Ensembles. Fonctions. Cardinaux

Université Lens
MIAS 1
ère
Année 2003-2004
◦
feuille n 1
année
Ensembles. Fonctions. Cardinaux
Exercice 1
Montrer par contraposition les assertions suivantes,
1.
∀A, B ∈ P(E) (A ∩ B = A ∪ B) ⇒ A = B ,
2.
∀A, B, C ∈ P(E) (A ∩ B = A ∩ C
Exercice 2
Soit
Exercice 3
Soient
A, B
{(A ∪ B) = {A ∩ {B
deux ensembles, montrer
étant des parties d'un ensemble
{A ∪ {B = {(A ∩ B)
Exercice 5
E,
et
{(A ∩ B) = {A ∪ {B .
Démontrer que :
démontrer les lois de Morgan :
{A ∩ {B = {(A ∪ B).
et
Démontrer les relations suivantes :
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Exercice 6
étant un ensemble :
A ∪ B = A ∪ C) ⇒ B = C .
et
E et F deux ensembles, f : E → F .
∀A, B ∈ P(E) (A ⊂ B) ⇒ (f (A) ⊂ f (B)),
∀A, B ∈ P(E) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B),
∀A, B ∈ P(E) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B),
∀A, B ∈ P(F ) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B),
∀A ∈ P(F ) f −1 (F \ A) = E \ f −1 (A).
Exercice 4 A et B
E
Montrer que si
F
et
G
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
et
sont des sous-ensembles de
(F ⊂ G ⇐⇒ F ∪ G = G)
E
:
et
(F ⊂ G ⇐⇒ {F ∪ G = E).
et
(F ⊂ G ⇐⇒ F ∩ {G = ∅).
En déduire que :
(F ⊂ G ⇐⇒ F ∩ G = F )
Exercice 7
Soit un ensemble
(A ∪ B) \ (A ∩ B).
E
et deux parties
A et B
de
E . On désigne par A4B
l'ensemble
Dans les questions ci-après il pourra être commode d'utiliser la notion de
fonction caractéristique.
1. Démontrer que
A4B = (A \ B) ∪ (B \ A).
2. Démontrer que pour toutes les parties
A, B , C
3. Démontrer qu'il existe une unique partie
X
de
de
E
E
on a
(A 4 B) 4 C = A4(B4C).
telle que pour toute partie
A
de
E,
A4X = X4A = A.
4. Démontrer que pour toute partie
0
0
que A4A = A 4A = X .
Exercice 8
Soient
A ∩ B = A ∩ C.
E
un ensemble et
Montrer que
A
de
E,
A, B, C
il existe une partie
trois parties de
B = C.
1
E
A0
de
E
telles que
et une seule telle
A∪B = A∪C
et
Exercice 9
Montrer que
E un ensemble et A, B, C trois parties de E .
(A ∪ B) ∩ (B ∪ C) ∩ (C ∪ A) = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ A).
Soient
Exercice 10
Est-il vrai que
Exercice 11
Montrer que
Exercice 12
Soient
1.
A ∪ X = B.
2.
A ∩ X = B.
Exercice 13
Soit
Exercice 14
Soient
Exercice 15
Soient
et
E
P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B) ?
F
Résoudre les équations à l'inconnue
des ensembles. Si
E, F, G
1.
2.
3.
4.
et
B⊂F
X⊂E
montrer que
Soit
des fonctions de
que les
Ai
N
A × B ⊂ E × F.
(E × G) ∪ (F × G) = (E ∪ F ) × G.
quatre ensembles. Comparer les ensembles
E l'ensemble
Ai = {f ∈ E/f (0) = i}. Montrer
Exercice 17
A⊂E
trois ensembles. Montrer que
E, F, G, H
(E ∩ G) × (F ∩ H).
Exercice 16
P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B) ?
A ∩ B = A ∩ C ⇔ A ∩ {B = A ∩ {C .
A, B ⊂ E .
et
Et
dans
{1, 2, 3}.
forment une partition de
Pour
(E × F ) ∩ (G × H)
i = 1, 2, 3
on pose
E.
Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?
(
N→N
f:
n 7→ n + 1
(
Z→Z
g:
n 7→ n + 1
(
R2 → R2
h:
(x, y) 7→ (x + y, x − y)
(
R − {1} → R
k:
x+1
x 7→ x−1
Exercice 18
On considère quatre ensembles
g : B → C , h : C → D.
A, B, C
et
D
et des applications
Montrer que :
g◦f
g◦f
injective
⇒f
injective,
surjective
⇒g
surjective.
Montrer que :
g◦f
Exercice 19
Soit
et
h◦g
f :X →Y.
