D`après sujet de Baccalauréat 1) On désigne par g la fonction

D'après sujet de Baccalauréat
1) On désigne par g la fonction définie sur [ 0 ;  ] par : g(x) = x cos x – sin x
Etudier g et dresser son tableau de variation
En déduire le signe de g(x) sur [ 0 ;  ]
2) Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur [ 0 ;  ] par :
{
On rappelle que lim
x0
sin x
x
f 0=1
f x =
pour x ≠0
`
sin x
=1 . Etudier les variations de f
x
3) Etude de f en 0
3
a) Démontrer que pour tout réel x ≥ 0 , 0 ≤ x – sin x ≤
x
.
6
Pour cela, on introduira la fonction  définie sur [0;+∞[ par  x  = sin x – x +
3
x
, on calculera
6
les dérivées ' , ' ' et ' ' ' et on en déduira le signe de 
b) Prouver que f est dérivable au point 0 et calculer f ' (0)
c) Construire la courbe représentative (C) de la fonction f dans un repère orthonormé ( O; i , j ). ( on prendra 3 cm
pour unité)
Corrigé
1) La fonction g est le produit et la somme de fonctions dérivables sur ℝ donc g est dérivable sur ℝ et on a :
g'(x) = cos x – x sin x – cos x = – x sin x
Or pour tout x ∈ [ 0 ;  ] , sin x ≥ 0 donc le signe de g' est celui de – x d'où g'(x) ≤ 0 et g décroissante sur [ 0 ;  ].
Tableau de variations à faire
g(0) = 0 or g est décroissante sur [ 0 ;  ] donc pour tout x ∈ [ 0 ;  ] , g(x) ≤ g(0) c a d g(x) ≤ 0
2) Pour tout x ∈ ] 0 ;  ] , f est le quotient de deux fonctions dérivables avec le dénominateur ≠ 0 donc f est dérivable sur
] 0 ;  ] et on a : f '(x) =
x cos x – sin x
g x 
=
. Le signe de f ' est donc celui de g d'où d'après la première question,
2
2
x
x
f ' est négative et f est décroissante sur ] 0 ;  ] .
3) a) La fonction  est la somme de fonctions dérivables sur ℝ+ donc  est dérivable sur ℝ+ et on a :
2
 ' x=cosx – 1
x
2
 ' est la somme de fonctions dérivables sur ℝ+ donc  ' est dérivable sur ℝ+ et on a :  ' 'x =– sinx x
De même,  ' ' ' est dérivable sur ℝ+ et on a :  ' ' 'x= – cox1
Pour tout x ∈ ℝ+ , –1≤ cos x ≤ 1 d'où 0 ≤ – cos x + 1 ≤ 2 d'où  '' 'x ≥ 0 et  ' ' croissante avec  ' '0=0 d'où
 ' ' est positive sur ℝ+ et  ' est croissante sur ℝ+ avec  ' 0 =0 d'où
 ' est positive sur ℝ+ et  est croissante
sur ℝ+ avec  0=0 d'où :
Pour tout x ∈ ℝ+ ,  x ≥ 0
Pour tout x ∈ ℝ+
3
sin x – x +
Pour tout x ∈ ℝ+ x – sin x ≤
x
≥0
6
3
x
6
On a vu que pour tout x ∈ ℝ+ ,  ' 'x ≥ 0 c'est à dire x – sin x ≥ 0
3
Conclusion: pour tout réel x ≥ 0 , 0 ≤ x – sin x ≤
b) Retour à la définition du nombre dérivé : Etudions : lim
x 0
x
6
f x  – f 0
x–0
sinx
–1
sinx – x
f  x – f 0 
x
=
=
.
2
x
x–0
x
D'après la question précédente, pour tout x ∈ ℝ+ , –
gendarmes donne alors la limite souhaitée: lim
x 0
f ' (0) = 0
3)
3
x
≤ sin x – x ≤ 0 d'où
6
x sinx – x
– ≤
≤ 0 . Le théorème des
2
6
x
f x  – f 0
= 0 d'où comme cette limite existe, f est dérivable en 0 et on a
x –0