Programme de mathématiques: programme de terminale A

MINISTERE DE L’EDUCATION NATIONALE
-------------DIRECTION DE LA PEDAGOGIE ET DE LA FORMATION CONTINUE
REPUBLIQUE DE COTE D’IVOIRE
UNION-DISCIPLINE-TRAVAIL
--------------
--------------
COORDINATION NATIONALE DE MATHEMATIQUES
PROGRAMME DE
MATHEMATIQUES
PROGRAMME DE TERMINALE A
Novembre 1991
COMMENTAIRE GENERAL
Objectifs généraux
La classe de Terminale est en grande partie un moment de synthèse et
de réflexion sur les connaissances que les élèves possèdent. Ces derniers
seront donc amenés à utiliser de nombreuses notions mathématiques
étudiées en Seconde et en Première, à les approfondir, à les consolider ou à
les prolonger. On s’appuiera constamment sur les acquis antérieurs pour
développer les connaissances propres à la Terminale.
A l’exposé théorique, on préférera toujours une présentation sous
forme d’activités motivées par des documents, des enquêtes, des problèmes
interdisciplinaires.
Il convient de rappeler que le programme de mathématiques de la
série A vise un double objectif :
 montrer aux élèves, peu tournés vers les disciplines scientifiques,
que la mathématique n’est pas une matière rebutante, mais qu’elle
fait partie de la vie de tous les jours au même titre que la
philosophie ou le français ;
 donner aux élèves les outils mathématiques qui leur seront
nécessaires.
Durant le cours, les élèves doivent faire un maximum d’exercices.
La synthèse des résultats essentiels se fera avec l’aide du manuel de la
collection IRMA, sur le cahier de cours qui sera contrôlé régulièrement.
Le document EM donne, chaque chapitre ;
 les objectifs principaux accompagnés de commentaire sur la
présentation des notions ;
 un exemple de trace écrite telle qu’elle pourrait figurer dans le
cahier de cours des élèves (synthèse succincte des connaissances
théoriques – les savoirs – que l’élève doit posséder) ;
 la liste des savoir-faire minimums que l’on peut exiger des élèves à
l’examen.
Analyse
La classe de Terminale sera l’occasion de faire une synthèse sur les
fonctions numérique d’une variable réelle, vues antérieurement. Ces
résultats seront utilisés dans des exercices variés puis complétés (dans les
limites du programme) par l’étude de fonctions polynômes autres que
celles de degré un ou deux, et de fonctions rationnelles dont le signe de la
dérivée est facilement déterminable.
On introduira la notion d’asymptote horizontale ou oblique à la courbe
représentative d’une fonction rationnelle f, sur des exemples, en passant
par l’écriture « f(x) = ax + b + q(x)* où l’on fera constater à l’aide de la
calculatrice que q(x) est « négligeable » lorsque ‫׀‬x‫ ׀‬est « grande » puis,
toujours sur des exemples de fonctions rationnelles, celle d’asymptote
verticale. A cette occasion, on introduira les symboles - ◦◦ et = ◦◦ qui seront
utilisés dans l’écriture des intervalles non bornés tels que [π, + ◦◦ [,]- ◦◦, 2[,
…
L’introduction des fonctions logarithme népérien et exponentielle
népérienne se fera à partir de l’exploration des touches de la calculatrice
et permettra à la fois d’enrichir la liste des fonctions élémentaires dont
disposent les élèves et de compléter l’étude des suites numériques abordée
dans les classes précédentes.
L’approche de la notion de limite se fera graphiquement ou à l’aide de la
calculatrice, à partir d’exemples de suites arithmétiques ou géométriques.
A cette occasion, on introduira les notions : lim v = - ◦◦, lim u =
Enfin, l’étude des suites donnera l’occasion d’initier les élèves au
raisonnement par récurrence.
Organisation de données
En ce qui concerne les quatre exemples d’algorithmes au
programme, il est seulement question, à travers ceux-ci, d’apprendre
aux élèves à analyser une situation, à organiser des données et à réaliser
des tâches. Il n’est pas question de faire apprendre par cœur un
organigramme, mais plutôt de montrer l’utilité de cet outil pour
organiser un travail de la façon la plus «économique possible en
manipulations.
Pour atteindre progressivement ces objectifs :
 on familiarisera les élèves avec le déroulement séquentiel d’une
tâche, la notion de test, la répétition conditionnelle d’une tâche ;
 on fera fonctionner avec les élèves. Un organigramme n’est pas
figé, il peut être aménagé, transformé en fonction des données
ou des besoins. Ce sera d’ailleurs l’occasion de montrer aux
élèves que l’important, dans un problème, est de préciser ce qui
est donné et ce que l’on veut obtenir.
Ces activités algorithmiques se feront tout au long de l’année à
l’occasion de certains chapitres sans que cela ne figure explicitement
dans la progression.
Le dénombrement viendra en complément de l’étude sur
l’organisation des données réalisées en Première. Son objectif est le
calcul de la probabilité d’un évènement élémentaire (cas
d’équiprobabilité) comme le quotient du " nombre de cas favorables"
par le "nombre de cas possibles".
En statistiques, on complétera l’étude de la classe de Première par
celle des caractéristiques de dispersion autres que la variance et l’écart-
type déjà connus et l’étude conjointe de deux caractères d’une série
statistique pour initier à l’ajustement linéaire.
Remarque
L’introduction des symboles de logique (Ξ, А,
et
) n’est
pas indispensable en Terminale A, même si le manuel de la classe en
utilise quelques-uns par moment.
I
ANALYSE
Rappel des règles relatives au calcul des dérivées usuelles.
 Dérivées d’une fonction composée.


Exploitation des dérivées dans l’étude sur un intervalle borné :
- de fonctions polynômes ;
- de fonctions rationnelles : à cette occasion, on dégagera la notion
d’asymptote à une courbe.
Problèmes se ramenant à l’étude de la suite n→ aⁿ (a > 0).

Etude de la fonction x.→ ax (a> 0) à partir des touches de la
calculatrice.

Fonction logarithme népérien et fonction exponentielle (¹) ;
application à l’étude du comportement de quelques suites
numériques.

Initiation au raisonnement par récurrence. Approche de la notion
de limite à partir des suites.
(¹) Ces fonctions peuvent être introduites à partir des touches EXP et LN
d’une calculatrice.
Pour les A1 seulement :

Primitive comme résultat de l’opération inverse de l’opération de
dérivation.

