Experience d`Elihu Thomson, un exemple de

Experience d‘Elihu Thomson, un
exemple de modelisation par
etapes
A Durey etR Journeaux
GREDISPEN, Ecole Normale Superieure, Avenue de la Grille d’honneur. 92211 Saint Cloud, LIRESPT.
Paris 7. France
ReGu le 15 novembre 1985, presentation definitive le 27 mai 1986
Resume L‘experience d‘Elihu Thomson est reexaminee
sous son aspect quantitatif, a la fois des points de vue
theorique et experimental. Elle est analysee comme un
exemple de modelisation progressive. et I‘accent est mis sur
les diverses etapes qui conduisent de I’observation qualitative
premiere au modele quantitatif complet. La demarche
modelisante est detaillee avec ses aller-retour entre les
champs theorique (calcul dela force s’exerGant entre deux
circuits) et experimental (mesure de la force d’interaction,
des grandeurs caracteristiques des circuits). Cette experience
est proposee comme activite modelisanteen alternative aux
activites experimentales classiques oti l’initiative laissee aux
etudiants est trop limitee.
L’enseignement
occulte
souvent
deux
aspects
fondamentaux de la demarche en sciences physiques:
d’une part I’etude experimentaledesphenomeneset
d’autre part la pratique reelle de modelisation avec ses
hesitations, ses impasses, ses aller-retour entre theorie
et
experience.
Nous
allons
illustrer
sur
I’exemple
d’Elihu Thomson, I’interCt de restituer cette demarche
aux eleves.
L’enseignement
experimental
traditionnel
en
sciencesphysiquesimposeauxetudiantsuncanevas
tres rigide qui leur laisse peu d’initiatives. Le choix du
materiel
et
de
la
methode
de
manipulation
sont
proposes par I’enseignant;I’etudiant un peu habile peut
suivre les directives sans encombres jusqu’au resultat
final. Comptetenudescontraintesdemateriel,de
personnel et de temps, il est vrai que d’autres solutions
sont difficiles a mettre en oeuvre. Mais la perennite de
ces difficultes ne doitpasfaireoublier
qu’il existe
d’autres approches.
Nous allons tout d’abord decrire les diverses etapes
modelisation
la
de
telles
qu’elles
s’imposent a
I’experimentateur place devant une situation
nouvelle,
avec les differents passages entre les champs theorique
Abstract A quantitative study of the so called ‘Elihu
Thomson experiment’is proposed from the theoretical and
experimental points of view. It appears to be an exampleof
progressive modelisation from the qualitative first
observation to the final quantitative model. The successive
steps of the modelisation are reviewed. with special attention
to the connection between the theoreticalfield (evaluation of
the force between two conducting circuits) and the
experimental field (force, resistance, auto and mutual
inductance coefficient measurements). Such an experimentis
proposed as a modelling activity to replace customary
experimental work in which students can take only very
limited initiatives.
etexperimental.Nouspourronsensuiteessayerde
degager
quelques
propositions
didactiques
pour
integrer
dans
l’enseignement des
objectifs
l’apprentissage de la modelisation.
lies a
1. Observations
Soit une bobine possedant un grand nombre de tours
n , alimenteepar
le secteur (figure 1). Un circuit
magnetique
en
U permet
de
canaliser
le flux
d’induction.Unespirefermeeconductriceestplacee
sur la bobine. Quand on ferme I’interrupteur, la spire
est projetee vers le haut.
L‘experience peut Ctre completee et conduit alors a
quelques resultats surprenants.
0 PlaGons deux spires identiques
sur labobine. A la
fermeture du circuit, elles sont projetees a une hauteur
plus importante que pour uneseule spire.
On peut
egalement
comparer
plusieurs
spires
toriques a sections rectangulaires differant seulement
par leur epaisseur: la hauteur de projection croit avec
cette epaisseur.
0143-0807/87/010018 +06 $02.50 0 1987 IOP Publishing Ltd & the European Physical Society
19
Experience d’Elihu Thomson
r
-
-
fluxenvoyedanslabobine2par
les autrescircuits.
