque que,
néanmoins, on ne peut pas rendre la variation de vitesse due à la perturbation
strictement égale à zéro. De plus, la valeur de Ka est limitée par les nonlinéarités, notamment par la saturation en tension de l’ampli différentiel qui
fournit la tension de commande au moteur.
Effet d’un échelon de consigne en l’absence de perturbation
Supposons que l’on veuille faire passer la vitesse angulaire des rouleaux de 0 à
ωc : on applique un échelon de consigne d’amplitude vc = KT ωc avec KT = 1.
Ka B
D’après (1), la réponse stationnaire est
v , soit encore
A +K a B c
Ka B
A +K a B
ωc
La vitesse en régime stationnaire n’est donc pas égale à ωc : il y a une erreur
non nulle en régime stationnaire. Cette erreur peut être rendue aussi petite que
l’on veut en augmentant Ka, mais elle ne peut pas être strictement nulle.
Conclusion :
La régulation proportionnelle permet
§ de diminuer la sensibilité de la vitesse de rotation des rouleaux à la perturbation due au passage de la tôle : la présence de la régulation divise l’effet de la
perturbation par un facteur égal au gain de la régulation,
§ de rendre l’erreur en régime permanent, en réponse à un échelon de consigne,
aussi petite que l’on veut.
Néanmoins, elle ne permet pas d’annuler complètement l’effet de la perturbation en
régime permanent, ni de réguler la vitesse de rotation avec une erreur nulle en régime
permanent.
27
EFFET DE LA COMMANDE PROPORTIONNELLE SUR LE TEMPS
DE REPONSE À UN ÉCHELON DE CONSIGNE
Temps de réponse en boucle ouverte
Revenons au système en boucle ouverte, en l’absence de perturbation. La vitesse angulaire est déterminée par la tension de commande :
B
B A
Ωb.o. s =
V s =
V s
Js + A
1+ J A s
()
()
(
)
()
Le laminoir se comporte donc comme un premier ordre de gain statique B / A et de
constante de temps τ = J / A.
Donc si l’on veut faire passer la vitesse de rotation de 0 à ωc, en boucle ouverte, en
A
l’absence de tôle, on peut appliquer un échelon de tension d’amplitude ω c , de sorte
B
J
que la vitesse angulaire varie avec une constante de temps τ =
:
A
ω t = ω c 1 − e−t τ
(
()
)
Temps de réponse du système régulé
En présence de la régulation proportionnelle, la vitesse angulaire est commandée par
la tension de consigne vc = KT ωc avec KT = 1 :
K B / A + Ka B
Ka B
Ωa s =
Vc s = a
Vc s
J
Js + A +K a B
1+
s
A + Ka B
()
(
()
)
()
Le laminoir régulé se comporte comme un premier ordre de constante de temps
Ka B
J
et de gain statique
.
τ′ =
A + Ka B
A + Ka B
Pour faire passer la vitesse angulaire de 0 à ωc, on peut appliquer un échelon de tension de consigne d’amplitude vc, de sorte que la vitesse angulaire varie avec la constante de temps τ’ :
Ka B
ω t =
ω c 1 − e−t τ ′
1 + Ka B
()
(
)
La constante de temps peut donc être rendue aussi petite que l’on veut en augmentant
Ka. On a vu qu’une augmentation de Ka a aussi pour effet de rendre le système plus insensible à la perturbation. Soulignons encore que la valeur de la constante Ka est
néanmoins limitée par les non-linéarités de l’électronique de commande.
28
Conclusion
La commande proportionnelle permet d’accélérer la vitesse de réponse à un échelon
de consigne, c’est-à-dire de faire passer plus rapidement la vitesse de rotation de 0 à
une valeur voisine de la valeur de consigne ωc.
Nous avons vu dans la section précédente qu’elle permet, de surcroît, de réduire l’effet
du couple perturbateur sur la vitesse de rotation en régime permanent, et de réguler la
vitesse de rotation avec une erreur aussi petite que l’on veut.
En augmentant le gain Ka de la régulation, on diminue la sensibilité à la perturbation,
on améliore la précision de la régulation, et l’on diminue le temps de réponse. Néanmoins, la valeur de Ka est limitée par les non-linéarités de l’ampli différentiel.
