Primitives EXOS CORRIGES

Cours et exercices de mathématiques
M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr
PRIMITIVES
EXERCICES CORRIGES
Exercice n°1.
Dérivée et primitives
1) Calculez la dérivée de la fonction f définie par f ( x ) = 3 x 3 − 9 x + 1 .
2) Déduisez-en deux primitives de la fonction g définie par g ( x) = 9 x 2 − 9
3) Déterminer le sens de variation de f sur \
Exercice n°2 à 11 – Primitives sans fonction logarithme
Déterminer une primitive de f sur un intervalle contenu dans son ensemble de définition
Exercice n°2. Usage des tableaux de primitives usuelles
1) f ( x) = 2 x + 1
5) f ( x) =
3) f ( x) = ( x − 1)( x + 3)
2) f ( x) = 10 x 4 + 6 x3 − 1
−4
3x5
6) f ( x) = x +
1
x
4) f ( x) =
1
− x2
2
x
7) f ( x) = sin x − 2 cos x
Exercice n°3. Primitive et constante
Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par f ( x) = 3 x − 1 +
2
.
x2
Déterminer la primitive F de f sur ]0; +∞[ qui s'annule pour x=1.
Exercice n°4.
Trouver la primitive F de f sur I vérifiant la condition donnée
1) f ( x) = 1 − x + x 2 − x 3
I= \
F(1)=0
2)
f ( x) = x +
1
1
−
2
x
x
I= ]0; +∞[
F(1)=1
Exercices n°5 à n°8 : Déterminer une primitive des fonctions données
Exercice n°5. Forme u ′u n
1) f ( x) = 3 ( 3 x + 1)
1  1
5) f ( x) = 2 1 + 
x  x
Exercice n°6. Forme
1) f ( x) =
5) f ( x) =
9) f ( x) =
4
(1 + 4 x )
2
2
( 4 − 3x )
2
2) f ( x) = 16 ( 4 x − 1)
4
4
3) f ( x) = ( 2 x + 7 )
3
(
6
4) f ( x) = ( 6 x − 2 ) 3 x 2 − 2 x + 3
6) f ( x) = sin x cos x
u′
u2
2) f ( x) =
6) f ( x) =
6
( 2 x + 1)
(x
3) f ( x) =
2
2x +1
2
+ x + 1)
2
7) f ( x) =
1
( 4 x + 3)
(x
4 x − 10
2
− 5x + 6)
sin x
cos 2 x
Exercice n°7.
Soit la fonction f définie par f(x) =
3x + 4
.
( x + 1)3
1) Déterminer les réels a et b tels que, pour tout x ≠ −1 , f(x) =
2) En déduire une primitive F de f sur ]−1; +∞[ .
a
b
.
+
2
( x + 1) ( x + 1)3
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4) f ( x) =
2
2
8) f ( x) =
−1
(2 − x)
cos x
sin 2 x
2
)
5
Cours et exercices de mathématiques
u′
Exercice n°8. Forme
u
3
1) f ( x) =
3x + 2
2x +1
4) f ( x) =
x2 + x + 1
2) f ( x) =
5) f ( x) =
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1
2 − 5x
x
1
2x − 3
cos x
6) f ( x) =
2 + sin x
3) f ( x) =
x2 −1
Exercice n°9.
Soit g la fonction définie sur ]0; +∞[ par g ( x) = x x .
1) Calculez la dérivée de g sur ]0; +∞[
2) soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par f ( x) =
x.
Déduisez de la première question une primitive de f sur ]0; +∞[
Exercice n°10.
La courbe (C) donnée ci-dessous est la représentation graphique dans un
repère orthonormal d’une fonction f définie et dérivable sur \ .
1) Pour chacune des affirmations ci-dessous indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier votre réponse :
a. Toute primitive de f s’annule pour 0,5.
b. Toute primitive de f est décroissante sur [0 ; 0,5].
2. Parmi les courbes (C1) et (C2) données ci-dessous, l’une est la représentation graphique d’une primitive de f sur \ .
Indiquer laquelle en précisant les raisons de votre choix.
Courbe 1
Courbe 2
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Exercice n°11 à 16 – Primitives utilisant les fonctions logarithmes et exponentielles
Exercice n°11.
Déterminez une primitive de la fonction f proposée sur l'intervalle I donné :
1)
3)
5)
7)
9)
x2 + x + 1
2) f ( x) =
sur I= ]0; +∞[
x
3
4

