06. Thalès

Ch V
ENONCE DE THALES
1. J'utilise l'énoncé de Thalès pour calculer une longueur (vu en 4ème)
B
3
M
9
N
7,5
• On a tracé un triangle ABC de dimensions :
AB = 9 cm / BC = 7,5 cm / AC = 6 cm
• On a placé un point M sur [AB] tel que BM = 3cm.
• On a tracé la droite d, passant par M et parallèle à [AC].
Cette parallèle coupe [BC] en N.
Calculer BN et MN.
A
6
C
On sait que :
Je rédige :
M ∈ [BA] et N ∈ [BC]
(MN) // (AC)
Selon l'énoncé de Thalès, les triangles BMN et BAC ont des longueurs proportionnelles. Donc :
BM
BA
:3
3
9
=
=
BN
BC
BN
7,5
=
=
MN
Côtés du triangle BMN
AC
Côtés du triangle BAC
MN
6
BN = 7,5 : 3 et
BN = 2,5 (cm) et
MN = 6 : 3
MN = 2 (cm)
Remarque
Le triangle BMN est une réduction du triangle BAC à l'échelle 1/3.
ou
Le triangle BAC est un agrandissement du triangle BMN à l'échelle 3/1.
2. J'utilise l'énoncé de Thalès dans une nouvelle configuration
(MN) // (BC)
Calculer AN et MN.
Je rédige :
On sait que :
A, B et M sont alignés
A, B et N sont alignés
(MN) // (AC)
Selon l'énoncé de Thalès, les triangles AMN et ABC ont des longueurs proportionnelles. Donc :
AM
AB
:2
2,5
5
AN
=
AC
AN
=
=
4
=
MN
Côtés du triangle AMN
BC
Côtés du triangle ABC
MN
6
AN = 4 : 2 et
AN = 2 (cm) et
MN = 6 : 2
MN = 3 (cm)
Remarque : Le triangle AMN est une réduction à l'échelle 1/2 du triangle ABC.
3. Je retiens
• Il existe deux "figures-clés" de Thalès.
• Les deux triangles ont des dimensions proportionnelles.
• Chaque triangle est une reproduction de l'autre à l'échelle.
• La proportionnalité se traduit par "l'égalité des 3 rapports".
=
=
1,9
Côtés de l'un des triangles
Côtés correspondants de l'autre triangle
5,7
4. Avec l'énoncé de Thalès, je démontre que deux droites ne sont pas parallèles.
Les droites ( ER ) et ( SF ) sont-elles parallèles ?
Je sais que :
E, O et F sont alignés
R, O et S sont alignés dans le même ordre
3,3
Je calcule
E
2
OE 2 1
OR 1,5 15 5
= = ! et!
=
=
=
OF 6 3
OS 3,3 33 11
O
Or
Donc
1
3
≠
OE
OF
5
11
≠
( en effet : 1 x 11 ≠ 3 x 5 )
R
1,5
S
6
OR
OS
Si les droites (ER ) et ( RF ) étaient parallèles, alors, selon l’énoncé de Thalès, les rapports seraient
égaux. Ce qui n’est pas le cas ici.
Conclusion : Les droites ( ER ) et ( RF ) ne sont pas parallèles.
F
5. Avec l'énoncé réciproque de Thalès, je démontre que 2 droites sont parallèles.
6,3 cm
A
Tracer un rectangle ABCD de 6,3 cm sur 3,3 cm. Placer
le point K sur [AB] à 4,2 cm de A.
Placer le point L sur [AD] à 2,2 cm de A.
3,3 cm
Démontrer que ( LK ) // ( BD )
AL
3,3
2,2
=
33
22
=
3
2
et
= 1,5
AD
Donc
AL
C
=
AB
AK
=
6,3
4,2
=
63
42
=
9
6
=
3
2
= 1,5
AB
AK
De plus, je sais que :
A, L et D sont alignés
A, K et B sont alignés dans le même ordre
Selon l’énoncé réciproque de Thalès, les droites ( LK ) et ( BD ) sont parallèles.
( LK ) // ( BD )
6. Je partage un segment, avec règle et compas uniquement.
Exemple : Placer le point M du segment [AB] tel que AM =
3
7
AB
B
M
A
1
B
2,2 cm
D
Je calcule :
=
4,2 cm
L
Je rédige
AD
K
N
2
3
4
C
5
6
1- On trace une demi-droite d’origine A. ( avec une ouverture d’angle quelconque )
2- A l’aide du compas, on reporte 7 fois un même écartement sur cette demi-droite;
3- On relie le point n° 7 c’est à dire C au point B.
4- On trace la droite parallèle à [BC] passant par le point n°3 c’est à dire N.
5- Cette parallèle coupe [AB] en M. M est le point cherché
En utilisant l’énoncé de Thalès, on obtient
AM
AB
=
AB
AC
=
3
7
soit AM =
3
7
AB.
7