Ces améliorations de la dynamique du système grâce à l’asservissement sont typiques
de l’effet des asservissements en général. Le cahier des charges d’un asservissement
spécifie fréquemment la sensibilité de l’asservissement aux perturbations, la précision
de la régulation (ou de la poursuite) et sa vitesse de réponse.
COMMANDE INTÉGRALE
La Figure 33 présente le schéma fonctionnel et le graphe de fluence du laminoir commandé
par une commande proportionnelle.
Figure 33
Pour obtenir la fonction de transfert de l’asservissement, il suffit de remplacer Ka par Ka / s
dans les équations précédentes :
29
()
M s =
=
=
( )
) (
1
( K B −s)
+ As + K B
)
1
K a s B −1
Js + A + K a s B
(
Js 2
a
a
1
Ka B J
s + A J s + Ka B J
(
2
(
)
−s J
)
Le système bouclé est du deuxième ordre puisque l’on a ajouté un intégrateur. Le système
reste stable puisque A, B, J, Ka sont positifs.
Effet d’un échelon de consigne d’amplitude vc en l’absence de perturbation :
La vitesse en régime stationnaire en réponse à un échelon est
vc
Ka B
= vc
lim s→∞ s 2
Js + As + K a B s
La vitesse atteinte est donc la vitesse de consigne : l’erreur stationnaire est nulle.
Effet d’un échelon de perturbation à consigne constante :
⎡
vc
Ka B
p⎤
s
lim s→0 s ⎢ 2
− 2
⎥ = vc
⎢⎣ Js + As + K a B s Js + As + K a B s ⎥⎦
La présence de l’intégrateur annule donc l’effet de la perturbation en régime permanent.
Erreur de traînage (ou erreur de vitesse)
La fonction de transfert en boucle ouverte est
(
(
∏ s + zi
Ka B
Ka B
1
1
= Ka B
=
=K i
s Js + A
J s s+ A J
s Js + A
∏ s + pk
(
)
(
)
k
)
)
Le seul pôle non nul est –A / J. L’erreur de vitesse est donc
∏ pk
A J
A
k
=
=
K ∏ zi K a B J K a B
(
)
i
Donc l’erreur de vitesse est d’autant plus petite que Ka est grand.
La valeur de Ka n’a donc d’influence que sur la réponse stationnaire à une rampe et,
comme indiqué dans la section suivante, sur la réponse transitoire.
30
Réponse transitoire
Considérons la réponse à la consigne en l’absence de perturbation :
Ka B J
Ω s = 2
Vc s
s + A J s + Ka B J
()
La pulsation propre est donc
(
()
)
K a B J et l’amortissement est
A
1
ζ=
2 K BJ
a
Donc l’amortissement est d’autant plus petit que Ka est grand. Il faut donc trouver un
compromis entre la précision de la réponse à une rampe (puisque l’erreur diminue si
Ka augmente) et le caractère oscillant de la réponse à un échelon de consigne (puisque
l’amortissement diminue si Ka augmente).
31
ANNEXE 2
Critère de stabilité de Nyquist
Propriété :
Soit un contour fermé dans la plan s, qui ne passe pas par les pôles de G(s), et qui enferme Z0
zéros et P0 pôles de G(s) ; le contour fermé correspondant dans le plan de Nyquist entoure
l'origine N0 fois, avec
N0 = P0 - Z0
où un tour est compté positivement s’il est effectué dans le sens trigonométrique, négativement dans le cas contraire.
Cette propriété peut être utilisée pour calculer n'importe laquelle de ces trois grandeurs à partir des deux autres.
Exemple :
On sait qu'il y a un zéro à l'intérieur du contour dans le plan s : Z0 = 1 . On voit que le contour
correspondant dans le plan de Nyquist tourne une fois autour de l'origine dans le sens trigonométrique : N0 = 1. Par conséquent P0 = 2 : il y a deux pôles de G(s) à l’intérieur du contour
dans le plan s
Application à l'étude de la stabilité des systèmes bouclés à retour unitaire
On tire parti de cette propriété pour étudier la stabilité d'un système bouclé de fonction de
transfert
G ( s)
.
