Exo7 - Cours de mathématiques - Institut de Mathématiques de

Calcul de Primitives
Objectifs :
– renforcer les techniques de calculs vues en terminale
– savoir calculer de nouvelles primitives en utilisant
les dérivées introduites au chapitre précédent
– savoir calculer une primitive à l’aide d’une intégration par parties
– savoir calculer une primitive à l’aide d’un changement de variable
– savoir utiliser une décomposition en éléments
simples pour calculer une primitive
Pré-requis :
– savoir reconnaître des formes (somme,
produit, composée)
– connaître sans hésitation les formules
sur les dérivées (y compris celles introduites au chapitre précédent)
– savoir calculer sans hésitation des primitives simples
– savoir décomposer en éléments simples
une fraction rationnelle
Rappelons le résultat central du calcul intégral :
Théorème 1
Pour toute fonction continue f : I 7→ R, où I est un intervalle ouvert, il existe une fonction dérivable F : I 7→ R
telle que F 0 = f . Une telle fonction F s’appelle une primitive de f .
Deux primitives F1 et F2 de la même fonction f diffèrent d’une constante additive : la fonction F1 − F2 est
constante,
et donc une primitive n’est définie qu’à une constante additive près. Une telle fonction F sera notée
Z
f dx, pour des raisons qui viennent du calcul intégral.
Si F est une primitive de f , et C une constante, alors F + C en est une autre et, pour tout couple a < b de points de
Z b
l’intervalle de définition I , la valeur F ( b) − F (a) ne dépend pas du choix de la constante. On la note
f ( t) dt.
a
Rb
Ra
Si a > b, on pose souvent a f ( t) dt = − b f ( t) dt, de telle façon qu’on ait toujours la formule
et on a la relation de Chasles : pour tous (a, b, c)
Z
b
a
Cette quantité
Rb
a
c
Z
f ( t) +
b
a
f ( t) dt = F ( b) − F (a),
c
Z
f ( t) dt =
Rb
f ( t) dt.
a
f ( t) dt est appelée l’intégrale de f entre a et b.
Rb
Le but du calcul intégral, que nous ne développerons pas ici, est d’identifier cette quantité a f ( t) dt (si f est
positive) comme l’aire de la portion du plan délimitée par l’axe des abscisses, le graphe de la courbe, et les droites
verticales d’équation { x = a} et { x = b}.
Nous avons vu dans le chapitre précédent un certain catalogue de fonctions usuelles, à partir desquelles on peut
fabriquer de nouvelles fonctions en les ajoutant, les multipliant, et en les composant les unes avec les autres.
Pour toutes ces nouvelles fonctions ainsi construites, il est aisé de calculer les dérivées en utilisant les règles
simples suivantes :
( f + g )0 = f 0 + g 0
( f g )0 = f 0 g + f g 0
( f ( g))0 = g0 × f 0 ( g)
Il n’en va pas de même pour calculer les primitives. Il arrive souvent qu’avec des fonctions élémentaires, on
fabrique des fonctions dont la (ou les ) primitives ne s’expriment pas à l’aide de fonctions usuelles. Il en va ainsi
R
2
de la fonction f : x 7→ e− x , pour laquelle il n’existe pas d’expression de F = f à l’aide de fonctions usuelles. C’est
d’autant plus dommageable que cette fonction F joue un rôle central dans de nombreux champs des mathématiques
et de ses applications.
1
2
Pour calculer des primitives, nous sommes donc ramenés à un catalogue de méthodes, qui permettent souvent de
donner (ou de simplifier) l’expression des primitives.
Tout d’abord, nous avons les règles simples :
Z
Z
Z
( f + g)( x) dx = f ( x) dx + g( x) dx + C
Z
Z
a f ( x) dx = a
f dx + C, si a est une constante.
ZEnsuite, c’est un premier exemple élémentaire de changement de variables, pour toute constante a si F ( x) =
f ( x) dx, alors
Z
Z
1
f ( x + a) dx = F ( x + a) + C
f (ax) dx = F (ax) + C
a
Exercice 1
Vérifiez que ces deux formules sont vraies.