4) f ( x) =
sur I=  ; +∞ 
3x − 4
3

1
6) f ( x) =
sur I= ]−∞; −1[
x +1
1
8) f ( x) =
sur [ 2; +∞[
3x − 5
x
10) f ( x) = 2
sur ]−1;1[
x −1
1
f ( x) = x − 5 x + sur I= ]0; +∞[
x
7 5
1
f ( x) = +
+ 2 I= ]0; +∞[
x
x x
1
f ( x) =
sur I= ]−1; +∞[
x +1
2x
f ( x) = 2
sur ]2; +∞[
x −4
x +1
f ( x) = 2
sur \
x + 2x + 2
2
Exercice n°12.
2 x 2 − 3x − 4
x−2
c
1) Trouver trois réels a,b, et c tels que f ( x) = ax + b +
x−2
2) En déduire une primitive de f sur [ 4; +∞[
On considère la fonction définie sur I= [ 4; +∞[ par f ( x) =
Exercice n°13.
Déterminez une primitive de la fonction f proposée sur l'intervalle I donné :
cos x
 π
sur I=  0; 
sin x
 2
1
3) f ( x) =
sur ]1; +∞[
x ln x
ln x
sur I= [1; +∞[
x
π 
4) f ( x) = tan x sur  ; π 
2 
1) f ( x) =
2) f ( x) =
Exercice n°14.
Déterminez une primitive sur \ de la fonction f donnée :
1
2) f ( x) = e − x
3) f ( x) = e 2 x +3
1) f ( x) = e x
4
4) f ( x) = xe x
2
ex
5) f ( x) = x
e +1
Exercice n°15.
Soit f la fonction définie sur \ par f ( x) = ( x + 2 ) e x
Déterminez les nombres a et b tels que la fonction F, définie sur \ , par F ( x) = ( ax + b ) e x soit une primitive de f.
Exercice n°16.
3
e +1
3e x
1) Vérifiez que pour tout x de \ , on a f ( x) = x
e +1
Soit f la fonction définie sur \ par f ( x) =
−x
2) Déduisez en la primitive F de f qui s'annule pour x=0
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PRIMITIVES - CORRECTION
Exercice n°1
1) f est dérivable sur \ et pour tout x ∈ \ , f ′( x ) = 3 × 3 x 2 − 9 × 1 = 9 x 2 − 9 .
2) Si on note g la fonction définie par g ( x) = 9 x 2 − 9 , alors grâce à la question 1), on dispose d’une primitive de g en la
personne de la fonction f . Un autre primitive de g serait la fonction h définie sur \ par h( x ) = f ( x ) + k , où k est une
constante réelle quelconque. Ainsi f ( x ) = 3 x 3 − 9 x + 1 + 50 = 3 x 3 − 9 x + 51 est une autre primitive de g
(
)
3) Puisque g ( x) = 9 x 2 − 9 = 9 x 2 − 1 = 9 ( x − 1)( x + 1) , on peut établir le signe de g ( x) , donc le sens de variation de
f : Pour x ∈ ]−∞; −1[ ∪ ]1; +∞[ , g ( x) > 0 et pour x ∈ ]−1;1[ , g ( x) < 0 , donc f est strictement croissante sur ]−∞; −1[ ,
strictement décroissante sur ]−1;1[ , et strictement croissante sur ]1; +∞[ .
Exercice n°2
1) La fonction f définie par f ( x) = 2 x + 1 est continue sur \ en tant que fonction affine, donc il existe une primitive
x2
+ 1× x = x 2 + x
définie sur \ par F ( x ) = 2 ×
2
2) La fonction f définie par f ( x) = 10 x 4 + 6 x3 − 1 est continue sur \ en tant que fonction polynôme, donc il existe une
3x 4
x5
x4
5
+ 6 × − 1× x = 2 x +
−x
primitive définie sur \ par F ( x ) = 10 ×
5
4
2
3) La fonction f définie par f ( x) = ( x − 1)( x + 3) = x 2 + 3 x − x − 3 = x 2 + 2 x − 3 est continue sur \ en tant que
fonction polynôme, donc il existe une primitive définie sur \ par F ( x ) =
x3
x2
x3
+ 2 × − 3 × x = + x 2 − 3x
3
2
3
1
− x 2 est continue sur ]0; +∞[ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc il
x2
1 x3
existe une primitive définie sur ]0; +∞[ par F ( x ) = − −
x 3
−4
4 −5
5) La fonction f définie par f ( x) = 5 = − x est continue sur ]0; +∞[ en tant que somme de fonctions qui le sont,
3x
3
4 x −5+1
4 x −5+1 x −4
1
=− ×
=
= 4
donc il existe une primitive définie sur ]0; +∞[ par F ( x ) = − ×
3 −5 + 1
3 −4
3
3x
1
est continue sur ]0; +∞[ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc il
6) La fonction f définie par f ( x) = x +
x
x2
+2 x
existe une primitive définie sur ]0; +∞[ par F ( x ) =
2
7) La fonction f définie par f ( x) = sin x − 2 cos x est continue sur \ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc il