Suivant la direction x verticale (comptee positivement
vers le haut) la composante verticale effectue le travail
pour un deplacement d x
dr=Fdx
F = I , d@/dx
Figure 1 Principe de l‘experience d’Elihu Thomson:
S. source alternative; C. circuit magnetique: B ,.bobine
excitatrice: B,. bobine mobile.
Figure 1 Circuit diagram for Elihu Thomson experiment:
S. alternative source: C, magnetic circuit; B ,.acting coil;
B ? , movable coil.
0 On peutfaire I’experience avec une bobine mobile
comportant un petit nombre de tours: on constate que
la hauteur de projection croit avecle nombre de tours.
Enfin on peut constater qu’une spire de deux tours
est projetee sensiblement a la mime hauteur que deux
spires
separees
(mime
fil constitutif
et
mime
geometrie).
2. Premiere etape de la modelisation
La bobine est parcourue par un courant
I , alternatif.
Par induction une FEM apparait dans la spire et Cree un
courant.Deuxcircuitsparcouruspardescourants
exercent I’un sur l’autre un systeme de forces; la spire
libre se deplace
donc
sous
l’effet de
ces
forces
(Feynman 1965).
Cherchons le sens de cette force. Le courant I , dans
la bobine induit dans la spire une
FEM de la forme
avec @ = M I , , I , courantdanslabobineexcitatrice,
soit F =I I 2 dM/dx.
I1 faut bien noter que F est une valeur instantanee.
I , et I 2 varient sinusoi’dalement avec le temps, la force
mesuree,pendant un temps grand devant la periode.
est fournie par la valeur moyenne de I’expression F ciEn effet.
dessus.Cetteremarqueestfondamentale.
dansl’interpretationprecedente.nousavonssuppose
quelaspire
se reduisait a sapartieinductive.
Si au
contraire on la reduit a sa partie resistive R , le courant
I 2 = e / R 2 est en quadratureavec
I , et la force
moyenneest nulle! On voit toutel’importance d’une
meconnaissance totale des caracteristiques reelles de la
spire.
On peutessayerd’analysermaintenantcequi
se
on passed’unespireunique
a une
produitquand
bobine a deux spires. La mutuelle M (donc dM1d.u) est
multipliee par 2, L est multipliee par 4. Si on suppose
que I , n’a pasvarie, I 2 estdonc divise par 2. La
moyenne de F est donc inchangee, alors que la masse
delaspireaete
multipliee pardeux.Ceciest
en
contradiction
avec
I’observation experimentale qui
suggere que la force est plus que doublee.
A stade
cemodelisation,
la
de
deux
voies
complementaires s’imposent pour progresser:
l’analyse experimentale qualitative doit faire place a
une etude quantitative par mesure des forces exercees
sur les differentes spires mobiles;
I’analyse theorique du phenomene doit se faire plus
fine et faire intervenir I’etude complete de I’interaction
entre les deux circuits.
e=- d@/dt=-MdI,/dt
M etant le coefficient de mutuelle inductance entre les
circuits (on peut choisir les sens d’orientation pour que
M soit
positif).
Dans la spire, si on neglige sa
resistance (Goudet 1975, Fruhling 1966), le courant I ,
est de la forme
12=e/jL2w=-MII/L2.
Lescourants I , et I 2 sontenoppositiondephase;
compte tenu des conventions de signe, ils conduisent a
une repulsion entre les deux circuits.
On peut
essayer,
a ce
stade,
de
comprendre
pourquoi une bobine de deux spires est soumise a une
force telle qu’elle sera projetee plus haut que
la spire
unique.L’analyseprealableci-dessusne
suffit plus,
il fautfranchirunpasetdeterminer
I’expression
mathematique de la force exercee sur la spire
mobile.
La bobine 2 parcourue par le courant I , est soumise
a un ensembledeforcesdont
le travail,dansune
translation elementaire dx vaut ds =I , dG, @ etant le
3. Etude experimentale quantitative
L’etude consiste a mesurerlaforceexerceesurla
bobine mobile dans une position precise par rapport a
la bobine fixe. La bobine mobile est maintenue par un
support adequat non conducteur; ce dernier est place
sur une balance monoplateau. La force exercee sur
la
bobine est deduite de la variation de
l’indication de la
balance.
