Mecanique Generale - Chapitre 6

Transcription

S O M M A I R E
1ÈRE PARTIE
LES PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA MÉCANIQUE CLASSIQUE
6.1.1
LOI FONDAMENTALE POUR UN POINT MATERIEL ISOLE :
304
A. Point matériel
B. Notion de force
304
304
a) définition physique de la force
b) représentation par une nouvelle notion
c) postulat
6.1.2
C. La 'loi fondamentale
306
LES REPERES PRIVILEGIES DE LA MECANIQUE CLASSIQUE ;
307
A. Relativité de la mécanique classique
B. Repères utilisés en pratique
307
309
a) en mécanique terrestre usuelle
b) en mécanique plus précise
c) en mécanique céleste et navigation interplanétaire
6.1.3
305
305
306'
309
310
311
LE TEMPS PRIVILEGIE ;
312
A. Le temps subjectif
312
B. Le temps objectif
C. L'étalon de temps
312
313
a)
b)
c)
d)
le fractionnement de la durée
choix d'un étalon à temps absolu
l'étalon légal : la seconde de jour solaire moyen
unicité de la chronologie pour laquelle les lois de la
mécanique sont valables
313
314
314
315
D. Le temps local et le temps du repère
315
E. Amélioration de l'étalon de temps.
315
© [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.
2ÈME PARTIE
LES THÉORÈMES GÉNÉRAUX DE LA DYNAMIQUE CLASSIQUE
6.2.1
6.2.2
6.2.3
LOI FONDAMENTALE POUR UN SYSTEME FONDAMENTAL (E)
318
A. Forme de la loi fondamentale
B. Principe complémentaire : principe de l'action et de la
réaction
318
319
C. Propriété des forces intérieures
319
THEOREMES GENERAUX A CARACTERE VECTORIEL POUR UN SYSTEME (E)
320
A. Théorème de la somme géométrique
B. Théorème du moment cinétique
320
321
CAS PARTICULIER REMARQUABLE ; PREMIERES APPLICATIONS DES
THEOREMES GENERAUX
322
A. La somme des forces extérieures a une projection nulle sur
un axe de (Rg) (axe fixe dans Rg)
322
B. La somme des forces extérieures est nulle
327
C. Le moment des forces extérieures en un point fixe a une projection nulle sur un axe u de (Rg)
327
D. Le moment des forces extérieures est nul en un point fixe (ou 330
au centre dfinertie)
3ÈME PARTIE
ÉTUDE DES ACTIONS DE CONTACT ENTRE LES SOLIDES
6.3.1
ETUDE GEOMETRIQUE ET CINEMATIQUE DES LIAISONS
f
332
A. Degré de liberté d un solide libre
332
B. Liaisons imposées à un système
332
C. Classification des liaisons d'après la nature des relations
liant les paramètres :
335
a)
b)
c)
d)
liaison holonome
liaison non holonome
liaison semi holonome
remarque
335
336
338
339
D. Liaisons indépendantes du temps. Liaisons dépendantes du temps 339
a) liaisons holonomes
339
b) liaisons non holonomes
340
E. Degré de liberté d'un système soumis à des liaisons
a) système holonome
b) système non holonome
6.3.2
ETUDE DYNAMIQUE DES LIAISONS DIRECTESENTRE DEUX SOLIDES (Si)
ET (82) EN C O N T A C T P O N C T U E Î T ' " "
À. Lois de Coulomb concernant FI 2
a) cas général
b) cas particulier limite
c) rôle du facteur vitesse
B. Résultats expérimentaux
a) résultats concernant les métaux
. métaux dégraissés
. alliages de métaux sur l'acier
. acier sur acië lubrifie
. métaux sur acier
. coefficient de frottement statique et dynamique pour
les surfaces en présence de lubrifiant
b) matériaux non métalliques
. matériaux sur eux-mêmes
. matériaux divers entre eux
-»•
C. Lois de Coulomb concernant MI2(1)
a) loi du frottement de roulement
. il y a roulement
. il n'y a pas roulement
b) loi du frottement de pivotement
. il y a pivotement
. il n'y a pas pivotement
D. Extension des lois de Coulomb lorsqu'il y a contact sur toute
une surface préétablie
a) il y
b) il y
fc^ce
dNi2
6.3.3
342
342
344
345
346
346
347
347
348
348
348
^
350
350
350
350
350
351
352
352
352
352
352
353
353
a translation et l'on admet que f et h sont constants 354
a rotation de (S2)/(Si) autour d'un axe fixe, la sur- 355
de contact est plane et en outre la répartition de
et f est uniforme
ETUDE GEOMETRIQUE ET DYNAMIQUE DES LIAISONS USUELLES
357
A. Liaison spbérique
357
a) étude géométrique et cinématique
b) étude dynamique. Liaison sphérique parfaite
B. Liaison cylindrique (ou verrou)
b) étude dynamique. Liaison verrou parfaite
C. Liaison rotoïde
358
360
361
361
353
354
b) étude dynamique. Liaison rotoïde parfaite.
364
366
D. Liaison prismatique
b) étude dynamique. Liaison prismatique parfaite.
366
366
368
E. Liaison hélicoïdale
369
étude
géométrique
© [JP.BROSSARD], [1994], INSA dea)
Lyon,
tous droits
réservés.
et cinématique
b) étude dynamique : particularités.
369
371
4ÈME PARTIE
TRAVAIL - PUISSANCE - THÉORÈME DE L'ÉNERGIE CINÉTIQUE
6.4.1
DEFINITION GENERALE DE LA PUISSANCE ET DU TRAVAIL
A. Puissance et travail d'une force appliquée à un élément matériel
bien déterminé
37g
378
a) puissance
b) travail élémentaire développé par la force F pendant le temps dt
c) travail de la force F dont le point d'application se déplace
de A à B
B. Puissance et travail d'une force dont le point d'application
change au cours du temps
379
a) puissance développée par les actions mécaniques
b) travail élémentaire
c) exemple
6 4 2
''
6.4.3
CALCUL DU TRAVAIL ET DE LA PUISSANCE DANS QUELQUES CAS REMARQUABLES
380
A. Cas d'un torseur de forces appliqué à un solide
381
B. Propriétés de la puissance développée par un torseur des forces
intérieures agissant sur un système quelconque.
331
C. Puissance développée par le torseur des forces de cohésion d'un
solide.
382
D. Puissance développée par les forces de liaison intérieures à un
système de solides.
383
E. Puissance développée par les forces de liaison extérieures à un
solide.
384
F. Cas où il y a fonction de force.
385
SYSTEME A FONCTION DE FORCE
385
A. Définition
385
B. Exemples
385
a) action élastique : ressort idéal le plus général
b) action de gravitation
C. Propriété de la puissance d'une force qui dérive d'une fonction
de force invariable
385
389
390
D. Application de cette propriété pour le calcul des fonctions de
force
a) fonction de force due à un ressort agissant à l'extérieur
d'un système
b) fonction de force agissant à l'extérieur d'un système
c) fonction de force de gravitation, la masse attirante étant
à l'extérieur du système
d) fonction de force due à l'attraction newtonienne de deux
masses ponctuelles
e) fonction de force de pesanteur
E. Conditions d'existence et propriété des fonctions de force
a) condition d'existence d'une fonction de force pour la force
f « |X, Y, Z|
b) calcul de la fonction de force à partir des composantes
c) propriété du travail d'une force qui dérive d'une fonction
de force
d) autres propriétés
F. Fonction de force généralisée
a) définition des fonctions de force généralisées
b) propriétés
c) remarque
6.4.4
390
390
391
392
392
393
393
393
394
395
396
396
397
THEOREME DE L'ENERGIE CINETIQUE
398
A. Formule générale
398
B. Cas de simplification
399
a) système formé de solides parfaits
b) système formé de solides parfaits à liaisons parfaites
c) système formé de solides parfaits, à liaisons parfaites et
où il y a fonction de force pour les forces données.
400
400
400
5ÈME PARTIE
MISE EN ÉQUATION ET RÉSOLUTION DES PROBLÈMES DE MÉCANIQUE
6.5.1
MODELE DE LA REALITE
402
A. Construction d f un modelé physique
402
B. Modelé dynamique
404
a) modèle cinématique
b) modèle cinétique
c) modèle des actions mécaniques
404
406
407
6.5.2
APPLICATION DES THEOREMES GENERAUX
411
6.5.3
LES SYSTEMES DIFFERENTIELS DE LA MECANIQUE
414
A. Fondement théorique : théorème de Cauchy
414
B. Résolution pratique
414
a) définition
b) intérêt
6.5.4
C. Solution numérique
415
D. Solution analogique
415
QUELQUES EXEMPLES DE MISE EN EQUATION
417
A. Pendule composé
417
a)
b)
c)
d)
e)
f)
repérage
éléments de géométrie des masses
analyse des actions mécaniques
application des théorèmes généraux
équation du mouvement
détermination des actions de contact inconnues
B. Système à came
a)
b)
c)
d)
e)
6.5.5
414
414
repérage
relations de liaison
analyse des actions mécaniques
application des théorèmes généraux
équation du mouvement
DETERMINATION DU TORSEUR DES FORCES DE COHESION
a) repérage
b) équations du mouvement
c) détermination du torseur d'actions'intérieures
417
417
418
418
420
427
427
428
429
429
430
432
433
434
435
435
6ÈME
PARTIE
STATIQUE PAR LES THÉORÈMES GÉNÉRAUX
6.6.1
DEFINITION DE L'EQUILIBRE
441
A. Equilibre d'un point matériel
441
f
6.6.2
B. Equilibre d un système matériel
441
STABILITE D'UN EQUILIBRE
441
A. Définition préliminaire : écart d'un système
441
B. Définition mathématique de la stabilité
442
C. Cas particulier d'un système dont la configuration s'exprime à 442
l'aide de
paramètres
6*6.3
6.6.4
STATIQUE PAR LES THEOREMES GENERAUX
442
A. Equilibre d'un point matériel
442
B. Equilibre des systèmes matériels
443
C. Equilibre d'un solide. Condition nécessaire et suffisante.
444
EXEMPLES
446
A. Repérage
446
B. Relation de liaison
C. Analyse des actions mécaniques
447
447
D. Application des théorèmes généraux de la statique
448
E. Positions d'équilibre
450
F. Etude de la stabilité des positions
451
a/ Equation du mouvement. Remarques
451
b/ Etude de la stabilité des différentes positions d'équilibre.456
En 1902 H. POINCARE note dans son livre "La science et l'Hypothèse"
"Les Anglais enseignent la mécanique comme une science expérimentale ; sur le continent on l'expose toujours plus ou moins comme une science
dêductive et à priori. Ce sont les Anglais qui ont raison^ cela va sans dire ;
mais comment a-t-on pu persévérer si longtemps dans d'autres errements ?"
Depuis le début du siècle, la situation n'a pas globalement évolué
sur le plan de l'enseignement. Les causes en sont multiples :
- formulation analytique exagérée depuis LAGRANGE dont l'intention a
été bien mal comprise (contrairement aux ouvrages anglo-saxons, nos
livres sont bien pauvres en figures)
- enseignement mathématique donné indépendamment des sciences physiques
(alors que dans les cours anglo-saxons l'outillage mathématique est
étudié au fur et à mesure de son introduction en physique)
- coupure de l'enseignement de la mécanique et des autres branches de
la physique
- déclin provisoire - maintenant terminé - de la mécanique classique
au profit des nouvelles mécaniques.
Nous avons essayé d'échapper à ce reproche en distinguant soigneusement ce qui est expérience et raisonnement mathématique, en explicitant avec
soin l'introduction des concepts fondamentaux mais surtout comment on fait un
modèle mécanique de la réalité. Dans cette voie la mécanique est alors un
domaine privilégié pour la formation de l'esprit scientifique.
Par ailleurs nous consacrerons ultérieurement une longue étude aux
expériences et aux observations sur lesquelles repose la mécanique classique.
En fait la construction historique de la mécanique est à la fois
faite d'observations, d'expériences et de déductions théoriques. C'est cette
voie que nous avons choisie. Si le chapitre sur les fondements expérimentaux
a été en partie reporté dans un prochain fascicule, c'est tout simplement
pour pouvoir montrer assez rapidement sur des exemples l'efficacité de la
mécanique.
- 303
1ÈRE
-
PARTIE
- 304 -
6.1.1
LOI FONDAMENTALE POUR UN POINT MATERIEL ISOLE
A/ Point matériel
Nous avons déjà postulé
que l1espace physique était
un espace euclidien. La vérification expérimentale en
a été faite par Gauss avec
une bonne approximation.
Soit donc un point géométrique P de coordonnées j£,
f, z dans le repère fo, X,
, Z .1
connait
On appelle point matériel
P une portion de matière entourant P suffisamment petite pour que sa position et
son état cinétique soient
bien déterminés lorsque l f on
- la valeur de trois paramètres géométriques x, y, z
- la valeur des dérivées par rapport au temps de ces trois paramètres
Autrement dit, on admet que l'on a affaire à un solide suffisamment
petit pour considérer qu'à l'intérieur le champ de vitesse est uniforme (ceci
exclut le cas où la rotation serait très rapide).
Nous venons d'introduire une notion qui n'est pas accessible directement. Elle s'est introduite dès l'origine de la mécanique : en mécanique
céleste les planètes vues de la terre apparaissent comme des "points". Cette
notion a été très féconde. Mais nous verrons ultérieurement que l'on peut
justifier physiquement cette notion grâce à deux théorèmes.
- le théorème dit "de la somme géométrique" qui montre que le centre
d'inertie d'un syterne se meut comme un point matériel
- le théorème de Newton montrant que l'attraction de gravitation de
deux corps formés de couches sphériques homogènes est la même que
celle de deux points matériels.
B/ La notion de force
C'est une notion intuitive. Pour soulevée, un corps ou le mettre
en mouvement d'une manière générale nous ressentons une sensation que l'on
appelle effort musculaire. Nous disons encore communément que nous exerçons
une action. Nous pouvons comparer la sensation que nous éprouvons en soulevant un corps à celle résultant du déplacement du même corps. L'expérience
montre qu'avec des systèmes de cables et de poulies on peut créer les mêmes
effets qu'avec un effort musculaire ; on peut par exemple déplacer un bloc
sur une table ou réaliser des expériences plus compliquées.
- 305 -
Nous allons passer à la définition de
la force en plusieurs étapes.
a) Définition ElîZ£iSHÊ-Êê—S-f2!£Ê
Nous donnerons celle de J.L. DESTOUCHES ( La mécanique des
solides)
"On peut appeler force agissant sur un corps tout ce qui pourra
être remplacé au point de vue du mouvement produit par ce corps par une
corde attachée dans un point déterminé et passant sur une poulie convenablement placée, corde à l'extrémité de laquelle on a attaché un certain
corps11.
