Mecanique Generale - Chapitre 6

Transcription

S O M M A I R E
1ÈRE PARTIE
LES PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA MÉCANIQUE CLASSIQUE
6.1.1
LOI FONDAMENTALE POUR UN POINT MATERIEL ISOLE :
304
A. Point matériel
B. Notion de force
304
304
a) définition physique de la force
b) représentation par une nouvelle notion
c) postulat
6.1.2
C. La 'loi fondamentale
306
LES REPERES PRIVILEGIES DE LA MECANIQUE CLASSIQUE ;
307
A. Relativité de la mécanique classique
B. Repères utilisés en pratique
307
309
a) en mécanique terrestre usuelle
b) en mécanique plus précise
c) en mécanique céleste et navigation interplanétaire
6.1.3
305
305
306'
309
310
311
LE TEMPS PRIVILEGIE ;
312
A. Le temps subjectif
312
B. Le temps objectif
C. L'étalon de temps
312
313
a)
b)
c)
d)
le fractionnement de la durée
choix d'un étalon à temps absolu
l'étalon légal : la seconde de jour solaire moyen
unicité de la chronologie pour laquelle les lois de la
mécanique sont valables
313
314
314
315
D. Le temps local et le temps du repère
315
E. Amélioration de l'étalon de temps.
315
© [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.
2ÈME PARTIE
LES THÉORÈMES GÉNÉRAUX DE LA DYNAMIQUE CLASSIQUE
6.2.1
6.2.2
6.2.3
LOI FONDAMENTALE POUR UN SYSTEME FONDAMENTAL (E)
318
A. Forme de la loi fondamentale
B. Principe complémentaire : principe de l'action et de la
réaction
318
319
C. Propriété des forces intérieures
319
THEOREMES GENERAUX A CARACTERE VECTORIEL POUR UN SYSTEME (E)
320
A. Théorème de la somme géométrique
B. Théorème du moment cinétique
320
321
CAS PARTICULIER REMARQUABLE ; PREMIERES APPLICATIONS DES
THEOREMES GENERAUX
322
A. La somme des forces extérieures a une projection nulle sur
un axe de (Rg) (axe fixe dans Rg)
322
B. La somme des forces extérieures est nulle
327
C. Le moment des forces extérieures en un point fixe a une projection nulle sur un axe u de (Rg)
327
D. Le moment des forces extérieures est nul en un point fixe (ou 330
au centre dfinertie)
3ÈME PARTIE
ÉTUDE DES ACTIONS DE CONTACT ENTRE LES SOLIDES
6.3.1
ETUDE GEOMETRIQUE ET CINEMATIQUE DES LIAISONS
f
332
A. Degré de liberté d un solide libre
332
B. Liaisons imposées à un système
332
C. Classification des liaisons d'après la nature des relations
liant les paramètres :
335
a)
b)
c)
d)
liaison holonome
liaison non holonome
liaison semi holonome
remarque
335
336
338
339
D. Liaisons indépendantes du temps. Liaisons dépendantes du temps 339
a) liaisons holonomes
339
b) liaisons non holonomes
340
E. Degré de liberté d'un système soumis à des liaisons
a) système holonome
b) système non holonome
6.3.2
ETUDE DYNAMIQUE DES LIAISONS DIRECTESENTRE DEUX SOLIDES (Si)
ET (82) EN C O N T A C T P O N C T U E Î T ' " "
À. Lois de Coulomb concernant FI 2
a) cas général
b) cas particulier limite
c) rôle du facteur vitesse
B. Résultats expérimentaux
a) résultats concernant les métaux
. métaux dégraissés
. alliages de métaux sur l'acier
. acier sur acië lubrifie
. métaux sur acier
. coefficient de frottement statique et dynamique pour
les surfaces en présence de lubrifiant
b) matériaux non métalliques
. matériaux sur eux-mêmes
. matériaux divers entre eux
-»•
C. Lois de Coulomb concernant MI2(1)
a) loi du frottement de roulement
. il y a roulement
. il n'y a pas roulement
b) loi du frottement de pivotement
. il y a pivotement
. il n'y a pas pivotement
D. Extension des lois de Coulomb lorsqu'il y a contact sur toute
une surface préétablie
a) il y
b) il y
fc^ce
dNi2
6.3.3
342
342
344
345
346
346
347
347
348
348
348
^
350
350
350
350
350
351
352
352
352
352
352
353
353
a translation et l'on admet que f et h sont constants 354
a rotation de (S2)/(Si) autour d'un axe fixe, la sur- 355
de contact est plane et en outre la répartition de
et f est uniforme
ETUDE GEOMETRIQUE ET DYNAMIQUE DES LIAISONS USUELLES
357
A. Liaison spbérique
357
a) étude géométrique et cinématique
b) étude dynamique. Liaison sphérique parfaite
B. Liaison cylindrique (ou verrou)
b) étude dynamique. Liaison verrou parfaite
C. Liaison rotoïde
358
360
361
361
353
354
b) étude dynamique. Liaison rotoïde parfaite.
364
366
D. Liaison prismatique
b) étude dynamique. Liaison prismatique parfaite.
366
366
368
E. Liaison hélicoïdale
369
étude
géométrique
© [JP.BROSSARD], [1994], INSA dea)
Lyon,
tous droits
réservés.
et cinématique
b) étude dynamique : particularités.
369
371
4ÈME PARTIE
TRAVAIL - PUISSANCE - THÉORÈME DE L'ÉNERGIE CINÉTIQUE
6.4.1
DEFINITION GENERALE DE LA PUISSANCE ET DU TRAVAIL
A. Puissance et travail d'une force appliquée à un élément matériel
bien déterminé
37g
378
a) puissance
b) travail élémentaire développé par la force F pendant le temps dt
c) travail de la force F dont le point d'application se déplace
de A à B
B. Puissance et travail d'une force dont le point d'application
change au cours du temps
379
a) puissance développée par les actions mécaniques
b) travail élémentaire
c) exemple
6 4 2
''
6.4.3
CALCUL DU TRAVAIL ET DE LA PUISSANCE DANS QUELQUES CAS REMARQUABLES
380
A. Cas d'un torseur de forces appliqué à un solide
381
B. Propriétés de la puissance développée par un torseur des forces
intérieures agissant sur un système quelconque.
331
C. Puissance développée par le torseur des forces de cohésion d'un
solide.
382
D. Puissance développée par les forces de liaison intérieures à un
système de solides.
383
E. Puissance développée par les forces de liaison extérieures à un
solide.
384
F. Cas où il y a fonction de force.
385
SYSTEME A FONCTION DE FORCE
385
A. Définition
385
B. Exemples
385
a) action élastique : ressort idéal le plus général
b) action de gravitation
C. Propriété de la puissance d'une force qui dérive d'une fonction
de force invariable
385
389
390
D. Application de cette propriété pour le calcul des fonctions de
force
a) fonction de force due à un ressort agissant à l'extérieur
d'un système
b) fonction de force agissant à l'extérieur d'un système
c) fonction de force de gravitation, la masse attirante étant
à l'extérieur du système
d) fonction de force due à l'attraction newtonienne de deux
masses ponctuelles
e) fonction de force de pesanteur
E. Conditions d'existence et propriété des fonctions de force
a) condition d'existence d'une fonction de force pour la force
f « |X, Y, Z|
b) calcul de la fonction de force à partir des composantes
c) propriété du travail d'une force qui dérive d'une fonction
de force
d) autres propriétés
F. Fonction de force généralisée
a) définition des fonctions de force généralisées
b) propriétés
c) remarque
6.4.4
390
390
391
392
392
393
393
393
394
395
396
396
397
THEOREME DE L'ENERGIE CINETIQUE
398
A. Formule générale
398
B. Cas de simplification
399
a) système formé de solides parfaits
b) système formé de solides parfaits à liaisons parfaites
c) système formé de solides parfaits, à liaisons parfaites et
où il y a fonction de force pour les forces données.
400
400
400
5ÈME PARTIE
MISE EN ÉQUATION ET RÉSOLUTION DES PROBLÈMES DE MÉCANIQUE
6.5.1
MODELE DE LA REALITE
402
A. Construction d f un modelé physique
402
B. Modelé dynamique
404
a) modèle cinématique
b) modèle cinétique
c) modèle des actions mécaniques
404
406
407
6.5.2
APPLICATION DES THEOREMES GENERAUX
411
6.5.3
LES SYSTEMES DIFFERENTIELS DE LA MECANIQUE
414
A. Fondement théorique : théorème de Cauchy
414
B. Résolution pratique
414
a) définition
b) intérêt
6.5.4
C. Solution numérique
415
D. Solution analogique
415
QUELQUES EXEMPLES DE MISE EN EQUATION
417
A. Pendule composé
417
a)
b)
c)
d)
e)
f)
repérage
éléments de géométrie des masses
analyse des actions mécaniques
application des théorèmes généraux
équation du mouvement
détermination des actions de contact inconnues
B. Système à came
a)
b)
c)
d)
e)
6.5.5
414
414
repérage
relations de liaison
analyse des actions mécaniques
application des théorèmes généraux
équation du mouvement
DETERMINATION DU TORSEUR DES FORCES DE COHESION
a) repérage
b) équations du mouvement
c) détermination du torseur d'actions'intérieures
417
417
418
418
420
427
427
428
429
429
430
432
433
434
435
435
6ÈME
PARTIE
STATIQUE PAR LES THÉORÈMES GÉNÉRAUX
6.6.1
DEFINITION DE L'EQUILIBRE
441
A. Equilibre d'un point matériel
441
f
6.6.2
B. Equilibre d un système matériel
441
STABILITE D'UN EQUILIBRE
441
A. Définition préliminaire : écart d'un système
441
B. Définition mathématique de la stabilité
442
C. Cas particulier d'un système dont la configuration s'exprime à 442
l'aide de
paramètres
6*6.3
6.6.4
STATIQUE PAR LES THEOREMES GENERAUX
442
A. Equilibre d'un point matériel
442
B. Equilibre des systèmes matériels
443
C. Equilibre d'un solide. Condition nécessaire et suffisante.
444
EXEMPLES
446
A. Repérage
446
B. Relation de liaison
C. Analyse des actions mécaniques
447
447
D. Application des théorèmes généraux de la statique
448
E. Positions d'équilibre
450
F. Etude de la stabilité des positions
451
a/ Equation du mouvement. Remarques
451
b/ Etude de la stabilité des différentes positions d'équilibre.456
En 1902 H. POINCARE note dans son livre "La science et l'Hypothèse"
"Les Anglais enseignent la mécanique comme une science expérimentale ; sur le continent on l'expose toujours plus ou moins comme une science
dêductive et à priori. Ce sont les Anglais qui ont raison^ cela va sans dire ;
mais comment a-t-on pu persévérer si longtemps dans d'autres errements ?"
