L`inductance

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L`inductance

Chapitre 12
L’inductance
Objectif intermédiaire 4.4
Connaître les caractéristiques électriques d'une bobine, les groupements de bobines et l'énergie
magnétique dans une bobine, puis calculer la tension et le courant d'une bobine dans un circuit
électrique à courant continu.
Auto-inductance
Note :
dI
>0
dt
Lorsque le courant traverse une bobine, un flux
magnétique est produit à l'intérieur comme cela a été
vu précédemment. Si le courant varie, il y aura une
variation du flux magnétique correspondante dans la
bobine.
→
B
I (variable)
V
Comme la loi de Faraday le prévoit, la variation du flux magnétique dans la bobine induit une force
électromotrice dans la bobine. La force électromotrice dans une bobine parcourue par un courant variable
est
E= - L
où
et
E
L
dI
dt
dI
dt
est la force électromotrice en volts,
est l'inductance propre de la bobine en henrys
est le taux de variation de courant en ampères par seconde.
1.
Un courant initial de 3 A augmente progressivement jusqu'à 7,5 A en 0,02 s. Le courant
traverse une bobine de 5 mH.
a)
Quelle est la variation de courant ?
b)
Quel est le taux de variation du courant ?
c)
Quelle est la force électromotrice induite dans la bobine ?
2.
Un courant de 2,5 A traversant une bobine de 50 mH chute progressivement à 0 A en 0,1 s.
a)
Quelle est la variation de courant ?
Chapitre 12: L’inductance
Page C12-2
b)
c)
Quelle est la force électromotrice induite dans la bobine ?
Inductance d'un solénoïde
l
L'auto-inductance d'un solénoïde peut se calculer à
partir
de
ses
caractéristiques
particulières
(dimensions, tours de fil).
Section, A
Le champ magnétique dans un solénoïde est
B ⊥ = µ0 n I
où
et
B⊥
µ0
n
I
L
est le champ magnétique perpendiculaire en teslas,
est la perméabilité du vide (4 π ⋅10-7 T⋅m/A),
est le nombre de tours de fil par unité de longueur en spires par mètre
est le courant en ampères.
De plus, on a
N 
 µ NA

I
l  ⇒ Φ B = ( µ0 n I ) A =  0
l



Φ B = B⊥ A 
n=
où
et
n
N
l
ΦB
B⊥
A
µ0
I
est le nombre de tours de fil par unité de longueur en spires par mètre,
est le nombre de tours de fil en spires,
est la longueur du solénoïde en mètres,
est le flux magnétique en webers,
est la section du solénoïde en mètres carrés,
est la perméabilité du vide (4 π ⋅10-7 T⋅m/A)
Le taux de variation de flux magnétique se trouve par dérivation; soit
d Φ B d  µ0 N A I   µ0 N A  dI
= 

= 
dt
dt 
l
l
 dt
 
où
dΦ B
dt
µ0
est le taux de variation de flux magnétique en webers par seconde,
et
N
A
I
l
dI
dt
Page C12-3
est le courant en ampères,
est la longueur du solénoïde en mètres
Finalement, d'après la loi de Faraday, la force électromotrice est
E= - N

= - 

où
et
E
N
dΦ B
dt
dI
dt
µ0
N
A
l
dI
dt
d ΦB
 µ N A  dI
=- N  0

l
dt

 dt
µ0 N 2 A  dI

l
 dt
est la force électromotrice en volts,
est la taux de variation de flux magnétique en webers par seconde,
est le taux de variation de courant en ampères par seconde,
Donc, l'inductance propre (auto-inductance) d'un solénoïde est
µ0 N 2 A
L=
= µ0 n 2 A l
l
où
et
L
µ0
N
A
l
n
N 

 puisque n =

l 

est l'inductance propre de la bobine en henrys,
est le nombre de tours de fil par unité de longueur en spires par mètre.
3.
Un solénoïde de 3 000 spires possède une longueur de 4 cm et une section de 1,2 cm2. Le
solénoïde est traversé par un courant qui augmente progressivement de 3,5 A en 0,07 s.
a)
Quelle est l'inductance propre du solénoïde ?
b)
Page C12-4
c)
Quel est le taux de variation du flux magnétique ?
d)
Quelle est la force électromotrice ?
4.
Un solénoïde possède une longueur de 5 cm et une section de 1 cm2. Une force
électromotrice de 1,5 V apparaît aux bornes de la bobine lorsque le courant diminue de 1,5 A
en 0,05 s.
a)
b)
Quelle est l'inductance propre du solénoïde ?
c)
Quel est le nombre de spires du solénoïde ?
Inductance mutuelle
ΦB1
Pour deux bobines, situées l'une près de l'autre, une
partie du flux produit par l'une traverse l'autre. La
tension induite dans l'une des bobines peut être due
à la variation de courant dans l'une ou l'autre des
bobines. Si le courant varie dans les deux bobines,
on a
⇐
ΦB2
⇐
I1
I2
L1
L2
V1
V2
Note : dI1 >0
dt
dI2
dt >0
d I2
d I1