.intégrale d’une fonction continue sur un intervalle ; interprétation
graphique à l’aide d’une aire. Propriété de l’intégrale ; technique de
calcul.
II


Calculs appropriés par encadrement.
Ordre de grandeur du résultat d’un calcul.
ACTIVITES ALGORITHMIQUES
Exemples d’algorithmes :
- de la résolution d’équations du second degré ;
- de la résolution numérique d’équations (par différentes méthodes) ;
- du calcul numérique d’une valeur approchée de l’aire d’une partie du
plan (méthode des rectangles) ;
- d’approximation de nombres réels par des suites rationnelles.
III
ORGANISATION DES DONNEES
Exemples ;.
- de rangement d’objet suivant un ordre choisi ;
- de classement d’objets par sous-ensembles ;
- d’organisation d’un fichier ; notion de tri.
.
1. Dénombrements – Probabilités


Nombre d’éléments du produit cartésien de deux ensembles finis
.
Nombre d’éléments de l’ensemble Eр des p-listes d’éléments d’un
ensemble fini E. cas ou les éléments sont distincts deux à deux (A рⁿ).

Nombre de permutations d’un ensemble à n éléments. Notion n !.

Nombre de parties à p élément choisis dans un ensemble à n éléments
(Cрⁿ).

Formules :

Introduction élémentaire aux probabilités : évènements,
probabilité d’un évènement dans l’hypothèse d’équiprobabilité en
utilisant le quotient du "nombre de cas favorables" par le "nombre
de cas possibles".

Etude conjointe de deux caractères d’une série, nuage de points,
point moyen.

Initiation à l’ajustement linéaire par des méthodes graphiques ou
par la méthode de Mayer..
2. Statistiques

Caractères qualificatifs.

Représentations graphiques diverses. Mode.

Caractères quantitatifs. Représentations graphiques.
 Caractéristiques de position et de dispersion : moyenne, mode,
médiane, quartile, décile.
PROGRESSION DE TERMINALE A1
Semaine
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
3 heures par semaine
2 heures par semaine
Fonctions numériques : outils, dérivation, sens
de variation
Dénombrement
Probabilités
18 heures
18heures
Fonctions polynômes
Fonctions rationnelles
15 heures
Primitive et intégrale d’une fonction continue
sur un intervalle
09 heures
Statistiques
Fonction logarithme népérien
Fonction exponentielle népérienne
12 heures
11 heures
Suites numériques
18 heures
Révisions
08 heures
PROGRESSION DE TERMINALE A2 ET A3
Semaine
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2 heures par semaine
2 heures par semaine
Fonctions numériques : outils, dérivation,
sens de variation
Dénombrement
Probabilités
15 heures
15 heures
Fonctions polynômes, fonctions rationnelles
12 heures
Notion d’asymptote à une courbe
Fonction logarithme népérien
Fonction exponentielle népérienne
11 heures
12 heures
Suites
12 heures
Révisions
12 heures
PROGRAMME DE TERMINALES C ET E
Novembre 1999
ACTIVITES GEOMETRIQUES
I-
CONFIGURATIONS DE L’ESPACE
CONTENU
Configurations de l’espace
II-

COMMENTAIRES
Toutes les configurations de l’espace
vues dans les classes antérieures peuvent
être utilisées dans les exercices.
CONFIGURATION PLANES
CONTENU
Coniques
 Définitions géométriques :
- définitions par foyer et directrice ;
- vocabulaire : foyers, directrices,
excentricité, sommets, axe focal ;
- définition bifocale de l’ellipse et de
l’hyperbole.
 Equations cartésiennes :
- équations réduites d’une parabole,
d’une ellipse et d’une hyperbole ;
- éléments remarquables : paramètre,
sommets, axe focal, foyers, directrices,
asymptotes, demi-distance focale.

SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX

Représentation graphique des coniques.
Ligne de niveau de l’application
M→ Mes (MA. MA).
 Définition.
 Propriétés.

COMMENTAIRES

Les représentations paramétriques des
coniques sont hors programme.
Déterminer l’équation réduite d’une
conique :
- à l’aide d’une définition par foyer et
directrice ;
- à l’aide de la définition bifocale ;
- par un changement de repère
(l’équation étant de la forme ax² + by²
cx + dy + e = 0).
* connaissant l’équation réduite d’une
conique, déterminer les éléments
remarquables.
Représenter graphiquement une conique
à l’aide des éléments remarquables.

Les formules sur les équations de la
tangente sont hors programme.

On fera quelques activités sur le
régionnement du plan par les coniques.
Déterminer et construire une ligne de
niveau de l’application
M→ Mes (MA. MA).

Les arcs capables des angles non
orientés ont été vus en seconde.
III-
OUTILS VECTORIELS
CONTENU
Calculs barycentriques dans le plan et dans
l’espace
 Barycentre de n points pondérés.


Réduction de
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX

Réduire

Réduire

Déterminer les lignes et surfaces de
niveaux des applications du type :
- M→
Réduction de
- M→

IV-
COMMENTAIRES

Il s’agit de compléter l’étude vue en
classe de première et de l’étendre à un
nombre quelconque de points dans le
plan et dans l’espace. En pratique, on
utilisera au plus 4 points.

La détermination et la construction dans
le plan des lignes de niveau de
l’application M→
vues en
classe de première pourront être
réinvesties.
Construire dans le plan les lignes de
niveau de l’application M→
APPLICATIONS
CONTENU
Isométries planes
 Définition.
 Décomposition d’une translation et
d’une rotation en produit de symétries
orthogonales.
 Composée d’une rotation et d’une
translation.
 Composée d’une rotation et d’une
symétrie orthogonale.
 Composée d’une translation et d’une
symétrie orthogonale.
 Classification des isométries :
- à l’aide de leurs points invariants ;
- en déplacements et antidéplacements.
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX

Déterminer la nature de la composée de
deux isométries.

Utiliser la composée de deux isométries
pour :
- démontrer une priorité ;
- construire une figure ;
- déterminer un ensemble de points.
Mettre en œuvre la décomposition des
isométries pour déterminer les éléments
caractéristiques de la composée de deux
isométries.
Déterminer la nature d’une isométrie
connaissant l’ensemble de ses points
invariants


COMMENTAIRES
CONTENU
Complexes et géométrie plans
 Ecriture complexe des transformations :
- Translation.
- Symétrie centrale.
- Symétrie orthogonales par rapport aux
axes du repère.
- Homothétie de centre Ώ et de rapport λ
– Rotation de centre Ώ et d’angle θ
- Similitude directe de centre Ώ, de
rapport λ (λ > 0) et d’angle θ.
Similitudes directes du plan
 Définition : une similitude directe de
rapport λ (λ > 0) est la composée d’une
homothétie de rapport λ et d’un
déplacement.

SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX




Forme
réduite
et
éléments
caractéristiques d’une similitude directe.

Propriétés de conservation.

Propriété : toute similitude directe
multiplie les distances par le rapport.

La composée d’une homothétie de
rapport k et d’un déplacement est une
similitude de rapport ‫ ׀‬k ‫׀‬.

Similitude directe déterminée par deux
points et leurs images.

Déterminer l’écriture complexe d’une
transformation donnée.
Déterminer les éléments caractéristiques
d’une transformation dont on connaît
l’écriture complexe.
Utiliser l’écriture complexe d’une
transformation pour résoudre des
problèmes/
Déterminer et construire l’image d’un
point, d’une droite, d’un segment, d’un
cercle par une similitude directe définie
par :
- son centre, son angle et son rapport ;
- son centre, un point et son image ;
- son rapport, son angle, un point et son
image.

Utiliser une similitude directe du plan
pour :
résoudre
des
problèmes
de
construction ;
- calculer les distances et des aires ;
- déterminer des lieux géométriques ;
- démontrer des propriétés (parallélisme,
orthogonalité, contact…).

Déterminer les éléments caractéristiques
d’une similitude directe définie par :
- son centre, un point et son image ;
- deux points et leurs images.
COMMENTAIRES
.il ne s’agit pas de faire une théorie sur
les transformations et leur écriture
complexe, mais d’utiliser ces écritures.

Les similitudes indirectes ne sont pas au
programme.

On fera remarquer que les translations,
les rotations et les homothéties sont des
cas particuliers de similitudes directes.

Pour la recherche du centre d’une
similitude directe qui n’est pas un
déplacement, l’élève sera guidé.
ACTIVITES NUMERIQUES
I-
CALCUL NUMERIQUE
CONTENU
Nombres complexes
 Ensemble des nombres complexes :
- partie réelle (Re), partie imaginaire
(‫׀‬m) ;
- forme algébrique ;
- somme, produit, quotient de deux
nombres complexes ;
- conjugué d’un nombre complexe,
propriétés ;
- égalité de deux nombres complexes.




Forme trigonométrique d’un nombre
complexe :
- module et argument d’un nombre
complexe ;
- module et argument du produit, de
l’inverse, du quotient et de la puissance
entière d’un nombre complexe.
Forme exponentielle (r e‫׀‬e).
Représentation
géométrique
d’un
nombre complexe :
- affixe d’un point, d’un vecteur ;
- point image et vecteur image d’un
nombre complexe.
Applications géométriques :
- mes (DC, BA) = arg
- caractérisations complexes :
- d’un cercle,
- d’une droite.
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX






Déterminer la partie réelle, la partie
imaginaire d’un nombre complexe.
Calculer la somme, le produit et le
quotient de deux nombres complexes.
Déterminer me conjugué d’un nombre
complexe.

Ce
nouvel
ensemble
s’intègre
naturellement dans le prolongement de
IR. Il offre de plus un domaine
d’activités numériques riches.

On alternera les situations algébriques et
géométriques afin d’entraîner les élèves
au passage de l’une à l’autre.
Déterminer le module et un argument
d’un nombre complexe non nul.
Passer de la forme trigonométrique à la
forme algébrique et inversement.

Représenter graphiquement un nombre
complexe.


Démontrer que des points sont alignés.
Démontrer que des points sont
cocycliques.
Déterminer des lieux géométriques à
l’aide des nombres complexes.

COMMENTAIRES
Une construction formelle de l’ensemble
des nombres complexes. N’est pas à
envisager.
CONTENU
Arithmétique (spécifique à la série C)
 Divisibilité dans Ζ .
- Multiples d’un entier relatif ;
- Notation n Z ;
- Diviseurs d’un entier relatif.
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX


COMMENTAIRES
L’arithmétique est .spécifique à la terminale C
Démontrer qu’un entier est divisible par et n’est pas au programme de terminale E.
un entier donné.
Déterminer le quotient et le reste de la
division euclidienne d’un entier relatif
par un entier naturel non lul.

Division euclidienne :
- dan IN ;
- dans Z.

Congruence modulo n :
- définition ;
- propriété de conformité avec les
opérations.

Utiliser les propriétés des congruences
pour résoudre des problèmes de
divisibilité.

Nombres premiers.
- Définition ;
- L’ensemble des nombres premiers est
infini ;
- Décomposition d’un entier naturel en
produit de facteurs premiers.


Démontrer qu’un nombre est premier.
Décomposer un entier en produit de
facteurs premiers.
Déterminer l’ensemble des diviseurs
d’un entier nature non nul.



PGCD, PPCM.
- Définitions et propriétés.
- Algorithme d’Euclide.
- Théorème de Bézoul.
- Théorème de Gauss.




Numération décimale et binaire
- Existence et unicité de
décomposition d’un nombre.
la


Les congruences permettent de donner
une justification des critères de
divisibilité vus au premier cycle.

L’existence
et
l’unicité
de
la
décomposition d’un entier naturel en
produit de facteurs premiers seront
admises.

Le système binaire a son application en
informatique.
Déterminer le PGCD de deux nombres :
- à l’aide de l’algorithme d’Euclide ;
- à l’aide de la décomposition en produit
de facteurs premiers.
Déterminer la PPCM de deux nombres :
- à l’aide de la décomposition en produit
de facteurs premiers ;
- à l’aide du PGCD.
Utiliser le théorème de Bézoul pour
démontrer que des entier sont premiers
entre eux..
Utiliser le de Gauss pour résoudre des
problèmes d’arithmétique.
Ecrire en base 2 un nombre donné en
base 10 et réciproquement.
II-
CALCUL LITTERAL
CONTENU
Applications des nombres complexes à la
trigonométrie
 Formule de Moivre.
 Formule d’Euler.
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX


Equations dans C :
 Racines carrées d’un nombre complexe
non nul.
 Equations du second degré dans C.
 Racines nième de l’unité ; interprétation
graphique.
 Racines nième d’un nombre complexe
non nul.
Equations différentielles :
 Equation différentielle du type f = k f.