Depuis le début du siècle, la situation n'a pas globalement évolué
sur le plan de l'enseignement. Les causes en sont multiples :
- formulation analytique exagérée depuis LAGRANGE dont l'intention a
été bien mal comprise (contrairement aux ouvrages anglo-saxons, nos
livres sont bien pauvres en figures)
- enseignement mathématique donné indépendamment des sciences physiques
(alors que dans les cours anglo-saxons l'outillage mathématique est
étudié au fur et à mesure de son introduction en physique)
- coupure de l'enseignement de la mécanique et des autres branches de
la physique
- déclin provisoire - maintenant terminé - de la mécanique classique
au profit des nouvelles mécaniques.
Nous avons essayé d'échapper à ce reproche en distinguant soigneusement ce qui est expérience et raisonnement mathématique, en explicitant avec
soin l'introduction des concepts fondamentaux mais surtout comment on fait un
modèle mécanique de la réalité. Dans cette voie la mécanique est alors un
domaine privilégié pour la formation de l'esprit scientifique.
Par ailleurs nous consacrerons ultérieurement une longue étude aux
expériences et aux observations sur lesquelles repose la mécanique classique.
En fait la construction historique de la mécanique est à la fois
faite d'observations, d'expériences et de déductions théoriques. C'est cette
voie que nous avons choisie. Si le chapitre sur les fondements expérimentaux
a été en partie reporté dans un prochain fascicule, c'est tout simplement
pour pouvoir montrer assez rapidement sur des exemples l'efficacité de la
mécanique.
_ 344 bis -
AÈME P A R T I E
TRAVAIL - PUISSANCE - THÉORÈME DE L'ÉNERGIE CINÉTIQUE
- 378 -
Nous avons vu jusqu'à maintenant des théorèmes généraux à caractère vectoriel qui faisaient intervenir exclusivement les actions mécaniques
extérieures. Nous allons maintenant voir un autre théorème d'une grande importance pratique. Il est à caractère scalaire et fait en général intervenir
les actions intérieures. Il nécessite l'introduction de nouvelles noti.ons :
puissance, travail, fonction de force.
6.4.1
DEFINITION GENERALE DE LA PUISSANCE ET DU TRAVAIL
A. Puissance et travail d'une force appliquée à un élément matériel
bien déterminé
a) Puissance
Soit une action mécanique représentée par la force F appliquée en P
F
=
[X, Y, ZJR§
ÔgP
=
Qx, y, z^Rg
On appelle puissance développée
dans Rg par la force F appliquée en P
le produit scalaire
J0#g
= î . V8(P)
La vitesse étant essentiellement
relative, il est impératif de préciser le repère. En pratique ce sera un
repère galiléen. Sous forme analytique
<^?ê
= Xxf
+ Yy1
+ Zz1
->
b) Travail élémentaire développé par la force F pendant le temps dt
On appelle travail élémentaire développé dans Rg par la force F
appliquée en P pendant le temps dt le scalaire
dWg =c—/
<^g dt
soit encore
dWg
=
î . V8 dt
dW8
=
X dx + Y dy + Z dz
•->
o) Travail de la force F dont le point d'application se déplace de
A àB
->
On appelle travail de la force F sur l'axe AB
wL
A»
=
f
X dx + Y dy + Z dz
JÂB
- 379 -
B. Puissance et travail d'une force dont le point d'application change
au cours du temps
Cette circonstance se produit essentiellement lorsqu'on envisage
de calculer la puissance développée par les actions de contact de deux solides.
Soit en effet deux solides (Si) et (82) en contact au point I.
Nous avons déjà vu en cinématique qu'il fallait prendre de grandes précautions du point de vue des vecteurs vitesses : on pouvait en considérer trois
Vf(ij : vitesse dans Rg de I 6
à (S!)
vf(il : vitesse dans Rg de I 6
à (S2)
e
V (ij : vitesse dans Rg de I
géométrique
Supposons le contact ponctuel.
Nous avons d'après notre façon
de voir les actions mécaniques
->
lfaction de (S^) sur (S2) FI 2
l'action de (S2) sur (S^
F2i
->•
->
F
avec
12 + F21 = °
a) Puissance développée par les actions mécaniques
->•
On appelle puissance développée par Fi2 appliquée à (82)
Jî2 = F!2 • vfd)
Remarque 1 : la puissance développée par F2i sera de même
jfi = F2i.vf(I)
Remarque 2 : la puissance développée par le couple d'action mutuelle est
&* - jf2 + J21
^r%
J^g
= Îi2 ^2^ + ^21 ^f C1)
= |12 (vf(i) - vf(l))
^g
compte tenu du principe de
l'action et de la réaction
= Î12 - ^(1)
La puissance dépend de la vitesse relative. Nous constatons que
la puissance n'est pas nulle, bien que la somme des deux forces soit nulle.
Nous verrons que c'est une propriété générale des forces intérieures.
Remarque : on aurait tout aussi bien pu écrire
o
J& =
->
-v2
F2i . V}(I)
b) Travail élémentaire
-
on appelle travail élémentaire développé par la force F^ 2
dW?2
=
FX 2 vf(I) dt
le travail élémentaire développé par F2i est de même
dw
fl
=
F
21 vf(I) dt
enfin le travail développé par l'ensemble (Fi2> F2i) est
/dWg
=
FI2 . vid) dt
- 380 -
c) exemple
Calculer J° la puissance développée par les actions de contact
d'un disque roulant sans glisser sur le sol (mouvement plan du disque)
55t -
(xX0 + aY0)
(X0f Xi) =
<f>
^*° - FO/I - vf(i)
vfd) - ViCOi) + n.f A oit
= x'X 0 + <f>'z 0
-aY0
V'CI) = (x' + a<f>') X 0
•f 0 /l
J^°
=
["T. N, O] R O
T (x f 4- a<|) f )
La discussion se fait en fonction
des lois de Coulomb,
x f •»• a cf)f 4 0
il y a glissement
x f •»• a ff >
0
—^ | T | « - f | N j
J°
x! + a 4> f
< 0
- - f | N | (xf '+ a 4> f )
^ | T | = + f |N|
J°
=
+ f | N | (x1 + a <j>')
Dans ces deux cas on constate que J° est négatif
il y a roulement sans glissement
x f + a 4> f
^ 0
^^° . o
Lorsqu'il y a roulement sans glissement, la puissance développée
par le couple d'actions mutuelles est nulle.
6.4.2
Calcul du travail et de la puissance dans quelques cas remarquables
Lorsque nous avons un ensemble d'actions mécaniques dF appliqué
à un système matériel quelconque, nous pouvons faire la "somme11 des différentes puissances et
<^8
^
=
Vg(P) . dF
Jpes
Mais cela nécessitera en général un calcul compliqué. Nous allons donc essayer
de formuler une fois pour toute ce calcul dans un certain nombre de cas remarquables pour obtenir à priori des'expressions simples et faciles d'emploi.
Dans tout ce qui suit, nous utiliserons à peu près exclusivement la
notion de puissance car elle s'exprime très simplement à partir de produits
scalaires.
- 381 -
A. Travail et puissance d'un torseur de force applique à un solide
Soit un système d'actions mécaniques dF dont les éléments du torseur sont
î -
f dî
•*
M(O!)
=
P€S
f
J
.>
0SP A dF
pes
Os
point de (S)
L'état des vitesses du solide (S) est parfaitement caractérisé par la connaissance du
torseur distributeur des vitesses
pf
( vf(os)
D'après la définition
(fffî
^
S
=
J
V 8 (P )
<^g
=
v g (P) . dF
P€S
-
V g (0 q ) + flg A CTP
®
s
s
f V 8 (0 S ) . dF -H
J
pes
| (fi 8
Ô™P) . dF
•'pes
soit encore, comme l'intégration porte sur les éléments attachés à P
^
£7
= V°s
.J f
pes
dF + sJÎJ J. f
^ - ^ .î
pes
+
(Ô^P A dF)
2f ..^§
La puissance développée par un torseur de forces appliqué à un
solide est égale au co-moment des deux torseurs forces et vitesses
B. Propriété de la puissance développée par un torseur de forces intérieures agissant sur un système quelconque
On sait que le torseur des forces intérieures est un torseur nul
mais il ne développe pas en général une puissance nulle ; la puissance a
une propriété' remarquable : elle est indépendante du repère de référence
que l'on peut choisir à volonté, ce qui légitime le langage commun (par
exemple on parle de la puissance du moteur d'un véhicule sans préciser le
système de référence,) .