 E1 = - L1 dt - M 1←2 dt

 E2 = - M 2←1 d I 1 - L2 d I 2

dt
dt
où
et
E1 , E2
L1 , L2
M 2←1
M 1←2
dI 1 dI 2
,
dt dt
sont les forces électromotrices dans la bobine no1 et no2 en volts,
sont les inductances propres de la bobine no1 et no2 en henrys,
est l’inductance mutuelle de la bobine no1 sur la bobine no2 en henrys,
est l’inductance mutuelle de la bobine no2 sur la bobine no1 en henrys
sont les taux de variation des courants dans les bobines no1 et no2 en ampères par
seconde.
Note: On peut montrer que
M 1←2 = M 2←1 = M .
5.
Deux bobines possèdent des inductances propres de 12 mH et 36 mH. L'inductance mutuelle
des bobines, entre elles, est de +6 mH. Le courant augmente de 1 A/min dans la bobine de
12 mH et diminue de 0,5 A/min dans la bobine de 36 mH.
a)
Quelle est la force électromotrice dans la bobine de 12 mH ?
Page C12-5
b)
Quelle est la force électromotrice dans la bobine de 36 mH ?
6.
Deux bobines sont situées l'une près de l'autre. Lorsque le taux de variation du courant dans
la première est de 0,5 A/s, on observe une tension induite de 0,3 V dans la 1re bobine et une
tension induite de 0,1 V dans la 2e bobine. Il n'y a pas de courant dans la 2e bobine.
a)
Quelle est l'inductance propre de la 1re bobine ?
b)
Quelle est la grandeur de l'inductance mutuelle des bobines ?
Inductance équivalente
L'inductance équivalente d'un groupe d'inductances en série est
Léq = L1 + L2 + L3 + K + L N
où
Léq
L1 , L2 , L3
et
LN
est l’inductance équivalente du groupement en henrys,
sont les inductances propres des bobines no1 et no2 en henrys
est l’inductance propre de la nième bobine en henrys.
L'inductance équivalente d'un groupe d'inductances en parallèle est donnée par
1
Léq
où
Léq
L1 , L2 , L3
et
LN
=
1
L1
+
1
L2
+
1
L3
+K+
1
LN
est l’inductance équivalente du groupement en henrys,
sont les inductances propres des bobines no1 et no2 en henrys
est l’inductance propre de la nième bobine en henrys.
Rappelons que les lois de Kirchhoff s'appliquent pour les bobines comme pour les résistances. En série, le
courant est le même et les tensions s'additionnent. En parallèle, la tension est la même et les courants
s'additionnent.
7.
Un groupe de bobines possède les inductances propres suivantes:
L1 = 32 mH
L2 = 120 mH
et
L3 = 480 mH.
a)
Quelle est l'inductance équivalente du groupe de bobines si elles sont toutes en série ?
b)
Quelle est l'inductance équivalente du groupe de bobines si elles sont toutes en parallèle ?
c)
Quelle est l'inductance équivalente du groupe de bobines si la bobine no1 est en série et que les
bobines no2 et no3 sont en parallèle ?
Page C12-6
Circuits RL
R
D'après la loi de Lenz, la f.é.m. d'une bobine
s'oppose à la variation de flux magnétique. Pour
cette raison, lorsqu'on ferme un interrupteur pour
établir un courant dans un circuit RL, la f.é.m. induite
empêche le courant d'augmenter brusquement.
E
A
B
C
R
L
Sur le circuit ci-joint, le courant s'établit lorsque le commutateur est à la position A; puis, le courant cesse
lorsque le commutateur est à la position C.
Établissement d’un courant dans une bobine
I(t)
I0
L'augmentation du courant traversant la bobine
pendant son établissement est décrit par
0,63·I0
I (t ) = I 0 { 1 - e − Rt / L }}
τ
où
et
I (t )
I0
L
t
R
2τ 3τ
4τ 5τ
t
est le courant dans la bobine au temps t en ampères,
est le courant maximal en ampères,
est le temps écoulé en secondes
est la résistance du circuit RL en ohms.
On définit la constante de temps comme
τ=
L
R
et
τ
R
L
Note:
Lorsque le courant est complètement établi, il est égal au courant fourni par la pile sans la bobine
où
est la constante de temps en secondes,
est la résistance du circuit RL en ohms
est l'inductance propre en henrys.
I0 =
E
R
Après un temps égal à la constante de temps, le courant dans la bobine vaut 63% de sa valeur
finale.
Page C12-7
Coupure d’un courant dans une bobine
I(t)
I0
S'il y a un courant dans la bobine avant que le
commutateur soit placé en C, la chute du courant
dans la bobine traversant la bobine est décrite par
I (t ) = I 0 e − Rt / L
0,37·I0
τ
où
et
I (t )
I0
L
t
R
2τ 3τ
4τ 5τ
t
est le courant dans la bobine pendant son établissement en ampères,
est le courant initial en ampères,
