PRISME DROIT ET CYLINDRE

PRISME DROIT ET CYLINDRE
Objectifs :
• Fabriquer un prisme droit dont la base est un triangle ou un
parallélogramme et dont les dimensions sont données, en particulier à partir
d’un patron.
• Fabriquer un cylindre de révolution dont le rayon du cercle de base est
donné.
• Dessiner à main levée une représentation en perspective cavalière de
ces deux solides.
• Reconnaître dans une représentation en perspective cavalière d’un
prisme droit les arêtes de même longueur, les angles droits, les arêtes, les
faces parallèles ou perpendiculaires.
1. Prisme droit
1) Définitions
Un solide est un objet de l’espace.
Un prisme droit est un solide qui a :
- deux polygones superposables pour faces parallèles ; on les appelle les bases
- des rectangles pour les autres faces ; on les appelle les faces latérales.
Exemple : On a construit ci-dessous un prisme droit à base triangulaire en perspective
cavalière.
C
A
B
F
D
E
Ses bases sont les triangles ABC et DEF.
Ses côtés, appelés faces latérales, sont les rectangles ABED, BCFE et ACFD.
Il a six sommets : les points A, B, C, D, E et F.
Il a neuf arêtes : les segments [AB], [BC], [CA], [DE], [EF], [FD], [AD], [BE] et [CF].
L’arête [DF] n’est normalement pas visible : elle est tracée en pointillé.
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C. Lainé
• Les arêtes qui relient les bases sont appelées les arêtes latérales ; elles ont
toutes la même longueur.
• La longueur commune des arêtes latérales est la hauteur du prisme droit.
Exemple : Dans l’exemple précédent, les trois arêtes latérales [AD], [BE] et [CF] ont la même
longueur : c’est la hauteur du prisme.
Remarque : Lorsque les bases sont des rectangles, le prisme droit est un parallélépipède
rectangle.
2) Patron d’un prisme droit
Le patron d’un solide est une figure plane qui, pliée, permet de reconstituer le
solide. Elle est composée des faces du solide.
Exemple : Patron d’un prisme droit à base triangulaire
3) Aire latérale d’un prisme droit
L’aire latérale d’un prisme droit (aire des faces latérales) est égale au produit du
périmètre de la base par la hauteur du prisme.
Exemple : Soit un prisme droit à base triangulaire de longueurs a = 4 cm , b = 3 cm ,
c = 6 cm et h = 10 cm .
a = ( a + b + c) × h
a = ( 4 + 3 + 6 ) × 10 = 13 × 10 = 130 .
Donc l’aire latérale de ce prisme droit est égale à 130 cm2.
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C. Lainé
4) Volume d’un prisme droit
Le volume d’un prisme droit est égal au produit de l’aire de sa base par sa
hauteur.
Exemple : Soit un prisme droit, dont la base est un triangle rectangle, a = 4 cm , b = 3 cm ,
c = 5 cm et h = 10 cm .
a× b 3 × 4
v = aire de la base × h . Or l’aire du triangle rectangle est égale à
=
= 6 cm2 .
2
2
D’où v = 6 × 10 = 60 .
Donc le volume de ce prisme droit est égal à 60 cm3.
2. Cylindre
1) Définition
Un cylindre est un solide dont les deux bases sont des disques identiques reliés
à angle droit par une surface courbe.
2) Patron d’un prisme droit
Le patron d’un cylindre est constitué de deux disques de même taille pour les
bases, et d’un rectangle qui a pour largeur la hauteur du cylindre et pour
longueur le périmètre d’un disque.
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C. Lainé
3) Aire latérale d’un cylindre
L’aire latérale d’un cylindre de hauteur h, dont la base est un disque de rayon r,
est égale au produit du périmètre de la base par la hauteur du cylindre, c’est-àdire à 2 × π × r × h .
Exemple : Soit un cylindre de rayon r = 3 cm et de hauteur h = 10 cm .
a = 2×π × r × h.
a = 2 × π × 3 × 10 = 60π ≈ 188,5 .
Donc l’aire latérale de ce cylindre est égale à environ 1885,5 cm2.
4) Volume d’un cylindre
Le volume d’un cylindre de hauteur h, dont la base est un disque de rayon r, est
égal au produit de l’aire de sa base par sa hauteur, c’est-à-dire à π × r 2 × h .
Exemple : Soit un cylindre de rayon r = 3 cm et de hauteur h = 10 cm .
v = aire de la base × h = π × r2 × h .
D’où v = π × 32 × 10 = π × 9 × 10 = 90π ≈ 282,74 .
Donc le volume de ce cylindre est égal à environ 282,74 cm3.
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C. Lainé