d9 le cercle d`euler

D9
LE CERCLE D’EULER
Soit un triangle ABC.
Ses hauteurs [AP], [BQ] et [CR] se coupent au point H.
Les milieux de [BC], [CA] et [AB] sont respectivement A’, B’ et C’, ceux de [HA],
[HB] et [HC] sont respectivement L, M et N.
Démontre qu’il existe un cercle passant par les points A’, M, R, C’, L, B’, Q, N et P ?
1. Faisons une figure
A
Q
L
B'
C'
R
H
M
B
N
P
A'
C
2. Quelques commentaires sur l’énoncé
Si il existe un cercle passant part les points A’, M, R, C’, L, B’, Q, N et P ce cercle a
pour diamètres [B’M], [C’N] et [A’L].
[B’M] et [C’N] sont le diagonales du quadrilatère B’C’MN qui semble être un
rectangle et [C’N] et [A’L] sont le diagonales du quadrilatère C’A’NL qui semble être un
rectangle.
Les points P, Q et R sont des sommets des triangles LPA’, MQB’ et NRC’ qui sont
des triangles rectangles.
Il faut donc successivement démontrer que :
- les quadrilatères B’C’MN et C’A’NL sont des rectangles,
-
les segments [B’M], [C’N] et [A’L] sont trois diamètres d’un même cercle, et
les points P, Q et R sont des points du cercle ayant pour diamètres [B’M], [C’N]
et [A’L].
3. Démontrons que le quadrilatère B’C’MN est un rectangle
A
Q
L
B'
C'
R
H
M
B
N
P
A'
C
Dans le triangle ABC, C’ et B’ sont respectivement les milieux des côtés [AB] et
[AC].
Dans le triangle HBC, M et N sont respectivement les milieux des côtés [HB] et
[HC].
[BC] est le troisième côté de ces deux triangles.
Or :
Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle, alors cette droite est
parallèle au troisième côté.
D’où :
les droites (C’B’) et (BC) d’une part et (MN) et (BC) d’autre part sont parallèles.
Or :
Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors ces droites sont parallèles
entre elles.
Donc :
les droites (B’C’) et (MN) sont parallèles.
De même :
dans le triangle AHC, C’ et N étant les milieux respectifs des côtés [AC] et [HC] et,
dans le triangle ABH, C’ et M étant les milieux respectifs des côtés [AB] et [BH] et,
[AH] étant le troisième côté de ces deux triangles,
on démontre que :
les droites (C’M) et (AH) d’une part et (B’N) et (AH) d’autre part sont parallèles
et que :
les droites (C’M) et (B’N) sont parallèles.
[C’B’] et [MN] d’une part et [C’M] et [B’N] d’autre part sont les côtés opposés du
quadrilatère B’C’MN,
or :
Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors ce quadrilatère est un
parallélogramme.
Donc :
le quadrilatère B’C’MN est un parallélogramme,
H est un point de la droite (AP) donc les droites (B’N) et (AP) sont parallèles.
(AP) est la hauteur issue du sommet A, donc les droites (AP) et (BC) sont
perpendiculaires.
Or :
si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire
à l’autre.
D’où :
les droites (B’N) et (BC) sont perpendiculaires.
Or :
les droites (MN) et (BC) sont perpendiculaires,
donc :
les droites (B’N) et (MN) sont perpendiculaires et,
l’angle N est un angle droit.
Or :
Si un parallélogramme a un angle droit, alors ce parallélogramme est un rectangle.
Donc :
le quadrilatère B’C’MN est un rectangle.
4. Démontrons que le quadrilatère C’A’NL est un rectangle
A
Q
L
B'
C'
R
H
M
B
N
P
A'
C
De même nous allons démontrer que le quadrilatère C’A’NL est un rectangle.
Dans le triangle ABH, C’ et L sont les milieux respectifs des côtés [AB] et [AH] et,
dans le triangle BHC, A’ et N sont les milieux respectifs des côtés [BC] et [HC] et,
[BH] est le troisième côté de ces triangles.
D’où :
les droites (C’L) et (BH) d’une part et (A’N) et (BH) d’autre part sont parallèles,
donc :
les droites (C’L) et (A’N) sont parallèles.
Dans le triangle ABC, A’ et C’ sont les milieux respectifs des côtés [AB] et [BC] et,
dans le triangle AHC, L et N sont les milieux respectifs des côtés [AH] et [HC] et, [AC]
est le troisième côté de ces deux triangles.
D’où :
les droites (C’A’) et (AC) d’une part et (LN) et (AC) d’autre part sont parallèles,
donc :
les droites (C’A’) et (LN) sont parallèles.
[C’L] et [A’N] d’une part et [C’A’] et [LN] d’autre part sont les côtés opposés du
quadrilatère C’A’NL,
donc :
le quadrilatère C’A’NL est un parallélogramme.
H est un point de la droite (BQ) donc les droites (A’N) et (BQ) sont parallèles.
Les droites (BQ) et (AC) sont perpendiculaires,
d’où :
les droites (A’N) et (AC) sont perpendiculaires,
les droites (LN) et (AC) sont parallèles,
donc :
les droites (A’N) et (LN) sont perpendiculaires et,
l’angle N est droit.
Donc :
le quadrilatère C’A’NL est un rectangle.
5. Démontrons que [B’M], [C’N] et [A’L] sont trois diamètres d’un cercle passant par les
points A’, M, C’, L, B’ et N.
A
Q
L
B'
C'
R
H
M
B
N
P
A'
C
[B’M] et [C’N] sont les diagonales du rectangle B’C’MN.
Or :
les diagonales d’un rectangle ont même milieu et même longueur,
d’où :
les segments [B’M] et [C’N] ont même milieu et même longueur.
De même :
[C’N] et [A’L], étant les diagonales du rectangle C’A’NL, ont même milieu et même
longueur.
D’où :
[B’M], [C’N] et [A’L] ont même milieu et même longueur.
Donc [B’M], [C’N] et [A’L] sont trois diamètres d’un même cercle passant par
les points A’, M, C’, L, B’ et N.
6. Démontrons que ce cercle passe aussi par les points P, Q et R.
A
Q
L
B'
C'
R
H
M
B
N
P
A'
C
Le point P est le pied de la hauteur (AP) donc l’angle P est droit,
donc :
le triangle LPA’ est rectangle en P et son hypoténuse est [LA’],
or :
Si un triangle est rectangle alors il est inscrit dans le cercle ayant son hypoténuse pour
diamètre,
donc :
le triangle LPA’ est inscrit dans le cercle de diamètre [A’L],
donc :
P est un point de ce cercle.
De même :
en considérant le triangle MQB’ rectangle en Q qui a pour hypoténuse [MB’] on
démontre que :
Q est un pont de ce cercle.
Et :
en considérant le triangle NRC’ rectangle en R qui a pour hypoténuse [NC’] on
démontre que :
R est un point de ce cercle.
Donc :
le cercle de diamètres [B’M], [C’N] et [A’L] passe par les points P, Q et R.
7. Conclusion
Donc :
Il existe un cercle passant par les points A’, M, R, C’, L, B’, Q, N et P.
Ce cercle est connu sous le nom de « cercle des neuf points » ou « cercle d’Euler ».