( a ) Bobinesde6cmdediametreenviron.en
fil
emaille de 2 mm de diametre. ler cas: pour
n spires
separees:
n=l
F = mN
3.6
n=2
F = 18 mN.
2eme cas: bobines comprenantn tours
n=
F 2=
15.2
mN
n =F 3=
mN.
29
20
A Durey
et
R Journeaux
(b) Spires toriques
d’epaisseur e variable.
a
section
rectangulaires
est:
F=n2V2dm/dxlAlIBI/ID/*coscp
e = 1 mm
F=3.6 mN
e=2mm
F = 12.5 mN
e=3mm
F = 25 mN.
La faible valeur des forces mises en jeu, la mauvaise
reproductibilite de la position des bobines conduisent a
des incertitudes de mesure d’environ 10%. On constate
que la force croit plus vite que la masse de la spire, ce
qui explique les constatations experimentales ci-dessus.
4. Deuxieme etape de la modelisation
La bobine fixe 1 est alimentee par une sourcede
tension V = Veil d 2 cos wt. Elle possede n l tours; elle
peut itre caracterisee parsa resistance R , etson
coefficient d’auto induction LI ,
La bobine mobile etudiee a n2 spires; sa resistance
est R 2 et son coefficient d’auto induction
L2.
L’interaction entre les deux bobines est caracterisee
par le coefficient de mutuelle induction M .
La loi d’Ohm appliquee aux deux circuits permet
d’ecrire
V = R 111 + L 1 dIl/dt
+ M dIz/dt
O=R212 + L 2 dl2/dt+MdIl/dt.
En regime sinuso’idal et en admettantque le circuit
magnetiqueintroduisedesphenomenesnon
lineaires
negligeables, les relations ci-dessus deviennent
V = R I I ,+ j L l I l w + j M 1 2 w
O = R2I2+jL212w+jMI1w.
Les caracteristiques R z L 2 et M sont fonctionde n2
selon les lois
R2=n2r2
L 2= nil2
M = n2m.
12, r2 et m caracterisent alors une spire de la bobine 2.
avec c p = ~ l a + v)B - 2vD ( p R , ( P B et (pD representent
les arguments des nombres complexes A , B et D) et
P2 = V&
5. Mesure des parametres du systeme intervenant
dans le modele
La modelisation fait apparaitre un certain nombre de
parametres lies au systemedontlaconnaissance
est
necessaire pour comparer les valeurs experimentales
aux valeurs produites
par
le modele. Ici leur
determination sera essentiellement experimentale.
Bobine numero l
Ses caracteristiques L I et R I peuvent itre determinees
par mesure de I’impedance et du dephasage couranttension a 50 Hz en presence du circuit magnetique. On
a t r o u v e a i n s i R , = 6 6 e t L I = 0 . 2 1 H.
Bobine numero 2
Les faibles valeurs
de
r2 et l2 rendent leur
determination plus difficile; en particulier la methode
utilisee pour la bobine 1 est mal adaptee. La resistance
r2 a ete atteinte en mesurant la resistance d’une grande
longueur du fil constituant la bobine. On a pu ainsi
evaluer r2 a 10 m a .
La valeur de l2 a ete evaluee indirectementpar
mesure du coefficient de mutuelle m. Pour cela, la FEM
induite dans une bobine identique mais ouverteest
mesuree quand I , parcourt la bobine numero 1.
On peut alors ecrire:
e = - d@/dt=-jw@
avec @ = m I , , soit m=e/wI,. On trouve ainsi m =
2.5 x low4H. La relation m = k m permet d’obtenir
un ordre de grandeur de 12. En prenant un coefficient
de couplage k = 0 . 9 Uustifiie par la presence du circuit
magnetique) on obtientl 2 = 0.37 pH.
On en deduit les valeurs des courants:
I , = VA/D
12
= VB/D
avec
A = r2 + jn212w
B=-jmw
Mesure de dm/dx
Deux mesures de m par la methode prkcedente sont
effectuees en plapant le bobine numero 2 de part et
I’autre dela position quiaconduitauxmesures
de
forces. On trouve un variation de m d’environ IO-’ H
pour une distance de 1 cm soit
dm/dx= lo-’ H m-’
D=nzm2~2-n~L11~~2+R1r~+jw(L~r2+n~l~R~).