Nous en sommes malgré tout restés à une définition imprécise
qui nous a simplement permis d'objectiver notre sensation.
b) L§.I§2ll§ëB£§£Î2îî-E§E-li3ê_2211YëiiË-B2£Î2B
Chacune des actions créées par une ficelle peut être caractérisée par :
•- une direction (celle de la ficelle tendue)
- un sens (celui qui est défini en parcourant la ficelle depuis le point
d'attache)
- une quantité scalaire que nous appellerons intensité et qui caractérisera le fait qu'il faut mettre une plus ou moins grande quantité d'un
même corps. Nous pourrons la figurer en marquant un point à une plus ou
moins grande distance du point d'attache. Cette grandeur peut donc symboliquement se représenter par un segment de
droite avec une flèche
- l'expérience montre encore (expérience de Varignon) que si l'on veut
avoir le même effet en remplaçant deux ficelles par une seule, il faut
prendre la diagonale du parallélogramme construit sur les deux segments
orientés
- 306 -
On reconnaît là tous les caractères des vecteurs que l'on
étudie en géométrie. Nous postulerons que ces forces sont reprësentables
par des vecteurs que nous appellerons vecteurs force ou tout simplement
par la suite forces. On notera symboliquement !?.
Nous ne pouvons pas encore préciser comment nous déterminerons cette grandeur vectorielle.
c) Postulat
II reste néanmoins que la définition reste très attachée au
monde directement accessible par nos sens. Par une généralisation hardie,
nous postulons qu'il en est de même lorsque l'expérience directe fait défaut.
C/ La loi fondamentale
L'expérience montre qu'il existe
au moins un repère (Rg) dit repère
Galiléen et un système de repérage
du temps dit temps absolu tel qu'
entre l'action mécanique représentée par cfè et l'accélération on ait
la relation :
dF - J6(p) . dm
Le scalaire dm est appelé la masse
d'inertie du point matériel T.
Cette loi a été déduite de l'observation des mouvements des planètes
par NEWTON, la voie ayant été préparée par d'autres illustres savants.
Citons les principaux fondateurs de la mécanique :
COPERNIC
GALILEE
KEPLER
NEWTON
1473-1543
1564-1642
1571-1630
1642-1726
II faut tout de suite observer que la loi fondamentale est une loi
incomplète. Ce n'est pas une identité. Sans autre information il n'est pas
possible de trouver l'évolution du système. Il faut connaître indépendamment
les lois donnant certaines forces. Cette recherche de la nature des forces
fut entreprise par NEWTON lui-même et il donna deux résultats très importants;
la loi de gravitation et le principe de l'action et de la réaction.
->
-*e
Insistons encore : dire que F = J6(P)dm est une loi incomplète
revient à dire que cette relation ne peut servir de définition (on remarquera que cette loi n'est qu'approchée et que certains phénomènes ne peuvent
s'expliquer dans le cadre de la loi de NEWTON). Il faut alors recourir à
d'autres mécaniques.
légié.
Nous avons postulé l'existence d'un repérage et d'un temps priviIl importe de voir maintenant comment le problème est résolu.
- 307 -
6.1.2
LES REPERES PRIVILEGIES DE LA MECANIQUE CLASSIQUE
A/ Relativité de la mécanique classique :
S'il existe un repère galiléen il en existe une infinité d'autres.
Soit Rg un repère galiléen et soit Rk un repère quelconque.
df =
8
J8(P) dm
J (P) =
k
pour V P
J (P) + J (P) + 2 Q8 A Vk(P)
Supposons (Rk) tel que
8
3J(P) - 0
-^g _ n
k "
^ , dire ^ en translation rectiligne uniforme
par rapport à (Rg)
58(P) - îk(P)
Tout repère déduit d'un repère galiléen par une translation rectiligne uniforme est aussi galiléen
exemple
Si le repère (Rg) lié à la terre peut pour certaines expériences
être considéré comme galiléen, alors un véhicule (S^) marchant en ligne droite
à vitesse constante pourra être considéré comme galiléen. Dans le repère (R^)
on aura aussi
df = ^(P) dm
Et l'on pourra faire la mécanique aussi simplement dans (Ri) que dans (RQ).
- 308 -
Remarque 1
^(D-^-O
V 8 (0k) = V » cte
" X"
Y
Oi? =
l'Jlg
ÔkP
\^
Y*
=
R8
OgP
:! -,
=
OgOk + OkP
"^
H&
"~~*
v g (0k) - 2. ogOk - v
OgOk
=
V . (t - t o ) + C
->
On ne diminue pas la généralité en adoptant
Yg = rr
t
V
-
V Yg
0
= O C = 0
5^P = OgOk -H Ôk?
Ôgl = V Yg -f Ôkl
X
-
X*
Y
=
Y* + V.t
Z
-
t
•»
Z*
»
t
X*
=
X
Y*
=
Y - Vt
Z*
*
t
=
Z
=
t
Les transformations ci—dessus sont appelées transformations de Galilée. On
montre que lfensemble des transformations de Galilée a une structure de groupe.
- 309 Remarque 2
II nfexiste pas d f état absolu de repos ou de mouvement. Il est
donc impossible d'étudier la statique indépendamment de la dynamique.
Remarque 3
Si F = 0 on en déduit Jg(P) = 0 soit encore
V^(P) = k (vecteur
constant)
C'est ce qu'on appelle historiquement (Galilée Newton) principe de l'inertie :
un point matériel soumis à aucune force est soit en repos, soit en mouvement
rectiligne et uniforme. Ce.principe a joué un grand rôle dans le développement
de la mécanique.
Remarque 4
L'existence d'une infinité de repères qui permettent d'écrire simplement la loi fondamentale signifie qu'on ne peut mettre en évidence par une
expérience de dynamique le mouvement de deux repères galiléens l'un par rapport à l'autre
B/ Repères utilisés en pratique
Nous avons postulé l'existence d'un repère et montré l'existence
d'une infinité de repères dès que nous pouvons en trouver un seul. Il reste
que le problème sur le plan pratique reste entier et que seule l'expérience
nous permettra de voir si un repère a la qualité voulue.
a) En mécanique terrestre usuelle
- 310 -
Un repère lié à la terre pourra avec une bonne approximation
être considéré comme galiléen. On verra d'ailleurs comment on peut améliorer
la qualité galiléenne du repère terrestre.
L'axe LI est très souvent la verticale du lieu (direction obtenue à l'aide du fil à plomb). En employant un tel repère, on constate qu'il
y a accord entre expérience et théorie pour les problèmes usuels.
b) Mécanique plus précise (ou pour des expériences de plus longue
^ïurée)
Lors de la chute d'un corps sur la terre on constate, si la hauteur de chute n'est pas très grande, qu'il y a accord parfait entre le résultat de l'expérience (chute sur la verticale avec un mouvement uniformément
accéléré) et le résultat théorique obtenu en considérant comme galiléen un
repère lié à la terre.
Cependant, si on fait la même expérience en prenant une hauteur
de chute beaucoup plus grande ou en faisant des mesures très précises, on
constate que le corps ne tombe pas sur la verticale mais est dévié vers l'Est
dans l'hémisphère Nord. Cette^déviation ne s'explique pas par la théorie dans
le repère terrestre (0T, X^, YT, ZT) qui prévoit une déviation nulle.
Mais si on prend comme repère galiléen un repère issu du centre
de la.terre et pointé vers des étoiles fixes alors cette déviation s'explique
parfaitement et il y a un bon accord entre l'expérience et le calcul.
^ .
Expérimentateur
1831.
Reich Freiberg
1902. Hall Harvard
hauteur de
,
chute
en m
158
23
déviation cal., ^ en mm
culée
27,5
1,8
déviation mesuree en mm
28,3
1,5 ±0,2
- 311 -
°) M£§SÎ3ii§-.£êIê§£ê-.ëÊ-SâYÎSê£Î22»îïî£ëIEl§SË£âÎEê
L'expérience montre que dans certains cas le repère précédemment
envisagé n'est pas encore suffisant. On emploie alors un repère issu du centre
de gravité du système solaire et dont les axes sont pointés vers des étoiles
fixes. Ce repère est appelé repère de Copernic.
Remarque 1 : le soleil ayant la quasi totalité de la masse du système solaire (995866 %), le centre d'inprtie de ce dernier est confondu pratiquement
avec le centre d'inertie du soleil.
Remarque 2 : le repère de Copernic n'est cependant pas le repère le plus
galiléen que l'on puisse envisager. En effet, on sait en astronomie que le
soleil se iéplace dans la galaxik.
- 312 Cependant le soleil se déplace très lentement. Et même pendant
un temps très long une portion AB de sa trajectoire peut être considérée
comme une droite parcourue de façon uniforme.
Précisons : le soleil est à environ 3.1020 m du centre de la galaxie et la
période de révolution 2.108 ans, soit 6,3.1015 s. Pour comparaison, la terre
est à US.lO11 m du soleil et la période de révolution est 1 an ou 3,15.107 s.
6.1.3
LE TEMPS PRIVILEGIE
En cinématique nous avons parlé d'une variable t appelée temps
sans autrement préciser sa signification physique. Nous avions convenu, provisoirement, que cette variable était représentée par l'indication de nos
horloges. Mais, dès que nous proposons une loi pour expliquer les phénomène
où entre cette variable t il faut essayer d'expliquer quelle réalité physique
elle représente.
A/ Le temps subjectif
Dans nos préoccupations pratiques le temps est une grandeur très
familière. Cependant dès que nous commençons à analyser ce concept nous constatons qu'il apparait très abstrait ou très concret symbolisé par nos horloges
Le point de vue suivant résume bien l'impression subjective de temps :
Le temps est seulement une notion propre à la conscience individuelle
de chaque être organisé. Il entre dans nos conceptions sous la forme d'un
certain ordre que nous mettons dans l'observation des changements affectant
le domaine de notre activité et de notre existence comme un numérotage inconscient des événements que nous observons dans le champde nos perceptions
du monde extérieur ou intérieur. C'est cette notion intime et purement personnelle résultant de notre organisation biologique et projetée sur le monde
extérieur qui nous a imposé cette illusion dont nous avons tant de peine à
nous affranchir^ d'un temps universel dominant d'une manière absolue tous les
événements imaginables séparant sans mélange vis à vis de tout ce qui existe
l'avenir dupasse par cette barrière incessamment fuyante mais universelle de
l'instant présent si bien défini en nous et qui résulte uniquement de l'intime
sensation incessamment renouvelée de notre propre vie ... *
La notion métaphysique et subjective de temps se ramène donc à
une sensation individuelle résultant d'une horloge biologique propre à chacun
de nous, horloge à laquelle nous rapportons toutes nos perceptions sensorielles. En définitive le temps a pour nous trois attributs :
- la simultanéité
- l'ordre de succession
- la durée
II faut donc trouver un système physique capable d'objectiver
ces trois notions. Nous nous trouvons à bien des égards dans la situation où
nous étions lors de la recherche d'un repérage privilégié : sur le plan théorique nous avons postulé l'existence d'un repérage privilégié et aussitôt nous
avons cherché un repérage concret qui donne pratiquement satisfaction.
B/ Le temps obj ectif. Les horloges
L'objectivation de la notion de temps est basée sur la possibilité
de faire correspondre au déroulement d'un phénomène physique un certain nombre d'autres phénomènes dont nous avons la conviction qu'ils se reproduisent
identiques à eux-mêmes. On les appelle périodiques
* point de vue de ESCLANGON
- 31.3 Par exemple, si nous utilisons des sabliers nous avons la convietion que l'écoulement du sable du réservoir supérieur au réservoir intérieur
est toujours le même. Supposons que l'on ait à mesurer un événement avec un
sablier, une partie de foot-ball par exemple. On retourne "rapidement11 le
sablier lorsque le réservoir supérieur est vide. Si les réservoirs ne sont
pas trop volumineux, nous pouvons faire correspondre aux événements qui se
produisent ( aux moments ) un retournement du sablier. Nous dirons par
exemple que l'équipe A a marqué un but à "trois sabliers11 entendant par là
que l'on a retourné trois fois le sablier. On associe dont à un instant un
remplissage du réservoir inférieur.
Remarquons que ce procédé permet de mettre en évidence les trois
notions retenues :
- la simultanëité : nous dirons que deux événements sont simultanés s'ils
se sont produits au même nombre de remplissages du réservoir inférieur.
- 1'ordre de succès s ion : nous dirons par exemple que l'équipe B a marqué
un but antérieurement à l'équipe A si le nombre de remplissages lorsque
B a marqué son but était inférieur à celui relevé lorsque A a marqué le
sien. Si x désigne le nombre de remplissages au cours de la partie
XB < xA
- la durée : on pourra évaluer la durée de la partie ou la durée entre deux
événements en nombre de remplissages de sablier. Par exemple nous dirons
qu'il y a eu un arrêt de jeu qui a duré du remplissage X3 au remplissage
X5. Nous évaluerons sa durée par X5 - X3.
Il est bien clair que l'on aurait pu obtenir le même résultat en
comptant le nombre d'oscillations d'un pendule, le nombre de fois qu'un vase
plein d'eau se vide par un orifice ou le nombre de tours effectués par une
roue à eau.
Remarquons que pour évaluer le temps nous pouvons prendre toute
fonction de la variable repère x. Par exemple dans une horloge mécanique les
oscillations sont converties en angles balayés par une aiguille. A la variable repérée x on associe donc la fonction t = f(x) qui sera dite variable
temps. On fait simplement un changement d'échelle.
C / L 'et alon de temps
a
) tê_!!â££i255Ê5ê2£_^ê-!§«ËHEê
Avant de voir quel phénomène on utilisera pour faire une échelle
de temps valable pour tout il importe de régler un problème à la fois théorique et pratique. Lorsque nous faisons correspondre un événement à un remplissage de sablier, il faut bien voir que ce n'est pas toujours possible avec un
- 314 -
sablier quelconque. Par exemple un but peut être marqué avant que le Sème
sablier soit rempli. Tout ce que nous pouvons dire, c'est que l'événement
a eu lieu entre le 4ème et le Sème remplissage. Mais on se rend compte immédiatement que l'événement est mal localisé.
Prenons par exemple un pendule. Supposons que pendant un remplissage il y ait 180 oscillations du pendule.
remplissage
0
1er
.jir-u-
oscillations
i
0
_
180
2ëme
_.._
-
j
3ème
... _ ._ ._ I - J ^ L
360
4ëme
j
_...L ._T
540
720
Sème
_ .
• .... j
x
t-..._i
900
y
Nous trouverons que le but a été marqué à la 725ème oscillation.
Même s'il ne concorde pas exactement avec une oscillation le but aura été
marqué entre la 725 et la 726ème oscillation et alors le renseignement nous
paraîtra suffisant. Si l'on raccourcit la longueur du pendule au 1/4 de sa
longueur initiale, par exemple, nous trouverons qu'entre deux remplissages
du sablier nous avons 360 oscillations et nous avons maintenant encore plus
de chance pour que l'événement du but marqué coïncide avec la fin d'une oscillation.
Nous avons la conviction que l'on peut indéfiniment continuer
ce fractionnement de manière que l'événement coïncide avec le renouvellement
du phénomène physique utilisé comme échelle.
b) Choix d'un étalon à tem££_absolu
L'expérience ayant montré
les nombres qui mesurent la répétition
sir un de ces phénomènes comme étalon^
tation terrestre en admettant que l'on
(t - t0) =
qu'il y a un rapport constant entre
d'un phénomène physique, on peut choiOn a pris au début comme étalon la roavait la relation
k 0); - ^0)
C'est à dire que la rotation de la terre est uniforme, autour d'un axe fixe.