- 382 -
Considérons deux points^matériels^P^ et Pj
et les actions mécaniques F ,
et F ,
qui
sfexercent sur eux
J *
i J
*p-/p.
r
i/rj
+
*P /P
*j/*i
*' °
(principe de l'ac-
tion et de la rê_
action)
Calculons la puissance développée par ces
deux actions mécaniques dans deux repères Rg et
*k
g?*.- Vv ^8(Pi> + î p i /p j -^ 8 < p j >
^g
De même
J
= Fp
i
/p
j
-
Fp./p. Lv g (Pj) -V g (Pi)]
,
[v k (P.)
-^(Pi)]
J
^(P^
-
V1^) + V^(P t )
V g (P..)
=
vVj) + vJ(Pj)
^8 • VjBV-â ^PI/PJ PÎ<'J> - â
^8
=
pk + x pTpî . [v^pj - v^(p.)]
Mais v^(p ) et V^(P.) sont les vitesses de P£ et Pj appartenant au solide
(R^), Le champ de vitesse est équiprojectif
p.p.
v^fP.)
r r
i j 'vkî;
=
p.p!
V^(P*}
irj 'vk^rj;
^g=^k
C. Puissance développée par le torseur des forces de cohésion d f un
solide (S)
Désignons par L^Jc ê torseur ês forces de cohésion d'un solide.
Les éléments de réduction sont désignés par F et Mn (le point Og est quelconque). C'est un torseur de forces intérieures : s
F
+c
M0s
=0
.. o
On peut naturellement appliquer le résultat général pour les solides
g
J^
= F . ^g
^g
= o
+
MQ
.2J
La puissance développée par le torseur des forces de cohésion d'un
solide est nulle.
Remarque : on peut mettre très simplement en évidence par une démonstration
directe pourquoi exceptionnellement un torseur nul développe une
puissance nulle
Calculons la puissance développée par les couples d'actions mutuelles
VPJ 8« Vpi
^
• I [î Pj/Pi . ?f<v * ï Pi/Pj .*Î(PJ)]
^ - ïVi c^v-^'i']
p
• ! » PÏPJ [vf'pj) - vf< i>Il
Mais cette fois nous avons un solide : le champ de vitesse est un champ
équiprojectif
PiPj • ^f(Pj)
Jg^ê
=
=
PiPj • vfCî)
d'où encore
o
D. Puissance développée par les forces de liaison intérieures à un
système de solides
Soient deux solides (Sj) et (S2) appartenant à un système de solides et un point I de la zone de contact.
Le torseur des actions de (S^ sur (S2) a pour éléments
KaU)
,+
celui de (S2) sur (Sj)
} F 12
\ F2i
]S21(I)
L'ensemble de ces deux torseurs est un torseur nul : Fj? + F2j = 0
S12(I) + H21(I) = 0
La puissance développée par l'ensemble des actions de contact est
é^'8 = ?i2 • vf(i) -H M12(i) . al+ Î2i • ^fœ
<§P*
^g
+
M21(i) . nf
= Î12 . pf(I) - ^f(I)J •+ S12(I) . m - 3Q
= Fi2 . V2(I) -H
Mi2(I) . Q
- 384 -
On retrouve en résultat général : la puissance développée par les actions
intérieures est indépendante du repère de référence. On voit bien qu'en
général cette puissance ne peut être nulle* Cependant nous pouvons considérer un certain nombre de cas où cela se produit.
En particulier si nous avons M12(l) ~ 0 (ou négligeable)
^^ - FI2- vi(D. La puissance est nulle dans deux cas :
- v2(I) = 0
il y a roulement sans glissement
(nous avions trouvé ce résultat par un calcul direct
dans le cas particulier de la roue)
- F12 . V2(I)
c'est à dire lorsque F12 est perpendiculaire à V\(I)
comme la vitesse de glissement est située dans le plan
tangent commun, la force F 12 est portée alors par la
normale commune, ceci suppose donc qu'il n'y a pas de
frottement : f = 0
Dans ces deux cas on dit que la liaison (S2)/(Sj) est une liaison
parfaite <^d = 0
E. Puissance développée par les forces de liaison "extérieures•" à un
solide
Soit un solide (S) en
contact avec (Sg) lié à
(Rg). C'est parce que (Sg)
n'appartient pas au système
que nous disons que les
actions de (S ) sur (S) sont
extérieures.
Soit I appartenant à la
zone de contact. Le torseur
des actions de (S )/(s) a
pour éléments
| *g/s
|Mg/s(I)
La puissance développée
par ce torseur est
j^-îg/.-^^V'^ï
Nous pouvons faire le même commentaire que pour les liaisons intérieures. Si
Mg/s(D = 0 {jp* = îg/s. Vf(l)
-
La puissance .est nulle dans deux cas
V (I) = 0
roulement sans glissement
-
Pg/s
g
s
perpendiculaire à ]fî(I)
: absence de frottement
- 385 F. Il y a fonction de force
II reste encore un cas extrêmement remarquable, tant par son intérêt physique (introduction d'une notion nouvelle), que par la commodité particulière qu'il procure dans la formulation. C'est celui où la force F appliquée en P peut se calculer analytiquement dès qu'une certaine fonction est
connue. Vu son importance pour le sujet qui nous préoccupe, nous lui consacrons une étude particulière
6.4.3
SYSTEME A FONCTION DE FORCE
Logiquement cette notion s'introduit lorsqu'on calcule la puissance
développée par certains types d'action mécanique (actions élastiques, actions
de gravitation, actions électrostatiques, etc ...)
A. Définition
••^••••••••••••••«•••K»
f
Soit la force I - [x, Y, z]
applig
quée en P tel que
ôgp - &. y> z]Rg
On dit qu'il y a fonction de force
ou encore que F dérive d'une fonction
de force s'il existe une fonction
U * u (x, y, z, t) telle que
Y
A
U
=
X
Y
- Jl
y
z = -I
Z
ou encore
F =
grad U
B. Exemples
a) Action élastique : ressort idéal le plus général
!°/ 2ylêB£ËBÎ22«EâE«ÏÊ£Ë2E£-ËS-S!ê£â5îaiiÊ.Ê§2ÊIale ?
- 386 -
En mécanique générale un ressort est un corps déformable que l f on
associe à un système de solides pour les relier entre eux. Par exemple ici
le ressort (R) est lié à (Sj) et (82). Nous allons voir que sous réserve de
certaines précautions et précisions, il n'y a aucune difficulté à faire rentrer ses actions mécaniques dans le cadre de la dynamique.
Nous appellerons ressort au sens de la mécanique générale un système matériel déformable joignant deux points de deux solides et tels que
les torseurs d'actions mécaniques sur (Si) et (82) soient respectivement :
k (1
|ï«/2 - - - v ilr
( MR/2(P2) = 0
avec
1 - |Â£|
lo = |ÂB|
k
k (1
f !R/, - - - '»> ]ir
par symétrie
| M^^Pj) = 0
^
lorsque F_/« = 0 on dit alors que lo est la longueur sans
contrainte
est appelée constante élastique ou encore raideur du ressort. On
peut, soit la mesurer, soit la calculer pour un certain type de
ressort. La détermination de k est du domaine de la mécanique du
solide déformable.
Par exemple, si nous avons un ressort à boudin, nous pouvons
prendre
G ^
* 8 D3.n
., nombre
,
n est le
de spires
G est appelé module de Coulomb
en pratique G est de lfordre
de 8 500.106daN/m2
Cette définition entraîne des
conséquences qu'il ne faudra
jamais perdre de vue pour appliquer ce modèle à la réalité.
2°/ Les actions du ressort se
réduisent à un vecteur glissant
unique (MR/2(P2) = 0 SR/](P1)=0)
Cela implique que les liaisons
de (R) avec (Sj) et (S2) soient
rotoïdes parfaites.
3°/ Si on applique le théorème
de la somme géométrique à (R)
Î1R + F2R - -Mj^ J8(G)
G centre
d'inertie
de R
mais d'après le modèle
->
->
F
r>i + Fr»o = 0 donc aussi
R1
^
^
0
ÎR'*^-
MR «" 0
La masse du ressort de la mécanique générale
est nécessairement nulle.
df Ù
°
- 387 On ne pourra donc appliquer ce modèle à la réalité qu'en s'assurant au préalable de la validité des hypothèses. En pratique, ce modèle
sera d'autant plus valable que la masse de (R) sera faible par rapport aux
masses des solides (S-j) et (S2) . S'il n'en est pas ainsi, il faut prendre
des précautions et l'étude rigoureuse se fait dans le cadre de la dynamique
des milieux continus. Un modèle tel que nous l'avons décrit est incapable
d'expliquer les problèmes de propagation.
Remarque 1 : Ce ressort permet le mouvement indépendant de (82) par rapport
à (Si). C'est pourquoi il n'est pas une liaison au sens où nous
l'entendons. En pratique il y a une limite et on doit avoir
jl - 10| <
limite
Au delà, le module de la force n'est plus proportionnel à l'allongement. On dit que l'on dépasse la limite élastique.
Remarque 2 : II existe beaucoup de "ressorts11 qui permettent un mouvement
limité de (Si) par rapport à (S?). En plus de leur fonction de
ressort, ils assurent une fonction de liaison.
