b g = b g b gdi- bg= b g− b get x n b g sont b g et x n b g b g et x n b g

Etude d’une suite définie par x0 et la relation
x n +1 = f x n
où f est une fonction continue
b g
bg
S’il n’y a pas de solution, la suite b x g diverge.
Si la suite converge vers l, alors f bl g = l
Résoudre l’équation x = f x
n
Si f est monotone
Si f n’est pas évidemment monotone
bg
On étudie le signe de f x − x qui donne des informations sur la
f croissante
b g
La suite xn est alors
monotone et son sens
de variation est donné
par le signe de x1 − x0
On cherche à majorer xn si elle est
croissante, ou à la
minorer dans le cas
contraire. Si on y
parvient,
elle
converge vers une
solution
de
l’équation f l = l .
b g
bg
b g
f décroissante
monotonie de xn , sans résultat, le seul espoir restant est de prouver que la suite est de Cauchy, sinon, elle diverge. La cauchycité
s’obtient souvent en montrant que f est strictement contractante
dans l’intervalle I (à découvrir) où évolue la suite : il s’agit de
montrer l’existence d’une constante 0 < k < 1 de sorte que pour tout
couple de réels x et y de I, on ait f x − f y ≤ k x − y , on utilise
f 2 = fof est alors croissante.
Les suites x2 n et x2 n +1 sont
donc monotones, de sens différents,
et s’étudient comme ci-contre
b g b g
bg bg
souvent à cette fin le théorème des accroissements finis. On en déduit
alors
les
inégalités
x n +1 − x n ≤ k x n − x n −1 ,
puis
Le cas le plus heureux est celui où les
suites x2 n et x2 n +1 vont à la rencontre
l’une de l’autre en convergeant vers la
même limite. On dit dans ce cas que les
suites sont adjacentes. La suite xn
converge alors vers cette limite commune.
Mais il se peut que x2 n et x2 n +1 n’aient
b g b g
b g
b g b g
b g
pas de limite commune. Dans ce cas, xn
diverge.
xn +1 − xn ≤ k n x1 − x0 , et, par inégalités triangulaires empilées,
kn
xn + p − xn ≤
x1 − x0 , ce qui, compte tenu de 0 < k < 1 , impli1− k
que que la suite xn est de Cauchy. Cela fait, on peut conclure à la
convergence de la suite et sélectionner sa limite (elle n’en a qu’une)
parmi les valeurs de x réalisant f x = x , pour cette sélection, on
sera conduit à utiliser des encadrements afin de localiser la limite et
d’écarter certaines valeurs.
b g
bg