Ainsi, sur le plan théorique, se trouve définie la possibilité de faire une
subdivision. Ceci revient à dire que la rotation terrestre est uniforme. La
durée d'une rotation de la terre (évaluée par deux passages successifs au
méridien d'une étoile) est appelée jour sidéral. Il faudra toujours bien considérer par la suite que c'est notre seul étalon de temps absolu.
c
) t ' ê£âl2B-.IâSâI-i-iê-.£Ê£2S^Ê«.^ë-.Î2HE«S2l§ÎEê-î?2ZêS
Nous pouvons prendre comme mesure du temps n'importe quelle
échelle basée sur un phénomène périodique tel que le rapport du nombre de
périodes au nombre de rotations sidérales soit constant. On utilise pour des
raisons de vie pratique un système basé sur le jour solaire moyen défini astronomiquement et mathématiquement de façon que le rapport constant soit :
jour solaire moyen
jour sidéral
=
^
QQg
on adopte comme unité légale la seconde qui est la o/- /wx1 partie du jour solaire moyen.
- 315 -
La différence jour solaire moyen - jour sidéral - 236 secondes de jour
solaire moyen; ou encore le jour sidéral contient 86 164,091 secondes.
d) Il5Î£iJ:ê_dë«Iâ-£lîï25^^
5iSHê~£2S£«YâIâ]2le§
Supposons que l'on change d'échelle de temps suivant la loi
T = f(t)
La loi fondamentale s'écrit
d? = "îg(P) dm
—>•
d2 P
dF = -—- dm
dt?
en omettant l'indice g pour simplifier l'écriture
ou
d OP
dt
m
à OP
di
d^
" dt
d2QP _ d2ÔP d]\2
"""dt7 " "dr7 Xdt;
d QP d2T
dT dt"?
Si l'on veut que la loi fondamentale ait même forme avec la nouvelle échelle
de temps, il faut et il suffit que le deuxième terme soit nul, ce qui entraîne
-TTY * 0
soit
T =
at + b
Mais l'échelle des temps n'est définie qu'à son unité près et à son origine
près, la nouvelle chronologie est donc la même que l'ancienne. C'est d'ailleurs ce que nous avons implicitement utilisé lorsque nous sommes passés du
jour sidéral au jour solaire moyen.
D/ Le temps local et le temps du repère
Le temps que nous avons défini est valable en un point du repère.
Des observateurs locaux, voisins, seront d'accord. Mais est-on assuré pour
cela que deux horloges identiques réglées sur la même chronologie en un point
A seront encore synchronisées lorsque l'une sera en A et l'autre en B ? Nous
admettrons qu'il est possible d'adopter une échelle unique pour l'ensemble
du repère comme le montre l'expérience.
E/ Ame1iorat ion de l'et aIon de t emp s
Le temps basé sur la rotation terrestre représente avec une excellente approximation le temps dit absolu qui intervient dans la loi fondamentale. Cependant on peut trouver des phénomènes périodiques qui conduisent à
une meilleurs représentation du temps absolu ; entendons par là qu'entre
l'observation d'un phénomène et la prédiction par le calcul déduit de la loi
fondamentale il y aura meilleur accord.
On utilise comme phénomène périodique les vibrations atomiques. On
est souvent conduit alors aux horloges atomiques. En pratique on utilise les
vibrations des atomes de césium dans le vide. Une seconde contient
9 162 631 770 périodes.
- 316 -
Avec le temps sidéral on constate que la lune est légèrement en
avance sur son horaire calculé. Avec le temps atomique la concordance est
excellente. Mieux même, dans l'échelle la non uniformité de la rotation
terrestre est mise en évidence ! Le mouvement est retardé, mais ce retard
est très très faible, il correspond approximativement à une augmentation de
la durée du jour de 1,64/1000 s/siècle.
317
2ÈME P A R T I E
LES THÉORÈMES GÉNÉRAUX DE LA DYNAMIQUE CLASSIQUE
- 318 -
6.2.1
LOI FONDAMENTALE POUR UN SYSTEME MATERIEL (Z)
A/ Forme de la loi fondamentale :
Soit un point matériel P appartenant au système
matériel E. Sur P s'exercent deux catégories
d'actions
- action provenant des corps autres que (l) :
dFe
- action provenant des éléments de (I) : dFi
dFe + dFi
= J8(P) dm
On appellera
ctFe
^Fi
force extérieure
force intérieure
ou action extérieure
ou action intérieure
Notons que cette distinction est arbitraire. Elle est fonction de la frontière
qui délimite le système.
Considérons par exemple un pendule simple (Si) et son support (SQ)O
Si on considère le pendule seul les actions de (Sg)
sur (Si) sont des actions extérieures, mais si on
considère l'ensemble (Si, SQ) ces actions deviennent
des actions intérieures.
De même si on considère une partie (Sf) de (Si) seulement l'action de l'autre partie (S£) est une action
extérieure (tension du fil) alors qu'elle est considérée comme action intérieure lorsque l'on considère
le pendule complet.
Nous verrons ultérieurement tout l'intérêt qu'il y a
à choisir convenablement la frontière qui délimite
le système pour que certaines actions soient classées
extérieures ou intérieures.
~ 319 -
B/ Principe complémentaire ; principe de l'action et de la réaction
Soient deux points matériels Pi
et Pj
Fp. /p. est l'action de Pj sur Pi
F
.yp. est l'action de Pi sur Pj
Le principe de lfaction et de la
réaction s'exprime sous la forme
*pj/pi + îpi/pj
=
°
Ceci signifie que les actions sont
portées par la droite qui joint les points Pi et Pj, c'est à dire que par
exemple ^pi/pi est de la forme Fpî/p« = X PiPj. On peut avoir soit la disposition de la figure ( 1 ) (actions attractives) ou la disposition suivante
(actions répulsives). (figure 2)
G/ •Propriété des forces intérieures
Calculons les éléments de réduction du torseur des forces intérieures
- Somme géométrique Fin
lln
=
J,
(lpi p
/ J
+î
PJ/Pi)
D'après le principe de l'action et de la réction
F
p-/p-
+F
Fin = 0
- Moment en un point 0 quelconque
&n<0) = jj (ÔPÎ A lpj/p.+ ÔPÎ A îp./pj)
Toujours d'après le principe de l'action et de la réaction
p'/P' = ^
- 320 -
f
pi/p: * *PJ/PI • °
HPÎAÎ p i / p j
d,o, fen(0)
,0
- 0
D'où le théorème : Les forces intérieures forment un torseur nul.
Ce théorème a une grande importance pratique comme nous le verrons
par la suite : nous allons montrer que dans les théorèmes généraux à caractère vectoriel les forces intérieures n'interviennent pas. Le choix d'une
frontière convenable délimitant le système a donc une très grande importance.
6.2.2
THEOREMES GENERAUX A CARACTERE VECTORIEL POUR UN SYSTEME (Z)
A/ Théorème de la somme géométrique
Le système (Z) peut être considéré comme un ensemble de points
matériels ^
^
^
dFe + dFi - J8(P) dm
J 3Fe
P6S
dFi
J dîi
[ J8(P)dm
P€S
P6S
+
= 0
dFe =
(les forces intérieures constituent un torseur
nul)
pes
on pose
(1)
Fex =
somme des forces extérieures
P€S
et l'on a les énoncés suivants équivalents généralement utilisés
a) La relation (1) peut s'écrire compte tenu des résultats de cinétique
Fex = î8
La somme géométrique des forces extérieures est égale à la quantité
d'accélération totale
b) Mais on peut calculer ?8 par la formule ?8 = M ~3&(G)
d?où
+
+
Fex = M Jg(G)
-^.
^.g
en comparant à la loi fondamentale
dF = J (P)dm
on peut énoncer
Le centre d'inertie d'un système matériel quelconque se déplace comme
un point matériel affecté de la masse totale et sur lequel agirait la somme
des forces extérieures. Ce théorème élimine donc la fiction du point matériel.
- 321 -
B/ Théorème du moment cinétique
cIFe
+
clFi
=
3g(P)dm
Prenons le moment en un point C quelconque
Pour tout le système nous avons
I CP*A cIFe
+
J CP A clFi
P€S
=
P6S
C? A cÏFi
=
0
=
&ex, C
CP A dFe + CP A dFi = CP A Jg(P)dn
j CP A J8(P)dm
P€S
(torseur des forces intérieures nul)
P€S
j C? A cIFe
P6S
Théorème :
Mex, C =
*6g
La somme géométrique des moments des forces extérieures en un point
C est égale au moment dynamique calculé au même point C.
g
comme tg(C) = ^r P8(C) + M V8(C) A Vg(G) on peut écrire :
dt
Sex(C)
= ^î Î8(C) + M V8(C) A^g(G)
Rappelons les cas particuliers remarquables
, si C = G
Mex(G)
=
(C Confondu avec le centre d'inertie G)
g
^ ug(G)
Le moment des forces extérieures au centre dfinertie est égal à la
dérivée du moment cinétique calculé en ce point
. si C est fixe dans (Rg)
>
Vg(C) = 0
on a la même simplification
g
fexCC) = 1- îg(C)
dt
Le moment des forces extérieures en un point fixe est égal à la dérivédû moment cinétique calculé en ce point fixe.
Remarque 1 : le théorème de la somme géométrique et le théorème du moment
dynamique peuvent être formulés conjointement : le torseur des
forces extérieures est équivalent au torseur dynamique.
Remarque 2 : il est bien clair que ces théorèmes comme la loi fondamentale
qui leur donne naissance ne peuvent s'appliquer que dans un repère galiléen.
- 322 «
Remarque S : on constate que les forces intérieures n'interviennent pas et
que ceci est une conséquence du principe de l'action et de la
réaction,
Remarqué 4 : l'application pratique de ces théorèmes exige la connaissance
autonome du torseur des forces extérieures. On fait en général
leur étude dans des branches particulières de la mécanique ou
de la physique. Par exemple l'étude des actions de l'air sur un
solide se déplaçant dans l'atmosphère relève de l'aérodynamique.
6.2.3
CAS PARTICULIERS REMARQUABLES. PREMIERES APPLICATIONS DES THE,OREMESGENERAU?
A/ La somme des forces extérieures a une projection nulle sur un axe de
(Rg) (axé fixé d&ns R
g
)
~
"
Par hypothèse on a donc : Fex . u = 0
-*d® ->g
->
On a donc
u . -^ a° « 0
Mais u étant un vecteur de Rg on a
dg . ->
n
•jj£
u . -*g
a6 » 0
•
soit
-*8
o& . •>
u « cte
La projection de la somme cinétique sur l'axe u est constante.
Remarque 1 : si la projection de la somme cinétique sur l'axe u est nulle
pour t = to, par la suite cette projection est toujours nulle
Remarque 2 : s'il en est ainsi, on peut écrire puisque <J^ = M V^(G)
tPccy.î = o
__
dgô5 u-»• .. 0
jg
ou encore
-rr
dt (u.tnÈ) =
"Û . 0"S =
0
cte
Le centre d'inertie a une projection fixe sur un axe u.
Nous allons illustrer ce théorème par un certain nombre d'exemples
classiques.
exemple 1
Mouvement d'un être humain sur un sol parfaitement poli, initialement au repos. Nous admettrons provisoirement que le poids du corps est
P = - mgZg et que l'action du sol est 11 = R "zg (ces problèmes seront étudiés
prochainement)
•- 323 -
Fex = m J8(G)
îex = P + R « -mg Zg + R Zg
=
(R - mg) Zg
•>
->•
en projection sur les axes Xg et Yg on
a donc
Fex . Xg = 0
J°(G) =
x" = 0
y" = 0
x f = cte
y f = cte
Fex . Yg = 0
[ mx" ~
myfl
_ 0
xf = 0
y1 = 0
,
. . . nx
(repos initial)
XG = cte
yG = cte
Donc sur un sol parfaitement poli on ne peut modifier la verticale du centre
de gravité si l'on est initialement au repos.
exemple 2 : recul des armes à feu initialement au repos
V° = Vj XQ
est la vitesse de recul du canon
=
^2
^2 XQ est la vitesse du projectile
=
3
^sC-P) est â vitesse d'une particule de gaz de masse dm
Désignons par ¥3 la projection de la vitesse ^3 sur X0
V
La^somme des forces extérieures a une projection qui est toujours nul1^ sur XQ. Par suite la quantité de mouvement a une projection constante sur Xo.
- 324 -
Vî . M! + V| . M2 +
[ Va dm
= 0
P6S
L'expérience montre que l'on peut écrire
J ¥3 dm = x . M3 ¥2
pes
A la sortie du canon on prend
recul est donc :
x - 2,5. La relation qui donne la vitesse de
Vf M! + V£ M2 + 2,5 M3V2 = 0
yo
.
M2 *2,5M 8 ' v o
2 5
3
^
M > ** V
l
on sait qu'il faut essayer de diminuer la vitesse de recul. Diverses solutions sont employées. Citons
ou encore v =
M2
- diminution de la charge (fusil de chasse)
- augmentation de la masse de l'affût ou du fusil. Par exemple on doit faire
des fusils de chasse légers mais pour qu'ils soient agréables on ne descend
guère pour un calibre 12 au-dessous de M = 3 kg.
- on peut aussi jouer sur l'intégrale XpY3 dm de manière à l'annuler ou à la
diminuer notablement car elle peut
être très importante (dans un obus c'est de l'ordre de grandeur du projectile). On y parvient de deux manières
. adoption d'un frein de bouche : une partie des gaz est rejetée vers
l'arrière
par exemple si la moitié des gaz est rejetée vers l'arrière, on a
v = Mo V,7
MMX
. adoption de la disposition dite "sans recul". On éjecte directement
vers l'arrière une partie des gaz.
Dans ce dernier cas on peut même se passer de l'affût.
- 325 -
Remarque. L'intégrale
¥3 dm explique qu'à égalité des valeurs M^, M2,
£ _
M , V des fusils de chasse aient des reculs
différents. S'il y a mauvaise étanchéité le
rebord de la douille se transforme en déflecteur vers l'avant !
exemple 3 : accostage d'un bateau perpendiculairement à un quai. En supposant
que le rameur a posé sa pagaie et se dirige de l'arriére vers
l'avant pour monter sur le quai. Pourra-t-il accoster ?
MI
: masse du bateau, V°(GI) sa vitesse
M2
: masse du rameur, V1(G2) sa vitesse par rapport au bateau. Le rameur
initialement à l'arrière du bateau à l'arrêt se dirige vers le quai
pour aborder.
Comme au départ la quantité de mouvement totale est toujours nulle,
elle restera par la suite nulle. En projection sur l'axe XQ on a donc
M! V f ( G ) + M2 V£(G 2 )
=
0
M2 Vj(G 2 ) + M 2 (VJ.(G 2 ) + V j C G ^ )
=
0
MX v^ccp + M2 o4(G 2 ) -H V^G!» = Q
(M! + M2) V^G!) = - M 2 .v 2 (G 2 )
V
I°( G I>
- "HT^Ç
V (G2)
^
Le bateau se place en sens inverse du rameur donc lorsqu'il s'approche pour
accoster le bateau recule.