existe une primitive définie sur \ par F ( x) = − cos x − 2sin x
4) La fonction f définie par f ( x) =
Exercice n°3
f est continue sur ]0; +∞[ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc admet des primitives sur ]0; +∞[ définies par
F ( x) =
3x 2
2
− x − + k, k ∈ \ .
2
x
On cherche k pour que F (1) = 0 ⇔
3
2
3
−1− + k = 0 ⇔ k =
2
1
2
La primitive F de f sur ]0; +∞[ qui s'annule pour x=1 est donc F ( x) =
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3x 2
2 3
−x− +
2
x 2
Cours et exercices de mathématiques
Exercice n°4
1) f est continue sur \ en tant que fonction polynôme
2
3
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donc admet des primitives définies sur \ par
4
1 1 1
7
F (1) = 0 ⇔ 1 − + − + k = 0 ⇔ + k = 0
2 3 4
12
2
3
4
7
7
x
x x
⇔ k = − . La primitive F de f sur \ qui vérifie F(1)=0 est donc F ( x) = x − + − −
12
2 3 4 12
2) f est continue sur ]0; +∞[ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc admet des primitives définies sur ]0; +∞[
F ( x) = x −
x
x x
+ − + k , k ∈ \ . On cherche k pour que
2 3 4
x2 1
1 1
5
− − 2 x + k , k ∈ \ . On cherche k pour que F (1) = 1 ⇔ − − 2 1 + k = 0 0 ⇔ − + k = 0
2 x
2 1
2
2
5
5
x 1
⇔ k = . La primitive F de f sur ]0; +∞[ qui vérifie F(1)=1 est donc F ( x) = − − 2 x +
2
2 x
2
par F ( x) =
Exercice n°5
1) f ( x) = 3 ( 3 x + 1) . f est définie et continue sur \ en tant que produit de fonctions qui le sont, et f ( x ) = u ′( x) ( u ( x ) )
4
où u ( x) = 3 x + 1 ⇒ u ′( x) = 3 . Ainsi une primitive sur \ de f est définie par
( u ( x) )
F ( x) =
5
5
( 3x + 1)
=
4
5
5
2) f ( x) = 16 ( 4 x − 1) . f est définie sur \ en tant que produit de fonctions qui le sont, et pour tout x ∈ \ ,
3
f ( x) = 4 × 4 ( 4 x − 1) , donc de la forme f ( x) = 4u′( x) ( u ( x) ) , où u ( x) = 4 x − 1 ⇒ u′( x) = 4 . Ainsi une primitive sur
3
3
( u ( x) )
F ( x) = 4 ×
\ de f est définie par
4
4
= ( 4 x − 1)
4
3) f ( x) = ( 2 x + 7 ) . f est définie et continue sur \ en tant que puissance d’une fonction qui l’est, et pour tout x ∈ \ ,
6
1
1
6
6
f ( x) = × 2 × ( 2 x + 7 ) , donc de la forme f ( x) = u′( x) ( u ( x) ) , où u ( x) = 2 x + 7 ⇒ u′( x) = 2 . Ainsi une primitive
2
2
( 2x + 7 )
1 ( u ( x) )
=
sur \ de f est définie par F ( x) = ×
2
7
14
7
(
)
7
4) f ( x) = ( 6 x − 2 ) 3 x 2 − 2 x + 3 . f est définie et continue sur \ en tant que produit de fonctions qui le sont, et de la
5
forme f ( x) = u ′( x) ( u ( x) ) , où u ( x) = 3 x 2 − 2 x + 3 ⇒ u ′( x) = 6x − 2 . Ainsi une primitive sur \ de f est définie par
5
( u ( x) )
F ( x) =
6
6
( 3x
=
2
− 2 x + 3)
6
6
4
5) f ( x) =
1  1
1 +  . f est définie sur ]−∞;0[ ∪ ]0; +∞[ et continue sur chacun des intervalles ]−∞;0[ et ]0; +∞[ en
x2  x 
4
 1   1
tant que produit et puissance de fonctions qui le sont, et pour tout x ∈ ]0; +∞[ , f ( x) = −  − 2  ×  1 +  , donc de la
 x   x
(
forme f ( x) = −u ′ ( x ) × u ( x )
)
4
(u ( x ))
, donc F ( x) = −
5
1 1
= − 1 + 
5 x 
5
5
6) f ( x) = sin x cos x . f est définie et continue sur \ en tant que produit de fonctions qui le sont, et pour tout x ∈ \ ,
f ( x) = cos x sin x , donc de la forme f ( x) = u′( x)u ( x) , où u ( x) = sin x ⇒ u′( x) = cos x . Ainsi une primitive sur \
de f est définie par
( u ( x) )
F ( x) =
2
2
( sin x )
=
2
2
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Cours et exercices de mathématiques
Exercice n°6
 1
4
1) f ( x) =
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(1 + 4 x )

f est définie et continue sur  − ; +∞  en tant que quotient de fonctions qui le sont, le
 4

