Chapitre 2 – Coordonnées d`un point du plan Table des matières

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Chapitre 2 – Coordonnées d’un point du plan
TABLE DES MATIÈRES – page -1
Table des matières
I
Exercices
I-1
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-5
26
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-5
27
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-5
28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-5
29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-5
30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-5
31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-5
32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-5
2de – Mathématiques
TDM
http://www.maths.lyceebellepierre.fr
II Cours
1
TABLE DES MATIÈRES – page -2
II-1
Coordonnées dans un repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
1a
Exemple et vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
1b
Différents types de repères du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
2
Distance de deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
3
Coordonnées du milieu d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
TDM
I EXERCICES – page I-1
I
Exercices
Placer un point ou lire ses coordonnées
1
1. Lire les coordonnées des points A, B, C, D, E, F ci-contre.
b
2. Dans le repère orthonormé (O, I, J) ci-contre, placer les
points :
G (2 ; 3) H (−4 ; −3) K (0 ; 2)
L (−4 ; −2) M (−3 ; 0) N(1 ; −3)
B
A
b
J+
b
+
O I
F
b
C
b
E
b
D
2
1. Lire les coordonnées des points
A, B, C ci-contre.
b
2. Dans le repère orthogonal
(O, I, J) ci-contre, placer les
points :
D (−3 ; −2) E (4 ; 0)
F (3 ; −3)
b
A
B
J+
O
b
C
+
I
3
1. Lire les coordonnées
des points G, H, K cicontre.
2. Dans le repère (O, I, J)
ci-contre, placer :
L (3 ; −1) M (−3 ; 2)
N (0 ; −1)
b
b
K
J+
G
O
b
+
I
H
4
Que fait cet algorithme ? Tracer la figure dans le repère ci-contre
d’unité 1 carreau.
Pour des valeurs de n allant de −3 à 4 de 1 en 1.
Placer le point de coordonnées (n ; 1)
Fin de la boucle “Pour”
5
Écrire l’algorithme qui place cette série de points. dans le repère
ci-contre d’unité 1 carreau.
b
b
b
b
b
b
TDM
6
Que fait cet algorithme ? Tracer la figure dans le repère ci-contre
d’unité 1 carreau.
Pour des valeurs de n allant de −4 à 3 de 1 en 1.
Tracer le segment qui joint les points
de coordonnées (0 ; 1) et (n ; 3)
Fin de la boucle “Pour”
7
Écrire l’algorithme qui trace cette série de segments. dans le repère
ci-contre d’unité 1 carreau.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Distance
8
Dans le repère orthonormé (O, I, J), d’unité
1 cm, les coordonnées des points A et B sont
A (2 ; 1), B (6 ; 3).
B
b
Calculer la distance AB.
Indications : placer le point C (6 ; 1) et utiliser le triangle ABC.
Ab
J+
+
I
O
9
Dans le repère (O, I, J) ci-contre, placer
à nouveau les points A (2 ; 1), B (6 ; 3),
C (6 ; 1) et tracer le triangle ABC.
J+
Le calcul de l’exercice 8 est-il encore valable ? Pourquoi ?
O
+
I
10
Dans un repère orthonormé les coordonnées
des points A et B sont A (25 ; 12), B (67 ; 28).
La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur
Calculer la distance AB.
Bb
28
12
A
b
25
TDM
67
11
Dans un repère orthonormé (O, I, J), d’unité 1 cm, les coordonnées des points A et B sont :
A (4 ; −1), B (7 ; 3).
1. Tracer la figure.
2. Calculer la distance AB.
3. Vérifier en mesurant.
12
Mêmes consignes que dans l’exercice 11 pour les points C et D, et la distance CD.
C (−4 ; 3), D (8 ; −2).
13
Mêmes consignes que dans l’exercice 11 pour les points E et F, et la distance EF. On donnera la
valeur exacte de EF et son arrondi au dixième près.