- 326 -
: explication du recul dfune machine à laver monter sur roulettes
figure (1)
exemple 4
La machine est schématisée sur la figure (1). On désigne par MI
la masse du châssis, par M2 la masse du tambour ou centre dfinertieÔj situé
sur l'axe et par m la masse du linge de centre d'inertie G tel que OG = r X2
[0, X 0f Y0, Z0]
est lié au sol (S0)
[Oj, îi , ^, ?}] est lié au châssis (S^)
[Pi, X2, Y2, zj
est lié au tambour (S2)
on suppose le linge lié au tambour (S2)
Supposons la machine initialement au repos et qu'on la mette en
marche de manière que l'action mécanique employée à cette fin ait une somme
nulle sur XQ. On a au cours du mouvement
ïex . X0 = 0
donc
a° . IÊQ
* cte
mais cette constante est nulle car la machine est initialement au repos. Donc
a° . X0
a° =
= cte
(a0)! + (a°)2 +(a°)3
a° = M! V°(0i) + M V°(02) + m V°(G)
VÔj) - x'î0
x + r cos 6
'ÔG
=
x' - r 6' sin 0
r sin 6
V°(G) =
JRO
-°
Lo
-°
x
'
=
JRRo
(M + m)x' - mr0 ' sin 0
= +
JTTU
r e sin 6
'
Supposons comme il est usuel que
x0
= 0
. -i
x
=
J Ro
"(Mi + M2)x' + m(x' - r0! sin 0)""
+ m r 0 ' cos 0
a° =
a°.ô
r 0' cos 0
~ inhnr cos e
donc
d où
'
x
(M + m)x' - mr0 ' sin 0 = 0
- xo = - FT^r tcosé^!
80
- 327 -
La machine est animée d'un mouvement oscillatoire. On peut facilement trouver
1*ordre de grandeur de l'amplitude 2Jx|
2
m
2lv|
1 1
«
2|
1 x|
1
< 2^- R
M + m
<£. I A I
A.
«,
M + m
r 1.
Prennons :
m = 10 Kg
M » 90 Kg
R = 0,30 m
2|x|
.
' • maxi
=
0,06 m
*
B/ La somme des forces extérieures est nulle : Fex = 0
•
Par suite
8
d^
,•
dt
= 0
"•*•£
La somme cinétique est constante, or6 = cte. En particulier si elle est
nulle pour t = t0 elle demeure toujours nulle. Cependant ceci est une circonstance esceptionnelle. Lorsqu'il en est ainsi
M V°(G) - k
La vitesse du centre d'inertie est un vecteur constant» Le centre d'inertie
décrit une droite d'un mouvement uniforme : on retrouve "le principe de
l'inertie".
C/ Le moment des forces extérieures en un point fixe _a une projection
nulle sur un axe u de (Rg)
Donc par hypothèse Mex(C).u = 0 ce qui entraîne
mais C étant fixe
Î 8 (C)
~*"ê
=
4r
ut
o^(C).u = 0
y 8 CO
II yg(0.î = o
~*~
comme u est un vecteur fixe de (Rg)
c'est à dire
y^(C) . u =
d
-r-
~ê
"*"
(yÔ(C) .u) •*
0
cte
Le moment cinétique a une projection constante sur l'axe u
Remarque 1 : comme o (G) = —
nant le point
y (G) on aurait eu le même résultat en preG au lieu d'un point fixe
Remarque 2 : si le moment cinétique a une projection nulle à l'état initial,
elle reste toujours nulle.
- 328 -
exemple : mouvement d'un corps tournant autour d'un axe fixe d'un système
à moment d'inertie variable. Variation de la vitesse angulaire par
variation du moment d1inertie
"" £§l£Ml«4H_52SêS£«£iSê£i2Hë«ë2«E12ië££i2S-§lîï-.Il§5ê-^ê-I2£ê£i2S
p g (0)
=
I 0 . •«:
fi'
a
-17
T2
n
"~E ' *~D
1.
D
n
ût
t/
=
6' . Z
O
* désignant le moment d f inertie
par rapport à l'axe de rotation
f-Ee11 "
Î (o) = -De s
8
"'
y8(0).Z0
=
I6 T
:
"" §M2E2£2S§_2Hê_i§_525ëB£.ËS_EE2iÊ££î^
on a
"iag(0).Zo
=
cte
soit
Mex(0).Zo = 0
16! = cte
- i2§gi]ï2S§_H5-£Z2ËËBÊ-^
§2i£-Y§IÎËklË
Le système est constitué d'un solide (Si) de moment d'inertie I
par rapport à l'axe (Û,^Q) et de deux masses m montées sur deux tiges de masse
négligeable.
2.
Dans la position (1) le moment d'inertie est Ij = J + 2m ri
et dans la position (2)
12 = J + 2m r^
Position 1
I e
l l
Position 2
Si le moment des forces est nul en projection sur l'axe (0,10)
'* 1-2® 2 soit
a*
%i
J + 2m r
=
l «
J H- 2m r\ fll
si r2 > ri on voit que l'on peut diminuer la vitesse de rotation. Ce dispositif trouve de nombreuses applications, par exemple
- I§i22£Îssement_du_S£in_des_satellites
Pour des raisons de stabilité, les fusées lance-satellites sont
mises en rotation. Une fois le satellite sur orbite, il faut annuler la vitesse de rotation. On y parvient en appliquant le principe précédent réalisé
généralement de la façon suivante :
les masses sont libérées et un ressort les écarte de l'axe. On peut
également employer le dispositif suivant :
on laisse se dérouler en sens inverse
deux fils comportant des masses m à
leurs extrémités
- 330 -
" YâIi§£i2!î«^Ê-lâ-.YÎ£ë§5ê«Ëë-I2Ëê£Î2!î«âlySê«ââS£Ëlî2ë
Supposons la danseuse lancée dans la position (1) avec la vitesse angulaire
9f. En modifiant son moment d'inertie, elle peut modifier sa vitesse angulaire
lref
=
I26£
0£
= il-
on a
02
>
0|
c'est aussi en modifiant son moment d'inertie en tombant qu'un chat peut
faire varier sa vitesse angulaire de manière à se retrouver dans une bonne
position au sol.
D/ Le moment des forces extérieures est nul en un point fixe (ou au
centre d'inertie)
çr
Le théorème du moment dynamique donne
si 0 est fixe
si Mex(O) = 0
yg(0) ^K^
Mex(O) = -r? y (0)
î vecteur fixe
Nous verrons par la suite que ceci est le principe de la navigation à inertie.
- 331 -
5ËME P A R T I E
ETUDE DES ACTIONS DE CONTACT ENTRE LES SOLIDES,
- 332 -
Pour exploiter les théorèmes généraux, il faut connaître la nature des actions mécaniques, totalement ou en partie. Les systèmes que
nous rencontrons dans la vie courante sont faits très souvent d'assemblages de solides. Aussi commençons-nous l'étude des actions mécaniques par
l'étude des actions auxquelles donnent lieu ces assemblages ou liaisons
matérielles entre solides. Nous allons voir que l'aspect géométrique et
cinématique est très lié à l'aspect dynamique (nature des actions). En fait,
nous allons en ce domaine procéder à une généralisation hardie : nous admettrons que les actions qui naissent entre solides sont de même nature que
celles que nous avons évoquées, c'est à dire qu'elles sont représentables
par des vecteurs. L'expérience confirme ce point de vue.
6.3.1
ETUDE GEOMETRIQUE ET CINEMATIQUE DES LIAISONS
A. Degré de liberté d'un solide libre
oi°£ = [ x > Y > z ] Rg
OM,4>) angles
d'Euler
Pour repérer un solide dans un repère on doit donner les trois
coordonnées d'un point appartenant au solide et les trois angles d'Euler.
Il faut six paramètres. On dit que le solide libre est un système à six
degrés de liberté
k = 6
B. Liaisons imposées à un système
Considérons un système (£) formé de solides. Les solides ne peuvent se pénétrer et d'autre part les solides peuvent être au contact d'autres solides n'appartenant pas à (E). Ceci implique qu'il y ait des relations
entre les paramètres, ces relations sont appelées équations de liaison,
exemple 1 : étudier la relation de liaison entre l'angle de rotation e de la"
manivelle et le déplacement x de la coulisse.
On a choisi deux paramètres pour repérer la position du système.
Mais du fait que l'ergot de la manivelle coulisse dans la rainure, ces deux
paramètres sont liés.
°1°2 = x XQ
(X0,Xl) = 6
L'angle a est
constant.
Posons Û2M - P-Y2
OjM -
[r cose, r sine, O]R
Ô^M = Ô7Ô2 + ÔpS
= UFx - p sina, p cosa, o"]^
-4 Kg
d f où
x - p sinaa = r cos 0
p cos a = r sin 6
fi
p = —
2—
cos a
r cos(6 - a)
cos a
Cette relation est appelée équation de liaison
exemple 2 : roulement sans glissement d'une sphère de rayon a sur le plan
(0^ Xn_, YQ) du repère RQ . On repère le centre de la bille par
OG = [x,y,z]. On repère l'orientation du repère R§ lié à la
bille par $9 0, <f> angles d'Euler.
Comme il y a contact, nous avons tout d'abord
z = a
C'est une relation qui a même forme que celle trouvée précédemment.
(1)
Nous devons exprimer en outre qu'il y a roulement sans glissement
c'est à dire
V°(I) = 0
Comme la vitesse de glissement est contenue dans le plan tangent, nous devons
trouver deux équations scalaires reliant paramètres et dérivées des paramètres.
V°(I) = VJ(G) + fi° A GÎ
fx''
y'
z' J
LZ
V°(G)
^
V°(G) «
_^
Vç(G) =
->o
Qg
=
* f ?2
Zj ^
S*
Lo
">"o
•*•!
^| + «2
Y!
=
+
ri
-
Ro
cos fy sin
-sin ty cos
L 0
0
1
x cos i(j +
-xf sin ^ +
=
•? xx i
z' = 0
+
J Rj
-ô
flf
Q ' Xi
o
0
cos 0
Ô
sin Ô
f °f
1
-<j) sin 6
+
L <j>! cos 0 J
^ 0
xf
ty 0
y1
1 JL0
1
y sin ^
y 1 cos ty
+
i^ T Z.i
o ir x 2 "
-sin 0
cos 0_
Y2
Z2 _
f'01 1
F °~
0 ' +
0
L° J
L ^'
- 335 -
" e1
-*' sin 6
fl° =
o
1
GI -
|_~a JR.J
_ < ( > ' cos 0 + V J R l
'" 6'
fi° A GÎ
1
-<|>' sin
=
D
•
_ <f>
f
|"o"
0
6
F
A
cos 6 + * ' J
0
]
0
fait)
1
sin 6 "
a 6'
=
L -a J
L
0
JR
x f cos * + y f sin * + a $' sin 6
Vç(I)
&
=
-x1 sin-* + y 1 cos * + a 6 '
Lo
JRl
On a alors les deux nouvelles relations
x f cos * + y 1 sin * + a <f> f sin 0
-xf sin ty + y 1 cos * •+ a 0 f
»
=
0
0
(2)
(3)
Les six paramètres qui seraient nécessaires pour repérer une
sphère libre sont donc assujettis à vérifier trois relations.
Nous venons de voir que ces équations sont de nature différente.
Par exemple la relation de l'exemple (1) et la relation (1) de l'exemple (2)
ne font intervenir que les paramètres tandis que les relations (2) et (3) de
l'exemple (2) font en outre intervenir les dérivées des paramètres.
C. Classification des liaisons d'après la nature des relations liant
Tes paramètres
a
) l'Icri'Qon holonome
Un système est dit holonome quand les liaisons qui lui sont
imposées peuvent être exprimées par des relations en termes finis entre les
paramètres et le temps.
Un certain nombre de liaisons étant déjà exprimées, supposons
que l'on prenne pour représenter le système X paramètres et que l'on ait h
relations de liaison. Si elles sont holonomes, elles sont nécessairement de
la forme
l
^
(1) fl
<«* ^ •" V fc> - °
(h) fh(qi, q2 ... q x , t) -•- 0
h relations
La relation du paragraphe 2 (exemple 1) est une liaison holonome. Dans cet exemple on a .
A
—
2.
h
=
1
Remarque 2. Lorsque l'on a affaire à un système de n solides, on pourra
aller jusqu'à X = 6n puis tenir compte par des équationë de
toutes les liaisons
- 336 -
b) liaison non holonome
Supposons que l'on puisse exprimer la configuration du système
avec
paramètres et supposons que les liaisons se traduisent par des relations de la forme
(1)
anqf + ... + ai£qi + ... + a^
-
(1)
a^qi + ... + aiiq[ + ... + alxq^
bx
les a^. et les b^ étant des fonctions des q
relations sous la forme
«
^
1 relations
et du temps on peut écrire ces
(1)
andqi + ... + a^. dq. + ... + ai^dq^
=
bi dt
(l)
a1idqi + ... + a^ dqi +.....+ alXdqA
«
b^ dt
un système est dit non holonome quand certaines relations qui lui sont imposées ne peuvent être exprimées en termes finis en fonction des paramètres
mais se traduisent analytiquement par des relations différentielles de la
forme ci-dessus, ces relations n'étant pas des différentielles totales exactes et n'admettant pas de facteur intégrant.
Autrement dit pour aucune de ces liaisons il n'existe une fonction 1 = l(qi, q2> Ç^'t) + c * 0 telle que l'équation de liaison soit la
différentielle totale de cette fonction. Le système n'est pas intégrable, ce
qui revient à dire qu'on ne peut mettre ces équations sous forme finie.
exemple : mouvement d'un cerceau sur un plan rugueux lorsqu'il y a roulement
sans glissement
~ 337 -
Soit Rs un repère lié au solide (G, Xg, Yg, Zg) Zçétant porté par
la normale au plan du disque on repère le cerceau de la manière suivante
- on repère I point de contact par 01 = [x, y, Ô]
- on repère l'orientation du cerceau par ty9 6, $ angles d'Euler de
Rs avec RQ
V°(I) = V°(G) + ft° A GI
GI =
- a Y2
~o
ÏÏI =
- a cos 0
- a sin 0
=
^s
î + ^2 + Sî
&! - *' Z2 + 6' Xi + ij^'Zi
" e1
n°
=
S
- <j>' sin 6
f
f
t. cf) cos 0 + i|; j RI
"0f
-*-° —>
fl A GI =
s
.
1 fO
-(j)1 sin 0 A -a cos0
,
())T cose-Hjj'
-a< sin0^
acj)f + ai);f cos 0
>° —>
B AGI =
s
Œg A GI =
a 0 1 sin 0
-a 0 f cos 0
cos ij;
- sin ^
0
cos (j>T + a ip1 cos 0
sin ^
cos ^
0
cos 0 f sin 0
0
0
-" R!