2
 1
 4


dénominateur ne s’annulant pas, et pour tout x ∈  − ; +∞  , f est de la forme f ( x) =
 1
 4
6


primitive sur  − ; +∞  définie par F ( x) = −
2) f ( x) =
 1
 2
, donc f admet une



 1
 2


f admet une primitive sur  − ; +∞  définie par F ( x) = −
3× 2
( 2 x + 1)
2
est de la forme f ( x) =
3 × u′ ( x )
(u ( x ))
2
, donc
3
3
=−
u ( x)
2x +1
 3
1
( 4 x + 3)
2
f est définie et continue sur  − ; +∞  en tant que quotient de fonctions qui le sont, le
 2

2
dénominateur ne s’annulant pas, et pour tout x ∈  − ; +∞  , f ( x) =
3) f ( x) =
(u ( x ))
1
1
=−
u ( x)
1 + 4x
 1
( 2 x + 1)
u′ ( x )

f est définie et continue sur  − ; +∞  en tant que quotient de fonctions qui le sont, le
 4

2
1
×4
1 u′ ( x )
 3

est de la forme f ( x) =
,
dénominateur ne s’annulant pas, et pour tout x ∈  − ; +∞  , f ( x) = 4
2
4 ( u ( x ) )2
 4

( 4 x + 3)
 3
 4


donc f admet une primitive sur  − ; +∞  définie par F ( x) = −
4) f ( x) =
−1
(2 − x)
f est définie et continue sur ]2; +∞[ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne
2
s’annulant pas, et pour tout x ∈ ]2; +∞[ , f ( x) =
sur ]2; +∞[ définie par F ( x) = −
5) f ( x) =
u′ ( x )
(u ( x ))
2
2
ou u ( x ) = 2 − x ⇒ u ′ ( x ) = −1 donc f admet une primitive
1
1
=−
u ( x)
2− x
4
2
( 4 − 3x )
1 1
1
=−
4 u ( x)
4 ( 4 x + 3)

f est définie et continue sur  ; +∞  en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur
3

 2
 −  × ( −3 )
2 u′ ( x )
3
4

ne s’annulant pas, et pour tout x ∈  ; +∞  , f ( x) = 
est de la forme f ( x) = −
, donc f admet
2
3 ( u ( x ) )2
3

( 4 − 3x )
4

2 1
2
=
une primitive sur  ; +∞  définie par F ( x) =
3 u ( x ) 3 ( 4 − 3x )
3

6) f ( x) =
(x
2x +1
2
+ x + 1)
2
f est définie et continue sur \ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne
s’annulant pas (le discriminant du trinôme x 2 + x + 1 est strictement négatif), et pour tout x ∈ \ , f est de la forme
f ( x) =
u′ ( x )
(u ( x ))
F ( x) = −
2
, où u ( x ) = x 2 + x + 1 ⇒ u ′ ( x ) = 2 x + 1 donc f admet une primitive sur
1
1
=− 2
u ( x)
x + x +1
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\
définie par
Cours et exercices de mathématiques
7) f ( x) =
(x
4 x − 10
2
− 5x + 6)
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f est définie et continue sur \ \ {2;3} en tant que quotient de fonctions qui le sont, le
2
dénominateur ne s’annulant pas, et pour tout x ∈ \ \ {2;3} = ]−∞; 2[ ∪ ]2;3[ ∪ ]3; +∞[ , f ( x) =
la forme f ( x) =
2u ′ ( x )
(u ( x ))
2
2 ( 2 x − 5)
(x
2
− 5x + 6)
, où u ( x ) = x 2 − 5 x + 6 ⇒ u ′ ( x ) = 2 x − 5 donc f admet une primitive sur
n’importe lequel des trois intervalles de son ensemble de définition), définie par F ( x) = −
2
donc de
]3; +∞[
(ou
2
2
=− 2
u ( x)
x − 5x + 6
cos x
f est définie et continue sur \ \ {kπ , k ∈ ]} en tant que quotient de fonctions qui le sont, le
sin 2 x
dénominateur ne s’annulant pas, et pour x appartenant à l’un des intervalles  kπ ; ( k + 1) π  , f étant de la forme
8) f ( x) =
f ( x) =
u′ ( x )
(u ( x ))
2
, où u ( x ) = sin x ⇒ u ′ ( x ) = cos x , elle admet une primitive sur chaque intervalle  kπ ; ( k + 1) π 
définie par F ( x) = −
1
1
=−
u ( x)
sin x
sin x
 π

f est définie et continue sur \ \  k , k ∈ ]  en tant que quotient de fonctions qui le sont, le
2
cos x
 2