La forceF s’exerpant sur la bobinenumero 2 est alors
F = I , 1 2 dM/dx=1112n2 dmldx
= V2n2(AB/D2) dmldx
Sa valeur moyenne accessible par l’experience decrite
6. Confrontation de I’experience et du resultat du
modele
Les elements quipermettent de determiner la valeur
moyenne de la force exercee sur la bobine numero 2
sont maintenant connus.
21
Experience d'Elihu Thomson
(a) Determination de A
A = r , + jn212w=
+j n ,
x 10071x 3.1 x 10"
complet des sources d'incertitudes explique facilement
cet ecart.
soit tan q 4 = 0.1 2n2
A=r2(l +jtanp,)
soit IAl = r,/cos q a (en R).
On obtient les resultats suivants:
n2= 1
=l"
n2=2
94 = 13"
IAl= 1.03 mR
=3
q4 = 20"
IAI = 1.06 mR.
112
IAI
= 1.01 m R
(b) Determination de B
B=-jmw
q B = - n/2 (si on choisit
m > 0)
7. Discussion generale
Le cas experimental ici expose est un cas particulier.
En imaginant
d'autres
situations,
les valeurs
des
parametres sont changees, les approximations peuvent
itre differentes, et le rBle de n , peut devenir autre. Une
etudeexhaustivedu
rBle desdifferentsparametres
experimentaux ( L ,,R , , 1 2 , r2. m) seraitfastidieux.
d'autant
que
certains
ne sont
pas,
en pratique,
completementindependant ( r 2 et l,, l 2 et m). Seuls
quelques cas limites peuvent se degager et conduire a
quelques resultats simples.
/ B 1 = m w independant de n2 (en R).
Premier cas: R est grand.
On peut trouver des conditionstelles que
D=n2w2(m2-Ll12)+RIr2+jw(LIr~+nzIzRI).
D=Rl(r2 +nzjw12)
(c) Determination de D
Lepremiertermevautenviron
-1.5 X 10-3n,; le
deuxiemetermevaut
6x
le termeimaginaire se
a j w L , r , w soit 0.066 j . On
reduitpratiquement
obtient tan qD=0.066/(-1.5n2 + 6)10", soit
n2= 1
= 86"
cD=90-~D=4'
n2=2
n2= 3
= 87"
~~=90-q~=3"
~o=90-~D=l"
q D = 89"
et 1 D I = 0.066 R.
Expression
de
la force. Avec les resultats
precedents, la force moyenne prendl'expression
F = n2 V $ d m l d x 1 AI moll D 1 cos(q)
avec p=pA-(n/2)-2qD=pa -(n/2)-2(n/2-cD)=
+ 2 c D - 3(n/2) donc cos q=-sin(pA + 2&D).
P=-n,Vf~dm/dxlAlmw/lD1*Sin(qa+ZED).
Avec les conventionsdesigne,
d m l d x est negatif
donc P > 0; c'est bien une force dirigee versle haut.
On peut remarquer la grande importance des angles
p,4 et p D . Cesontleursvariationsavec
n2 quivont
rendre compte des effets surprenants de l'observation
du paragraphe 1.
Applications
numeriques.
Dans les conditions
experimentales
ci-dessus,
l'application
numerique
conduit aux resultats suivants:
n2= 1
np2==224 . 5
F = 9 . 5 mN
mN
n2=3
F = 43.5 mN.
On peut
constater
que
I'ecart aux
mesures
experimentales est grand. Ceci est dd en particulier au
fait que les caracteristiques de la bobine mobile sont
determineesavecunetresmauvaiseprecision.Par
exemple dmldx,
obtenue
par
difference
de
deux
valeursde
m tresvoisines,estconnueavecune
incertituderelativedepresde
100%. Un inventaire
soitAB/D2=-jmo/R:(r2 +jwn212).
Deux cas peuventse produire:
0 r , est
grand
devant
n2I2w; alors A B / D 2 est
imaginaire pur et la force moyenneest nulle:
r2 est faible, AB/D2=- rn/(n212R:) etlaforce P
est independante de n 2 ,
Deuxieme cas: R I est faible.