1 J L " a e' cos e
a cos \f;(())f + \|>f cos 0) - a 0 f sin ty sin 0 "
ÏÏs A GÎ =
a sin iK<f>!
+
^! cos 0) + a 0 f cos ^ sin 0
- a 0! cos 0
ÔG
J
Ko
= 01 + IS
01 =
x
y
ÏG
=
a Y2
z
- JR 0
__^
IG =
- a sin ty cos 0
a cos ij> cos 0
a sin 0
R
0
- 338 -
OG =
x - a sin ty cos 0
y + a cos ^ cos 0
^
L a sin 0
^RO
x 1 - a t|>' cos t|> cos 0 + a 0' sin if; sin 0
y' - a if;1 sin i/; cos 0 - a 0 f cos tj; sin 0
- a 0 1 cos 0
L
KO
V°(G) -
x' + a <f> f cos i|;
y' + a 4>f sin $
V|(I) -
J Ro
LO
Les relations de roulement sans glissement sfécrivent donc :
x' + a <j>! cos ty «
y f + a (f>! sin ^ =
0
0
Montrons que ces relations ne sont pas intégrables. On peut écrire :
dx
dy
=
=
- a cos ^ dcj)
- a sin ty d<j>
on a des expressions de la forme
avec PI = 0
?2 * 0
dx dy =
PI d^ + Qi dcf>
P2 d^ + Q£ dcf)
Qi = - a cos ij^
Q2 = - a sin ^
Si ces relations étaient intégrables, les deux conditions dfintégrabilité
devraient être identiquement satisfaites :
8p
22l - ML
2 . 9Q2
et
94)
9l);
9*
W
or visiblement elles ne le sont pas. Les deux relations ne sont pas intégrables.
o) liaison semi-holonome
II se peut qu'une équation de liaison s'intègre et conduise à
une relation holonome. La liaison est dite alors semi-holonome.
Le cerceau roule sans glisser sur
le sol. Le plan de symétrie perpendiculaire à l'axe du cerceau est astreint
à demeurer dans un plan vertical. On
repère G par ^ = (x ^Q + a ^
et la rotation du cerceau par (X0,X )
-e
^°(I) = ^°(G) + fi° A GÎ
V°(G) = X' x0
fol [ o 1
fi° A GÎ -
0
A -a
L..fl'J L O J KRo
- 339 -
3° A GÎ
f
X1 + a 6 ' "
0
L
o
=
8
J
R0
" X ' + a 6' "
*•<!> = L °0
JR O
X1 + a 0f
La relation de liaison s'écrit immédiatement
X m -a 0 + C
si pour X = X0
X - XQ
ou
=
6
=
=
0
0Q
- a(0 - 60)
X+ae-"a8o-Xo
=
0
la relation est holonome.
d) Remarque QWP les liaisons holonomes et non holonomes
^ une liaison holonome
forme
(I)
fCq^... q^ ... q _ , t) = 0 peut se mettre sous la
lfrdqi + --- + Mï d«i + --- + % dq x + £dt • °
- une liaison non holonome a^qj
mettre sous la forme
(II)
•••...+ a^q'i + ... + a.q'
=
b peut se
aidqi + ... + a^dq^ + ... + a^ dq^ - b dt = 0
une liaison holonome et une liaison non holonome peuvent donc prendre la
même forme. Mais il y a une différence essentielle : dans le cas d'une liaison holonome les coefficients des dq£ sont les dérivées partielles d'une
fonction f(qi, q^, q,, t) = 0, ou encore l'expression (I) est une différentielle totale.
D. Liaisons indépendantes du temps. Liaisons dépendantes du temps
Les équations de liaison peuvent ou non contenir le temps.
a
) Liaison holonome
Une liaison holonome dépendante du temps s'écrit
Une équation de liaison holonome indépendante du
temps s'écrit
f(q^... qj_ ... q , t)= 0
f(qi-.. q£ ... q ) = 0
A
Ces équations peuvent se mettre respectivement sous la forme
Hr<»*- + Hri
%**%- °
Hr«i*-*Hï«i*-*!^'x - V
Dans le cas d'une liaison holonome indépendante du temps, la relation dérivée se présente comme une relation linéaire homogène reliant les dérivées
des paramètres tandis qu'elle n'est pas homogène dans le cas d'une relation
dépendante du temps.
- 340 -
Un pendule simple de longueur 1 a
son point de suspension A se déplaçant sur l'axe OZ de telle manière
que
-t
OA = a sin o)t Z
Pour repérer le mouvement du pendule
il suffit de connaître x et y coordonnées de G. Mais ces deux coordonnées ne sont pas indépendantes. On a
en effet (ÔG)2 = l2
x2 -H (z - a sin eût)2 « l2
soit encore
X2+^2- 2 az sin o)t+ a2sin2 o)t-l2 = 0
soit f(x,z,t) » 0
Cette expression peut se mettre sous
la forme
M ta *!f d '*lf dt - 0
2x dx + 2z dz - 2a sin u>t dz + 2 a2 sin cot cos eut dt
soit
x dx •+ (z - a sin u)t) dz + a2 sin cot cos cot dt
=
= 0
0
b) liaison non holonome
Une liaison non holonome dépendante du temps peut se mettre sous
la forme
ajqi + ... + aiq{ + ... + a^ = b
Une équation de liaison non holonome indépendante du temps peut se mettre sous
la forme
aiqi • + . . . + aj_q{ + . . . . + a x qj^ = 0
Là encore lorsque l'équation de liaison non holonome est indépendante du
temps, elle se présente comme une relation linéaire homogène reliant les
dérivées des paramètres
Exemple : considérons le système suivant destiné à étudier le shimmy d!une
roue d'avion (roue orientable)
(SO)
(50)
(51)
(52)
(83)
figure
figure
figure
est le
est la
la piste
l'avion en déplacement rectiligne
le déplacement latéral du support de roue
support orientable de la roue
roue supposée rigide
A (SQ) on lie le repère (0, 10» ^0» ô) supposé galiléen
X0
ZQ
porté par l'axe de liaison (S0)/(S0)
vertical ascendant
^0 ~ ^0 A XQ
- 341 -
A (S*) on lie le repère (R*) : [o , x£, Y£, Z*j
0*
•>*
6
0, X0
->•
X0 - X0
Y -^
Y
v*
o - o
^0 = ô
On a 05 = t V£Q
V '• constante algébrique
A (S L ) on lie \0l9 X x , îa , ÎJ
Oj
à l'intersection des axes des liaisons prismatiques (Sj)/(So) et
(S2)/(S!)
->
-»•
Xi = XQ
Y
YI
Q
->
->
->
Zl
->•
** Z°
^
On repère (R1)/(R0) par y tel que
0 Oj
= y. ^l
A (S2) on lie [02,*2, Y2, Za]
02
dans le même plan horizontal que 03 6 à l'axe de la liaison (S 2 )/
CSj),. On a
UpO£ » d Î2
Î2=^
Z2 = Zi
->
-»-.->
Y 2 - Z 2 A X2
On repère (R 2 )/(Ri) par
6 - (li, X 2 )
A (S3.) on lie (R 3 ) : [03, Î3, t 3 , Î3]
03
centré de la roue (S 3 )
Y3=t2
X3
arbitraire
23 =1 3 A t3
On repère la rotation de (S3)/(S2) par
cj> - (X2, X3 )
Exprimer les relations de liaison lorsqu'il y a roulement sans glissement
en I.
vfd) - o
Vf (I) - Vf (03) + Qf A ÔJÎ
mais V§(03) - V2(03)
V2(03) « V2(02) + 5| A Ô^03
V|(02) = V2(02). + Vf (02)
= y'. Y0 + V. X0
On peut facilement exprimer ce vecteur dans R> à l'aide de la matrice de
passage
- 342 -
~ X2 1
F" cas 0
sin 6
0 1 f X0 ~
-sin 6
cos 6
0
=
Y2
-,Z2 J
L
0
^
V2(02) «
0
1 J L Zo -
V cos 0 + y' sin 0
-V sin 0 + y' cos 0
L °
-.«2 A 02C>3
=
0' Z2 A 1 X2
L
-
°
SI + ^2
^3 A O^î
4
-
"
1*2
r°
•*'
n
L 0' JR
2
roi
4> f
A
6
L
p2
*- ' JJ R
^
V|(I)
-1 0 f Y2
=
V cos 0 + y f sin 0
-V sin 6 + y' cos 0 - 1 0 1
V2(03) =
^3
YQ
r° i
0
f"*^1 "
-
0
R1
L " " -J R
»K.2
L °
•-
Jp
-J
R2
"" V cos 0 -H y f sin 0 - R c)> f
-V sin 0 + y 1 cos 0 - 1 0 f
0
JR 2
i-JR
-
D'où les relations
V cos 0 -f y 1 sin 0 - R <(>'
-V sin 0 + y 1 cos 0 - 1 0 '
= 0
« 0
Soit encore
y' sin 0 - R <(>'
y' cos 0 - 1 0'
=
»
-V cos 0
V sin 0
relations linéaires en y', 0', <(>' mais non homogènes
E. Degré de liberté d'un système soumis à des liaisons
a) système holonome
Supposons que l'on exprime la configuration du système à l'aide
de X paramètres qi, q2 ... q, et qu'il y ait h relations holonomes
(h)
( fi(qi... q£ ... q x , t) « 0
<
1 fh(qi--- qi .... q x t t) = o
est appelé degré de liberté
k
le nombre
k
=
X - h
Les liaisons étant holonomes, on peut tirer h paramètres par
exemple qi, q2 ... q^ en fonction des autres. Par suite, lorsqu'on a affaire
à un système holonome, le degré de liberté du système est égal au nombre de
- 343 -
paramètres indépendants pour exprimer la configuration du système : qj, q2,
q^. Cependant on conserve parfois un nombre des paramètres surabondants,
pour des raisons pratiques ou de simplicité mathématique. Examinons l'exemple suivant concernant le système bielle manivelle.
exemple : système bielle manivelle.
Le repérage est fait comme l'indique la figure à l'aide des paramètres x, ty , a , <f>
= x IÎQ
Ojè
4>
=
( XQ , $1 )
a
-
(Xo>%>)
<f>
=
(Y 2 , - XQ)
De toute évidence un seul paramètre suffit pour fixer la configuration du
système. Mais x et 4 seront utiles dans les études pratiques, est commode
pour les études théoriques. Mais il ne faut pas perdre de vue que ces quatre
paramètres doivent être liés par trois relations :
*
*
$
~
(*2 9 ""
XQ )
<f>
=
(t2, 12) +
<|)
=
--^-a+ïï
cf)
- y-a
($2, 1Q) +
(l^,
-10)
(0
Calculons les coordonnées du point B de deux manières différentes
Ô^B = x XQ
ÔÏ"B = 0^1 + ÂB
O^B =
r Xi - 1 Y2
r cos i(j + 1 sin a
0}è =
r sin ^ - 1 cos a
\
L°
x
=
r cos fy + 1 sin a
(2)
0 = r sin ij; - 1 cos a
ou compte tenu de la relation (1)
(3)
x
= r cos i|; + 1 cos <j>
(21)
0
= r sin ty - 1 sin $
(3f)
Dans ce cas on conserve trois paramètres, mais liés par deux relations. On
peut tout aussi bien exprimer x en fonction du seul paramètre i);
(3f)
x
sin cf>
= y sin ip
cos <(>
=
(1 - X2 sin2 if;)1/2
= r f cos if; + f
(1 - X2 sin2 if;)1/2 J
A
avec
X = y-
- 344 -
b) système non Tnolonome
Supposons que l'on exprime la configuration du système à l'aide
de X paramètres (on précisera ce nombre X par la suite) et qu'il y ait h relations holonomes et 1 relations non holonomes
(h)
f fl(qi ... q,, t) = 0
X
\
I fh(qi ... q x , t) = 0
(1)
f a n q f + ...
J
I aiiqf + ...
+ a x iq{ +
4-
qi
qf
= bx
X X
+ anq{ + ...
on appelle degré de liberté le nombre
k
+ alx<l{
défini par
=
b
l
k =
X -h -1
Mais il y a une différence essentielle avec le cas précédent.
Des h relations holonomes, on peut tirer h paramètres en fonction des autres :
%+l ••• q^ • Mais il est impossible de tirer d'autres paramètres en fonction
des autres à l'aide des relations non holonomes. Autrement dit, le nombre
minimum de paramètres sera X-h supérieur au degré de liberté défini par la
relation.
_^ Reprenons l'exemple de la sphère qui roule sans glisser sur le
plan (0, XQ, ?o» ô) d'un repère (Ro)• On peut repérer la sphère par x,y,z,
^,6,<j), soit six paramètres. On a les relations de liaison
z = a
x' cos ty + y' sin i|> + a <fr f sin 6
-x' sin i|; + y' cos ty + a 6 ' = 0
h = 1
1 = i
on a donc
=
0
soit
k = 6 - 1- 2
=
3
Mais si l'on veut repérer un point quelconque P appartenant à
la sphère (S) telle que olp
= La,Ê,xL
on a OP = 00C + ÔJP
S
R
s
^
S
S
On peut facilement obtenir les composantes d^ O^P dans (RQ) à l'aide de la
matrice de passage d'où les coordonnées de OP dans (Ro)
_^
OP =
x
cos^.coscf>-sin^.cos6 .sincf)
y + sin^.cos<f>+cos^.cos6 .sin^
_aj L
sin0 sincj)
-cos^.sin<t>-sin^.cos9 .cos^
-sin^ .sin^-t-cos^ .cos^ .cos^
sinG.cosc))
sin^.sin6 a
-cos^.sinQ B
cosG
J L'Y.
x
= x + (cos^.cosc()-sin^.cos6 ,sin<f))a - (cosij;.sin<f>+sinîj; .cosG .cos<|))B + sini^sinôy
y
= y + (sini(;.cosc()+cosi(;.cos0 .sin(())a + (-sin<().sin^-i-cos(t) .cos0 .cosij;)6- cos^sinôy
z
= a -f sin0.sin(() a + sin0.cos<|> 3
+
cos0 y
Pour repérer le point P il faut donc obligatoirement cinq paramètres car on ne peut espérer éliminer deux paramètres à l'aide des relations
de liaison : il faudrait pour cela qu'elles soient intégrables, ce qui n'est
pas à priori. Il faudra donc garder les paramètres ty9Q ,cj> ,x,y. La notion de degré de liberté définie par la formule k = X - h - 1 apparait donc comme formelle lorsqu'il s'agit de liaison non holonome.
- 345 -
6.3.2
ETUDE DYNAMIQUE DES LIAISONS DIRECTES ENTRE DEUX SOLIDES .(S,) et (S0) EN
CONTACT PONCTUEL
Nous allons exposer les lois de Coulomb qui tiennent compte avec
une plus ou moins bonne approximation des phénomènes de contact sur le plan
dynamique. Nous verrons ultérieurement un certain nombre de difficultés auxquelles elles peuvent conduire.
Notons tout d'abord que le contact qui devrait être "géométriquement11 ponctuel a lieu sur une zone de déformation entourant le point géométrique.