est le temps écoule en secondes
est la résistance du circuit RL en ohms.
Note:
Après un temps égal à la constante de temps, le courant traversant la bobine vaut 37% de sa
valeur initiale.
8.
Un courant commence à s'établir dans un circuit en série composé d'une pile de 10 V, d'une
bobine de 15 mH et d'une résistance de 10 Ω.
a)
Quelle est la constante de temps du circuit ?
b)
Quel est le courant dans la bobine après un temps de 4,5 ms ?
c)
Quelle est la tension aux bornes de la résistance après un temps de 4,5 ms ?
d)
Quelle est la tension aux bornes de la bobine après un temps de 4,5 ms ?
9.
Une bobine de 40 mH est traversée par un courant de 2 A. La bobine est reliée à une
résistance de 25 Ω pendant que le courant est en chute.
a)
Quelle est la constante de temps ?
b)
Quel est le courant dans la bobine après un temps de 1,6 ms ?
c)
Quelle est la tension aux bornes de la résistance après un temps de 1,6 ms ?
d)
Quelle est la tension aux bornes de la bobine après un temps de 1,6 ms ?
Énergie emmagasinée dans une bobine
Puisqu'une bobine fournit du courant après le début de la coupure, la bobine restitue de l'énergie qu'elle
avait emmagasinée lorsque son courant a été établi. L'énergie emmagasinée dans une bobine se calcule
avec
UL=
L I2
2
où
et
UL
L
I
Page C12-8
est l'énergie emmagasinée dans la bobine en joules,
est l'inductance propre en henrys
10.
Une bobine de 75 mH est traversée par un courant constant de 0,5 A.
a)
Quelle est l'énergie emmagasinée dans la bobine ?
b)
Quelle est la force électromotrice de la bobine ?
Densité d'énergie du champ magnétique
L'énergie emmagasinée dans un solénoïde est
UL=
où
et
UL
L
I
L I2
2
est l'inductance propre en henrys
Dans cette expression, l'inductance propre d'un solénoïde vaut
L = µ0 n 2 A l
où
et
L
µ0
n
A
l
est la section du solénoïde en mètres carrés
est la longueur du solénoïde en mètres.
Rappelons que le champ magnétique dans le solénoïde vaut
B ⊥ = µ0 n I
où
et
B⊥
µ0
n
I
est le nombre de tours de fil par unité de longueur en spires par mètre
Alors, on a
1
1 ( µ0 n I
2
2
U L = ( µ0 n A l ) I =
2
2
µ0
où
UL
)2 (
A l )=
1 B ⊥2
( Al )
2 µ0
et
µ0
n
A
l
B⊥
Page C12-9
est le champ magnétique perpendiculaire en teslas.
La densité d'énergie est l'énergie par unité de volume. Pour un solénoïde, la densité d'énergie est
uB =
où
et
uB
UL
A
l
B⊥
µ0
2
U L 1 B⊥
=
A l 2 µ0
est la densité d'énergie magnétique (dans l'air) en joules par mètre cube,
est la longueur du solénoïde en mètres,
est le champ magnétique perpendiculaire en teslas
est la perméabilité du vide (4 π ⋅10-7 T⋅m/A).
Ce résultat, pour la densité d'énergie, est bon même s'il ne s'agit pas d'un solénoïde. Ainsi, la densité
d'énergie emmagasinée dans un champ magnétique est
uB =
où
et
uB
B
µ0
1 B2
2 µ0
est la densité d'énergie magnétique (dans l'air) en joules par mètre cube,
est le champ magnétique en teslas
est la perméabilité du vide (4 π ⋅10-7 T⋅m/A).
11.
Un solénoïde est traversé par un courant de 2 A. Le solénoïde possède une section de 4 cm2
et un bobinage de 2 000 spires par mètres. La longueur du solénoïde est de 20 cm.
a)
Quel est le champ magnétique dans le solénoïde ?
b)
Quelle est la densité d'énergie emmagasinée par le champ magnétique dans le solénoïde ?
c)
Quelle est l'énergie emmagasinée dans le solénoïde ?
12.
Un solénoïde ayant une inductance propre de 100 mH possède une section de 0,5 cm2 et une
longueur de 5 cm. L'énergie emmagasinée dans le solénoïde est de 32 nJ.
a)
Quel est le courant dans le solénoïde ?
b)
Quelle est la densité d'énergie magnétique dans le solénoïde ?
c)
Quel est le champ magnétique dans le solénoïde ?
Réponses
1. a) 4,5 A b) +225 A/s c) -1,125 V
2. a) -2,5 A b) -25 A/s c) +1,25 V
3. a) 33,9 mH b) + 50 A/s c) +565,5 µWb d) -1,7 V
4. a) -30 A/s b) 50 mH c) 4 460 spires
5. a) -150 µV b) +200 µV
6. a) 600 mH b) 200 mH
7. a) 632 mH b) 24 mH c) 128 mH
8. a) 1,5 ms b) 0,95 A c) 9,5 V d) 0,5 V
9. a) 1,6 ms b) 0,736 A c) 18,39 V d) 18,39 V
10. a) 9,375 mJ b) 0 V
11. a) 5,026 6 mT b) 10,053 J/m3 c) 804,248 µJ
12. a) 800 µA b) 12,8 mJ/m3 c) 179,4 µT
 Tous droits réservés, Richard Fradette
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