Utiliser les formules de Moivre et
d’Euler pour retrouver des formules
trigonométriques.
Linéariser des puissances de cos x et sin
x à l’aide des nombres complexes.
COMMENTAIRES

On se limitera à des exposants peu
élevés. Les formules trigonométriques
obtenues ne sont pas à apprendre par
cœur.

On utilisera beaucoup d’exemples tirés
des sciences physiques pour consolider
les acquis de ce chapitre.
La
résolution
des
équations
différentielles du type a f' + b f + c f = g
où a, b et c sont des nombres réels non
nuls et la théorie qui l’accompagne sont
hors programme.
Déterminer les racines carrées d’un
nombre complexe donné sous forme
algébrique.
Résoudre des équations dans C.

Déterminer sous forme trigonométrique
les racines nièmes d’un nombre
complexe
et
les
représenter
graphiquement.


Equation différentielle du type f'= 0.

Résoudre une équation différentielle du
type f = k f.
Equation différentielle du type f'= 0.

Equation différentielle du type f' = m f.

Equation différentielle du type f' = m f.

III-
ORGANISATIONS DES DONNEES
CONTENU
Suites numériques
 Suites monotones.

Suites majorées, minorées, bornées.

Suites convergentes.
- Notion de convergence.
- Unicité de la limite (admis).
- Toute suite décroissante et minorée converge.
- S f est une fonction numérique telle que lim f(x)
= ‫ ׀‬alors la suite définie par Un = f(n)
x→ + ◦◦
converge ver .‫׀‬
- Si (Un) est une suite convergeant vers a et f une
fonction continue en a alors la suite vn ) f(Un)
converge vers f(a).
Convergence des suites géométriques et des
suites du type nª.
Suite divergentes.
* théorèmes de comparaison.
Soient les suites (vn) et Un)
1) Si à partir d’un certain rang, Vn ≤ Un et si
(vn) tend vers + ◦◦, alors (Un) tend vers + ◦◦.
2) Si à partir d’un certain rang , Vn ≤ Un et si
(Un) tend vers - ◦◦, alors (vn) tend vers - ◦◦.
3) Si à partir d’un certain rang ,‫ ׀‬VN 6 ‫ ≤׀ ׀‬Un et
si (Un) tend vers 0, alors (vn) tend vers ‫׀‬.
4) Si à partir d’un certain rang, Vn ≤ Un ≤ Wn
et si (vn) et (wn) tendent vers , alors (Un)
tend vers ‫ ׀‬.
5) Si à partir d’un certain rang, Vn ≤ Un et (Un)
tend vers et (vn) tend vers ‫ ׀‬, alors ≤ ‫ ׀‬.



SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX



Démontrer qu’une suite est monotone :
- par comparaison de deux termes
consécutifs ;
- par l’étude des variations dune fonction ;
- par un raisonnement par récurrence.
Démontrer qu’une suite est majorée et/ou
minorée :
- par un calcul direct ;
- par l’étude des variations d’une fonction
- par un raisonnement par récurrence.
Démontrer qu’une suite est convergente ou
divergente :
- Par l’étude du comportement d’une
fonction ;
- par l’utilisation des opérations sur les
limites ;
- par l’utilisation des théorèmes de
comparaison.
COMMENTAIRES

Les occasions d’utiliser le raisonnement
par récurrence sont nombreuses dans le
programme
(suites,
intégrales,
arithmétique). On apprendra donc aux
élèves à mettre en œuvre ce type de
raisonnement.
Lorsque
ce
raisonnement
est
indispensable, l’énoncé le suggèrera.

De même qu’en première, la notion de
limite de fonction a été introduite de
façon intuitive, on pourra s’appuyer sur
l’utilisation de la calculatrice et des
graphiques pour l’introduction de la
notion de convergence d’une suite.

CONTENU
Suite (aⁿ) et nª) – Croissance comparée.
- Limites et comportements asymptotiques
comparés des suites (In n) ; (aⁿ), a > 0 et (nª), a
réel.
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX



Suites récurrentes définies par une relation du
type Un+1 = f(Un).
- Soit (Un) une suite définie par Un+1 = f(Un). Si
(Un) converge vers ‫ ׀‬et si f est continue en ‫ ׀‬alors
f ) = ‫׀‬.

Conjecturer à partir d’une représentation
graphique le comportement d’une suite
récurrente.

COMMENTAIRES
O, traitera sur des exemples guides
quelques méthodes de recherche de
solutions approchées d’une équation
numérique (dichotomie, tangente,
interpolation linéaire…) et du calcul
approché d’une intégrale.
Dans le cas de l’approximation d’un
point fixe a de f, on soulignera l’intérêt
(théorique et numérique) d’une
inégalité. ‫ ׀‬f(x) – a ‫ ׀ ≤ ׀‬x – a‫׀‬, où 0 <
k < 1.
Toute étude de suite du type Un+1 =
f(Un) devra comporter des indications
sur la méthode à suivre.
CONTENU
Dénombrement
 Formule du binôme.
Probabilités
 Vocabulaire.







SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX


Développer (a + b)ⁿ.
Calculer la probabilité d’un évènement.
Définition d’une probabilité dans l’hypothèse
d’équiprobabilité.
Evènements indépendants :
- définition ;
- propriétés.
Variable aléatoire :
- définition ;
- loi de probabilité ;
- fonction de répartition ;
- espérance mathématique ;
- variance ; écart-type.
Schéma de Bemoulli.
Probabilité d’obtenir k succès dans une suite de
n épreuves de Bemoulli ( 0 ≤ k ≤ n).
Loi bonômiale :
- V(X) = np(1 – p) ;
- E(X) = np.
Probabilité conditionnelle (spécifique à la série
E)
- p(A/B) =
COMMENTAIRES

Sur des exercices, on consolidera des
acquis de la classe de première sur le
dénombrement.

Pour le développement de (a + b)ⁿ, on se
limite à des valeurs raisonnables de n.

Toute situation de non-équiprobabilité est
hors programme.

On apprendra aux élèves à reconnaître un
évènement élémentaire d’une expérience
aléatoire.

Démontrer que deux évènements sont
indépendants.

* on choisira des situations concrètes
simples, pour mettre en place le
vocabulaire des probabilités.

Une variable aléatoire étant donnée :
- déterminer sa foi de probabilité et sa
fonction de répartition ;
- construire sa fonction de répartition ;
- calculer son espérance mathématique ;
- calculer sa variance et son écart-type.

On fera le lien entre la fréquence en
statistique et la probabilité de
l’évènement correspondant.