Désignons par (I) la zone de déformation.
Sur chaque élément dff entourant un point M de la
zone de déformation il y a une actijgn élémentaire
de (Si) sur (Sa). Désignons la par dFi2.
La liaison sera parfaitement caractérisée au
point de vue dynamique si l'on connaît le torseur
des actions mécaniques de (Sl)./(Sz) dont les éléments
de réduction sont
Î12
-
f dP12
Me£
S12(D
•-
f ÏAlF 12
M€E
II ne s'agit pas ici d'étudier la nature de ces actions mécaniques mais d'en
mesurer les effets au niveau macroscopique.
- 346 -
^* Lois de Coulomb concernant FI 2
Désignons par F^2 l'action de contact
entre (S^ et (S2) , par n un vecteur unitaire de la normale commune (par exemple
la normale extérieure à (SjQêt par tf12
et T12 les projections de F12 sur la normale et sur le plan tangent (P) commun à
(Si) et (S2)
F12
= Ï12 + $12
On a immédiatement
car
N 12
*
^12
* n A( F^ 2 A n}
v
"*"»/"**
(N 1 2 .n) . n
. ~*"\
"*"
Fi 2
=
n A(Î 12 A n} =
T i 2 •*• N i 2 (par définition)
d'où
T 12
«
n A(F 12 A n)
"* o
->->
->
F 1 / 2 (n) 2 - n.(F 1 2 .n)
n A(J12 A n ) -
comme
et
F 12 - N 12
Les lois de Coulomb sont étroitement associées à la vitesse de
glissement.
a) Cas général : la force FI 2 n'est pas portée par la normale mais
fait avec elle un angle a
L1expérience distingue deux cas suivant que
la vitesse de glissement est nulle ou non.
a) V2(I) ^ 0 il y a glissement au contact
La loi de Coulomb s'énonce ainsi :
* L'action de contact F12 fait un angle constant
avec la normale commune.
a
=
cte
=
cf)
Cet angle est appelé angle de frottement.
on a donc
soit en posant
|Î12| = tg $ . |N12|
tg <j> = f coefficient de frottement
l*12| -
f - |N12|
On dit encore que lfaction de contact est sur le cône de frottement.
* La projection de F12 sur le plan tangent est opposée à la vitesse de glissement. Soit
^
V^ . T12 < 0
- 347 ~
g) V2(I) « 0
(roulement et pivotement sans glissement)
La loi de Coulomb s'énonce ainsi
l'action de contact FI2 fait avec la normale
un angle a inférieur à l'angle de frottement.
Soit encore
|T12|
<
tg $ • iN12|
|Tl2J
<
f |Ni2|
ceci est une condition nécessaire et suffisante du roulement et pivotement sans glissement
Remarque : on dit encore que F^ est à l'intérieur du cône de frottement.
b) Cas particulier (limite)
Si f -*• 0, alors [T^l "*• 0. On dit que l'on a affaire à des surfaces parfaitement polies ou encore que la liaison est parfaite. L'action de
contact est portée par la normale commune
F
12
-
F
12n
Ce cas limite, "idéal11,
est cependant en pratique très utile
car il constitue souvent une première
approximation suffisante avec un modèle plus simple.
c) le vole du facteur vitesse
Nous avons montré qu'en première approximation le coefficient
de frottement f était indépendant de la vitesse. Il n'en est pas en fait
exactement ainsi. En général, le coefficient de frottement diminue avec la
vitesse de glissement.
Cette variation de f en fonction de la vitesse de glissement
a été mise en évidence jusqu'aux très hautes vitesses pour les métaux. Par
contre il existe des corps pour lesquels il y a augmentation.
Cette variation a quelquefois une importance extrême et certains
phénomènes ne peuvent pas s'expliquer en admettant f « cte. Il en est ainsi
par exemple lorsque l'on veut expliquer théoriquement le phénomène d'avance
saccadée de machine outil (phénomène dit de stick-slip) ou encore le départ
difficile d'un skieur avec un remonte-pente.
- 348 /
Remarque : très souvent pour tenir compte de la variation de f avec la vitesse on donne seulement deux chiffres
~ l'un correspondant à f lorsque le mouvement a lieu comme nous l'avons
fait jusqu'ici ; on l'appelle quelquefois coefficient de frottement dynamique
- l'autre correspondant à f lorsque la vitesse relative est nulle. On
l'appelle coefficient de frottement statique
B. Résultats expérimentaux
Le coefficient de frottement est difficile à évaluer d'une manière
générale. II dépend de la nature des matériaux, ce qui semble naturel, mais
aussi de nombreux paramètres comme la vitesse que nous avons déjà signalé.
Aussi faut-il prendre beaucoup de précautions dans la transposition des résultats.
a) Résultât concernant lès métaux
Les résultats seront très variables suivant que les surfaces
sont faites de métal pur ou de métal oxydé. La propriété des surfaces a également une grande importance, de même la présence au contact de lubrifiants
modifie considérablement la valeur du coefficient de frottement.
1°/ métaux dégraisses^coefficient^de^frottement^statigue)
^ f
- . * <.
métaln (sur lui même)
coefficient de frottement
-*. i sur métal
-_ n propre
métal
coefficient de frottement
j sur oxyde
j
oxyde
2
1
1
1,2
1,6
0,6
or
argent
étain
aluminium
cuivre
fer
0,8
1
0,8
0,4
1,0
Remarques :
- si on a deux métaux différents, les résultats sont comparables avec des
nuances
- il existe en fait toujours à l'air libre une couche d'oxyde. Si on fait
disparaître cette couche en chauffant en vide poussé on trouve des coefficients de frottement de l'ordre de 100
- le coefficient de frottement est généralement plus faible pour les métaux
dur. Par exemple pour le chrome f = 0,4.
2 °/ èiIîâSS-Éê-S§£âHî«£HE«Il§£iÊE-S2S«iHkliïiÉ«i£E°££ement: s ta~
tic[ue)
alliage
cuivre-plomb
métal blanc (base d'étain)
métal blanc (base de plomb)
alliage de Wood
bronze phosphoreux
f
0,22
0,8
0,55
0,7
0,35
alliage
alluminium-bronze
bronze
constantan
acier
fonte
f
0,45
0,35
0,4
0,6
0,4
- 349 -
Remarque î : I!influence de la vitesse a été mise en évidence jusqu'à de
très grandes vitesses
Remarque 2 : la présence de certains filins métalliques modifie beaucoup les
valeurs et même la loi de Coulomb. Le coefficient de frottement
dépend de la charge.
xs^ nature du
^^V^.
film
chargesx.
4.JO~3
3
8.JO~
film d'indium
sur acier
film d'indium
sur argent
film de plomb
sur cuivre
film de cuivre
sur acier
0,08
0,1
0,18
0,3
0,04
0,07
0,12
0,2
Ces films métalliques sont déposés sur un support. Ils sont très
utilisés dans les moteurs.
3°/ acier sur acier lubrifié (frottement statique)
f
Lubrifiant
20°
100°
...
- - ,
huile de ricin
0,095
0,105
huiles végétales
huile d'olive
0,105
0,105
,huiles
., animales
. .
. ^
huiles minérales
huile de baleine
huile dg p£ed de boeuf
huile fluide de machine
trichloréthylëne
benzène
glycérine
0,095
Q^5
0,095
Q^95
0,16
0,33
0,48
0,2
0,19
0,25
4°/ métaux sur acier j[ (frottement statigue) lubrifié
surface sunnort
acier dur
fonte
bronze
laiton
" nature du lubrlfiant
huile de ricin
huile minérale
0, 12
0,15
0, 12
0,11
0,16
0,21
0, 16
0,19
5°/ coefficient_de_frottement^statigueêtjd^namigue^gour^les
8
lilIâ£ê2-êB-EïÉSêïî£ê-ËÊ_lHÊî£îâ2£>.
La présence de lubrifiant peut modifier considérablement la valeur
de f en fonction de la vitesse.
En général le coefficient de frottement dynamique est moindre que
le coefficient de frottement statique. Par exemple pour des surfaces d'acier
en présence d'huile de paraffine fs = 0,20 ; fd = 0,15.
Si les surfaces sont totalement séparées par un film continu on
sort du cadre d'application des lois de Coulomb : on entre dans le domaine
de l'hydrodynamique qui est du domaine d'une branche de la mécanique : la
mécanique des fluides. Dans ces conditions le coefficient f peut devenir considérablement plus faible, fd sera de l'ordre de f = 0,OOJ.
Ce problème est d'une grande importance et a donné lieu à de nombreuses études qui correspondent à ce que l'on appelle lubrification limite
et lubrification hydrodynamique.
b) matériaux non métalliques (flottement statique)
J°/ ma t éri aux_^s ur ê ux^meme s
- 351 -
f
,s^r?^?!s
non lubrifiées
Matériaux
verre
0,9-1
diamant
saphir
graphite
carbure de tungstène
polythène
nylon
teflon
polystyrène
bois
0,1
0,2
0, 1
0,2-0,25
0,8
0,5
0,04
0,5
0,25-0,5
f surfaces lubrifiées
hydrocarbures liquides 0,3-0,6
hydrocarbures solides 0,1
0,05-1
0,15-0,2
0, 1
0,12
la lubrification a
très peu d'influence sur f pour les
plastiques
humide
0,2
2°/ matériaux divers entre eux
-Sur.^?^S
non lubrifiées
Matériaux
métal sur verre
diamant sur métal
saphir sur acier
graphite sur acier
polythène sur acier
teflon sur acier
polystyrène sur acier
brois sur métal
brique sur bois
cuir sur métal
f surfaces lubrifiées
0,5 - 0,7
0,1-0,15
0,2
0,04
0,3-0,35
0,2 - 0,5 (sec)
0,3 - 0,4
0,6 (sec)
0,2 - 0,3
0,1
0,15
0,1
la lubrification
a très peu d'influence sur f
humide
0,2
graisseux
0,2
J'ai beaucoup insisté sur ces résultats expérimentaux, d'une part
pour donner un premier exemple concret et important d'analyse d'actions mécaniques basé essentiellement sur des résultats expérimentaux et, d'autre
part pour mettre en garde contre l'utilisation abusive d'une loi d'expressio
simple mais d'interprétation très délicate. Cette question a suscité et suscite toujours des travaux expérimentaux très importants.
C. Lois de Coulomb concernant M^(I)
Très souvent |Mj2(I)| est négligeable, mais il existe un certain
nombre de cas où l'on ne peut faire cette simplification et l'on énoncera
des lois sous une forme comparable à celles qui régissent F-12»
Désignons par (CN)i2 et (CT)i2 les projections de Ci2 sur la normale et sur le plan tangent
C
12 ;aB (%h2
on a immédiatement
+
(CT)12
Ô^N)l2
=
[(^12) • ni . n
: couple de résistance au
pivotement
(C]0i2
=
n A C^2 A n
: couple de résistance au
roulement
- 352 -
Les lois de Coulomb concernant (%)i2 et (C;r)l2 sont tout à fait
comparables aux lois de Coulomb concernant le glissement. Elles sont en
étroite relation ave^ le vecteur rotation ÏÏ2. Rappelons que l'on avait en
cinématique projeté ^2 sur â normale commune et sur le plan tangent.
^
Q_
- % +%
vecteur roulement de (S2)/(Si)
Û._
vecteur pivotement de (82)/(Si)
a) Loi du frottement de roulement
On distingue deux cas suivant que Q^ est nul ou non.
1°/ II
y
a..«roulement
—
.
.
.
.
*
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
_
^
^0
JL
|(cT)12| - h . |S12|
(1e couple de résistance au roulement de (S})
sur (S2) est opposé au vecteur roulement de
(S2) par rapport à (Sj) )
h. est appelé paramètre de résistance au roulement. Il est homogène à
une longueur ; à titre indicatif donnons quelques ordres de grandeur
pour h :
roue de wagon sur rail h = 0,5 à 1 mm
Les expériences ont été faites dans des cas très particuliers, il
faut être très prudent dans leur emploi.
(CT)12/^T <
0
2°/ II n'jr a pas roulement
on a alors
QT = 0
|(CT)i2| < h • |N|12
b) Loi du frottement de pivotement
1°/ Il.Y.aÊÎYOÊêïêBÈ
KV"!
=
(îN)l2 • %
k
x
^N ^ °
I^li2
0
Le
couple de résistance au pivotement
est opposé au vecteur pivotement
k est appelé paramètre de résistance au pivotement. L'étude du pivotement a
été abordée par voie théorique à partir de la théorie de l'élasticité qui
donne la déformation au contact. La théorie de Hertz indique que la zone
de déformation est une ellipse. Elle prévoit également la loi de répartition des actions élémentaires. On démontre que k est donné par
k
- •— f . E
E étant la longueur de l'ellipse de déformation.
- 353 -
2°/ Il_n^2 2 Ea£-E^vot:ei:nênt ^M = ^
on a simplement
|(CN)i2i
<
^ IN12|
D. Extension des lois de Coulomb lorsqu'il y a contact sur toute une
surface préétablie :
Très souvent le contact a lieu entre (Si) et (82) par une surface
qui a été réalisée artificiellement sur chacun des solides comme lorsqu'une
boite repose sur une table ou lorsqu'un chariot de machine outil repose sur
ses glissières*
La forme des surfaces peut être très diverse : plan, sphère, ^ylindre hélicoïde ... En tout point M 6 (Z) on a une action élémentaire dF}2 Que l f on
peut projeter sur la normale au point considéré et sur le plan tangent.