−1
sont bijectives
⇔ f, g
Montrer que
1.
∀B ⊂ Y f (f
(B)) = B ∩ f (X).
2.
f
est surjective ssi
3.
f
est injective ssi
∀A ⊂ X f −1 (f (A)) = A.
4.
f
est bijective ssi
∀A ⊂ X f ({A) = {f (A).
∀B ⊂ Y f (f −1 (B)) = B .
2
et
h
sont bijectives
.
f : A → B,
Exercice 20
i.
ii.
iii.
f
h
Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes :
est injective.
∀A, B ⊂ X f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
∀A, B ⊂ X A ∩ B = ∅ V f (A) ∩ f (B) = ∅.
Exercice 21
et
f :X →Y.
Soit
Soient
f
g
h
A−
→B−
→C−
→ D.
Montrer que si
g◦f
et
h◦g
sont bijectives alors
f, g
le sont également.
Exercice 22
Montrer que
Φ:
Exercice 23
X un ensemble. Si A ⊂ X on note χA
P(X) → F(X, {0, 1})
est bijective.
A 7→ χA
Soit
(
la fonction caractéristique associée.
E un ensemble non vide. On se donne deux parties A et B de E et on
f : ℘(E) → ℘(E), X 7→ (A ∩ X) ∪ (B ∩ X c ). Discuter et résoudre l'équation
f (X) = ∅. En déduire une condition nécessaire pour que f soit bijective.
c
On suppose maintenant B = A . Exprimer f à l'aide de la diérence symétrique ∆. Montrer que
f est bijective, préciser f −1 . f est-elle involutive (i.e. f 2 = id) ? Quelle propriété en déduit-on ?
Soit
dénit l'application
Exercice 24
Pour
A, B
deux ensembles de
E
A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
on note
Pour
E
un
ensemble ni, montrer :
Card A∆B
Exercice 25
Soit
E
un ensemble à
est le nombre de parties de
Exercice 26
A × B.
Soit
= Card A + Card B − 2Card A ∩ B.
E
n éléments, et A ⊂ E
qui contiennent un et un seul élément de
A = {a1 , a2 , a3 , a4 }
Soit
Exercice 28
Soient
E
un ensemble à
p
est le nombre de parties de E ?
A, A0 , B, B 0
Card (A)
n
B = {b1 , b2 , b3 , b4 , b5 }.
A×B?
et
Quel est le nombre de parties de
Exercice 27
un sous-ensemble à
p éléments. Quel
A?
Écrire le produit cartésien
éléments. Quel est le nombre d'éléments de
Ep ?
Quel
quatre ensembles tels que :
= Card (A0 ) = a
1. Déterminer le nombre de bijections de
et Card (B)
A×B
sur
= Card (B 0 ) = b.
A0 × B 0 .
{A, B}, {A0 , B 0 } forment deux partitions de E , un ensemble.
0
0
bijections f : E −→ E telles que f (A) = A et f (B) = B .
2. Supposons maintenant que
Déterminer le nombre de
Exercice 29
Soient
A
et
B
1. Montrer que : Card (A
deux sous ensembles nis d'un ensemble
∪ B) = Card (A) + Card (B) − Card (A ∩ B).
2. Montrer par récurrence que si
(Fi )16i6n
Card (
n
[
est une famille de sous-ensembles nis de E alors :
Fi ) 6
i=1
avec égalité si les
Fi
E.
n
X
i=1
sont deux à deux disjoints.
3
Card (Fi )
Exercice 30
Montrer que
Z
est dénombrable en utilisant l'application :
(
n 7→ 2n − 1
φ:N→Z
n 7→ −2n
Exercice 31
f
1. (principe des bergers) Soient
une surjection de
E
sur
F
E, F
n > 0;
sinon.
si
deux ensembles avec
ensemble ni, et
vériant :
∀y ∈ F,
Card (f
−1
(y)) = p
Montrer que E est alors un ensemble ni et Card (E)
= pCard (F ).
α1 , α2 , . . . , αp , p élements distincts d'un ensemble E , répartis
n sous-ensembles de E . Si n au moins deux éléments parmi les αi .(on
2. (principe des tiroirs) Soient
entre une famille de
F
pourra raisonner par l'absurde)
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MIAS 1
ère
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◦
feuille n 1
année
Ensembles. Fonctions. Cardinaux
Correction 1
Nous allons démontrer l'assertion
1.
de deux manières diérentes.
A et B sont telles que A∩B = A∪B .
A = B.
Pour cela étant donné x ∈ A montrons qu'il est aussi dans B . Comme x ∈ A alors
x ∈ A ∪ B donc x ∈ A ∩ B (car A ∪ B = A ∩ B ). Ainsi x ∈ B .