L’utilisation des outils combinatoires
(arrangement, combinaison) se fera sans
difficultés techniques.

La probabilité conditionnelle est
spécifique à la terminale E et n’est pas
au programme de terminale C.

Calculer la probabilité d’obtenir k succès
dans une suite de n épreuves de Bemoulli
( 0 ≤ k ≤ n).

Calculer la probabilité conditionnelle
d’un évènement par rapport à un
évènement de probabilité non nulle.
CONTENU
Limites, continuité et dérivabilité
 Limites.
-Limite d’une fonction composée.
- Limite d’une fonction monotone sur un
intervalle ouvert.
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX

Déterminer la limite d’une fonction :
- en utilisant les limites de référence ;
- en utilisant une expression conjuguée ;
- en ayant recours à la définition d’un
nombre dérivé.
Déterminer la limite d’une fonction
composée.

La propriété sur la limite d’une fonction
monotone sur un intervalle ouvert sera
utilisée dans les suites et les fonctions
définies par intégrales.

Déterminer l’image d’un intervalle par
une fonction continue :
- en utilisant le tableau de variations ;
- en utilisant une méthode algébrique.


Démontrer qu’une fonction f est une
bijection d’un intervalle ‫ ׀‬sur un
intervalle J dans le cas où f est continue
et strictement monotone sur ‫׀‬.
En outre dans des cas simples où f est
donnée par une formule explicite,
déterminer f¯¹(x).
La détermination de l’image d’un
intervalle par une fonction continue par
une méthode algébrique ne sera proposée
qu’à travers des exercices guidés.
On n’abordera pas le théorème des
valeurs intermédiaires dans le cas
général.

Prouver l’existence d’une unique solution
de l’équation f(x) = m sur un intervalle ‫׀‬,
f étant continue et strictement monotone
sur ‫׀‬.


Fonctions continues sur un intervalle.
- Opérations, composée (propriétés admises).
- Image d’un intervalle.
- Fonction continue et strictement monotone sur
un intervalle :
Théorème 1 : Si f est une fonction continue et
strictement monotone sur un intervalle ‫ ׀‬, alors f
est une bijection de ‫ ׀‬sur f( ‫) ׀‬. Sa bijection
réciproque f¯¹ est continue et de même sens de
variation que la fonction f.
Théorème 2 : Si f est une fonction continue et
strictement monotone sur un intervalle ‫ ׀‬, alors
pour tout m de f( ‫) ׀‬, l’équation f( x) = m admet
une unique solution dans ‫ ׀‬.
Corollaire : Soit f une fonction continue et
strictement monotone sur [a, b]. Si f(a) et f(b)
sont de signes contraires, alors l’équation f(x) =
0 admet une unique solution dans l’intervalle
ouvert ]a, b[.

CONTENU
Toute fonction dérivable sur un intervalle est
COMMENTAIRES
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX


On habituera les élèves à donner une
valeur approchée d’une solution d’une
équation.

On ne demandera pas de justifier la
continuité d’une fonction sur un
intervalle.
COMMENTAIRES
continue sur cet intervalle.

Fonction dérivées.
- Dérivées successives ; nouvelles notations
- Dérivée d’une fonction composée (admis) ;
application à la dérivation des fonctions de la
forme Uⁿ (NεZ*), In ◦u, exp o u,
uª (u ε k*), √u.

Démontrer qu’une fonction composée est
dérivable en un point et savoir calculer le
nombre dérivé en ce point.

On ne s’attardera pas à une utilisation
générale de la dérivée d’une fonction
composée.
- Existence de la dérivée d’une fonction
réciproque (admis), formule de la dérivée de la
fonction réciproque.

Préciser l’ensemble des éléments où la
fonction réciproque d’une fonction
donnée est dérivable.
Déterminer le nombre dérivé de la
fonction f¯¹ en un point x◦.
Utiliser l’inégalité des accroissements
finis pour :
- démontrer une inégalité ;
- établir un encadrement.
Etudier la dérivabilité d’une fonction
définie par intervalles en un point de
raccordement.
Interpréter graphiquement la dérivabilité
à droite (resp. à gauche) d’une fonction
en un point x◦.

On se limitera à l’utilisation de la
formule donnant la dérivée d’une
fonction réciproque uniquement en un
point x◦ et cela pour des exemples ne
présentant pas de difficulté particulière.

On ne demandera pas de justifier la
dérivabilité d’une fonction sur un
intervalle.

- Inégalité des accroissements finis (2 formes).

- Nombre dérivé à droite (à gauche) d’une
fonction en un point.

- Demi- tangente.

CONTENU
Etude et représentation graphique de fonctions
 Branches paraboliques de direction (OI) ou (OJ)
dans un repère (O, I, J).

Représentation graphique des fonctions du
type :
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX

x→ + ◦◦

Démontrer qu’une courbe admet une
branche parabolique de direction (OI)
(resp. (OJ) ).

Résoudre des équations ou inéquations
faisant intervenir des fonctions exp ou In.
-x→ ⁿ√x (n ε IN*) ;
-x→ x' (r ε θ, x ε IR•* ).
- Définitions ; notation x p/q.
- Propriétés des puissances d’exposants
rationnels, dérivée et représentation graphique.






Fonctions logarithme népérien et fonction
exponentielle népérienne ;
- définitions, propriétés, représentation
graphique ;
- limites de référence.
Logarithme décimal : définition.
Définition de la fonction exponentielle de base
a (a ε IR•* \ { 1}).
Définition de la fonction puissance d’exposant
réel non nul.
Croissance comparée des fonctions logarithme
népérien, exponentielle et puissances.
Fonctions du type In ◦ u, exp ◦ u, uª (a ε IR*).
Interpréter graphiquement lim


Etant donnée une fonction définie par une
formule explicite, l’étudier et la
représenter.
Utiliser les limites sur la croissance
comparée pour calculer d’autres limites.
COMMENTAIRES

L’étude générale des branches infinies est
hors programme.

Aucune étude des propriétés de la fonction
logarithme décimal ne sera faite mais on
l’utilisera dans des exercices.

Toute étude de fonction doit être guidée.

On n’abusera pas des fonctions définies par
raccordement.
CONTENU
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX
Primitives
 Définition d’une primitive.

Existence de primitives d’une fonction continue
sur un intervalle (admis).

Ensemble des primitives d’une fonction
continue.

Unicité de la primitive d’une fonction prenant
une valeur donnée en un point donné.

Primitives des fonctions de référence.