On peut alors trouver des conditionstelles que
D=jwL1r2
soit A B / D 2 = j m ( r , + jm12w)/(wL:ri)
si r , est gra.;d A B / D 2 = j m / ( o L : r 2 )et la force est
nulle;
0 si r , est faible AB/D2=-mn212/(L:r2).
La forceF est alors proportionnelle a n:.
On peut egalement se demander si la force peut itre
il faut
simplementproportionnelle a n 2 . Pourcela
trouverdesconditions
telles que A B / D 2 devienne
independantde n 2 , c'est-a-dire telles que A et D se
reduisent a
A =r2
0
D=r,(Rl +jLlo)
en negligeant les termes contenant n 2 . Cela pourra itre
realise en particulier si r2 est grande.
Dans ces conditions
AB/D2=-jmw[r2(Rl +jwL,)*]-'.
On peut remarquer que cette force devient
nulle si
l'un des deux termes R l ou L I W devient preponderant
(on retrouve deux cas de la discussion precedente).
8. Autres enseignements du modele
On peut deduire de cette modelisation des conclusions
que les premieres
observations
experimentales
n'avaient
pas
mises
en evidence.
Par
exemple
le
22
A DureJl
et
R Journeaux
courant I , = V A / D apparait comme une fonction de
l’initiative, I‘imagination. larecherchedocumentaire
seraient enfin prises en compte.
n 2 ; ceci exprime le faitque le courant I z induitune
FEM M dZ,/dt dans le circuit primaire.
Les eleves n’ont pas les mimes contraintes que le
Les applications numeriques ci-dessus montrent que chercheur, ils ont
d’autres
motivations.
Le
bon
I , augmenterespectivementde
1.3 et 6% quand on fonctionnementde la modelisationpoureuxpassera
placelabobinenumero
2. Experimentalement, on globalement par les mimes etapes que celles que nous
constate effectivement une augmentation de 1.4 et 8%. avonsdecrites(mime
s’il yadeshesitations,des
De plus, le dephasage entre V et I , varieavec n2 (il retours en arriere, des voiesen impasse). Mais ce qui
vaut va - V D ) , ce que confirme l’experience.
va changerfondamentalement c’est le moteurde la
Le modele permet egalement de connaitre l’ordre de
modelisation, ce sont les motivations qui vont soutenir
grandeurdequantitesimpossibles
mesurer,
a
par
I’action. Leprofesseur se doitd’amenager le temps
pour favoriser au maximum la progression et l’interit.
exemple le courant I,. Dans les conditions
de
l‘experience (V,,= 45 V ) on trouve un courant I z de Pour cela il faut des tlches aux
eleves suffisamment
53A(envaleur
efficace) cequicorrespond
a une precises et a court terme pour qu’ils puissent demarrer,
puissance dissipee dans une spire unique de 2.9 W. En suffisamment
et
distinctes
des
questions
et des
1 S , laquantitedechaleurdegageeva
elever la problemes de physique pour qu’ils puissent se livrer a
temperature de la spire de cuivre de 3 K (on neglige une veritable activite de modelisation, c’est-a-dire pour
les pertes). Ici encore, l’experience montre que la spire
pouvoirprogresser
vers laformulationdebonnes
devient brdlante en quelques secondes.
questions et de bons problemes.
Dans le cas d’Elihu Thomson, on peutproposer
dans un premier
temps
aux
eleves de realiser
l’experience eux-mimes puis de jouer en faisant varier
les conditionsexperimentales, ou bien on peut leur
9. Les extensions du modele
L’experience montre
que
deux
spires
identiques
demanderdetrouver
les meilleures conditionspour
placees c6te a c6te subissent ensemble sensiblement le faire sauter l’anneau le plus haut possible. Apres cette
mime effet que la bobinededeux
‘experimentaliste‘
que
spires. On peut phase
l’on demandera
de
montrer (voir appendice) que le rnodele precedent et
resumerpourmettre
les resultats en commun, on
ses parametres permettent de prevoir ce resultat.
demandera de donner une interpretation des resultats.