Considérons par exemple une lame
élastique reliant deux solides (Si)
et (82) par encastrement.
En pratique une telle lame permet
seulement un mouvement plan limité
de (S2) par rapport à (Sj)
- 388 -
Le point ?2 se déplace à la distance 1 de (PJ.,XI). La lame élastique permet seulement deux degrés de liberté : x et 6.(en fait elle permet
bien le mouvement général de (82)/(Si), mais les autres déplacements sont
négligeables). Dans cet exemple, la théorie de la résistance des matériaux
donne, si l'on désigne les éléments du torseur de (R) sur (2) par
F
=
R2
L X R2 » YR2> ZR2lfRl
MR2(P2) =
[LR2, M^, NR2]Ri
Y
-
-
\2
avec
M
M
-
R2
- fi
WT
6 EI
2X
s
WT
EI8
6X
" .16
î*~
4 le
~j
z
Ig est le moment d'inertie de la section
de la lame par rapport à l'axe des Y2
E
est le module d'élasticité du matériau. Pour les acier E est de l'ordre
de 21 000.106 daN/m2
4°/ E22££Î2S-.É£-£2E££-âH-£êSS2E£
Posons
Posons
FR/2 =
OgP2
=
EX, y, z DRg
°gpl
"
-H*!, yif z l-lRg
X - - k (1 - 10)X ^ **
^X, Y, Z ]Rg
Y - - k (1 - 10)Y l Yl
z - - k (i - i-o) z ^ Zl
avec
1 = /(x - x j ) z + (y - Y I ) Z + (z - z ^ ) z
Posons
U =
3U
—
- j (1 - 1 0 ) 2 * cte
-
au - -
n - i
- v
k .u
1.0^;
al
-1
k /(11- 110N)
ai
-gj
^
au - - k
. ' (i- - 1, ,) ^
ai
_
0
j^
_
3l
«^.
ay
X - Xj
/(x -
3x
demime
^____^
ss
Xl
y -y,
y
i
r i
i
)Z
+
(y -
yi
,
_
)Z
3l
e^
_-
H
= x
3x
X
-
9y "
HoZ
(z
s
az
on a donc immédiatement
1£
+
Y
z
_
Zl
)2
.'-«!
i
• J.
X - X^
1
- 389 -
La fonction de force du ressort est donc
U - -Ik (1 - 10)2 + C
b) Action de gravitation
Pour expliquer les lois
de la nature Newton a été
amené à admettre que l'action
exercée par un point matériel
Pi de masse mi sur un point
matériel de masse m2 était
F
irR mlm2
P1P2
*Pl/P2~ " ' r2 ' JF^J
avec
r « IP1P2I
k
constante de l'attraction universelle
Ultérieurement nous étudierons
cette loi en détail.
Posons
Ôp£
-
{>, y, z]Rg
OgPi
=
Cxi, yi, zi3Rg
Fpl/p2
=
Qx, Y, z]Rg
r « /(x~X!)z -f (yyi)z + (z-zx)2
on a
x = -kSp*
u = +ILÏÏIBL
Posons
^£• 9x ""
3r
—•
.
-k ^L
z
.
-kS!Ç2
'•
••• '•-'••-
'-
x - xi
" '•••*> .
•
.
.
.
.
•
• .
.
•
.
.
•
.
.
.
.
.
„
,
„
.
,
.
.
.
z
=
z
.
z
_ k m, m2 (
r5
^y
3U
}
yi
k mimo /
,
i
r
/(x-Xl) " + (yyi) + (z-Zl)
=
, même
de
^
x
âF - --T^(z - z i }
On a donc
9U
- Y
3x ~
.
'
(y-yl)
(Ml)
+ cte
3U = - k m-img
, - X|)
x
_
j ^ (x
9U
3y
y
k mim2
%L
r^ * 3x
x - xi
=
9x
(X-X1)
9U
"§y
- v
•
'
9U
9z
= 7
^
,t ^
d
»
QU
- 390 -
La fonction de force est donc
U
=
r
k-%• '•+ G
Nous trouverons encore en physique de très nombreux exemples de
fonction de force.
C. Propriété de la puissance d'une force qui dérive -d'une fonction de
force invariable
Supposons qu'il y ait fonction de.force
x
=f
Y
= l?
z=
f
avec
u
• u(x« *'-> 2> c)
La puissance développée par la force F est
&* - ,.,..T.y..z...
mais
..it.£» .".£ .».$£* |£.£
Ê = 12 ^£ H^Z H 15. M
dt
9x dt
3y dt * 3z dt * 3t
ne
Si la fonction de force est invariable, c'est à dire si elle/dépend
pas du temps, on dit qu'il y a fonction de force au sens strict, et l f on a
!£ =
o
alors
^
=
f
Ot
d'où le théorème
S'ïl y a fonction de force au sens strict^ la puissance dêve'ï'.t'/'•;:/•
par la force est égale à la dérivée par rapport au temps de la fonction J*.
force.
D. Application de cette propriété pour le calcul des fonctions de force
La propriété précédente fournit un moyen très commode de calculer
les fonctions de force.
a) Fonction de force due à un ressort agissant à l'extérieur ir:.<>
système
Le ressort relie A appartenant à (Rg) et P appartenant à (S). L'action du ressort sur (S) est
^
-*•
AP
F
R/S ' - * "-'O» -jfT
i • |3|
Posons
Op
?8
AM
=
ÔÂ
=
1 .U
-H
1 U
<»-3rV + §"^f
^(« - £î+ i M
- 391 -
->•
La puissance développée par la force F . est
^
:
comme
U. ^
- k < i - i o ) . ï [ f u + i^]
^g =
- 0
S'il y a fonction de force
. |H =
dt
U
- k (1 - 10) £
- k (1 - 10) 4^
dt
=
- | (1 - 10)2 + cte
&J Fonction de force agissant à l'extérieur d'un système
Pour pouvoir incorporer le ressort dans la mécanique des solides,
il faut le remplacer par les actions mécaniques qu'il exerce sur le système,
c'est a d i r é ÎR/, et î^
^
ÎR/2 ' - * » - 10 ff^
F
R/1
=
~k
(1
ID)
p2Pl
Posons
PrP2
=
1 .U
La puissance développée par ces deux actions mécaniques est
^8 =
f
R/2J8(P2>
+î
R/l^8(Pl)
= - k (i-i0) u £ vg(p2) - vg(pj)3
OgPa = ô^pt + i u
^(P2) . ^(Pl) +f!tU igt
^g = -.a-ûffîf!!] . - k d-io)!l
on est ramené au cas précédent, donc
U
=
- y (l-lo)2 + cte
C f est une fonction de force intérieure au système.
- 392 -
c) Fonction de force de gravitation, la masse attirante étant à
l'extérieur du système
ÎA/P - - * ^ î
avec
r = | AP
A? * r U
Ô^?
=
OA + A?
=
A6(Rg)
QÂ + r U
*(M.0*gî.r^
<^#g
^
_
_ k
~
dU
dt
=
TT
U
=
mi m 2
ri
_ k m|in^
""
r^
f:
u
f dr
|_dtU
r
dÛ 1
_
dt~J
k m1m2
~
r2
dr
IF
dr
dF
mo + te
+ k mi\—^
c
r
d) Fonction de force due à l'attraction newtonienne de deux masses
ponctuelles
p
k--mim2
PjP2
P r /P 2 " " r2
* jpjpj"
p
k 10^2
r2
P 2 /Pl "
r
-
P2Pl
" ]P2P|T
: PlP^ T
Posons
PjP^
=
r .Û
La puissance développée par ces
deux actions mécaniques est
^= F ,
t_X
P!/P2
—v
0 P2 =
->-og
V (P2) =
, —,
0 P! + P!P2
=F /
. Vg(P P)+.Ê
2
2/P1
[vg(P2) - V8(Pi)]
ri/ 2
6
->-a8
rfr
•*•
d-E-^
TI
V (P1) + |
| u + r 5_^
^Tg
=
_kmim2
u[Û + r^]
v
d où, comme précédemment
U
=
k
2U£i
+
cte
=
/p
- k ^
+ cte
-^g(P )
1
- 393 -
e) Fonction de force de pesanteur
j
Nous verrons que nous pouvons,
dans de nombreux cas, considérer
les repères liés à la terre comme
galiléens, à condition d'admettre
que l'action de la terre est une
force P = - mgZg appliquée en
un point G appelé centre de gravité.
Posons
°? = &. y. z]Rg
fa(G) = 5', y ' , zîl
^
U
E
"
-
=
m g
.f
- mg . z + cte
=
Cond t: ons
^ ^
d'existence et propriétés des fonctions de force
a) Condition d'existence d'une fonction de force pour la force
* = & *> ^Rg
->
En analyse on démontre le théorème suivant : pour que le vecteur
= i-X, Y, ZJ soit le gradient d'une fonction U = U [x, y, z] il faut et il
suffit que le rotationnel de ce vecteur soit nul
F
D'où les conditions
12. - — =
3-y
3z
3X
9Z =
3z "" 3x
n
U
il
- 3yH . n
3x
Ce^sont aussi les conditions pour que l'expression Xdx + Ydy + Zdz = grad Û.dP
soit une différentielle totale.
exemple :
Un point P de masse m3 est
attiré suivant la loi de Newton
par deux masses mi et 1112 placées
respectivement en Og et A
V • &• y. z]Rg
ÔgA
= [a. b » 0
Montrez qu'il y a fonction de
force.