π
 π
dénominateur ne s’annulant pas, et pour x appartenant à l’un des intervalles  k ; ( k + 1)  , f étant de la forme
2
 2
−u ′ ( x )
π
 π
f ( x) =
, où u ( x ) = cos x ⇒ u ′ ( x ) = − sin x , elle admet une primitive sur chaque intervalle  k ; ( k + 1) 
2
2
 2
(u ( x ))
9) f ( x) =
définie par F ( x) =
1
1
=
u ( x ) cos x
Exercice n°7
a ( x + 1) + b ax + a + b
a
b
a
b
. Ainsi
+
= f ( x) si et seulement
+
=
=
2
3
3
3
2
( x + 1) ( x + 1)3
( x + 1) ( x + 1)
( x + 1)
( x + 1)
3
1
a = 3
+
si pour tout x ≠ −1 , ax + a + b = 3 x + 4 ⇔ 
Ainsi, pour tout x ≠ −1 , f ( x) =
2
( x + 1) ( x + 1)3
a + b = 4 ⇔ b = 1
1) Pour tout x ≠ −1 ,
2) f est continue sur l’intervalle ]−1; +∞[ en tant que somme de deux fonctions qui le sont, donc elle admet des primitives
F sur ]−1; +∞[ . Puisque la fonction x →
3u ′ ( x )
3
x
est
de
la
forme
→
, où u ( x ) = x + 1 ⇒ u ′ ( x ) = 1 , une de
2
( x + 1) 2
(u ( x ))
ses primitives sur ]−1; +∞[ est la fonction x → −
(
forme x → u ′ ( x ) u ( x )
x→
u ( x)
)
−3
1
3
3
. Puisque la fonction x →
= ( x + 1) −3 est de la
=−
3
( x + 1)
u ( x)
x +1
, où u ( x ) = x + 1 ⇒ u ′ ( x ) = 1 , une de ses primitives sur
−3+1
]−1; +∞[
est la fonction
1
1
1
−2
= − u ( x) = −
=−
. On déduit donc qu’une primitive de f sur ]−1; +∞[ est la
2
2
2
−3 + 1
2u ( x )
2 ( x + 1)
fonction F définie sur ]−1; +∞[ par F ( x ) = −
3
1
−
x + 1 2 ( x + 1)2
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Cours et exercices de mathématiques
Exercice n°8
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3
 2

f est définie et continue sur  − ; +∞  en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur
3x + 2
 3

u′ ( x )
 2

ne s’annulant pas, et pour x ∈  − ; +∞  , f étant de la forme f ( x) =
, où u ( x ) = 3 x + 2 ⇒ u ′ ( x ) = 3 , elle
 3

u ( x)
1) f ( x) =
 2
 3


admet une primitive sur  − ; +∞  définie par F ( x) = 2 u ( x ) = 2 3 x + 2
2
1

f est définie et continue sur  −∞;  en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur
5
2 − 5x

2
1
−5
1 u′ ( x )

ne s’annulant pas, et pour x ∈  −∞;  , f ( x) = − ×
. f étant de la forme f ( x) = −
, où
5
5
5 u ( x)
2 − 5x

2) f ( x) =
1
2
2

2 − 5x
u ( x ) = 2 − 5 x ⇒ u ′ ( x ) = −5 , elle admet une primitive sur  −∞;  définie par F ( x) = − × 2 u ( x ) = −
5
5
5

1
3

f est définie et continue sur  ; +∞  en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur
3) f ( x) =
2x − 3
2

1
2
1 u′ ( x )
3

ne s’annulant pas, et pour x ∈  ; +∞  , f ( x) =
. f étant de la forme f ( x) =
, où
2 2x − 3
2 u ( x)
2

1
3

u ( x ) = 2 x − 3 ⇒ u ′ ( x ) = 2 , elle admet une primitive sur  ; +∞  définie par F ( x) = × 2 u ( x ) = 2 x − 3
2
2