Le modele precedent permet egalement
d’expliquer PourquoiI’anneausaute-t-il?(Pourquois’echauffe-ten equilibreaudessusde
la
les actions sur la spire torique d’epaisseur variable. En il? Pourquoireste-t-il
bobine?) Quels phenomenes connus sont mis en jeux?
effet, compte tenu de la forme des
lignes de courant
interpretations
pourront
faire
I’objet d’une
induites, une telle spire peut se traiter comme plusieurs Ces
expression
ecrite
individuelle puis
d’une
mise
en
spires distinctes juxtaposees.
les
Si on mesure la force exercee sur une spire, et si on commun collective quipermettedeselectionner
concepts utiles (forces,induction)et les phenomenes
approche par le haut une autre spire, la force exercee
mis en
jeux
(forces
exercees
par
deux
circuits
sur
la
premiere
croft. Iciencore
le modele
peut
parcouruspardescourants,sensducourantinduit
expliquer ce phenomene (voir appendice).
dansunebobineparun
solenoi’de, . . .) Cettephase
doitnecessairementamenerdesreponsesacertaines
questions posees et deboucher sur des questions ou des
Propositions didactiques
La suite d’operations que nous venom de decrire est en problemesphysiquesplusprecis.(Calculdelaforce
bobines?
De
quels
realite, surunexempleparticulierementsimple,
le qui s’exerce entre les deux
paramitres depend la force qui s‘exerce entre les deux
scenario de I’activite de tout physicien confronte a un
force
Ou
ladepend-elle
nombre
du
probleme nouveau, oblige constamment d’aller puiser bobines?
d’anneaux?) Cette phase consiste donc a renvoyer les
dans les champstheoriqueetexperimentalpoury
eleves devant leur feuille blanche
pour
modeliser
trouver les reponses necessaires a la progression. C’est
I’experience de faGon a arriver a ce qu’ils se posent un
aussi en raccourci toute
l’activite de la communaute
scientifique au cours de son evolution historique. Si on probleme qu’ils sachent resoudre (soit une resistanceR
de n spires. . .). Bien sdr, ce travail l a n’aboutira pas du
veut placer les eleves devant une demarche scientifique
entierement nouvelle, si onsouhaitedevelopper
les premiercoup a labonneformulation, il faudra peut
itre
resoudre
completement
le probleme
pour
aspects
d’apprentissage
de
la
modelisation
et
du
s’apercevoir qu’on l’avait mal pose.
maniement
des
modeles,
il faut
leur
donner
la
On arrive ainsi adessolutionsdonnantlavaleur
possibilite defaireeux-mimesdesdemarchesdece
On peut a ce stade faire
verifier
litteraledelaforce.
type.
Cela
signifie qu’au lieu de
transformer
cet
quelques
implications
resultat
dusans
faire
exemple en probleme,
avec
progression
theorique
d’applicationnumeriqueseulementenregardantde
guidee, resultats
experimentaux
applications
et
numeriques artificiels, il nousparait plus interessant quoi depend F et dans quelssens varie F avec certaines
grandeurs.Celaconfirme
les resultatsdel’analyse
de reflechir des
arrangements
a
pedagogiques
(transpositions didactiques) qui permettent aux eleves qualitative mais ne repond pas aux questions precises.
deseconfronter
a un travaildemodelisation
ou D’ou la necessite de calculer numeriquement la force
23
Experience d’Elihu Thomson
Lesdeuxspiresetant
eninfluence totale. on peut
dans
plusieurs
cas.
Mais
pour
les applications
numeriques il faut
connaitre
des
caracteristiques
prendre
experimentales de ce dispositif (I’enconce du probleme
M,=1etM2=Mi=rn
ne dit pas on prendra R = I O R, L =0.5 H. M = . . .). I1
faut l’obtenir experimentalement.D’odunretour
a
Danscesconditions,laresolutiondusystemede
unephasedemesuresur
le dispositif. Laphase
Kramer donne les resultats suivants:
exploratoiredudebut
a doncetedepassee,
on sait
maintenant les grandeurs qu’il fautmesurer. I1 faut
I , = VoNI/A
alors reflechir au dispositif a mettre en oeuvre (balance
I , =I2 = V0 N2/A
monoplateau pour la force. . ., mesure de dephasage de
resistance, de mutuelle) et mettre en oeuvre des savoir- avec
faireconnus. Enfin les resultatsdesimulationseront
N I = r(r + 2jlw)
confrontes aux resultats experimentaux pour tirer des
?V2= -j mru
conclusions sur l’adequation du modele. La encore,
il
faut insister sur le r6le du professeur qui doit aider
a
A=r(rl +jL,w)(r+2jIw)+2rn2w2.