1. Techniques générales
Autant il n’existe pas de méthode systématique, il existe un certain nombre de techniques générales qui permettent
de ramener des calculs de primitives compliquées à des primitives plus simples.
1.1. Intégration par parties
Elle repose sur la formule ( f g)0 = f 0 g + g f 0 .
Ainsi
Z
f 0 gdt = f g −
Z
f g0 dt + C
Exercice 2
En utilisant la formule d’intégration par parties ci-dessus, calculez :
– une primitive de xe x
– une primitive de ln x (on utilisera le fait que ln( x) = 1 × ln( x))
– une primitive de x sin x
– une primitive de x n ln x
– une primitive de ln( x2 + 1)
Exercice 3. Intégrale de Wallis
Le but de cet exercice est de calculez l’intégrale :
π
2
Z
0
cosn xdx avec n ∈ N
a) Trouvez une relation entre I n+2 et I n .
b) Calculez I 0 et I 1 .
c) Déduisez-en I n
1.2. Changement de variables
Cela repose sur la formule ( f ◦ u)0 = u0 × f 0 ◦ u s’écrivant aussi (F ◦ u)0 = u0 × f ◦ u.
Ainsi,
Z
Z
si
f ( x) dx = F
alors
u0 ( x) × f ( u( x)) dx = F ◦ u
Le plus dur est alors de reconnaître u et f . Voici deux exemples d’utilisation de ces implications :
3
Exemple 1. u est une fonction de x : u( x)
On veut calculer une primitive de
1
. On propose le changement de variable u( x) = ln( x).
x ln x
u = ln
x
ln x
R
]0; +∞[
exp u
u
x = exp
1
dx ainsi
x
Z
Z
1
1
dx =
du = ln u = ln (ln x)
x ln x
u
Regardons ce qui apparaît alors : du =
Exemple 2. x est une fonction de u : x( u)
On veut calculer une primitive de arcsin x. On va cette fois-ci utiliser la formule précédente différemment en
posant x( u) = sin u. Les choses s’écrivent alors ainsi :
u = arcsin
x
[−1; 1]
h π πi
− ;+
2 2
arcsin x
sin u
u
x = sin
dx = cos udu et on a :
Z
Z
Z
arcsin xdx = arcsin(sin( u)) cos u du = u cos udu
=
en intégrant par parties
cos u + u sin u
et comme u( x) = arcsin x on obtient :
Z
p
f ( x) dx = cos(arcsin x) + x arcsin x = x arcsin x + 1 − x2
Question : sur quel intervalle a-t-on déterminé une primitive de arcsin x ?
Remarque 1
Tout ceci n’a de sens que lorsque u est une fonction dérivable bijective . Il faut donc faire attention à
l’intervalle sur lequel les calculs sont menés. Vous reviendrez plus en détail sur ce théorème lors d’un
prochain cours de calcul intégral.
4
Exercice 4
En utilisant la formule de changement de variable ci-dessus, calculer :
¡p ¢
p
– une primitive de x cos x
– une primitive de cos2 ( x) sin( x)
En utilisant la notation u0 ( t) =
du
dt ,
on a du = u0 ( t) dt et ceci se ramène à
Z
Z
0
f ( u) u ( t) dt =
f ( u) du
Dans la pratique, il arrive que le changement de variable ne soit pas évident, ou que ce soit l’expression f ( u) u0 ( t)
R
qui soit plus simple à intégrer que f ( t) elle même. Par exemple, si on doit calculer f ( t) dt, on pose t = h( s) et
R
dt = h0 ( s) ds. Alors, on se ramène à f ( h( s)) h0 ( s) ds. Il faut ensuite faire le changement de variable inverse à la fin.
Ainsi, en posant pour x ∈ [−1, 1] x = sin t avec cos t > 0,
Z p
Z
Z p
t sin 2 t
1 − x2 dx =
1 − sin2 t cos tdt = cos2 tdt = +
,
2
4
puis on obtient
p
Z p
arcsin x 1
arcsin x x 1 − x2
2
1 − x dx =
+ sin(2 arcsin x) + C =
+
+ C.