Maintenant nous prenons x ∈ B et le même raisonnement implique x ∈ A.
Donc tout élément de A est dans B et tout élément de B est dans A. Cela veut dire
A = B.
1. Tout d'abord de façon directe". Nous supposons que
Nous devons montrer que
2. Ensuite, comme demandé, nous le montrons par contraposition. Nous supposons que
A 6= B et non
Si A 6= B cela
A ∩ B 6= A ∪ B .
veut dire qu'il existe un élément x ∈ A \ B ou alors un élément x ∈ B \ A.
Quitte à échanger A et B , nous supposons qu'il existe x ∈ A \ B . Alors x ∈ A ∪ B mais
x∈
/ A ∩ B . Donc A ∩ B 6= A ∪ B .
devons monter que
Correction 2
x ∈ {(A ∪ B) ⇔ x ∈
/ A∪B
⇔x∈
/ A et x ∈
/B
⇔ x ∈ {A et x ∈ {B
⇔ x ∈ {A ∩ {B.
x ∈ {(A ∩ B) ⇔ x ∈
/ A∩B
⇔x∈
/ A ou x ∈
/B
⇔ x ∈ {A ou x ∈ {
⇔ x ∈ {A ∪ {B.
Correction 3
Montrons quelques assertions.
f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B).
Si y ∈ f (A ∩ B), il existe x ∈ A ∩ B tel que y = f (x), or x ∈ A donc y = f (x) ∈ f (A) et de
même x ∈ B donc y ∈ f (B). D'où y ∈ f (A) ∩ f (B). Tout élément de f (A ∩ B) est un élément
de f (A) ∩ f (B) donc f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B).
Remarque : l'inclusion réciproque est fausse. Exercice : trouver un contre-exemple.
1
f −1 (F \ A) = E \ f −1 (A).
x ∈ f −1 (F \ A) ⇔ f (x) ∈ F \ F \ A
⇔ f (x) ∈
/A
⇔x∈
/ f −1 (A) car f −1 = {x ∈ E / f (x) ∈ A}
⇔ x ∈ E \ f −1 (A)
Correction 12
2.
1.
B \ A ⊂ X ⊂ B.
B ⊂ X ⊂ B ∪ ∪{A.
Correction 18
avec
f (a) =
0
1. Supposons g ◦ f injective, et montrons que f est injective : soit a, a ∈ A
0
0
0
f (a ) donc g ◦ f (a) = g ◦ f (a ) or g ◦ f est injective donc a = a . Conclusion
on a montré :
∀a, a0 ∈ A f (a) = f (a0 ) ⇒ a = a0
c'est la dénition de
2. Supposons
g◦f
est surjective
raisonnement
f
injective.
g est surjective : soit c ∈ C comme g ◦ f
il existe a ∈ A tel que g ◦ f (a) = c ; posons b = f (a), alors g(b) = c, ce
est valide quelque soit c ∈ C donc g est surjective.
surjective, et montrons que
3. Un sens est simple
(⇐)
si
f
et
g
sont bijectives alors
g◦f
l'est également. De même avec
h ◦ g.
(⇒) : si g ◦ f est bijective alors en particulier elle est surjective
g est surjective.
est en particulier injective, donc g est injective (c'est le 1.). Par
Pour l'implication directe
et donc d'après le deuxième point
Si
h◦g
est bijective, elle
g est à la fois injective et surjective donc bijective.
−1
Pour nir f = g
◦ (g ◦ f ) est bijective comme composée d'applications
même pour h.
conséquent
Correction 24
Card P
Tout d'abord si deux ensembles nis
+ Card Q.
L'idée est donc d'écrire
A∆B
P
et
bijectives, de
Q sont disjoints alors Card P ∪ Q =
comme union de deux ensembles disjoints.
A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ (A ∩ B)) ∪ (B \ (A ∩ B)).
A \ (A ∩ B) et B \ (A ∩ B) sont disjoints.
Card S \ R = Card S − Card R, nous obtenons :
Ces deux ensembles
nous avons
Card A∆B
R⊂S
= Card A \ (A ∩ B) + Card B \ (A ∩ B) = Card A + Card B − 2Card (A ∩ B).
Correction 25
k
Cn−p
de A
En utilisant que pour
A ; dans E \ A (de cardinal n − p), nous pouvons choisir
= 0, 1, . . . , n). Le nombre d'ensembles dans le complémentaire
Fixons un élément de
ensembles à
k
éléments (k
est donc
n−p
X
k
= 2n−p .
Cn−p
k=0
Pour le choix d'un élément de
A
nous avons
p
choix, donc le nombre total d'ensembles qui
vérie la condition est :
p2n−p .
2