degager les progres effectues dans la connaissance du
phenomene en amenant les reponses aux questions et
Avec les valeurs numeriques issues de l’experience on
tenterd’apprecier
les raisonsdesdifferencesentre
aboutit a
modeles et realite. Dans cette experience la mesure du
arg N I = 13”
IN1 1 = 1.03 X
R’
paramitredumodeledM/dxexpliqueenpartieces
ecarts. Dans d’autres cas les incertitudes de mesure ne
I N 2 1 = 7.85 X 10” R’
arg ,V2 = - 9OC
sont pas suffisantes et il faut alors revoir le modele luiIA1=6.75 K IO” R 4
arg A = 87”.
mCme (exemple fentes d’Young) (Dureyet a / 1983).
La forceP s’ecrit alors
Appendice
La bobine 1 (resistance r , , coefficient d’auto induction
L ,) parcourue par le courant I , influence deux spires
identiques (resistance r et coefficient d’auto induction
I ) est Cree ainsi les courants I 2 et I,. Soient M,, les
coefficients d’induction mutuelle entre les trois cixuits.
~=2V~~NII~N2~//A~’dm/d~~~~(-9O+13-2x8
soit P = 23.3 x 10 m h , valeur voisine de celle obtenue
pour une bobine de deux spires.
( 2 ) On analyse la force exercee sur la spire 2 par la
bobine 1 et la spire 3 . Cette force est de la forme:
F = I , I 2 d M z / d . ~ +1 2 1 3 dMI/dx=F,2
M,, = M,2 = M 1
M I , =M31 = M >
M21 =M12 = M , .
On peut choisir des orientations sur
les circuits telles
que les coefficients M , j soient positifs. La loi d’Ohm
pour chaque circuit s’ecrit:
Vo=rlIl +jLlwIl +jM,12w+jMzI,w
Si les spires 2 et 3 sont peu eloignees, on peut
conserver pour les applications numeriques des valeurs
proches de celles du cas precedent. La force F , , vaut
donc environ la moitie de F du paragraphe precedent,
doncestsuperieure a la forcequis’exerceraitsurla
spire 2 seule. La force F,, vaut sensiblement
F,, = V t N : / A 2d M , d x
90 + 2 X 87) d M l / d x
O=rI2 + j 1 1 2 w + j M j I l w + j M I 1 3 w
= V,$N,12/lA12 COS(-^
O=rI~+j11~w+jM211w+jMlIzw.
= V , $ N 2 ~ 2 / ~cos(6”)
A ~ 2 dM,/dx
Les courants I , , 1 2 ,I , sontsolutionsdusystemede
Kramer. 11s permettent
de
determiner
les forces
exercees sur les spires 2 et 3 par le reste du systeme.
Deux cas evoques ci-dessus peuventCtre envisages.
( 1 ) Lesdeuxspiressontpratiquementconfondues
etforment un systemeunique.L’ensembleestdonc
soumis a deux forces
F = I1 I2 dM,/dx
X
avec d M , / d x > 0 donc F32 > 0.
La spire numero 3 exerce donc sur la spire 2 une force
egalement dirigee vers le haut, qui s’ajoute a la force
F12. On retrouve bien laderniereremarquefaite
au
paragraphe 8.
+ I I1 3 dMz/dx.
Les deux spires etant pratiquement confondues,
peut-ecrire:
dM,/dx= dMl/dx
I2 1:I ,
donc F= 21112dM3/dx.
+ F32.
on
BibliographicDurey A, Laurent M and Journeaux R 1983 Eur. J . Phys. 4
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Physics vol. I1 (Reading, MA: Addison-Wesley)
Fruhling A 1966 Cours d’Electricire (Paris: Dunod)
Goudet G 1975 Traite d’Electricite (Paris: Masson)