2
4
2
2
Exercice 5
Calculez une primitive des fonctions suivantes. On précisera également un ensemble de définition où les
calculs ont un sens.
1. x 7→ e
p
x
.
2
2. t 7→ t exp( t3 )
2. Primitives de fonctions usuelles
La première source de calcul est d’avoir un catalogue de primitives de fonctions connues (voir tableau 1, que
l’étudiant pourra compléter à son goût).
A partir de ces primitives classiques, on peut en calculer de nouvelles en décomposant les fonctions à intégrer en
sommes d’éléments plus simples.
Ainsi, pour tout polynômes P ( x) = a 0 + a 1 x + · · · a n x n ,
Z
a1 2
a n n+1
P ( x) dx = C + a 0 x +
x +···
x
.
2
n+1
Exercice 6
Calculez :
Z
Z
Z µ
x7 dx
p
( x + x) dx
¶
1
2
+ p + 3 dx
x2 x x
On aura donc intérêt à décomposer la fonctions à intégrer en briques élémentaires donc on pourra intégrer chaque
élément.
5
T A B L E 1 – Primitives classiques à connaître par coeur
Fonction f
Une primitive F
Remarques
xa
xa+1
a
a 6= −1 - L’ensemble de définition de F dépend de a.
ln( x)
x ∈ R+∗
sin( x)
− cos( x)
x∈R
cos( x)
sin( x)
x∈R
ex
ex
x∈R
ln x
x ln( x) − x
x∈R
1
1 + x2
arctan x
x∈R
1
p
1 − x2
arcsin x
x ∈] − 1; 1[
Argch x
x ∈]1; +∞[
Argsh x
x∈R
x−1 =
p
p
1
x
1
x2 − 1
1
x2 + 1
2.1. Intégration des fractions rationnelles
Nous avons vu que les fractions rationnelles se décomposent (sur R) en éléments simples. Pour intégrer une
fraction rationnelle, il suffit donc de savoir intégrer :
• les polynômes
1
• les fonctions
(avec p Ê 1)
( x − a) p
αx + β
•
(avec p Ê 1) qui se ramène au calcul des primitives de la forme :
(ax2 + bx + c) p
Z
2ax + b
–
dx
2 + bx + c) p
(
ax
Z
1
dx
–
(1 + x2 ) p
Traitons avec plus de détails les cas énoncés ci-dessus :
Pour p = 1
Z
et pour p Ê 2,
Z
dx
= ln( x − a) + C,
x−a
dx
1
1
=
.
( x − a) p p − 1 ( x − a) p−1
αx + β
est un peu plus délicat. On se restreint bien sûr au cas où le
(ax2 + bx + c) p
dénominateur n’a pas de racines réelles. On peut également considérer sans perte de généralité que a > 0.
Le cas des termes de la forme
6
Si α 6= 0, en mettant α/2a en facteur dans le numérateur, on obtient :
αx + β
Z
(ax2 + bx + c)
On décompose le numérateur en 2ax + b +
αx + β
Z
(ax2 + bx + c)
2 aβ
α
dx =
p
α
Z
2ax +
(ax2 + bx + c) p
2a
− b = 2ax + b + k avec k =
Z
dx =
p
2 aβ
α
2ax + b
dx +
2
(ax + bx + c) p
2 aβ
α
− b. Ainsi :
k
Z
(ax2 + bx + c) p
dx
D’une part on a :
Z
1
2ax + b
(ax2 + bx + c)1− p + C si p > 1
dx =
p−1
(ax2 + bx + c) p
tandis que
2ax + b
dx = ln(ax2 + bx + c) + C.
ax2 + bx + c
Z
1
D’autre part, il reste encore à intégrer des expressions de la forme
dx. On commence par écrire
2
(ax + bx + c) p
2
2
le dénominateur sous la forme canonique a( x − γ) + δ (est-il clair
h que la forme
i canonique sera bien celle-ci et non
2
2
2 a
2
a( x − γ) − δ ?). Cette dernière expression s’écrit également δ
( x − γ) + 1 . Ainsi :
δ2
Z
Z
1
1
1
dx
=
dx
(ax2 + bx + c) p
δ2 p
( δa2 ( x − γ)2 + 1) p
Z
p
et on se ramène, en posant u =
a
( x − γ) à intégrer
δ
Z
Pour p = 1,
Z
du
(1 + u2 ) p
1
dx = arctan x + C.
