(u )et n u, v. w v u = − . (w ). (u )et n (u )et n (v ) . 2(2x 3x 2) f `(x) (x 1
Transcription
(u )et n u, v. w v u = − . (w ). (u )et n (u )et n (v ) . 2(2x 3x 2) f `(x) (x 1
Exercice1 On considère les deux suites (u n ) et (v n ) définies, pour tout entier naturel n, par : u + vn u + vn u 0 = 3, v 0 = 4, u n +1 = n et v n +1 = n +1 2 2 1. Calculer u1 , v1. 2. Soit la suite (w n ) définie pour tout entier naturel n par : w n = vn − u n . 1 a. Montrer que la suite (w n ) est une suite géométrique de raison . 4 b. Exprimer (w n ) en fonction de n et préciser la limite de la suite (w n ) . 3. a. Démontrer que la suite (u n ) est croissante et que la suite (v n ) est décroissante. b. Déduire des questions précédentes que, pour tout n, u 0 ≤ u n ≤ v n ≤ v 0 . c. Montrer que (u n ) et (v n ) convergent et qu'elles ont la même limite. u + 2v n 4. On considère à présent la suite (t n ) définie, pour tout entier naturel n, par t n = n . 3 a. Démontrer que la suite (t n ) est constante. b. En déduire la limite des suites (u n ) et (v n ) . Exercice 2 x(3x + 4) . On note C la courbe représentative de f dans x 2 +1 le plan rapporté à un repère orthonormé. 1. Calculer lim f et lim f . Soit f la fonction définie par f (x) = −∞ +∞ En déduire que la courbe admet une asymptote horizontale et préciser la position de la courbe par rapport à cette asymptote. −2(2x 2 − 3x − 2) 2. Calculer f ' (x) et montrer que f '(x) = . Etudier le signe de f ' (x). (x 2 + 1) 2 3. Faire le tableau de variations. 4. Donner une équation de la tangente au point d'abscisse 1. Exercice 3 1. Faire le tableau de variations de f (x) = x 3 − 3x 2 − 9x + 30 . 2. Démontrer que l'équation x 3 − 3x 2 − 9x + 30 = 0 admet une solution unique. 3. Utiliser la calculatrice pour donner un encadrement de largeur 10−3 de cette solution.