2x +1
4) f ( x) =
f est définie et continue sur \ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne
x2 + x + 1
s’annulant pas (le discriminant du trinôme x 2 + x + 1 est strictement négatif), et pour x ∈ \ , f étant de la forme
u′ ( x )
f ( x) =
, où u ( x ) = x 2 + x + 1 ⇒ u ′ ( x ) = 2 x + 1 , elle admet une primitive sur \ définie par
u ( x)
F ( x) = 2 u ( x ) = 2 x 2 + x + 1
5) f ( x) =
x
x2 −1
f est définie et continue sur chacune des intervalles ]−∞; −1[ et ]1; +∞[ en tant que quotient de
fonctions qui le sont, le dénominateur ne s’annulant pas, et pour x ∈ ]−∞; −1[ ∪ ]1; +∞[ , f ( x) =
forme f ( x) =
1
2
2x
x2 −1
. f étant de la
1 u′ ( x )
, où u ( x ) = x 2 − 1 ⇒ u ′ ( x ) = 2 x , elle admet une primitive sur chacun des intervalles ]−∞; −1[
2 u ( x)
et ]1; +∞[ définie par F ( x) =
1
× 2 u ( x ) = x2 −1
2
cos x
f est définie et continue sur \ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne
2 + sin x
u′ ( x )
s’annulant pas, et pour x ∈ \ , f étant de la forme f ( x) =
, où u ( x ) = 2 + sin x ⇒ u ′ ( x ) = cos x , elle admet une
u ( x)
6) f ( x) =
primitive sur \ définie par F ( x) = 2 u ( x ) = 2 2 + sin x
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Exercice n°9
1) g est dérivable sur ]0; +∞[ en tant que produit de fonctions qui le sont, et pour tout x ∈ ]0; +∞[ ,
1
x
1
3
x=
x
2
2
2 x
2 x
3
2
2) Puisque g ′( x) = f ( x ) , on déduit que f ( x ) = g ′( x) . Une primitive sur ]0; +∞[ de f est donc la fonction définie
2
3
2
2
par F ( x ) = g ( x) = x x
3
3
g ′( x) = 1× x + x ×
= x+
= x+
Exercice n°10
1) a) FAUX. f ( 0,5 ) = 0 , mais cela n’influe par sur le signe de ses primitives
b) VRAI. Puisque f est négative sur [0 ;0,5] et positive sur [ 0,5; +∞[ , toute primitive de f est décroissante sur [0 ;0,5] et
croissante sur [ 0,5; +∞[
2) C’est la courbe 2 qui correspond à la représentation graphique de toute primitive de f .
Exercice n°11
1
. f est continue sur ]0; +∞[ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc admet des
x
x3
x2
x3 5 x 2
− 5 + ln ( x ) = −
+ ln ( x ) puisque x ∈ ]0; +∞[
primitives sur ]0; +∞[ , et pour tout x ∈ ]0; +∞[ , F ( x) =
3
2
3
2
x2 + x + 1
. f est continue sur ]0; +∞[ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne
2) f ( x) =
x
x2 + x + 1
1
s’annulant pas, donc admet des primitives sur ]0; +∞[ , et pour tout x ∈ ]0; +∞[ , puisque f ( x) =
= x +1+ ,
x
x
2
2
x
x
F ( x) = + x + ln ( x ) = + x + ln ( x ) puisque x ∈ ]0; +∞[
2
2
7 5
1
+ 2 . f est continue sur ]0; +∞[ en tant que quotient de fonctions qui le sont, donc admet des
3) f ( x) = +
x
x x
1
1
primitives sur ]0; +∞[ , et pour tout x ∈ ]0; +∞[ , F ( x) = 7 ln ( x ) + 5 × 2 x − = 7 ln ( x ) + 10 x − ,car x ∈ ]0; +∞[
x
x
4
3


. f est continue sur  ; +∞  en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne
4) f ( x) =
3x − 4
3

u′ ( x )
3
4

f ( x) =
s’annulant pas, donc admet des primitives sur  ; +∞  , et puisque
=
où
3x − 4 u ( x )
3

1) f ( x) = x 2 − 5 x +
(
)
4

u ( x ) = 3 x − 4 ⇒ u ′ ( x ) = 3 , F ( x) = ln u ( x ) = ln ( 3 x − 4 ) = ln ( 3x − 4 ) car x ∈  ; +∞ 
3