1 + x2
Pour p Ê 2, on pose x = tan t et on se ramène au calcul de la primitive de cos q x, qui est traitée dans le paragraphe
2.3 (en linéarisant le cosinus).
Exercice 7
On se propose de calculer une primitive de
3
x4 − x3 − x + 1
sur ]1; +∞[.
a) Factorisez x4 − x3 − x + 1 dans R[ X ]
b) Donnez la décomposition en éléments simples de
3
.
x4 − x3 − x + 1
1
1
et de
sur ]1; +∞[.
2
x−1
( x − 1)
µ
¶
x+1
1
2x + 1
1
et en utilisant les techniques de calculs explid) En remarquant que 2
=
+
x + x + 1 2 x2 + x + 1 x2 + x + 1
x+1
quées ci-dessus, calculez une primitive de 2
x + x+1
c) Calculez une primitive de
Exercice 8
a) Donnez la décomposition en éléments simples de
4x + 2
2 x5 + 3 x4 + 2 x3 + x2
.
b) Utilisez cette décomposition en éléments simples pour calculer une primitive de
R
+∗
.
4x + 2
2 x5 + 3 x4 + 2 x3 + x2
sur
7
2.2. Expressions comportant des exponentielles et des logarithmes
Intégrales de x n e x
Nous avons déjà vu que par intégration par parties, nous avons
De la même manière,
Z
Z
R
xe x dx = ( x − 1) e x + C .
x n e x dx = x n e x − n
x n−1 e x dx.
R
Nous voyons donc par récurrence que, pour tout entier n ∈ N, x n e x dx = P n ( x) e x + C , où P n est un polynôme de
degré n. En dérivant cette dernière égalité on obtient P n0 + P n = x n .
On détermine ensuite P n en identifiant les coefficients dans l’équation P n0 + P n = x n .
P n ( x) = x n − nx n−1 + n( n − 1) x n−2 + · · · + (−1)n n!.
(Inutile de se rappeler le la formule : il est beaucoup plus important de se rappeler comment la trouver).
Il en va de même de l’intégrale d’une expression de la forme P ( x) e x où P est un polynôme de degré n, qui s’écrit
Q ( x) e x avec Q de même degré que P qui satisfait l’équation Q 0 + Q = P , qu’on résout par identification.
Exercice 9
a) Déterminer une primitive de (5 x4 + 3 x3 + x2 − 2 x + 5) e x .
b) Déterminer une primitive de (5 x4 + 3 x3 + x2 − 2 x + 5) e4 x .
Fractions rationnelles de e x
R
kx
Si P ( X ) est un polynôme, P ( e x ) dx se calcule directement puisque ( e x )k = e kx dont la primitive est ek .
R
Pour une fraction rationnelle R ( X ), l’intégrale R ( e x ) dx de calcule en posant y = e x et nous sommes ramenés à
R R ( y)
l’intégrale d’une fraction rationnelle
y d y.
Exercice 10
Le but de l’exercice est de déterminer une primitive de
e3 t + 2 e2 t + 3 e t
e4 t − e3 t
a) En utilisant ce qui précède démontrer que le calcul de cette primitive se ramène au calcul de primitive de
x2 + 2 x + 3
x4 − x3
x2 + 2 x + 3
.
b) Calculer une primitive de
x4 − x3
c) Conclure.
Intégrales d’expressions contenant des logarithmes
R
Nous avons calculé la primitive de ln( x) dx = x(ln x − 1).