M ( s) =
1+ G ( s )
On sait que le système bouclé décrit par ce modèle est stable si et seulement si M(s) n’a pas
de pôle dans le demi-plan droit, c’est-à-dire si et seulement si le polynôme caractéristique
1 + G(s) n'a pas de racine dans le demi-plan droit, soit encore si et seulement si le contour
d’exclusion (qui entoure tout le demi-plan droit) contient Z0 = 0 racines de 1 + G(s).
Supposons que G(s) ait P0 pôles dans le demi-plan droit. Alors 1 + G(s), qui a les mêmes
pôles que G(s), a P0 pôles dans le demi-plan droit. Appliquant la propriété précédente, on en
déduit que l'on doit avoir
32
N0 = P0.
Pour que le modèle décrive un système bouclé stable, il faut donc que le diagramme de
Nyquist de 1 + G(s) tourne P0 fois dans le sens trigonométrique autour de l’origine.
En pratique, on ne trace pas le diagramme de Nyquist de 1 + G(s), mais celui de G(s), de sorte
que l’on compte le nombre de tours autour du point (-1, 0) et non autour de l’origine.
Conséquence : si le système est stable en boucle ouverte, il n'a pas de pôles dans le demi-plan
droit. Donc le système bouclé est stable si et seulement si le diagramme de Nyquist tourne 0
fois autour du point -1.
33
ANNEXE 3
On veut prédire la stabilité d’un asservissement constitué d’un processus de fonction de transs+2
, K > 0 placé dans une boucle à retour unitaire.
fert G s = 10K 3
s + 3s 2 + 10
()
Construction du diagramme de Nyquist
La fonction de transfert en boucle ouverte n’a pas de pôle imaginaire pur, donc le contour
d’exclusion est le même que pour l’exemple 1 (Figure 34).
Figure 34
On a :
(
)(
jω + 2 −3ω 2 + 10 + jω 3
jω + 2
= 10K
G jω = 10K
2
− jω 3 − 3ω 2 + 10
−3ω 2 + 10 + ω 6
( )
( )
R ⎡⎣G jω ⎤⎦ = 10K
(
)
)
20 − 6ω 2 − ω 4
( −3ω + 10) + ω
ω (10 − ω )
I ⎡⎣G ( jω ) ⎤⎦ = 10K
( −3ω + 10) + ω
2
2
6
2
2
2
6
La partie imaginaire s’annule pour ω = 0 et pour ω = ± 10 ; les parties réelles correspondantes valent 2 K (c’est-à-dire le gain statique) et −K respectivement. L’image de la partie
positive de l’axe des imaginaires est représentée sur la Figure 35. Le modèle étant strictement
physiquement réalisable, l’image du demi-cercle de rayon infini est portée par un cercle de
rayon nul à l’origine. Le diagramme de Nyquist complet est représenté sur la Figure 36.
34
Figure 35
Application du Critère de Nyquist
Pour appliquer le critère de Nyquist, il faut connaître le nombre de pôles de la fonction de
transfert en boucle ouverte présents à l’intérieur du contour d’exclusion. Pour cela, on peut
appliquer le critère de Routh à la fonction de transfert en boucle ouverte :
1
0
3
10
-10/3
0
10
0
Il y a deux changements de signe dans la première colonne, donc deux pôles de la fonction de
transfert à l’intérieur du contour d’exclusion.
Donc le système asservi est stable si et seulement si le diagramme de Nyquist tourne deux
fois autour du point -1, dans le sens trigonométrique.
La figure montre un agrandissement du diagramme de Nyquist au voisinage du point (-1,0).
On voit que le diagramme de Nyquist tourne 2 fois autour de ce point si et seulement si K > 1.
Le système asservi est donc stable si et seulement si K > 1. Si K = 1, le système asservi oscille
à la pulsation pour laquelle le diagramme passe par le point (-1, 0), c’est-à-dire à la pulsation
ω = 10 rad/sec.
35
Figure 37
Figure 36