->
->
-*•
dFi2 " d Ni2 + d Ti2
avec
-»-
d Nj2
d Ti2
La connaissance
précédemment si
fl2
->•
projection de d FI2 sur la normale
projection de d Fi2 su*" 1e plan tangent
de la liaison sur le plan dynamique sera satisfaisante comme
nous connaissons le torseur Ti2 P^r ses éléments de réduction
=
] d $12
M62
'Si2(A)
=
l
AS A d Î12
M6Z
Mais le problème est beaucoup plus complexe, même si on admet qu'en chaque
point d Tj2 et d NI 2 vérifient les lois de Coulomb :
|dî12| =
d Ï12
f |dS12|
opposé
à
V^M)
- 354 -
La solution pratique du problème exige en effet :
- la connaissance de la loi de répartition de d Nj2» c'est à dire finalement
^1^ - POO
- la loi de répartition de f
Cependant, dans de nombreux cas on peut faire des hypothèses
simplificatrices. Nous allons envisager quelques uns de ces cas
a) il y a translation et l'on admet que f et p sont constants
(répartition uniforme")
Désignons par V la vitesse
de translation
V2(M) = V ¥ M
Désignons par ri^la normale
commune et par u un vecteur
unitaire de la vitesse V :
+U = t
FT
-*
d NI2
=
->
p da n
Id T 12l = f p da
-*
-*•
dTi2 = - f p da u
->•
-*•
->dF12 = pda.(n - f.u)
n, u sont des vecteurs fixes
de (Sx)
f
est une constante
dFio a une direction
- > • - > •fixe :
celle de n - f u
D'après le théorème de Varignon sur les vecteurs parallèles on
peut remplacer le torseur des actions dF^ par un vecteur glissant unique
appliqué au barycentre des points d'application G
f 12
-
( / P da) (n - f u)
M€£
on peut écrire comme précédemment
avec
NI 2
Ti2
=
-
F12
=
Ni2
+ T^
( / P da) • n
M6E
f . ( / p da) . u
M€E
et l'on a comme précédemment
1^121
Ti2
=
f ^12!
opposé à ¥2(G) = V
- 355 -
On est donc ramené au cas du contact ponctuel, Cfest en fait ce résultat
qui permet de généraliser les lois de Coulomb qui sont déduites dExpériences
de translation.
b) II y a rotation de (S2)/(Si) autour d'un axe fixe* la^surface
de contact est plane et en outre la répartition de d ^12 et de
f est uniforme :
Nous supposerons que la surface de contact est un cercle et que
(Si) est mis en contact avec (82) en appliquant une action mécanique,
$ » - F . Zi
On se propose de déterminer
les actions de (Si) sur (82)
au niveau du contact sur la
surface circulaire
A (Si) on lie (Ri): [o,*i,V,2j
A (S2) on lie (R2) i [û,I2,Y2,12]
On repère la rotation de (R£)
par rapport à (Ri) par
* = (Xj, X2)
Un point M du">'contact
->• est
repéré par OM = p x
avec .$2 9 x) = 0
On pose en outre
z = Z2 = Z\
y = z A x
"*"
"*"
A ^
on suppose par exemple i(;f > 0
1
° / 5âi£lèi^ê«.Iâ-YÎ£ëËËÊ-.^ê
Sii55êSÊS£
V2(M) = V2(0) -f ^2 A ÔM
«i = ^ z
vi(o) = o
yi(M) = p *f ?
2
Posons
- 356 °/ Action_de_contact_élémentaire
7df
dY
=
d FI2
L
dZ
-JXyz
comme la composante tangentielle dT12 = d Xx + d Yy
vitesse de glissement dX = 0
Exprimons dF12 dans (R2)
^
d F12
=
d F12 =
mais
FCOS 0
sin 0
est
-sin 0
cos 6
L°
°
opposée à la
o"| T 0~
dY
}0 dz
JL _
f- dY sin 0~
dY cos 0
dz
L
-U2
dZ = p da
(répartition uniforme)
dY = - f p da car la composante tangentielle est opposée à la
vitesse de glissement et on a pris i|;! > 0
da « p dp d0
^ ^12
=
f pp sin 6 dp de
"" f PP cos 6 dp de
L
P P dp de
J„
J-JR2
^°/ ï2£££HE-dê£-â££Î2SS-É£-£2S£â££.âê-i§ziZi§li (âse seulement)
->
Fj2
".0
=
0
en faisant varier e de 0 à 2ir
et p d e à a
/ P P dp-dej
°
M€2
+
Fi2
s
d M 12 (0)
d Mi2(0)
r° i
0
p. TT a2J
=
=
=
R2
ÔM A d F 12
p cos 0
p sin 0
u_
_^
d MI2(0)
P ir a 2 Z 2
-"
0
A
JP
î
&2
-dY sin 0
dY cos 0
L
L-
dz
=
JP
—i
R^
p sin 0 dZ
-p cos 0 dZ
1
-LP
—
dY
Jp
—' R2
p p2 sin 0 dp de
-p P2 cos 0 dp d0
_-f p p2 dp d0
J
On a M12(0) en intégrant 8 de 0 à 2ir et p de 0 à a. Les deux premières composantes sont nulles et l'on a
•Si2<o> = [ - f p . j p 2 dp de ] . Î2
S12(0) =
- p f , 2ir ^j . Z2
« 357 -
4 ° / §x£r e s s ion^de_F^2.6 t-MjL2l2}i_en-if onc t ion_de_F
Supposons (82) et (S^) toujours en contact. Le théorème de la somme
géométrique appliqué à (82) donne
- F Za
+ FI2
- F + rp ira2
d'où
=
-
0
0
(on néglige toutes les autres actions
mécaniques)
soit
]?12 = F 12
(évident)
-+
2
->•
^12(0) '* - -::• f a . F . Z2
->•
M
12(0) =
Ml2(0) =
2
E
-*•
- — f y- F Z2
rp
= —r
Traz
et on peut écrire ce résultat :
en appelant E le périmètre du cercle.
|
| |F12| . Z2
le vecteur rotation est 82 " -^f %2 ; la normale commune est Z2« Mi2(0)
apparait donc comme un couple de résistance au pivotement et la quantité -r—
comme un paramètre de résistance au pivotement,
6.3.3
\'-
ETUDE GEOMETRIQUE,CINEMATIQUE ET DYNAMIQUE DES LIAISONS USUELLES
i"
/T^
Y
s~*\
y^^
Ç^~"' r~^
jr
S\
S
^
V
A2
*r
x,
Rappelons que pour repérer un solide (82) en mouvement par rapport à un
'solide (Si) il faut six paramètres :
- les 3 ordonnées de Û2 dans (R^)
- les 3 angles d'Euler ty, 6, f
Nous traduirons que ces deux solides sont liés matériellement en exprimant
des relations que doivent toujours vérifier certains de ces six paramètres.
Les réalisations pratiques se ramènent toujours à l'un des types suivant
dont nous dégagerons les principes.
A. Liaison sphërique (ou à rotule)
- 358 -
a) Etude géométrique et cinématique
•1P/' Définition
C'est une liaison telle qu'une surface sphérique (i2) liée à (S2)
reste en coïncidence avec une surface (Ij) liée à (Sj)
2°/ Rêl§tion_de_liaison
Nous allons supposer les corps disjoints (fig a et b) et chercher
quelles relations doivent vérifier les paramètres ty9 6, <|> pour assurer la
coïncidence (fig c).
Tout d'abord, il est évident que les rayons des deux sphères doivent être les mêmes mais quelconques (si deux sphères coïncident, nous aurons
une série de sphères concentriques qui coïncident)
On doit donc avoir simplement
x(t) - 0 )
y(t) = 0 >
z(t) - 0 )
(3)
01 £ 02
il y a trois équations de liaison
3°/ 5igEé^de_liberte
II y a trois relations de liaison de type holonome : h = 3. Le
degré de liberté est
k « 6-3 - 3
Pour représenter le mouvement on prend les trois paramètres angulaires if>, 0, <(>. Une liaison sphérique réalise matériellement une articulation
autour d'un point fixe.
4°/ MêIiSâ£Î2SË.E£â£Î31îê2
Nous avons représenté la matérialisation de la liaison sphérique
par une rotule. Ce dispositif est très employé.
exemple
- 359 Mais on peut réaliser matériellement un point fixe de tout autre façon,
comme dans la suspension à la cardan qui représente si l'on veut matériellement le repérage à l'aide des angles d'Euler. Le point Og appartenant à
(S) coïncide avec le point 0 appartenant à (So)
- 360 -
b) Etude dynamique d'une liaison sphérique. Liaison sphérique
parfciïte
1°/ Suggosons la liaison_re£resentee_2âI-HSÊ-.E2£iilê
Soif df12 une action élémentaire sur
un élément da entourant M. Comme la liaison est parfaite on a
d$i2
-
- U$12l • *
n désignant la normale en M à (Si) (normale estérieure)
Toutes les actions élémentaires passent
par 02, centre de la sphère. Par suite le
moment en 02 des actions de contact est nul
" M12(02) = 0
Le torseur des actions de contact dont
les éléments de réduction en 02 sont
+
F12 ,-
r x i2i
Y12
LZ12jRl
+
fc(02)
-
i~ L i2~
M 12
LN12JRl
se réduit donc à un vecteur glissant unique
Fl 2
-
[X12~
Y
12
Z
- 12JR1
2 °/ §ISêï§IîSâ£i23
Nous pouvons généraliser ce résultat et dégager le concept de
liaison sphérique parfaite* CTest une liaison sphérique telle que :
M12(0) - 0
•
quel que soit le mode de réalisation. Ceci implique des conditions particulières pour les réalisations pratiques. Par exemple, la suspension à la cardan n!est "parfaite11 que s'il n'y a pas de frottement, et si en outre les
masses de (Sx) et (S2) sont négligeables.
3°/ Intérêt de la notion de liaison^sphériqu.e^parfaite
Le torseur des actions de contact de
(Si) sur (S2) figure avec seulement trois
inconnues seulement : Xi2, Yi2, Zi2. 11 y
a par ailleurs trois équations de liaison
C'est à dire autant d'équations nouvelles
que nous introduisons d'inconnues dynamiques. Cette circonstance est très importante pour la résolution des problèmes de
dynamique.
Supposons (Ri) galiléen et appliquons
les théorèmes généraux à (82)
- 361 On peut classer les actions mécaniques en deux catégories : les actions de
(51) sur (82) ou actions de liaison, et les actions que nous qualifierons
de données, entendant par là qu'elles sont connues en fonction de la position (i|>, 6, c(>) et de ses dérivées. Les théorèmes généraux donnent en désignant par G2 le centre d'inertie de (S2)
F12 + î - .- M2 Î1(G2)
—**~ six équations
$12<°1> + \(°l) " ^(Oi)
II y a six inconnues ^, 0, <j> ("inconnues paramètres!) et X12, Y12, Z12 ("inconnues dynamiques")
Remarque 1. Nous aurions pu faire ce décompte de la manière suivante, en
" p a r t a n t d u c a s général
inconnues
(paramètres :
.<
j actions de contact
x, Jy, z
X12, Y12, Z12
\b9 0, è
I
/
L12, M12, N12 j
12
Relations entre les données
théorèmes généraux
relations de liaison
résultats expérimentaux
sur les actions mécaniques
6 équations
3 équations
L12 = 0 |
M12 = 0 >
N12 - O)
Le bilan est bien le même que précédemment.
relations
Remarque 2. Ce qui est en fait essentiel, c'est que Li2, Mi2, Ni 2 soient
connus mais pas spécialement que leur valeur soit 0. Si nous connaissons
^12» Ml2f N^2 en fonction des positions ty, 0, <{> de leurs dérivées et du
temps, alors il y a simplement une différence de complication dans les calculs mais pas de nature. Le bilan des inconnues des équations reste le même.
Dans les liaisons suivantes, nous pourrons faire le même genre de
remarque, nous ne les expliciterons pas toujours en détail mais la transposition sera toujours très évidente
Remarque 3. Deux liaisons peuvent être cinématiquement équivalentes mais
non dynamiquement. Il en est ainsi de la liaison à rotule et de la liaison
à la cardan,
B. Liaison cylindrique (ou verrou)
a) Etude géométrique et oinématique :
l
°/ 2I£ÎBÎ£Î2S
C'est une liaison telle qu'une surface cylindrique (E2) liée à
(52) reste en coïncidence avec une surface cylindrique (Z^) liée à (Si)
2°/ Eguation^de liaison
Nous supposons que les corps (Si) et (S2) disjoints sont réunis
de la façon indiquée. Les rayons des cylindres sont évidemment égaux et
cette valeur du rayon est arbitraire.
- 362 -
- Le point 02 doit être sur l'axe (0^) , ce qui exige
x - 0
y = 0
- L'axe Z2 doit être confondu avec Zj .
Si par exemple
Z2 =
(voir repérage)
L a 33 J
on a nécessairement
<»23
0
0
Au total il y a quatre équations de liaison.
3°/ Begre^de^liberte
II y a quatre relations de liaison de type holonome : h = 3. Le
degré de liberté est donc k » 6 - 4 = 2
Pour représenter le mouvement de (S2)/(Sj) on prend deux paramètres
ty et z tels que
Oi02
*
=
z . Zi
-
(Xi,X2)
Une liaison verrou permet
la rotation autour d'un axe
et la translation le long de
cet axe.
Nous l'avons figurée par un verrou au sens commun. Mais d'autres
réalisations sont possibles.
exemple
En fait cette liaison fonctionne généralement comme une liaison en rotation
seulement que nous étudierons ci-après.
b) Etude dynamique d'une liaison verrou. Liaison verrou parfaite.
1°/ §HEE2S2SS-I§«Iîâi222-5â£É£ÎêIÎËiË-Eâï-HB-YêïI2H-âH«SêSS
ordinaire
Soient F^2 et M^COi) les éléments de réduction
du torseur des actions de (S^) sur (S2)
?12
[ X i 2 , Y12, Z12]
-
Mi2(0i)
=
[L 12 , M 12 , N 1 2 ]
Les actions élémentaires dFi2 peuvent s'écrire
->
-»•
->
dF^2 = dFi2 . n
n : normale en M
Les actions de contact sont normales aux surfaces
en contact (liaisons parfaites). Par suite elles
sont donc toutes normales à l'axe et rencontrent cet
axe.
F12
Fi2.Zi
^12 • ^1
" 0
Mi2(0i)
[ n . dF12
M6E2
J
-
j
n . Zi dFi2
itez2
car n .'?]. * 0 ¥ M. Soit encore
=
ÏÏ^M
JM€Z
Mi2(0i)
=
=
A dF12
2
I
(Zi A n) A dF12
^6^2
Z12 = 0
Ô^M est de la forme
3J&. .
X
îj + R î
- 364 -
Mi2(0i) , Zi
=
0
car
(Zi A n).Zi
*
0 ¥ M
soit encore
N12 •• 0.
La caractéristique dynamique de cette liaison est donc
L12
=
0
N12
«' 0
Fi2 . Zi
QU
-
Ml2(°l)-Zl
0
» 0
La deuxième formulation est intrinsèque. Finalement le torseur des actions
de liaison se réduit à
-
Fl2
Ol2, Y12, O]RI
Mi2(0i) --
[Li2, Mr2, OJRi
II y a seulement quatre actions dynamiques inconnues.
2°7 Généralisation
Nous pouvons généraliser ce résultat en dégageant le concept de
liaison verrou parfaite. C'est une liaison verrou telle que
->•
-».
p-2 * Zl
""
(
quelle que soit la nature
Mi2(Oi).Zi = 0 )
de la réalisation
3°/ Intérêt
L'intérêt est le même que dans le cas de la liaison précédente.
Il y a au total autant d'équations que d'inconnues.
- les théorèmes généraux donnent 6 équations
- il y a 6 inconnues : ^, z, K\2* ^129 ^12» ^12
Là encore, ce qui est important c'est que Z^2 et %2 s°ient connus, non que
leur valeur soit zéro.
C. Liaison^ rotoïde.^Jliiaison rotoide parfaite
1°/ Définition
C'est une liaison telle qu'une surface de révolution (£2) liée à
(82) reste en coïncidence avec une surface de révolution (E^) liée à (S^),
•2°/ S3Hâ£Î£S-âë»iîâîS°5
_^Pour mettre en coïncidence (Z2) avec (Zj) nous devons assurer 02
fixe sur Z\ et Z2 * Zi.
(La nature des surfaces de révolution n'a aucune importance. Dès que nous
avons assuré la coïncidence de deux d'entre elles il y a une infinité de
surfaces en coïncidence). D'où
x
« 0
z
=
y - o
Z
2
)
>
cte ;
-
Paai3 l
23
L a 33 J
(3)
ici cette constante est choisie nulle
a 13 - 0 ./
a23 = 0 j
/ON
(2)
Au total il y a 5 relations de liaison holonomes : h - 5.