E (5 ; −3), F (2 ; 4).
14
Expliquer ce que fait l’algorithme ci-contre.
Afficher « Donner les coordonnées de A : »
Lire xA , yA , xB , yB
Afficher « Quelle distance avez vous trouvé ? »
Lire d1
c prend la valeur (x√B − xA )2 + (yB − yA )2
d2 prend la valeur c
Si d1 = d2 alors afficher « C’est juste. »
sinon afficher « C’est faux. »
15
Écrire un algorithme qui demande les coordonnées de deux points et qui affiche « Trop grand » si
la distance est supérieure à 5, qui affiche « Trop petit » si la distance est inférieure à 5 et « C’est
juste » si la distance est égale à 5.
16
Dans un repère orthonormé (O, I, J), d’unité 1 cm, les coordonnées des points G, H, K sont :
G (3 ; −2), H (4 ; 1), K (−4 ; 2).
2. Calculer le périmètre 1 du triangle GHK. Donner la valeur exacte et l’arrondi au dixième près.
3. Ce triangle est-il isocèle 2 ? Justifier.
17
Le triangle GHK de l’exercice 16 est-il rectangle ? Détailler les calculs et justifier.
18
Dans un repère orthonormé (O, I, J), d’unité 1 cm, les coordonnées des points M, N, P sont :
M (−2 ; 4), N (2 ; −3), P (−4 ; 1).
2. Le triangle MNP est-il rectangle ? Détailler les calculs et justifier.
1. Le périmètre est la longueur du tour d’une figure.
2. Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur
TDM
19
Dans un repère orthonormé (O, I, J), d’unité 1 cm, les coordonnées des points R, S, T sont :
R (−2 ; 2), S (3 ; 3), T (4 ; −2).
2. Le triangle RST est-il rectangle ? Détailler les calculs et justifier.
20
Dans un repère orthonormé (O, I, J), d’unité 1 cm, les coordonnées des points A, B, C, D sont :
A (−2 ; 2), B (3 ; 1), C (−2 ; 3), D (−6 ; −2).
2. Le quadrilatère ABCD est-il un parallélogramme ? Détailler les calculs et justifier (deux calculs
suffisent pour répondre).
21
Dans un repère orthonormé (O, I, J), d’unité 1 cm, les coordonnées des points E, F, G, H sont :
E (−4 ; −2), F (1 ; 8), G (7 ; 6), H (2 ; −4).
2. Le quadrilatère EFGH est-il un parallélogramme ? Détailler les calculs et justifier (deux calculs
suffisent pour répondre).
Coordonnées du milieu
22
Dans un repère, les coordonnées des points
A et B sont A (32 ; 14), B (68 ; 26). Le point
K est le milieu du segment [AB]. La figure
ci-contre n’est pas en vraie grandeur
Calculer les coordonnées du point K.
Bb
26
Kb
yK
A
14
//
//
b
32
xK
68
23
Dans un repère (O, I, J) les coordonnées des points A et B sont :
A (5 ; 1), B (−1 ; 3).
2. Calculer les coordonnées du point K milieu du segment [AB].
3. Vérifier sur la figure.
24
Dans le repère (O, I, J) ci-contre, placer
à nouveau les points A (5 ; 1), B (−1 ; 3)
et le milieu K de [AB].
J+
Les calculs de l’exercice 23 sont-ils encore valables ? Pourquoi ?
O
TDM
+
I
25
Mêmes consignes que dans l’exercice 23 pour les points C et D, et le point L milieu de [CD].
C (−3 ; 1), D (−5 ; −5).
26
Mêmes consignes que dans l’exercice 23 pour les points E et F, et le point M milieu de [EF].
E (2 ; −1), F (−2 ; −4).
27
Écrire un algorithme qui demande les coordonnées de deux points et qui affiche les coordonnées du
milieu du segment qui joint ces deux points.