R n
Nous pouvons de même calculer x ln( x) dx en utilisant l’intégration par parties
Z
Z
x n+1
xn
ln x
1
x n ln( x) dx =
ln x −
dx = x n+1 (
−
).
n+1
n+1
n + 1 ( n + 1)2
R
On peut de même calculer R ( x) ln xdx, pour toute fraction rationnelle R par intégration par parties, qui se ramène
à des calculs de primitives de fractions rationnelles.
R
De même, nous pouvons calculer des primitives x k (ln x) p dx par un changement de variable x = e t , qui nous
R (k+1) t p
ramène à des expressions de la forme e
t dt.
2.3. Intégration des fonctions polynomiales et rationnelles de cos x et sin x.
Pour intégrer une expression polynômiale P (cos x, sin x) où P est un polynôme à deux variables
P(X , Y ) =
n X
m
X
p=1 q=1
a pq X p Y q ,
8
le plus simple (et le plus sûr) est de linéariser tous les termes (cos x) p (sin x) q . On se ramène ainsi à intégrer des
sommes de termes cos ax et sin bx.
Il arrive cependant qu’on puisse faire plus simple.
Si par exemple le polynôme P (cos t, sin t) s’écrit sin tP1 (cos t, sin2 t), alors le changement de variables cos t = x
nous ramène à intégrer P1 ( x, 1 − x2 ) (la vraie variable est cos t). On est dans ce cas lorsque l’expression
P (cos(− t), sin(− t)) = −P (cos t, sin t).
De même, lorsque P (cos(π − t), sin(π − t) = −P (cos t, sin t)), la vraie variable est sin t.
P (cos t,sin x)
L’intégration des fractions rationnelles Q (cos t,sin t) est un peu plus compliquée.
On peut soit essayer les changements de variables cos t = x ou bien sin t = x (avec les mêmes critères sur le
changement de signe que pour les polynômes P (cos t, sin t).
Si cela ne marche pas, nous opérons le changement de variable x = tan t/2. En effet
cos t =
1 − x2
2x
2
, sin t =
, dt =
dx,
1 + x2
1 + x2
1 + x2
et nous sommes ramenés à l’intégration d’une fraction rationnelle en t.
2.4. Mélange d’exponentielles et de fonctions trigonométriques
Nous savons que nous pouvons écrire une fonction trigonométrique sous forme exponentielle, comme par exemple
cos bx = ( ei ibx + e−ibx )/2. Nous pouvons alors écrire e ax cos( bx) = 12 (exp((a + i b) x) + exp((a − i b) x)).
Pour tout c ∈ C, la fonction h( x) : x 7→ e cx est une fonction R 7→ C, que nous pouvons écrire f ( x) + i g( x), où les fonctions
f et g sont à valeurs réelles.
Il apparaît que ces fonctions sont dérivables, et nous notons h0 = f + i g0 , qui est donc une fonction R 7→ C. Alors, on
a, pour c ∈ C
( e cx )0 = ce cx .
Ceci se ramène simplement
( e cx )0 = ( e ax cos( bx))0 +i( e ax sin( bx))0 = (ae ax cos( bx)− be ax sin( bx)+i(ae ax sin( bx)+ be ax cos( bx)) = e ax (aeibx + bi eibx ) = ce cx .
R
Ainsi, la formule e cx dx = 1c e cx reste valable pour des c ∈ C, et ceci nous permet de calculer de nouvelles primitives.
R
R
Par exemple e2 c cos(3 x) dx est la partie réelle de e(2+3 i) x dx, qui est 2+13 i e(2+3 i) x + C . Nous trouvons ainsi la
primitive en calculant la partie réelle, qui vaut
e2 x
(2 cos(3 x) + 3 sin(3 x) + C.
13
On pourra ainsi calculer des primitives d’expressions polynomiales en x, e x , cos x, sin x.
2.5. Intégrales incalculables
Il existe de nombreuses primitives de fonctions usuelles qui ne s’expriment pas à l’aide de fonctions élémentaires.
Ainsi
Z
Z x
Z
Z
2
e
ln x
e x dx,
dx, e x ln xdx,
dx.
x
1+ x
Il n’est pas facile de déterminer si une primitive donnée est calculable ou pas (bien que formellement il existe un
algorithme qui permette de le savoir).