Primitives de u + v,
COMMENTAIRES



Déterminer les primitives d’une fonction
en utilisant les primitives des fonctions de
référence.
Déterminer les primitives d’une fonction
du type :
- au+ ß v , (a ; ß) ε IR² .
- v'x (u'◦ v) ;
- v' x um (m ε IR - { -1}).
- u'x eu.

Déterminer la primitive qui prend une
valeur donnée en un point donné, d’une
fonction.
Les fonctions considérées sont toutes
continues sur un intervalle et les primitives
sont définies sur un intervalle.
CONTENU
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX
Calcul intégral
 Définition de l’intégrale d’une fonction
continue f :
b f(t) dt = F(b) – F(a) où F est une primitive
a
de f.

La fonction x→ s f(t) dt est l’unique primitive
de f qui s’annule en a.

Interprétation graphique de l’intégrale d’une
fonction continue positive.

Propriétés :
- linéarité ;
- relation de Chasles ;
- positivité ;
- si f ≤ g sur [a, b] alors b f(t)dt≤ b g(t)dt ;
- inégalité de la moyenne
-si m ≤ f ≤ M sur [a, b] alors
M (b – a) ≤ b f(t)dt ≤ M (b – a) ;
- si ‫ ׀‬f ‫ ≤ ׀‬M, alors
‫ ׀‬b f(t)dt ‫ ≤ ׀‬M ‫׀‬b – a‫׀‬.
- valeur moyenne d’une fonction ;
- intégration par parties ;
- changement de variable affine.

Application au calcul d’aire.

Fonction du type F : x→
x f(t) dt.

Calculer une intégrale :
- en utilisant les primitives des fonctions
usuelles ;
- en utilisant une intégration par parties ;
- en utilisant un changement de variable
affine.

Utiliser la relation de Chasles pour
effectuer un calcul intégral.

Connaissant un encadrement d’une
fonction f sur [a, b], trouver un
encadrement de b f(t) dt.

Calculer l’aire d’une partie du plan limitée
par :
- la courbe représentative d’une fonction,
l’axe des abscisses et les droites d’équation
x = a et x = b ;
Etant donné la fonction F : x→ x f(t) dt :
-à partir d’une majoration ou d’une
minoration donnée, déduire l’existence ou
non des limites de F aux bornes de son
ensemble de définition ;
- étudier les variations de F ;
- donner une allure de la représentation
graphique

COMMENTAIRES

Les fonctions considérées sont toutes
continues sur l’intervalle d’intégration.

On pourra calculer sur des exemples la
valeur approchée d’une intégrale par la
méthode des rectangles.

L’unité d’aire attendue doit être précisée
dans l’énoncé.

L’étude de la fonction x→ x f(t) dt sera
guidée.
PROGRAMME DE TERMINALE D
ACTIVITES GEOMETRIQUES
I-
APPLICATIONS
CONTENU
Complexes et géométrie plane
 Ecriture complexe des transformations :
- Translation.
- Symétrie centrale.
-Symétries orthogonales par rapport aux axes
du repère.
- Homothétie de centre Ω et de rapport λ.
- Rotation de centre Ω et d’angle θ.
- Similitude directe de centre Ω, de rapport λ
(λ > 0) et d’angle θ.
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX

Déterminer l’écriture complexe d’une
transformation donnée.

Déterminer les éléments caractéristiques
d’une transformation dont on connait
l’écriture complexe.

Utiliser l’écriture complexe d’une
transformation pour :
- démontrer une propriété ;
- Construire une figure ;
- recherche un ensemble de points.
COMMENTAIRES
*
il ne s’agit pas de faire une théorie sur les
transformations et leur écriture complexe,
mais d’utiliser ces écritures.

Les similitudes indirectes ne sont pas au
programme.
ACTIVITES NUMERIQUES
I-
CALCUL NUMERIQUE
CONTENU
Nombres complexes
 Ensemble des nombres complexes :
- partie réelle (Re), partie imaginaire ( ,)m‫׀‬
mrbémlai mmofeuqi
- somme, produit, quotient de deux nombres
complexes ;
- conjugué d’un nombre complexe, propriétés ;
- égalité de deux nombres complexes.

Forme trigonométrique d’un nombre
complexe :
- module et argument d’un nombre complexe ;
- module et argument du produit, de l’inverse,
du quotient et de la puissance entière d’un
nombre complexe.

Forme exponentielle (r e'θ).

Représentation géométrique d’un nombre
complexe :
- affixe d’un point, d’un vecteur ;
- point image d’un nombre complexe ;
- vecteur image d’un nombre complexe.

Applications géométriques :
- mes (DC, BA) = arg
- caractérisations complexes :
- d’un cercle,
- d’une droite.
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX





Déterminer la partie réelle, la partie
imaginaire d’un nombre complexe.
Calculer la somme, le produit et le quotient
de deux nombres complexes.
Déterminer le conjugué d’un ombre
complexe.

Une construction formelle des nombres
complexe n’est pas à envisager.

Ce nouvel ensemble s’intègre
naturellement dans le prolongement de IR.
Il offre de plus un domaine d’activités
numériques riche.

On alternera les situations algébriques et
géométriques afin d’entrainer les élèves au
passage de l’une à l’autre.
Déterminer le module et un argument d’un
nombre complexe non nul.
Passer de la forme trigonométrique à la
forme algébrique et inversement.

Représenter graphiquement un nombre
complexe.


Démontrer que des points sont alignés.
Démontrer que des points sont
cocycliques ;
Déterminer des lieux géométrique à l’aide
des nombres complexes.

COMMENTAIRES
II-
CALCUL LITTERAL
CONTENU
Equations dans ¢ :
 Racines carrées d’un nombre complexe.

Equations du second degré à coefficients
complexes.

Racines nièmes de l’unité.

Racines nièmes d’un nombre complexe non nul,
interprétation graphique.
Applications à la trigonométrie
 Formule de Moivre.


Résoudre une équation du second degré à
coefficients complexes ainsi que des
équations s’y ramenant.

Placer sur le cercle trigonométrique les
images des racines nièmes d’un nombre
connaissant l’une d’elles.

* déterminer les racines nièmes d’un
nombre complexe.
Linéariser des puissances de cos x et sin x.

Equation différentielle du type f' m f.
COMMENTAIRES

On se limitera à des exposants peu élevés.
Les formules trigonométriques obtenues ne
sont pas à apprendre par cœur.
On utilisera beaucoup d’exemples tirés des
sciences physiques pour consolider les
acquis de ce chapitre.
La résolution des équations différentielles
du type a f' + b f + c f = g où a, b et c sont
des nombres réels non nuls et la théorie qui
l’accompagne sont hors programme.