- 365 -
3°/ Degre^de^liberte
Le degré de liberté est k
=
6 - 5 = 1
La liaison rotoïde est une
liaison à un degré de liberté. Elle
matérialise la rotation autour d'un
axe fixe. Pour repérer la rotation,
il suffit d'un paramètre
* - (Xi, Î2)
4 ° / 5§âlî£â£î£S-EEâ£Î3ïïê
Cette liaison, une des plus importantes, a donné lieu à de nombreuses réalisations :
exemple :
- 366 -
b) Etude dynamique d'une liaison rotonde. Liaison rototde parfaite :
*°/ §H£E2£225_l2.ii!iï525J5^
d§_ïlvolu£ion_2U£lcon2ues
Supposons en outre qu'il n'y ait pas de frottement.
Quelle que soit la nature de la réalisation, s'il n'y a^pas de
frottement, l'action de contact élémentaire rencontre l'axe (Oi, Zi)
Soient F^2 et MI 2(^1) ês éléments de réduction du torseur des actions de contact.
F
C X 12> Y 12> Z12 J^
12 '*
M12(0i) =
on a
[L12, M12, N 12 3 Ri
>•
->
•+
OjM = p n + X Z\
dFi2 = dF12 . n
Mi2(0x) =
GTS A dF12
M6Z2
J
Mi2(0L) = JI ( Zi A n ) X dF12
Mez2
^12(0l) • ?!
=
0
car
(Zi A n). Zi
=
0
¥M
soit encore N 12 =0
Le torseur des actions de liaison a donc seulement cinq inconnues
. *12
*
Si 2 (Ol)
C X 12>
--
Y
12>
Z
12jR^
L
E 1 2 > % 2 , Oj R i
2 ° / §l2ËIâIîS§£Î2S-i«tiêîS2S-I2£2iâê-E§lIêi£Ê
Comme précédemment, nous dégagerons le concept de liaison parfaite.
C'est une liaison telle que Mi2(Oi).Zi = 0 quel que soit le mode réalisation, Zi étant l'axe de la liaison.
3°/ Intérêt
II y a autant d'équations que d'inconnues
- théorèmes généraux
>
6 équations
- il y a 6 inconnues
*- ty, X12, Yi2, Z12, L12, M12
D. Liaison prismatique
!°/ 5ÉfiSi£Î2!î
C'est une liaison telle qu'une surface prismatique (Z2) liée à (S2)
reste en coïncidence avec une surface prismatique (Zj) liée à (Sj)
- 367 -
2
°/ l2ïïâ£Î2S-Ëë»IiâiS25
Nous voulons mettre les deux surfaces en coïncidence. Pour cela
nous devons écrire du point de vue de la géométrie que
est sur (C^ , Zj)
02
*
Z2
=
Z2 = Zi
x -
Î2 « cte
y « o)
ai3
Fa
l
23 •
ld
«13
- «
_a 33 J
a23 • 0
maintenant
+
^2 *
X2
=
0)
X2 perpendiculaire à Zi
fa0111!
21
L° J
avec
2
an
+
cte entraîne donc tout simplement
a
2
21
=
^
a
ll =
0f
Au total il y a cinq relations de liaison.
3°/ I>egre_de_ liber te
Le degré de liberté est
k = 6 - 5 = 1. La liaison prismatique
est une liaison a un degré de liberté. Elle réalise matériellement la translation rectiligne.
4°/ R|§lisations_£rati<jues
II y a une grande latitude pour la réalisation lorsque l'on veut
matérialiser les surfaces prismatiques. Une des formes les plus employées
est la suivante :
Mais là encore il nfest pas
nécessaire que toutes les surfaces soient matérialisées,
comme le montrent les exemples
ci-dessous
Si les barres sont convenables, les points A et B décrivent une
ligne droite avec une grande approximation, (on peut trouver des systèmes à
barres dont certains points décrivent exactement des droites) .
b) Etude dynamique. Liaison parfaite.
1 ° / §yEE2Ë2S§-Iâ.IîêÎË2!î-Sïâ£ÉIîâiîSêÊ-EiI-âêS^ËHlf â£êS-Sïïël£2S"
Syê5_ëË_!ë_£2S£§Ê£_£§ïï£_fE2]::î:Ë5ë5£
Toutes les actions sont normales à
l'axe. Par suite
Fi2.Z!
Zi2
ou
- 0
=
0
Le torseur des actions de contact a
donc seulement cinq inconnues
r12 - [>12, y 12 , O] RI
Ml2(0l)
=
[]Li2, M i a , N i 2 J R i
- 369 -
2°/ Liaison prismatique parfaite
Une liaison prismatique parfaite est une liaison prismatique telle
que
FI2 . Zi
-
0
3°/ Intérêt
Comme précédemment le bilan fait ressortir qu'il y a autant d'équations que d'inconnues :
théorèmes généraux
inconnues
6 équations
z, X12, Y12, L12, M12, N12
E. Etude géométrique cinématique et dynamique d'une liaison hélicoïdale
*°/ 2§lî5i£i2S
Cêst une liaison telle qu'une surface hélicoïdale (£2) liée à (S2)
reste en coïncidence avec une surface (ij) liée à (S^ .
Nous avons pris pour représenter les surfaces des hélicoïdes à plan
directeur (surface engendrée par une droite s'appuyant sur une hélice et rencontrant l'axe) (fig a)
2
°/ l3ïï£ïi2B.É£.lÎ5Îson
Tout d'abord^nous avons toutes les propriétés de la liaison verrou
(02 est sur l'axe (Q^) et en outre Z2 = Z^
x = 0
y « 0
a 13 = 0
a
23
=
0
Mais en outre, comme toute génératrice de (Zo) devient génératrice
de (Ex)
dz
=
k dty
ou encore
z
= k\jj
+
cte
3
°/ DëSEl«de_liberte
II y a au total cinq équations de liaison, D f où k = 6 - 5 = 1
La liaison hélicoïdale permet la translation le long de l!axe et la rotation
autour de cet axe comme la liaison verrou, mais les deux déplacements sont
dans un rapport constant. Elle réalise le mouvement hélicoïdal de deux solides tels que nous l'avons étudié en cinématique du solide.
Pour des questions de commodité, on conserve souvent les deux
paramètres z et ^ mais en conservant également l'équation de liaison z * kij;
- 370 -
*°/ 5ââIiSâ£Î2SS-.EEâ£Î3iîËS
Elles sont nombreuses et d'une grande importance pratique en particulier dans les liaisons rigides d'assemblage et dans les systèmes de transmission de mouvement.
- 372 -
b) Etude dynamique d'une liaison vis. Particularité'.
Soit [TJ^] le torseur des actions de (Sj) sur (S2).
*12
=
L X 12> Y 12> Z12HRl
M^COi) =
H"Ll2> M 12> N 12D R
Nous pourrions comme précédemment envisager le concept de liaison hélicoïdale
parfaite en supposant que le coefficient de frottement f tend vers zéro et
que le cas limite f = 0 soit la liaison parfaite, cas évidemment inaccessible,
mais dont on pourrait se rapprocher indéfiniment. L'expérience montre que .
cette façon de voir est légitime pour toutes les liaisons sauf pour la liaison
vis ou il y a dans certains cas discontinuité. Aussi, si on peut envisager le
concept de liaison vis parfaite dans certains cas, on ne peut lui conférer un
caractère général.
Tout le monde a constaté par exemple qu'en appliquant un couple
à l'écrou on peut le faire mouvoir axialement, mais qu'on ne peut en général
le faire tourner en lui appliquant une force axiale. C'est ce phénomène qui
est connu sous le nom d'irréversibilité de la liaison vis.
Supposons que les surfaces soient des surfaces hélicoïdales du
type indiqué ci-dessus (hélicoïde à plan directeur : conoïde);(S2) représentera l'écrou et (S^) la vis.
Soit M un point quelconque du contact et da un élément d'aire
entourant M, On désigne par (R) : £M, î, ?, ÎJ le repère tel que
"7Z -- 7"Zj
X
passe par M et rencontre orthogonalement l'axe O^Z}
Y = ÎAÎ
on pose
mM =
t
n
on a
rX
désigne la tangente à l'hélice moyenne
désigne la normale en M à (I)
-^" ->•
(Z,n) =
i
avec
0 <
TT
i < -r-
1°/ §yEE2S2S5-3Hlil-SlZ-âî£-EâS-£l£££ëSÊS£-£2y£-.èlâk2EË f = 0
En tout point M s'exerce l'action dF}£ normale à la surface en
contact
,:£
dFi2
=
n
=
r ° . ."
^12
=
r°
dM
12(°l^
•*•
- p da n
. ^
p : force normale par unité de surface
- sin i
LCOS i J R
- p da sin i
p da cos i
=
°i^ A dî12
—^ R
posons
ÏÏ^S
=
zZ + rX
- 373 -
F0
Tri
dM12(Oi) =
0
A
- p do sin i
LP da cos î J R
L z JR
=
p da z sin i
. ' - pr da cos i
_
u - pr do sin i
~
K
•*•
->
->•
cherchons les composantes de F^2 et M^Cî) sur Z = Z^
-
%12
p do cos i
•>Mez
=
Ni2
J
Pr da sîn i
M€Z
supposons que i et r varient peu lorsqu!on se déplace par rapport à l'hélice
moyenne
Zj2
=
NI2
=
cos
^
J
P â
M6E
" ^ sin i
p da
J
M6E
supposons que l!on applique à (S ) un torseur d'actions mécaniques
; ID = F . î .
: - V J3
TD
L MD(01) -. .M . Z
Essayons de voir quel est le mouvement de (S2) par rapport à (Sj). Supposons
4[Si) fixe (galiléen) , Les théorèmes de la somme géométrique et du moment dynamique appliqués à (82) en projection sur Z donnent (en négligeant le poids
de S2)
cos i
p da + F
- M6Z
m z11
=
m masse de (S2)
1
— r sin i
p da + M
=
I
ty"
•'Mez
^
I : moment d'inertie de (So)
par rapport à l'axe 0,Z
supposons F = 0. Autrement dit, est-il possible de mettre en mouvement S2 en
lui appliquant un couple ?
en combinant les deux équations on obtient
- r tg i m z" + M =
mais compte tenu de la liaison
M
=
I *'"'
z = A^
(I + r tg i X . m) ^ff
- 374 -
II est toujours possible de mettre (82) en mouvement par rapport à la vis
du fait que i ^ £
7
Remarque s le cos i = -r- a été écarté car il ne correspond plus à la liaison hélicoïdale proprement dite. Les
surfaces hélicoïdales sont remplacées par
un plan méridien.
On comprend d!ailleurs que dans ce cas
(Si) soit un véritable obstacle pour (82)
%•
- supposons M = 0 ; autrement dit, est-il possible de mettre en mouvement
(82) par rapport à (S}) en appliquant simplement une
force axiale ?
en combinant les deux équations
- cos i I Tib"
+ F = m z"
r sin i
F
'
(m +
rïgT>*"
II est donc toujours possible de mettre en mouvement (82) car i ^ 0.
Remarque : le cas i = 0 a été écarté car il ne correspond plus à la liaison
hélicoïdale proprement dite
car alors la surface hélicoïdale devient un plan radial
(S'i) est alors un obstacle
pour (S2)
- 375 -
2
°/ ïl«Z«â-lE2££ê5ë2£
Suivant le signe de ^(M).ï il nous faudra distinguer deux cas.
Ce signe dépend du sens de rotation de (S2)/(Si). Nous envisagerons donc les
cas ij;1 > 0 et ifjf < 0
Hf • if;1
>
0
(figure d)
~
Ho
1
-
al 12
u-
dS12(01) =
~P de si* (i "^ <f>)
p da cos (i + $) •~J K
ÔM^ A dF12
r
~ i r°
-
u
"
0
z
A
-• p da sin (i + <j>)
p da cos (i + <j>)
~* JK.
p da sin (i + <|>)
- pr da cos (i -H 4)
- pr da sin (i + cj))
«
K
R
comme précédemment
~
Zi2
^12
Œ
(i + +)
cos
J
P da
M6E
~ s^-n (i + cl)) r
J
P da
M€Z
Appliquons les théorèmes généraux dans les mêmes conditions que précédemment
(on applique le torseur "O
cos ( i ' + cf))
J
p da + F
=
m z"
M6Z
- sin (i + 4) r
•*Mez
p da + M
=
I i^11
. Supposons F = 0 ; est-il possible de faire mouvoir (S2) en lui
appliquant un couple M ?
M
=
Q + m r X tg (i + +)]] ^f!
ê n'est pas possible si i + c|> = ~. A ce moment là les actions élémentaires
dF}2 sont normales à l!axe. Le frottement ne fait que rendre réelle la situation qui ne pouvait intervenir lorsque f = 0 qu'au moment où la surface hélicoïdale se transformait en plan méridien.
Remarque : du fait des valeurs pratiques de f, la situation i + <|> = •*peut intervenir que pour les systèmes à i grand (ou encore à pas long)
ne
- Supposons M « 0
1
; est-il possible de faire mouvoir (82) en lui appliquant une force axiale ?
- [** * r tgV * +)] *"
Comme i est toujours positif, comme $, le mouvement esc parfaitement possible
^ i^f
<
0
(figure e)
dFi2
=
r°
"P cUrs'in (i - <|>)
LP da cos (i - cf>) J R
dMi2(Oi)
f 0r l A
=
z
JP
K
f°
- p da sin (i - $)
LP
dô> cos
(i " <l>)
DK
—'
p z da sin (i - $)
- pr da cos (i - <)>)
- pr da sin (i - cf>) J_
=
Xx
Zi2
=
=
cos
(i " ^)
p da
JM€Z
" r si-n (i "" 4>)
P dcr
^€E
"
Si on applique un torseur T comme précédemment les équations du mouvement
NI2
sont
cos (i - $)
p da + F
=
m z"
•*M€E
- r sin (i - <j>)
p da + M
JM€Z
=
I ty"
, Supposons F = 0 ; peut-on faire mouvoir (S2)/(S}) en appliquant
un couple ?
M
«
Ql + r X m tg (i - <f>)J *"
Ceci est parfaitement possible car i < y
. Supposons M = 0 ; peut-on faire mouvoir (S2)/(S1) en appliquant
une force axiale ?
on devrait avoir
F
=
ce n'est pas possible si
11
m X +
•"• /.
N h^
L
. r tg (i - 1cf>)
Jy
i - <|>
-
0
A ce moment l'action élémentaire est parallèle à l'axe. Le frottement rend réelle la situation
qui intervenait en l'absence
de frottement lorsque les surfaces hélicoïdales se transformaient en plan radial passant par M.
Cette situation se présente
très souvent en pratique dans
les systèmes d'assemblage par
le système vis écrou. Si i < $
aucune force positive F ne
peut permettre le mouvement.
Il suffit de prendre pour
cela un système à pas suffisamment faible.

Mecanique Generale - Chapitre 6

Transcription

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