Dans la pratique, si on donne comme exercice "calculer la primitive de f ( x)", c’est qu’a priori l’intégrale correspondante est calculable.
Rb
Par contre, il se peut que pour certaines valeurs données a et b, l’intégrale a f ( t) dt soit calculable, bien que la
primitive ne le soit pas.
9
3. Exercices
Exercice 11
Exercice 12
Donnez une primitive des fonctions suivantes.
1.
2.
3.
4.
5.
Calculez les intégrales suivantes :
Z 1
t
1.
dt
p
0
1 − t2
Z π
2.
t2 sin t dt
sin3 t
t 7→
1 + cos2 t
sinh2 t
t 7→
(on pourra poser u = sinh t)
cosh t
sin t
(∗ ) t 7→
2
sin t − cos t
t2
(∗∗ ) t 7→
(cos t + t sin t)2
p
p
1 + 1 − t2
∗
( ) t 7→
p
1 − t2
0
3. (∗ )
Z
1
2
1− π4
p
cos 1 − t dt
Exercice 13
Soit f une fonction continue dans [0, π]. Montrez, en utilisant un changement de variables, que l’on a
Z π
Z
π π
x f (sin x) dx =
f (sin x) dx.
2 0
0
Déduisez-en la valeur de
π
Z
0
x sin x
dx.
1 + cos2 x
Exercice 14
Soient f et g deux fonctions réelles périodiques de période T continues sur R. On appelle produit de convolution de f et g la fonction h notée f ? g et définie par
h( x) =
1
T
T
Z
0
f ( t) g( x − t) dt.
1. Montrez que h est une fonction périodique de période T .
2. Montrez
h( x) =
1
T
Z
a+ T
a
∀ a ∈ R.
f ( t) g( x − t) dt,
3. Déduisez-en que f ? g = g ? f .
Exercice 15
Calculez les intégrales
x
Z
I=
x
Z
exp 2 t cos 3 t dt
et
0
J=
exp 2 t sin 3 t dt.
0
Exercice 16
Soit x > 0 un réel. Calculez les valeurs de
Z x
arctan t
I ( x) =
dt
1 + t2
0
Quelles sont leurs limites quand x → +∞ ?
x
Z
et
J ( x) =
0
arctan t
dt.
(1 + t)2
10
Exercice 17
Soit a > 0 un réel, et n > 0 un entier. Montrez que
Z
Z
dt
1
=
cos2n−2 θ d θ
( x2 + a2 )n a2n−1
Déduisez-en la primitive de
x+4
( x2 + 2 x + 2)3
θ = arctan
où
x
.
a
.
Exercice 18
(∗∗ )Calculez
ln t
dt.
p
(1 + t) 1 − t2
Z
Exercice 19
Calculez (à l’aide d’un changement de variables)
Z p
Z
2
F1 = x x + 1 dx
F2 = 3 x e x dx
Z
F4 =
(6 x − 7) dx
3 x2 − 7 x + 11
Z
F7 =
Z
F5 =
xdx
4
x + 16
Z
F8 =
Z
F3 =
sin(2 x) dx
(1 + cos(2 x))2
Z
F6 =
dx
x2 + 2 x + 5
dx
p
16 − 9 x2
Z p
1 + ln( x) dx
F9 =
x
sin(2 x) dx
p
1 + cos2 ( x)
Exercice 20
Calculez les primitives suivantes :
Z
tan(2 x) dx
dx
Z
p
x(3 x + 5)
Exercice 21
Z p
4 − x2 dx
Calculez
.
x2
Exercice 22
Calculez les primitives suivantes :
R
1. sin3 ( x) dx.
R
2. tan3 ( x) dx.
Exercice 23
Calculez :
Z 1
Z π/2
dx
1.
,
sin2 ( x) dx.
2
0 1+ x
0
Z π
dx
2.
(procédez au changement de variable t = tg( x/2)).
3
+
2
cos( x)
0
Z 4
xdx
3.
(procédez au changement de variable t2 = 4 x + 2).
p
1
4x + 2