- 394 -
La force qui agit sur P est, en posant
r 13 = [OgPj
r23 = |ÂP|
f = -k 2121
ni 03
g - k 2221
ï|7 ÂÊ
- niiniQ
. moins1 ,
A
X„_ = - k
-£ip x - k
-pp- (x - a)
T
. . k Ï1|I
z
. - k =l-i
.
y
-
2
3X
2*|J
k
S2|l
k
- b)
(y
(I
- c,
r23
"
8Y
Calculons par exemple — et —
. « . / x2 + y2 + z 2
r 13
If
^
K . «JU. +
y
- 3 k fP
r 13
^LS =
y
3y
3r 2 3
3k 2221
+
rJa
H .„
9x
3
k
3 k
r!*3
m
3k
3r
yv
'
h
+
3x
x
3x
.
a)
«g!
>
y- b
r23
(x - a)(y - b)
r|3
2L21
3ri3 _
|dx
I'
=
z
x y
(x
ri3
yj-jb
/(x-a) + (y-a)z + (z-c) z
=
3 k 2l£l
37
3 „ SEi
r23
= _z_
/xz + yz + z z
9y
|
| =
/(x-a) z + (y-b) z + (z-c) z
2223. (y(V - b)b )
3r23 _
ri 3
HllÇa.
3
3 kk
3x
Y . X
+
rï3.
on a donc immédiatement
3-k
43
9r
23
' 3x
x - a
ras
''22|i'.(y-b)(x-a)
r|3
3 x =_ ay
By
9x
on vérifierait de même les autres relations. Il y a donc fonction de force.
b) Calcul de la fonction de force à partir des composantes
Supposons que nous ayons reconnu l'existence d'une fonction de
force. On peut trouver cette fonction*de force à partir des composantes
Y
X
_ 3 U
" 9 ^
Y -
S U
"37
Z - H
^ ~ B z
* on intégrera X en considérant y et z comme des constantes et l'on ajoutera
une fonction arbitraire fj(y,z)
- 395 -
•
U (x, y, z)
=
j Xdx + F!(y, z)
U (x, y, z)
= F! (x, y, z)
+ f x (y, z)
£ • £ * ^ - * <«. ». •>
j\p
d'où
-r—L =
9y
âF
Y (x, y, z)
3fl
3fi
,
- -r—
oy
où
x
est éliminé
v
a^ - V" .-<y. 2>
3fi
Intégrons par rapport à y l'expression que nous venons de trouver pour —*fl(y,z)
U =
M
3z
- F2 (y,z) ^ f2 (z)
F! (x,y,z) + F2 (y,z) + f2 (z)
. |IL
3z
z . HL
+ .-|£i .+
9z
+
3z
A
on a donc
<Jf 2
—T^
QZ
;|l2.
8z
mais
Z =
|2.
3z
IZz .+ «2.
3z
dz
„
3F!L
3Fo
= Z - r—
- -r—^
dZ
oZ
.
ou
x et y
-.-...
sont élimines
Finalement, par une dernière intégration, on aura
f2
=
f 2 (z)
c) Propriété du travail d'une force qui dérive d'une fonction de
force
Nous avons vu que le travail de la force qui se déplace sur
l'arc AB était
*
W
»
X dx + Y dy + Z dz
J
**
AB
Rappelons un théorème d'analyse :
Pour qu'une intégrale curviligne ne dépende dans un domaine (D) que des
extrémités de l'arc drintégration3 il faut et il suffit que son élément différentiel soit la différentielle totale d'une fonction uniforme et continue
sur (D)
D'après la remarque que nous avons faite, il en est bien ainsi
s'il y a fonction de force. Alors :
W
AB
=
U
B
-
U
A
Le travail ne dépend pas du chemin de parcours du point d'application de la force.
Remarquons qu'il est important que la fonction de force soit
uniforme.
- 396 -
d) Autres propriétés
•'°/ §î-iâ«l2S££i2S-^£-l2E£ê u * u(x»y»z) a plusieurs déterminations Ui = Ui(x,y,z) ; U2 = U2(,y,z) les seules déterminations physiquement
possibles diffèrent par une constante additive. La force est physiquement
bien déterminée en tout point du champ (D). D f où
aiJT _ au?
3x " 3x
3Ul
au2
ay = By-
z = ML
. ^
az
az
.„
aui
,
aui d,y + _L
au, dz,
_i
+
_L
dUl
=
dx
9
u2 d,x +_,_ _^
au2 d ,y +^ -2.
au2 dz,
du2 = _z
=
dUi
Ui
dU2
-
U2 + C
2°/ AdâiJÈiYÎil
Si le point P est soumis à deux forces FJ et F2 qui donnent lieu
séparément à fonction de force Uj et U2, il existe une fonction de force
U = Ur + U2
F! = [xlf Y lf zj
Y
iïïL
v - 3Ui
Xl . —iYI - —L
Y
-
X2
- -^
^2.
Y
-
Y2
- —*
x
-
9U
?
Z2 - ^X, Y, Z
Y - Y! t Y2
;
avec
Z = Zj + Z2
• £-.*£* • -f!-^ • «-^*l?
Y
X
;
?
122.
La somme des forces a pour composantes
X = Xj + X2
Î2 = [x2, Y2, z-£[
7
Zi
= au,
3^
"
9 (Ui + U?)
3x
. v _ 3(Ui + U^)
'Y "
ay
. 7 . 9(Ui •»• U9)
'Z ~
az
La fonction de force est donc, d!après la définition
U
=
Uj •*• U2
F. Fonction de force généralisée :
La fonction de force a été définie essentiellement en fonction des
coordonnées cartésiennes. Mais généralement les coordonnées cartésiennes de
tout point P s'expriment en fonction des paramètres qui servent au repérage
du système et pour tout point P on a
q
x
»
x (qx .... q£ ... q n>t )
y
=
y (qr ... qj- ... qn>t)
z
-
z (qi ... qi ... q n>t )
... qi ... qn, n étant le nombre de paramètres qui servent à l'orientation
du système.
- 397 -
Désignons par x et z les coordonnées
de G.
x
-
1} sin 0 + 12 sin <j>
z
=
1} cos 6 + \2
x
=
x (0,4))
z
=
z (0,cf))
cos
°
a) Définition des fonctions de force généralisées
Supposons qu'une force F soit appliquée en un point
P avec
=
_J
=
OgP
£x» Y« z-lRg
Qx, y, z]Rg
a puissance développée par cette force
J^g
=
|£_ q{ + 000 + |ï- q-
Xx1
+ Zz1
+ Yy'
x-
.
y,
= |Z_ ql + ooo + |
^ql + ooo + |Z- qA
z.
= |£_ql + 000 +1^,1+ 000 + ||-q-
+
000 + |
|
- q^
000
^•-fe^lîr^^*
*^*^^.^
+ x +Y
fe ^-fe^
La puissance est de la forme ^^>g = QjqJ + 000 + Q^qj + 000 + Qnqnn
—
«H - *&"£**&
S'il existe une fonction U = U(qj ... q£ ... qn ^) telle que
on dit qu'il y a fonction de force généralisée.
Q£
=
3U
-—î
b) Propriété
Si l'on a U « U(qi . . . qi . . . qn)
on a alors de la même façon @fî
dt
^2. = |IL q|+ QOO + |^-1 q{ +000+ |
%
'
dq
3q£ - 3qn «
~ TT
o) Remarque
S'il y a fonction de force au sens ordinaire, il y a fonction
de force généralisée.
y
A
-
3U
"51
Y
-
SU
~ "9?
7
^
" "57
- 398 ~
_.
=
Qi
3U 3x
3U 3y
^8?T
3? 9^1
.
BU 8z
+
S01t
aF5qi
„
Qi=
BU
9ÏÏT
exemple : calculez la fonction de force due à la pesanteur dans le pendule
double précédent
Le poids est
- r°i
P
=
0
_ mg
(on suppose la verticale descendante)
OG = ( I j sine + 12 sincf))1(0 -«-(Ij cos0 +12 cos<J>)f 0
V°(G)
=
(li 6 f cos 0 -f 12 <J> f sin <f>)|0
- (li 0' sin 6 4- 12 <(> f sin 4))Y 0
La puissance développée par le poids est
^°
*~S
t^^*
=
= P . V°(G)
= - mg (Lj 0 f sin
0 •»• 12 4> f sincf))
- mg l]i sin 0 . 0 f - mg 12 sin <t> . 4> f
de la forme
^° = Qe e' +-Q^- + '
on constate immédiatement qu'il y a fonction de force
U
= mg 1 cos 0 + mg 1 cos $ + cte
Remarque : ce résultat était facilement prévisible. En effet, il y a fonction
de force au sens ordinaire
U
=
+ mg . z + cte
G
avec
z~
o
=
1} cos 0 + 12 cos $
soit
U
4.4
=
mg (li cos 0 + 12 cos 0) -H cte
THEOREME DE L!ENERGIE CINETIQUE
A. Forme générale
_^
Reprenons la loi fondamentale sous la forme générale
dFe + dF£ = J^(P) dm . Multiplions scalairement les deux membres de cette
relation par V§(P)
dîç • ^S.(P) -f dÎ£ . ^B(P) =
Î8(P) . t?g(P) dm
En faisant la somme pour tous les éléments qui appartiennent au système
[
dîe.^g(P)
•* P6S
dFe.Vg(P)
•'P6S
+
[ dîi.^8(P)
J P€S
«
[ 38(P).^8(P) dm
J P6S
est la puissance développée par toutes les actions extérieures.
Désignons la par J^
dF^.V8(P) est la puissance développée par toutes les actions intérieures.
