Les nombres relatifs - Collège des Flandres

Le cours de M. Haguet
collège des flandres : http://www5.ac-lille.fr/~clgflandres/maths/mathsCOURS.html
Les nombres relatifs
I) Quelques rappels de cinquième
a) Soustraire un nombre relatif
Soustraire un nombre relatif c'est additionner son opposé.
A = (+5) – (-7)
A = (+5) + (+7)
A = +12
B = (+8) – (+2)
B = (+8) + (-2)
B=6
b) simplification des signes "+"
On peut supprimer la parenthèse se trouvant en début de calcul.
Dans un calcul avec des nombres relatifs, on peut supprimer les signes "+" des nombres positifs.
A = (+5) + (+4) + (+9) = +5 + (+4) + (+9)
A=5
+ 4 + 9
A = 18
B = (+3) + (+12) – (+7) = +3 + (+12) – (+7)
B = 3 + 12 − 7
B=8
II) Sommes algébriques
Une somme algébrique est une suite d'additions et de soustractions de nombres relatifs
a) Suppression des parenthèses dans une somme algébrique
• Additionner ou soustraire un nombre positif.
• Additionner ou soustraire un nombre négatif.
(+5) + (+7) = 5 + 7 = 12
(-6) + (+8) = -6 + 8 = 2
(+5) – (+7) = 5 – 7 = -2
(-3) – (+8) = -3 − 8 = -11
(+5) + (-7) = 5 − (+7) = 5 – 7 = -2
(-6) + (-8) = -6 − (+8) = -6 – 8 = -14
(+5) – (-7) = 5 + (+7) = 5 + 7 =12
(-3) – (-8) = -3 + (+8) = -3 + 8 = 5
• On retiendra la règle suivante :
… + (+…) = + …
… + (- …) = − …
… − ( - …) = + …
… − (+ …) = − …
c) Sommes algébriques sans parenthèse
A=5
A=5
A=5
+ 4
+ (+4)
+ (+4)
– 8 – 3 + 6
– (+8) – (+3) + (+6)
+ (-8) + (-3) + (+6)
B=3
B=3
B=3
− 4 + 7 – 10 + 2
− (+4) + (+7) – (+10) + (+2)
+ (- 4) + (+7) + (-10) + (+2)
Une somme algébrique sans parenthèse peut être considérée comme une succession d'additions de nombres relatifs à
condition de prendre comme signe des nombres relatifs le signe de l'opération située devant lui .
Cette propriété est très importante car elle permet d'effectuer les calculs dans n'importe quel ordre.
(car l'addition est commutative)
ex : Calculer
C = -6 + 5 – 9 + 7 –10
C = -6 – 10 – 9 +5 + 7
C = - 25 + 12
C = -13
C = - 6 + (+5) + (-9) + (+7) + (-10)
C = - 6 + (-10) + (-9) + (+5) + (+7)
D = 9 + 4 –12 – 14 – 8 – 9
D = 9 – 9 – 12 – 8 + 4 –14
D= 0
D = -30
− 20
− 10
III) Multiplications de nombres relatifs
Le produit de 2 nombres relatifs de même signe est positif.
Pour retenir :
(+ ) × (+ ) = (+ )
(- ) × (- ) = (+ )
(+ ) × (- ) = (- )
(- ) × (+ ) = (- )
Le produit de 2 nombres relatifs de même contraires est négatif.
ex : 6 × 7 = 42 -5 × (-3) = + 15 +5 × 3 = +15
1 × (-3) = -3 0 × (-8) = 0 -1 × (-5) = 5
ex : A = 3 × (-5) × (-2)
A = 3 × 10
A = 30
-8 × 3 = - 24
10 × (-100) = - 1000
-6 × 5 = -30
B = 4 × 2 × (-5) × (+5)
B = 4 × (-5) × 2 × (+5)
B = -20 × 10
B = - 200
Le produit d'un nombre pair de nombres négatifs est positif
Le produit d'un nombre impair de nombres négatifs est négatif
(- ) × (- ) × (- ) × (- ) × …… × (- ) × (- ) = (+ )
(- ) × (- ) × (- ) × (- ) × …… × (- ) × (- ) × (- ) = (-
(+ ) ×
(+ )
× …… ×
(+ ) ×
(+ )
(+ )
× …… ×
(+ )
IV) Quotient de nombres relatifs
La règle du quotient est la même que celle du produit.
Pour retenir :
(+ ) ÷ (+ ) = (+ )
(- ) ÷ (- ) = (+ )
(+ ) ÷ (- ) = (- )
(- ) ÷ (+ ) = (- )
ex1 :
(+10) ÷ (+2) = +5
(-10) ÷ (-2) = +5
10
= +5
2
5
−5
5
=−
remarque :
=
−6
6
6
−10
= +5
−2
(+10) ÷ (-2) = -5
(-10) ÷ (+2) = -5
10
= -5
−2
a
−a
a
=
=−
−b
b
b
−10
= -5
2
Cette relation est très importante car elle permet de faciliter certains calculs avec des fractions.
V) Calculs et règles de priorités
Dans une expression à calculer, on effectue les opérations en respectant les priorités suivantes :
1- Calculs dans les parenthèses en commençant par les plus à l'intérieure.
2- Multiplications et divisions.
3- Additions (et soustractions)
ex : A = -12 + 5 × 3 – (11 – 20)
A = -12 + 5 × 3 – (-9)
A = -12 + 5 × 3 + 9
A = -12 + 15 + 9
A = -12 + 24
A = 12
B = [4 × (-5 – 3)] + 20 ÷ (-5) + 10
B =[4 × (-8)] + 20 ÷ (-5) + 10
B = -32 + 20 ÷ (-5) + 10
B = -32 + (-4 ) + 10
B = -32 – 4 + 10
B = -26
C=
C=
C=
C=
C=
C=
−11
3
−
−12
−4
3
11
−
12
−4
−9
11
−
12
12
−9− 11
12
−20
12
−5
4
× (- )
)