1
5) f ( x) =
. f est continue sur ]−1; +∞[ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne
x +1
u′ ( x )
1
s’annulant pas, donc admet des primitives sur ]−1; +∞[ , et puisque f ( x) =
=
où u ( x ) = x + 1 ⇒ u ′ ( x ) = 1 ,
x +1 u ( x)
(
)
F ( x) = ln u ( x ) = ln ( x + 1 ) = ln ( x + 1) car x ∈ ]−1; +∞[
(
)
(
)
6) Si x ∈ ]−∞; −1[ , F ( x) = ln x + 1 = ln − ( x + 1) = ln(− x − 1)
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2x
7) f ( x) = 2
. f est continue sur ]2; +∞[ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne
x −4
u′ ( x )
2x
s’annulant pas, donc admet des primitives sur ]2; +∞[ , et puisque f ( x) = 2
=
x − 4 u ( x)
(
)
(
)
(
)
2
2
où u ( x ) = x 2 − 4 ⇒ u ′ ( x ) = 2 x , F ( x) = ln u ( x ) = ln x − 4 = ln x − 4 car x ∈ ]2; +∞[
1
sur [ 2; +∞[ . f est continue sur [ 2; +∞[ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur
3x − 5
s’annulant pas, donc admet des primitives sur [ 2; +∞[ , et pour tout x ∈ [ 2; +∞[ , puisque
8) f ( x) =
ne
1
1
1
3
1 u′ ( x )
f ( x) = ×
= ×
, ou u ( x ) = 3 x − 5 ⇒ u ′ ( x ) = 3 , F ( x) = ln ( 3 x − 5 ) = ln ( 3 x − 5 ) car x ∈ [ 2; +∞[
3
3
3 3x − 5 3 u ( x )
x +1
sur \ . f est continue sur \ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne
x + 2x + 2
s’annulant pas, (le discriminant du trinôme x 2 + 2 x + 2 est strictement négatif) donc admet des primitives sur \ , et pour
x +1
1 u′ ( x )
f ( x) = 2
= ×
x∈\,
puisque
,
ou
u ( x ) = x 2 + 2 x + 2 ⇒ u′ ( x ) = 2 x + 2 ,
tout
x + 2x + 2 2 u ( x)
9) f ( x) =
2
(
(
)
)
1
1
1
ln u ( x ) = ln x 2 + 2 x + 2 = ln ( x 2 + 2 x + 2 ) , puisque x ∈ \ ⇒ x 2 + 2 x + 2 > 0
2
2
2
x
10) f ( x) = 2
sur ]−1;1[ . f est continue sur ]−1;1[ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur
x −1
ne s’annulant pas, donc admet des primitives sur ]−1;1[ , et pour tout x ∈ ]−1;1[ , puisque
F ( x) =
f ( x) =
x
x −1
2
=
1 2x
2 x −1
2
=
1 u′ ( x )
2 u ( x)
, où u ( x ) = x 2 − 1 ⇒ u ′ ( x ) = 2 x , F ( x ) =
1
2
ln ( u ( x ) ) =
1
2
(
)
ln x 2 − 1 =
1
2
(
ln 1 − x 2
)
puisque x ∈ ]−1;1[ ⇒ 1 − x 2 < 0
Exercice n°12
ax + b )( x − 2 ) + c ax 2 + ( b − 2a ) x − 2b + c
(
c
=
=
1) Pour tout x ∈ [ 4; +∞[ , ax + b +
x−2
x−2
x−2
a = 2
a = 2
−2
c


Ainsi ax + b +
= f ( x ) ⇔ b − 2a = −3 ⇔ b = −3 + 4 = 1 . Pour tout x ∈ [ 4; +∞[ , f ( x ) = 2 x + 1 +
x−2
x−2
−2b + c = −4
 c = − 4 + 2 = −2