JP6S
Désignons la par J? (il n f est pas nécessaire de mettre g)
Enfin nous pouvons transformer le terme du deuxième menu,
jg(p).vg(p> =ii^(p).^(p) = ^(vf)2
- 399 -
(
J8(P),Vg(P) dm
•Jpes .
- J I ~^r (V8(P))2 dm
P€S
pes
en intervertissant sommation et dérivation
d
dt
1
2
|V8(P)|2 dm
P€S
donc
_
dt
ex
Théorème : La dérivée par rapport au temps de l'énergie cinétique galiléenne
est égale à la somme des puissances développées pour toutes les actions mécaniques * tant intérieures qufextérieure s.
Remarque : on peut obtenir d'autres expressions de ce théorème, commodes
dans certains cas
g
dU
- en multipliant par dt les deux membres
dTg = dWex
in
f
La différentielle de l énergie cinétique est égale à la somme des
travaux élémentaires développés par toutes les actions mécaniques.
- en intégrant
g
8
If T J1 1 = f Wex h
+
W.
in 1h
La variation de l'énergie cinétique entre les instants tj et t2 est
égale à la somme des travaux effectués pendant le même temps par toutes les actions mécaniques.
Remarque : cette équation sfajoute aux équations que nous avons obtenues par
les théorèmes généraux et elle fait intervenir les actions intérieures. Mais
très souvent cette équation est la conséquence directe des équations obtenues
par les théorèmes généraux, nous aurons l'occasion de le montrer ultérieurement. Mais, même si cette circonstance se produit, on peut obtenir une équation plus commode susceptible de remplacer n'importe quelle équation déjà
obtenue.
B. Cas de simplification
Résumons et classons les différents types d'actions mécaniques que
nous rencontrons
'
(actions
acti( de liaison extérieures
actions extérieures
\actions
actic
données
iactions de liaison intérieures
actions intérieures
factions de cohésion
Elles développent respectivement les puissances
- 400 -
Le théorème de l'énergie cinétique peut donc s'écrire
&fi (%)^ €fô
*•>!>
^* l *~^L\
d
<£%) ^
Tg
dt
Nous allons envisager les simplifications en fonction de cette analyse.
a) Le système est formé de solides parfaits
/~~x
°^C
Le torseur des forces de cohésion développe une puissance nulle
Remarque : si l'on a des corps déformables, la puissance n'est pas nulle. On
étudie ce problème dans le cadre de la mécanique des milieux continus.
b) Le système est formé de solides parfaits à liaisons parfaites
^ .^L«
«
&1- °
3* . d I»
c^D
dt
c) Le système est formé de solides parfaits à liaisons parfaites
et il y a fonction de force pour les forces données
&
Ç--^
v>
= 0
; d^f
t->^
- 0
;
JLi6
&$
c_>^
enfin la dernière hypothèse donne
on obtient alors l'intégrale
« 0
JL1
^^^
*-*/
-D
T =
=
—T~^
dt
U +h
Cette équation est appelée intégrale première des forces vives.
Nous reviendrons ultérieurement sur son importance et sa signification.
Remarque : Nous pouvons avoir l'intégrale des forces vives dans des cas beaucoup plus généraux. Supposons par exemple que nous ayons un système qui n'est pas formé exclusivement de solides parfaits. Pour
ces éléments on a donc Jç ^ 0. Mais s'il y a fonction de force
pour ces éléments on a
, TT
dUi
tâiï -~ dT~
J/^c
c'est ce qui se passe en particulier pour tous les systèmes déforma7 .es tels
que ressorts ou barres élastiques. Le théorème de l'énergie cinéti je donne
£b- + £i - iïi
. -t.
avec
T
= u+h
U = U^ + U.
D
in
Dorénavant, nous mettrons donc U dans cette équation sans préciser l'origine.
- 401 -
SÈME
PARTIE
MISE EN ÉQUATION ET RÉSOLUTION DES PROBLÈMES DE MÉCANIQUE
- 402 L'application des théorèmes généraux exige la connaissance des
éléments de cinétique (torseur dynamique, énergie cinétique) et des actions
mécaniques agissant sur le système dont on a fait un "modè-le" dans le langage
de la mécanique générale. On rencontrera trois types de problème :
6.5.1
-
les actions mécaniques étant toutes connues, trouver le mouvement du
système, c'est à dire trouver l'expression de chacun des paramètres au
cours du temps.
-
le mouvement étant connu, trouver les actions mécaniques qui entrent
en jeu.
-
en fait, en pratique, on a un problème mixte : le mouvement et les actions sont partiellement connus. Il faut finir de déterminer le mouvement (paramètres inconnus) et les actions mécaniques inconnues (inconnues dynamiques). Dans certains cas, compte tenu de la connaissance
partielle des actions mécaniques, nous aurons au total plus d'inconnues
que d'équations, et il ne sera pas possible de faire une détermination
complète.
MODELE DE LA REALITE
II faut traduire la réalité à l'aide des concepts que nous avons
acquis. Le but est de faire un modèle de la réalité exploitable par le calcul afin d'en prédire théoriquement le comportement. Ensuite il faudra étudier le comportement expérimental. Le modèle sera jugé valable si le comportement expérimental confirme le comportement théorique avec une approximation
donnée. La qualité du modèle dépendra de l'ampleur de cette approximation.
Supposons que l'on veuille expliquer le phénomène des lésions occasionnées à la colonne vertébrale au cours d'un choc lorsque le passager n'est
pas protégé. On pose ce problème, d'une part pour comprendre le phénomène,
mais aussi surtout pour trouver théoriquement une solution au problème pratique.
A. Construction d'un modèle physique
On construit un système expérimental constitué par un chariot représentant le véhicule avec comme passager un mannequin sanglé sur son siège.
Le chariot noté (Si) se déplace en ligne droite sur le sol du laboratoire
noté (SQ) qui constituera un repère physique galiléen. Le siège est articulé
sur le chariot à l'aide d'une articulation rotoïde d'axe perpendiculaire à
la vitesse de translation du chariot. Le corps du mannequin est supposé lié
rigidement au siège. Le siège et le corps ne forment qu'un seul solide noté
(82). La tête notée (83) est articulée au corps par une liaison rotoïde d'axe
parallèle à l'axe de la liaison (81)7(82). L'appui-tête noté (Si+) est animé
d'un mouvement de translation par rapport au siège (82)
Remarque : la construction d'un modèle physique n'est pas toujours nécessaire.
Elle le sera :
- lorsqu'il est impossible d'expérimenter sur la réalité, c'est à dire chaque fois que cela présente un danger pour l'homme. Ainsi, il n'est pas
possible de mettre un être humain sur un véhicule subissant un choc audelà d'une certaine vitesse.
- lorsqu'on juge trop onéreux ou impossible de faire une expérience en vrai
grandeur. Ainsi pour trpuver les caractéristiques aérodynamiques d'un avion
on fera une étude sur maquette car, compte tenu des tailles des avions ou
des vitesses atteintes, on ne possède pas de souffleries adéquates.
- lorsque là réalité est très complexe. Il est alors utile d'utiliser au
départ de l'étude un modèle simplifié mais beaucoup plus maniable.
- 4UH ~-
B. Modèle dynamique
II est constitué par l'ensemble des concepts de cinématique, de
géométrie des masses, de cinétique et d'actions mécaniques nécessaires à
l'application des théorèmes généraux.
a) Modèle cinématique
Faire le modèle cinématique consiste essentiellement à lier à
chaque solide (8^) un repère (Rj[) et à faire le repérage de ces différents
repères. Remarquons que le fait de parler pour chacun des corps de solide
constitue en fait une "partie11 du modèle cinématique.
- A (S0) on lie le repère (R0) : [p, X0, ?0, ?0]
(0, XQ, YQ) étant le plan de symétrie du système
XQ
horizontal
YQ
vertical ascendant
ZQ
=
XQ A YQ
On supposera que ce repère est un repère galiléen
- A (Sx) on lie (Rx) : [ox , Xj, Y x , ÎJ
QI € à l'axe de la liaison rotoïde (80)7(8!)
->•
-K
Xi
-»•
=
Zi
=
XQ
->
O
YI = Y
ZQ
On repère (R1)/(R0) par
OOi
= x X0
- A (S2) on lie (R2) : [û , X2, Y2, zj
02 = Q!
->
Z2
->
=
X2
^
Ï2
Zi
perpendiculaire au dossier du siège
=
_v
*+
^2 A X2
On repère la rotation de (82)7(81) par
62 =
(X^, X2)
- A (S3) on lie le repère (R3) : [oa, X3, Y3, Z3]
03
appartient à l'axe de la liaison rotoïde (S3)/(S2)
0203 = a Î2+ b ^2
"7Z3 -- Z
T" 2
Y3
passant par G3
13
(on fait ici intervenir une simplification
pour les calculs ultérieurs, mais il faudra de toute façon localiser G3)
= ?3 A Z3
On repère la rotation de (S3)/(Si) par 0 3 =
(X^, X3)
- 405 -
Remarque : nous aurions pu repérer la rotation de (S3) par rapport à (S2).
C'est ce. que nous ferons en général, mais il était ici commode
de repérer directement (S3)/(S})
- A (S<+) on lie le repère (R^) : [(^, -^, ^, ÎJ
0^ =
+
Xi+
Yif
->
Zi4
^
03A
=
G^
=
^
X2
situé sur lfaxe de la liaison prismatique (Sif)/(S3).