Utiliser les formules de Moivre et d’Euler
pour transformer des produits en somme
dans des expressions trigonométriques.

Résoudre une équation différentielle du
type f = k f.


Résoudre une équation différentielle du
type f' = 0.


Résoudre une équation différentielle du
type f' = m f.
Formule d’Euler.
Equations différentielles :
 Equation différentielle du type f = k f.

SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX
III-
ORGANISATION DES DONNEES
CONTENU
Suites numériques
 Suites monotones.

SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX


Suites convergentes.
- Notion de convergence.
- Unicité de la limite (admis).
- S f est une fonction numérique telle que lim f(x) = ‫׀‬
alors la suite définie par Un = f(n)
x→ + ºº
convergence ver ‫׀‬.
- Suite majorée :
Toute suite croissante et majorée converge (admis).


- convergence des suites géométriques et
arithmétiques.

Démontrer qu’ne suite est monotone par :
- une comparaison de deux termes consécutifs
quelconques ;
- l’étude des variations d’une fonction ;
- un raisonnement par récurrence.
Démontrer qu’une suite est convergente ou
divergente en utilisant :
- les opérations sur les limites ;
- une suite géométrique ou arithmétique ;
- les théorèmes sur la convergence.



Résoudre des problèmes concrets (biologie,
économie), utilisant principalement les suites
arithmétiques ou géométriques.

Suites divergentes.
Statistiques
 Séries statistiques à deux caractères.
- Nuage de points.
- Point moyen.
- Ajustement linéaire par la méthode des moindres
carrés.
- Covariance.
- Droite de régression.
- Coefficient de corrélation linéaire.
COMMENTAIRES
* utiliser un tableau à double entrée représentant une série à
deux caractères pour reconstituer les séries marginales.

Calculer la covariance.

Calculer le coefficient de corrélation linéaire

Déterminer une équation d’une Droite d’ajustement
linéaire par la méthode des moindres carrés.

Interpréter le coefficient de corrélation linéaire.
Les occasions d’utiliser le raisonnement par
récurrence sont nombreuses dans le programme
(suites, intégrales). On apprendra donc aux élèves
ce type de raisonnement. Lorsque ce
raisonnement est indispensable, l’énoncé le
suggérera.
L’étude des suites est volontairement réduite. On
s’attachera surtout à la résolution de problèmes
concrets se ramenant principalement à l’étude des
suites géométriques et arithmétiques.
Dans l’énoncé des exercices, une méthode
d’étude sera obligatoirement suggérée.
De même qu’en première, la notion de limite de
fonction a été introduite de façon intuitive, on
pourra s’appuyer sur l’utilisation de la
calculatrice et des graphiques pour l’introduction
de la notion de convergence d’une suite.
Les notions de suites majorées ou minorées sont
définies essentiellement dans le but de donner des
outils complémentaires pour la convergence des
suites. Ainsi, il ne sera pas nécessaire de
multiplier les exercices et les méthodes autour de
ces notions.
CONTENU
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX
Dénombrement
 Triangle de Pascal.
 Formule du binôme.
Probabilités
 Vocabulaire.

Définition d’une probabilité.

Propriétés.

Probabilité conditionnelle.



Variable aléatoire.
- Définition.
- Loi de probabilité.
- Fonction de répartition.
- Espérance mathématique.
- Variance ; écart-type.

Loi binômiale :
- E(X) = np ;
- V(X) = np(1 – p)
Dénombrer, dans le cas d’une expérience
conduisant à un nombre fini
d’éventualités :
- les cas possibles d’une expérience ;
- les cas favorables d’un évènement.
Calculer la probabilité d’un évènement.

Calculer la probabilité conditionnelle d’un
évènement par rapport à un évènement de
probabilité non nulle.
- Evènements indépendants.

On consolidera les acquis de la classe de
première sur le dénombrement.

On apprendra à reconnaître un évènement
élémentaire d’une expérience aléatoire.

On fera le lien entre la fréquence en
statistique et la probabilité de l’évènement
correspondant.

L’utilisation des outils de l’analyse
combinatoire (arrangement, combinaison)
se fera sans rechercher des difficultés
techniques.

On présentera des applications des
probabilités conditionnelles en biologie et
en économie.
Développer ( a + b)n.

-p(A/B) =
COMMENTAIRES

Justifier que deux évènements sont
indépendants ou non.

Une variable aléatoire étant donnée :
- déterminer sa loi de probabilité et sa
fonction de répartition ;
- construire sa fonction de répartition ;
- calculer son espérance mathématique ;
- calculer sa variance et son écart-type.

Calculer la probabilité d’obtenir k succès
dans une suite de n épreuves de Bemoulli
(0 ≤ k ≤ n).
CONTENU
Limite et continuité
 Limites.
- Limites d’une fonction composée.
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX




Déterminer l’image d’un intervalle par une
fonction continue :
- en utilisant le tableau de variations ;
- en utilisant une méthode algébrique.

La détermination de l’image d’un intervalle par
une fonction continue par une méthode algébrique
ne sera proposée qu’à travers des exercices
guidés.

Démontrer qu’une fonction f est une bijection
d’un intervalle ‫ ׀‬sur un intervalle J dans le cas où
f est continue et strictement monotone sur ‫׀‬.
En outre dans des cas simples où f est donnée par
une formule explicite, déterminer f¯¹(x).

On n’abordera pas le théorème des valeurs
intermédiaires dans le cas général.

On habituera les élèves à donner une valeur
approchée d’une solution d’une équation.

Prouver l’existence d’une unique solution de
l’équation f(x) = m sur un intervalle ‫׀‬, f étant
continue et strictement monotone sur ‫׀‬.

On ne demandera pas de justifier la continuité
d’une fonction sur un intervalle.