28
1. Tracer un repère (O, I, J) et placer les points A,B, C, D de coordonnées A (−1 ; 4), B (6 ; 5),
C (3 ; 0), D (−5 ; −1).
2. Tracer le quadrilatère ABCD et ses diagonales.
3. Calculer les coordonnées du point K milieu du segment [AC] et du point L milieu du segment [BD].
4. Les segments [AC] et [BD] ont-ils le même milieu ? Justifier.
5. Le quadrilatère ABCD est-il un parallélogramme ? Justifier en citant une propriété.
29
1. Tracer un repère (O, I, J) et placer les points E, F, G, H de coordonnées E (3 ; 4), F (6 ; −3),
G (1 ; −2), H (−2 ; 5).
2. Tracer le quadrilatère EFGH et ses diagonales.
3. Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [EG] et du point N milieu du segment [FH].
4. Les segments [EG] et [FH] ont-ils le même milieu ? Justifier.
5. Le quadrilatère EFGH est-il un parallélogramme ? Justifier en citant une propriété.
30
Écrire un algorithme qui demande les coordonnées de quatre points A, B, C, D et qui indique si
ABCD est un parallélogramme ou non.
31
1. Tracer un repère (O, I, J) et placer les points A et K de coordonnées A (1 ; 2), K (4 ; 4),
2. Calculer les coordonnées (x ; y) du point B tel que K soit le milieu du segment [AB].
Problème de synthèse
32
1. Tracer un repère (O, I, J) et placer les points A, B, C, D de coordonnées A (−1 ; 4), B (4 ; 5),
C (3 ; 0), D (−2 ; −1).
2. Tracer le quadrilatère ABCD.
3. Le quadrilatère ABCD est-il un losange ? Détailler les calculs et justifier en citant une propriété.
TDM
II COURS – page II-1
II
1
Cours
Coordonnées dans un repère
1a Exemple et vocabulaire
Les coordonnées du point A dans le
repère (O, I, J) sont 4 et 2, et on écrit :
2
A(4 ; 2) .
1
– L’abscisse de A est 4
– l’ordonnée de A est 2.
– Le point O s’appelle l’origine du repère.
– La droite (OI) est l’axe des abscisses,
– la droite (OJ) est l’axe des ordonnées.
−5
−4
−3
−2
−1
−1
+J
+O +1I
2
A
3
4
b
K
−2
−3
B
−4
1b
b
b
−5
Différents types de repères du plan
Un repère (O, I, J) est un repère orthogonal lorsque les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires.
Un repère (O, I, J) est un repère orthonormé lorsque les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires
et OI = OJ.
Exemples :
– le repère de l’exercice no 1 est orthonormé ;
– le repère de l’exercice no 2 est orthogonal, mais pas orthonormé ;
– le repère de l’exercice no 3 n’est pas orthogonal (donc il n’est pas orthonormé non plus).
2
Distance de deux points
Pour deux points de coordonnées A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ) dans un repère orthonormé du plan, on
a l’égalité :
AB 2 = (xB − xA )2 + (yB − yA )2
Exemple : calculons la distance AB dans le repère ci-desssus. Les coordonnées de A et B sont
A(3 ; 2) et B (1 ; −4), donc xA = 3 yA = 2 xB = 1 yB = −4
√
AB 2 = (1 − 3)2 + (−4 − 2)2 = (−2)2 + (−6)2 = 4 + 36 = 40
donc : AB = 40
3
Coordonnées du milieu d’un segment
Dans un repère du plan, pour deux points A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ), les coordonnées du milieu du
xA + xB
yA + yB
segment [AB] sont
et
.
2
2
Exemple : calculons les coordonnées du point K milieu du segment [AB] dans le repère ci-dessus.
xA = 3 yA = 2
4
3+1
= =2
2
2
xB = 1 yB = −4
2 + (−4)
−2
=
= −1
2
2
donc les coordonnées de K sont : K (2 ; −1)
TDM

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