(on tient compte ici d'un résultat qui paraissait
évident)
=
Y2
-*
• Z2
repère (R^) en translation par rapport à (R£)
On repère (R^) par rapport au repère JA,Jx2, Y2, Z2] avec
- dX2 + e Y2
et l'on a
AGj^ = 6 X2
- 406 »
On peut écrire les matrices de passage qui servent à ce repérage
~ X^
Y!
Zi
~cos 62 -sin 62
=
sin 92
0
X2
cos 02 0
.~Y2
°
0
«
_ Z2 J
cos 63 -sin 6 3 0
YI'
z
1 J L Z2 j
X2 ~]
Y2
%i
L lJ
=
sin 63 cos 6 3 0
L °
cos (63-62)
-sin (63-62)
sin (63-62)
cos (63-62)
°
°
1
X3
l
°
¥3
Z
JL 3 -
01 " X3 ""
0
Y3
! J LZ3 _
Au terme de cette analyse, nous avons quatre paramètres x, 62, 63
et 6. Mais ils ne sont pas indépendants : 6 est lié à 62 et 63.
- relations de liaison entre 63 62*63
Ecrivons 03! de deux manières différentes
. ÏÏÎ = 03G3 + ÏÏ^Î - 1 Y3 - R X2
- 1 sin (63-62) - R "
1 cos (63-62)
L»
JRZ
. o 3 i = o 3 À H- ÂG£ + GÎ
" -d i
=
e
r 61
+
L °JR2
0
ro"
+
L°JR2
y
[°JR2
en égalant les expressions des composantes sur X2 on aura
6
=
(d - R) - 1 sin (63-62)
relation de liaison de type holonome. Si l'on veut, on peut donc facilement
éliminer 6, Notons bien que y n'est pas une nouvelle inconnue :
y
s
- e + 1 COS (63 - 62)
b) modèle cinétique
L'application des théorèmes généraux nécessité comme nous
l'avons vu la connaissance du torseur dynamique et de l'énergie cinétique
en principe pour chacun des éléments du système. Il faut donc connaître pour
chacun des solides les dix scalaires qui constituent le modèle cinétique du
modèle physique.
la masse M.^
i *
le centre de gravité G£ : O£G£
ce qui nécessite en principe la connaissance de 3 scalaires pour chaque
centre d'inertie
(ou en un autre point)
ce qui nécessite en principe la connaissance de 6 scalaires pour chaque
tenseur
_. .
le tenseur d'inertie Ir
1
1, 2, 3, 4
- 407 -
Ces éléments, comme nous l'avons vu, peuvent soit se calculer,
soit se mesurer. En général d'ailleurs, nous n'aurons pas besoin pratiquement de tous ces éléments.
Ainsi, dans cet exemple, il suffira de connaître
- les masses
- les centres d'inertie
- les moments d'inertie de $2,^83, S^ par rapport aux
axes (G2,Z2), (G3,Z3), (G^, zj
II est bien clair que les éléments de ce modèle physique doivent
être choisis en fonction du système réel.
o) Modèle des actions mécaniques
Nous devons préciser autant que possible les actions mécaniques
appliquées à chacun des solides.
'°/ è££Î22Ë.5Ê£âSÎ3HêS-§EElî3Hlêf-â-i§l)
- liaison du chariot avec le laboratoire
Nous admettrons que tout se passe comme si le chariot glissait
sur le sol avec une liaison parfaite. Le rôle des roues étant de rendre cette
liaison aussi parfaite que possible (en fait ici toute une étude serait nécessaire pour justifier cette proposition ) pour qu'il en soit ainsi, il faut
que la masse des roues soit négligeable par rapport à la masse du chariot
et qu'il y ait roulement sans glissement).Âdmettons donc cette hypothèse.
Le torseur des actions de (SQ) sur (Sj) = [TOI] a Pour éléments de réduction
F
01
=
[X01 » Y01 9 Z01 ]R.
MOI(OÏ) -• [LOI, Molf..N0i ]RI
comme la liaison est supposée parfaite
c'est le seul renseignement que nous
connaissons sur la liaison.
FQI«YI = 0
ou
YQI
=
0
- liaison (S2)/(Si)
Le torseur des actions de liaison de (82) sur (Si) : Q T2i ] a pour
éléments de réduction
F
21
=
[ X21> Y 21> Z21 ]RI
$21«>i> -. [ L 21f M2i, N21 ]RI
L'expérience montre que la liaison rotoïde (S2)/(Si) ne peut être
valablement supposée parfaite. On aura approximativement
M2l(Oi).Zi
-
bi262
ou
N2i
-
bi 2 ei
b^ sera appelé coefficient d'amortissement visqueux. On le représente conventionné llement par un dash pot. D'ailleurs, cet amortissement peut
être artificiellement introduit/Même s'il n'existe pas, on peut l'introduire pour voir quel serait son intérêt.
- 408 -
- entre (Si) et (S2) agit également un ressort qui donne un torseur spécial :
un couple
• •
^
ki2 (®2 "" $20) Zl
-
C2l
•*• les actions de pesanteur. Leur torseur est réduit à un vecteur glissant
unique,
^
^
P .- MI g Y0
* sur le chariot peuvent encore exister des actions mécaniques destinées à
son entrainement. Ce sera par exemple un torseur réduit à un vecteur glissant unique : F = F . XQ .
2 °/ ££!i2S£-S§£âïïi2HêË-âEE!iSH§ê£_lLi§2)
- actions de (S\)/(S2) : le torseur des actions de (Si) sur (82) : | T12 |
a pour éléments
•£
412
M2l(0i)
II est inutile de reprendre l'analyse car le théorème sur les actions intérieures (déduit du principe de l'action et de la réaction) donne
F 12 + r2i ' - o
Si.2(or) + &2i(0i) = o
- actions de liaison (S$)/(S2) '• le torseur des actions de liaison de (S3)
sur (82) : L ^32 J a Pou^ éléments
"**
rX
i
F
Y
Z
32
*
L 32> 32> 32 J R
•%2(0.3) -
C L 32t'M 32 , N32]R2
On ne peut admettre là non plus que la liaison est rotoïde parfaite. On
admettra que
^
,^
_' b
f
M
Z
eM
• 3 2 v° 2 V« 2
ou encore
"
23 v^3 " 2^
N32 = b23 (63 - 6£)
- entre (S2) et (S$) agit un ressort qui donne un torseur spécial : un couple
=
C32
+ k23 ['83 - 82 - (e30 - 8za) 1 • Z2
- torseur des actions de pesanteur
II est équivalent à un vecteur glissant unique
P2 =
M2g . Y0
- actions de liaison (3^)/(Si)
Le torseur des actions de liaison a pour éléments Fi+2 et Mi^G^)
F
42
=
LX42> Y U2* Z42 ]R
M^XG^) .- [ H2,>H2, N^2]R2
La liaison est une liaison prismatique imparfaite. L'expérience montre que
FLf2 • X2 = b^2 • -5 1
ou
encore
X^2
=
b^2 ^!
- entre (S^) et (S2) agit un ressort dont le torseur est équivalent au vecteur unique Fi+2 = ^2^ (^ "" ^û) X2
- 409 -
3°/ Actions^mecaniguesâggliguées à (83)
- Actions de (S2) SUT (S$)
Le torseur des actions de (82) sur (83) a pour éléments de réduction 1^3 et M23(03). On a
F23 + F32
«
0
S23(03) + S32(03) -
0
- Actions de (S^) SUT (S^)
Le torseur des actions de liaison de (S^) sur (S3) a pour éléments
et
Îif3 - L3^.Yf3* Zif3]R2
&t3<D - [1*3.^3,^3]
On peut supposer que la liaison (8^)7(83) est parfaite. On aura
Fi>3 . Y2
»
0
soit
Yj+3
*
0
- Actions de pesanteuT
Le torseur cês actions de pesanteur est équivalent à un vecteur
glissant unique
?3 * - M3g . YQ
- Actions du TessoT^ agissant entTe (2) et (3) : c'est un couple C23 et
l f on a
C23 + C32 = 0
^ ° / A££i2S£«.§EEli31î§êS-â-.l§ k )
- Actions de liaison (S%)V(S^)
Le torseur a pour éléments de réduction F2t+ et M2tf(Gtf), On a
F2i4 + Fif2 « 0
M^CGi,) + Mii2(Glf)
=
0
- Actions de liaison (S<$)/(S^)
Le torseur a pour éléments de réduction F3^ et M3H(I) et l'on a
•>
->
FS^ + Fi+3 • 0
Msitd) + M^3(I) • 0
- Actions du TessoTt agissant entTe (S^) et (S2)
C'est un vecteur glissant unique F2^ et l'on a F2^ + FLf2 =
0
Au terme de cette analyse des actions mécaniques, nous avons rencontré de
nombreuses inconnues dynamiques provenant des liaisons :
Liaison (80)7(8!) : 0, Y 01 , Z01
L Q 1 5 M Q1 , N Q1
^
5
Liaison (S!)/(S2) : X21 , Y21 , Z21
L21 , M21 , b210|
-*-
5
Liaison (S2)/(S3) : X32, Y32, Z32
L32, M32, b23(0$-0£)
—^
5
Liaison (S^)/(S2) : b2i+ô', Y^2, Z^2
^42» M^2, N^2
>-
5
Liaison (S^/(Sç) : Xk39 0, Z^
L43, Uk3, ^3
~ 5
Au total 25 inconnues dynamiques
- 410 -
Remarque 1. Il y a lieu de préciser ce que l'on entend par action mécanique
connue ou "donnée". Si nous considérons l'action d'un ressort, c'est
une action connue en ce sens que connaissant la position du système,
c'est à dire de ce fait la position des extrémités, on sait parfaitement quelle action il exerce. De même, si nous considérons l'action de liaison imparfaite telle que N2i - ^2162 cette action sera
parfaitement connue si l'on connait l'état des vitesses. D'une manière générale, on dira qu'une action est connue si elle peut s'exprimer en fonction des positions et des vitesses par une fonction
connue.