Prolonger par continuité une fonction en un point.
Fonctions continues sur un intervalle.
- Opérations composées (propriétés admises).
- Image d’un intervalle.
- Fonction continue et strictement monotone sur un
intervalle :
Théorème 1 : Si f est une fonction continue et
strictement monotone sur un intervalle ‫ ׀‬, alors f est
une bijection de ‫ ׀‬sur f( ‫) ׀‬. Sa bijection réciproque f¯¹
est continue et de même sens de variation que la
fonction f.
Théorème 2 : Si f est une fonction continue et
strictement monotone sur un intervalle ‫ ׀‬, alors pour
tout m de f( ‫) ׀‬, l’équation f( x) = m admet une unique
solution dans ‫ ׀‬.
Corollaire : Soit f une fonction continue et strictement
monotone sur [a, b]. Si f(a) et f(b) sont de signes
contraires, alors l’équation f(x) = 0 admet une unique
solution dans l’intervalle ouvert ]a, b[.
- Prolongement par continuité.
Continuité et dérivabilité
 Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue
sur cet intervalle.
COMMENTAIRES
Déterminer la limite d’une fonction :
- en utilisant les limites de référence ;
- en utilisant une expression conjuguée ;
- en ayant recours à la définition d’un nombre
dérivé.
Déterminer la limite d’une fonction composée.
CONTENU
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX
COMMENTAIRES
Fonctions dérivées

Dérivées successives ; nouvelles notations

Dérivée d’une fonction composée (admis) ;
application à la dérivation des fonctions de la
forme Uⁿ (NεZ*), In ◦u, exp o u,
uª (u ε k*), √u.

Démontrer qu’une fonction composée est
dérivable en un point et savoir calculer le
nombre dérivé en ce point.

On ne s’attardera pas à une utilisation
générale de la dérivée d’une fonction
composée.

Existence de la dérivée d’une fonction
réciproque (admis), formule.



Nombre dérivé à droite (à gauche) d’une
fonction en un point.
Préciser l’ensemble des éléments où la
fonction réciproque d’une fonction
donnée est dérivable.
Déterminer le nombre dérivé de la
fonction f¯¹ en un point x◦.
On se limitera à l’utilisation de la
formule donnant la dérivée d’une
fonction réciproque uniquement en un
point x◦ et cela pour des exemples ne
présentant pas de difficulté particulière.

Demi- tangente.

On ne demandera pas de justifier la
dérivabilité d’une fonction sur un
intervalle.



Etudier la dérivabilité d’une fonction
définie par intervalles en un point de
raccordement.
Interpréter graphiquement la dérivabilité
à droite (resp. à gauche) d’une fonction
en un point x◦.
CONTENU
Etude et représentation graphique de fonctions
 Branches paraboliques de direction (OI) ou (OJ)
dans un repère (O, I, J).

*
Représentation graphique des fonctions du
type :
-x→ ⁿ√x (n ε IN*) ;
-x→ x' (r ε θ, x ε IR•* ).






Interpréter graphiquement lim
x→ + ◦◦

Démontrer qu’une courbe admet une
branche parabolique de direction (OI)
(resp. (OJ) ).

Résoudre des équations ou inéquations
faisant intervenir des fonctions exp ou In.
COMMENTAIRES

L’étude générale des branches infinies est
hors programme.

Aucune étude des propriétés de la fonction
logarithme décimal ne sera faite mais on
l’utilisera dans des exercices.

On n’abusera pas des fonctions définies par
raccordement.

L’étude des familles de fonctions n’est pas
au programme.
Fonctions :
-x→ ⁿ√x (n ε IN*) ;
-x→ x' (r ε θ, x ε IR•* ).
- Définitions ; notation x p/q.
- Propriétés des puissances d’exposants
rationnels, dérivée et représentation graphique.

SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX
Fonctions logarithme népérien et fonction
exponentielle népérienne ;
- définitions, propriétés, représentation
graphique ;
- limites de référence.
Logarithme décimal : définition.
Définition de la fonction exponentielle de base
a (a ε IR•* \ { 1}).
Définition de la fonction puissance d’exposant
réel non nul.
Croissance comparée des fonctions logarithme
népérien, exponentielle et puissances.
Fonctions du type In ◦ u, exp ◦ u, uª (a ε IR*).


Etant donnée une fonction f définie par une
formule explicite :
- trouver les limites de f aux bornes de son
ensemble de définition ;
- étudier les variations de f ;
- représenter graphiquement f.
Utiliser les limites sur la croissance
comparée pour calculer d’autres limites.
CONTENU
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX
Primitives
 Définition d’une primitive.

Existence de primitives d’une fonction continue
sur un intervalle (admis).

Ensemble des primitives d’une fonction
continue.

Unicité de la primitive d’une fonction prenant
une valeur donnée en un point donné.

Primitives des fonctions de référence.

Primitives de u + v,
COMMENTAIRES


Déterminer les primitives d’une fonction
en utilisant les primitives des fonctions de
référence.

Déterminer la primitive qui prend une
valeur donnée en un point donné, d’une
fonction.

Déterminer les primitives d’une fonction
du type :
- au+ ß v , (a ; ß) ε IR² .
- v'x (u'◦ v) ;
- v' x um (m ε IR - { -1}).
- u'x eu.
Les fonctions considérées sont toutes
continues sur un intervalle et les primitives
sont définies sur un intervalle [a ; b]..
CONTENU
Calcul intégral
 Définition de l’intégrale d’une fonction
continue f :
b f(t) dt = F(b) – F(a) où F est une primitive
a
de f.

La fonction x→ s f(t) dt est l’unique primitive
de f qui s’annule en a.

Interprétation graphique de l’intégrale d’une
fonction continue positive.

Propriétés :
- linéarité ;
- relation de Chasles ;
- positivité ;
- si f ≤ g sur [a, b] alors b f(t)dt≤ b g(t)dt ;

Techniques de calcul d’une intégrale
- utilisation des primitives ;
- intégration par parties.

Application au calcul d’aire.
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX

Calculer une intégrale :
- en utilisant les primitives des fonctions
usuelles ;
- en utilisant une intégration par parties ;
- en utilisant un changement de variable
affine.

Utiliser la relation de Chasles pour
effectuer un calcul intégral.

Connaissant un encadrement d’une
fonction f sur [a, b], trouver un
encadrement de b f(t) dt.

Calculer l’aire d’une partie du plan limitée
par :
- la courbe représentative d’une fonction,
l’axe des abscisses et les droites d’équation
x = a et x = b ;
- les courbes représentatives de deux
fonctions et les droites d’équation x = a et
x = b.
COMMENTAIRES

Les fonctions considérées sont toutes
continues sur l’intervalle d’intégration
[a, b].

On ne fera pas l’étude des formations de la
forme
x→ .

On pourra, en travaux dirigés sur des
exercices, calculer une valeur approchée
d’une intégrale par la méthode des
rectangles.

L’unité d’aire attendue doit être précisée
dans l’énoncé..