2) f est définie et continue sur [ 4; +∞[ en tant que somme et quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne
[ 4; +∞[
s’annulant pas, donc admet des primitives sur
l’expression d’une primitive F de f sur
[ 4; +∞[ :
−2
, on déduit
x−2
F ( x ) = x 2 + x − 2 ln ( x − 2 ) = x 2 + x − 2 ln ( x − 2 ) car
A partir de l’écriture f ( x ) = 2 x + 1 +
x ∈ [ 4; +∞[ ⇒ x − 2 > 0
Exercice n°13
 π
 0; 2  en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne
cos x u′ ( x )
 π
 π
s’annulant pas, donc admet des primitives sur  0;  , et pour tout x ∈  0;  , puisque f ( x) =
=
, ou
sin x u ( x )
 2
 2
1) f ( x) =
cos x
. f est définie et continue sur
sin x
 π
u ( x ) = sin x ⇒ u ′ ( x ) = cos x , F ( x) = ln u ( x ) = ln ( sin x ) = ln ( sin x ) , puisque x ∈  0;  ⇒ sin x > 0 .
 2
(
)
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ln x
2) f ( x) =
. f est définie et continue sur [1; +∞[ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne
x
x ∈ [1; +∞[ , puisque
s’annulant pas, donc admet des primitives sur [1; +∞[ , et pour tout
( u ( x ) ) = ( ln ( x ) )
1
1
f ( x) = × ln x = u′ ( x ) × u ( x ) , ou u ( x ) = ln x ⇒ u′ ( x ) = , F ( x) =
2
2
x
x
1
3) f ( x) =
. f définie est continue sur ]1; +∞[ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne
x ln x
1/ x u′ ( x )
s’annulant pas, donc admet des primitives sur ]1; +∞[ , et pour tout x ∈ ]1; +∞[ , puisque f ( x) =
=
, ou
ln x u ( x )
2
(
)
(
2
)
1
, F ( x) = ln u ( x ) = ln ln ( x ) = ln ( ln ( x ) ) car x ∈ ]1; +∞[ ⇒ ln x > 0
x
π 
4) f ( x) = tan x . f définie est continue sur  ; π  en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne
2 
sin x −u′ ( x )
π 
π 
=
s’annulant pas, donc admet des primitives sur  ; π  , et pour tout x ∈  ; π  , puisque f ( x) =
, ou
cos x
u ( x)
2 
2 
u ( x ) = ln x ⇒ u′ ( x ) =
π 
; π ⇒ cos x < 0 .
 2 
u ( x ) = cos x ⇒ u ′ ( x ) = − sin x , F ( x ) = − ln ( u ( x ) ) = − ln ( cos x ) = − ln ( − cos x ) , puisque x ∈ 
Exercice n°14
1 x
e . f est définie et continue sur \ en tant que produit de fonctions qui le sont, donc admet des primitives
4
1 x
sur \ , et pour tout F ( x) = e .
4
−x
2) f ( x) = e . f est définie et continue sur \ en tant que produit de fonctions qui le sont, donc admet des primitives
1) f ( x) =
(
)
sur \ , et puisque pour tout x ∈ \ , f ( x) = − −e − x = −u ′ ( x ) e
u( x)
u( x)
= e− x .
ou u ( x ) = − x ⇒ u ′ ( x ) = −1 , F ( x) = e
3) f ( x) = e 2 x +3 . f est définie et continue sur \ en tant que produit de fonctions qui le sont, donc admet des primitives
sur
\ , et puisque pour tout
F ( x) =
x∈\,
1
1
u x
f ( x) = × 2e 2 x +3 = u′ ( x ) e ( )
2
2
ou
u ( x ) = 2 x + 3 ⇒ u′ ( x ) = 2 ,
1 u ( x ) 1 2 x +3
e = e .
2
2
2
4) f ( x) = xe x . f est définie et continue sur \ en tant que produit de fonctions qui le sont, donc admet des primitives
sur
\,
et
puisque
pour
tout
x∈\,
2
1
1
u x
f ( x) = × 2 xe x = u ′ ( x ) e ( )
2
2
ou
u ( x ) = x 2 ⇒ u′ ( x ) = 2 x ,
2
1 u( x)
e = ex .
2
ex
5) f ( x) = x
. f est définie et continue sur \ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne
e +1
s’annulant pas (car x ∈ \ ⇒ e x + 1 > 0 donc ≠ 0 ) donc admet des primitives sur \ , et puisque pour tout x ∈ \ ,
u′ ( x )
x
x
f ( x) =
ou u ( x ) = e x ⇒ u ′ ( x ) = e x , F ( x) = ln ( u ( x) ) = ln e + 1 = ln ( e + 1) car x ∈ \ ⇒ e x + 1 > 0
u ( x)
F ( x) =
(
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)
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Exercice n°15
La fonction F, définie sur \ , par F ( x) = ( ax + b ) e x est dérivable sur \ en tant que produit de fonction qui le sont, et
pour tout x ∈ \ , F ′( x) = ae x + ( ax + b ) e x = ( ax + a + b ) e x
a = 1
a + b = 2
F sera une primitive de f si et seulement si pour tout x ∈ \ , F ′( x) = f ( x ) ⇔ 
x
Une primitive de f sur \ est donc F ( x) = ( x + 1) e
Exercice n°16
1) Pour tout x ∈ \ , f ( x) =
3
3× ex
3e x
3e x
=
=
=
e − x + 1 ( e − x + 1) × e x e− x × e x + 1× e x 1 + e x
2) . f est définie et continue sur \ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne s’annulant pas (car
u′ ( x )
3e x
x ∈ \ ⇒ 1 + e > 0 donc ≠ 0 ) donc admet des primitives sur \ , et en utilisant l’écriture f ( x) = x
=3
ou
e +1
u ( x)
x
(
)
(
)
u ( x ) = e x + 1 , on obtient F ( x) = 3ln u ( x ) + k = 3ln e x + 1 + k = 3ln ( e x + 1) + k car e x + 1 > 0 sur \
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