Par contre, il n'en est pas de même pour une action de type X2i.
Nous n'avons pas de renseignement. Mieux même, la façon dont nous avons posé
le problème nous empêche d'en obtenir : l'action F£I est appliquée en point
Û2 fixe dans (S}). Pour trouver des renseignements supplémentaires, il faudrait admettre une déformation des supports et trouver une loi de déformation.
Cependant, nous allons voir que, même dans ce cadre, en considérant les actions de contact comme inconnues auxilliaires, nous pourrons les déterminer
partiellement et même parfois totalement.
Remarque 2. Au terme de cette analyse, nous pouvons compléter le schéma
cinématique par quelques représentations symboliques d'actions
mécaniques.
Par exemple, on représentera :
- les actions élastiques par un ressort :
- les actions de frottement visqueux par ;
- 411 -
6.5.2
APPLICATION DES THEOREMES GENERAUX
Si on a un système formé de n solides:(Sj), (82), ... (S^) ... (Sn)
on peut appliquer le théorème de la somme géométrique et du moment dynamique
à chacun des solides, ce qui nous donnera en tout 6n équations. Mais on peut
tout aussi bien appliquer ces théorèmes à l'ensemble ou à des sous-ensembles.
Si, comme dans l'exemple déjà utilisé, n = 4 on peut appliquer ces théorèmes
à
- { Sj', S2, S3, S4 }
* 6 équations
{ 82, 83, S^ }
* 6 équations
{ 83 }
* 6 équations
- { S^ }
>• 6 équations
Mais, quel que soit le fractionnement choisi, il ne faut pas espérer plus de 24 équations au total.
C'est par un choix convenable des sous-ensembles que l'on obtient
en général une grande simplification. Supposons par exemple que l'on recherche dans le problème du chariot avec passager les équations du mouvement. On
essaiera donc de trouver à priori des équations débarassées des inconnues
dynamiques. Ce seront des relations entre les paramètres et les dérivées
premières et secondes des paramètres, c'est à dire des équations différentielles du second ordre. Nous sommes ainsi ramenés à la résolution d'un problème de mathématique bien déterminé.
La recherche de ces équations privilégiées se fait en étudiant les
particularités des liaisons et en cherchant dans quelles équations les actions
de liaison nfinterviennent pas (ou pe^ par des inconnues. Pour obtenir ce résultat on choisit alors un fractionnement qui rend intérieures certaines
actions de liaisons sur lesquelles nous n'avons pas de renseignement. Explicitons ces principes sur l'exemple choisi.
. La liaison (SQ)/(SI) est une liaison parfaite. La projection de la somme
du torseur £ TQI• J sur l'axe XQ est nulle. Si donc nous appliquons le théorème
de la somme géométrique à l'ensemble {(S|), (82), ($3), (S^)} :
î + Î O l +*1 + P 2 + P 3 + P * • -
. ( ï - ) { S l ; S2, S3>
-••M1ÎJi-+M2ÎJ2+M3Î53+.^Ji|
Toutes les autres actions sont intérieures au système.
Prenons la projection de cette équation sur XQ = X'i. Nous aurons
F(n .AQ= 0- Alors l'équation en projection sur AQ-ne fait pas intervenir d'action de liaison inconnue.
/ = (M^ H- M23°2•+ M3%3 •+ M^) . X0
(1)
11
la force F étant supposée "donnée .
On obtient bien une relation entre les paramètres, les dérivées
des paramètres et éventuellement le temps (la force F sera par exemple exercée par un ressort pré comprimé, c'est à dire une catapulte).
- 412 -
. La liaison^(Si)^(S2) est rotoïde et le moment de l'action de liaison
sur l'axe Zj • 7.2 est connu. Appliquons donc le théorème du moment dynamique en QI au sous-ensemble {(S2), (S3), (S4)}
Ci2 + M 12 (0!) + OiG 2 A P2 + OiGs A P 3 + C>X A P H
(î
+
=
+
(t^)
^
^ g^}
• ô°1>Q^2 tf:°1)cS tf°n°1>c^14
3
Toutes les autres actions sont intérieures à ce sous-ensemble.
-^_
0^2
=
'
a
h
L°-U
^
^
^
QIG3 = Oi0 3 + 0363 =
f a - 1 sin (6.3 - 62) "
b + 1 cos (63 - 62)
J
R2
L°
^
^
^
^
[" a • - d + 6 "
OjG^ » 0^3 + 0 3 A + AG4 «
b 4- e
- . P2
^
YQ
=
«
,
- M2g Y 0
+ sin 8 2 "1
cos 62
_0
_>
P3
,
=
- M3g Y0
^ . ^
0^2 À ?2
R2
^ A P3
, ^
OjG^ A P 4
=
=
EZ
=
Pif
-
-
M
*fg Y 0
"0
0
M2g (h sin 62 " a. cos 62)
0
M 3 g (b sin 6 2 - a cos 0 2 ) + M 3 g 1 sin 0 3
R
tv2
2
[o
0
-(a-d-Ô) M g cos 62 + (b+e) M g sin 62
->
En projection sur l'axe Z2
^
K2
-ki2 (62-620) ~ t>i26^ - g (M2a + M 3 a + a - d - 6) cos 6 2
•H g (M2h + M3b -f M^b + Mi+h) sin 6 2
+ Mjg 1 si§ 6 3
(6^) . Z2
(2)
On obtient une nouvelle équation différentielle.
. La liaison (82)/(S3) est rotoïde et le moment de lfaction de liaison
en 03 a une projection nulle sur l'axe (03> Z?) . Appliquons le théorème
du moment dynamique en 03;.à (S3)
M23(03) + 0^ A P3 + Ô^î A ^3 + Î23
^ _^
03G3 A P3 =
- 1 sin(63-02)
1 cos(e3-62)
LO
A
J R2
-
[*°(°3>]s
~ - M g sin 62 H
- M g cos 62
L°
1
=
f0
0
LM 3 g i s i n e 3 J R 2
- 413 -
P- d + 61
03i A ^ 3 =
e +y
fx^ ~
A
LU
JR2
0
avec
y = - e + 1 cos (6 3 -0 2 )
LZ«_
" (e+y) Z43
- (6-d) Z^s
l_-(e+y) Xlf3 J R z
en projection sur l'axe Z 2
M 3 g 1 sin 63- 1 cos(03-0 2 ) X i+3 - ^23^3^2^ " k 2 3 (0 3 -0 2 -0 3 Q+0 2 0 )
=
[î 0 (0 3 )j
. Z2
Dans cette équation figure une inconnue dynamique X^3. Mais si le
résultat est moins favorable que précédemment, il n'y a pas grande complication.
. La liaison (S2)/(S^) est une liaison prismatique et la somme du torseur
des actions de liaison a une projection nulle sur l'axe X2. Appliquons
le théorème de la somme géométrique à (S^)
F2i+ + F3[+ + J2H + Pi,
en projection sur l'axe X2
=
M^GI^
- b^ô1 + X3i, - k2^ (Ô-ÔQ) - Mtf.(J^ ) ,X2
Dans cette équation figure encore une seule inconnue
En fait, comme X^^ + X^3 = 0, c'est la même inconnue dynamique
De (4) on tire
^
Xi*3
- b 2it ô' - k2i, (Ô-6 Q ) - M^J!) .
Gif
(4)
dynamique.
que dans (3).
_^
X2
en portant ce résultat dans l'équation (3)
M 3 g 1 sin 6 3 + l b 2tf 6' cos (6 3 - 0 2 ) + 1 k2i+ (6 - 6 0 ) cos (6 3 - 0 2 )
-
H-
Mi, (J^-^2) 1 cos (6 3 -6 2 ) - b 2 3 (6^9^)
""
^23 (^3 "" 02 "" ^ S O + ^20)
!~£°(0 3 )| 3 . Z 2
(5)
Nous obtenons cette fois une nouvelle équation différentielle.
Les équations (1), (2), (5) constituent un système de trois équations différentielles du second ordre où les fonctions à trouver sont 03(t)
02(t), x(t) et 6(t). Mais nous avons une équation, supplémentaire, l'équation
de liaison
fi
m
(d _ R) _ ! sin ((,3 .. e2)
Nous pouvons éliminer & par cette relation. Les équations (1), (2),
(5) débarassées de ô et de ses dérivées premières et secondes constituent un
système différentiel de trois équations à trois inconnues x, 02, 03. Mais on
pouvait garder (1), (3), (5) et l'équation de liaison. Nous avions alors
quatre équations pour quatre inconnues x, 02, 03, 6.
Remarque : le fait que l'on puisse éliminer 6 facilement vient du fait que
la liaison est holonome.
- 414 -
On pourra toujours ainsi se ramener à un système différentiel du
second ordre. Ce problème est donc maintenant un problème de mathématiques.
Ce système constitue en quelque sorte le "modèle mathématique". L'étude des
systèmes différentiels est une branche très importante de la mécanique. Nous
allons envisager cette question sous un aspect général.
6,5.3
LES SYSTEMES DIFFERENTIELS DE LA MECANIQUE
Ayant abouti, par application des théorèmes généraux, au système
différentiel, deux problèmes se posent. L'un théorique, d'ordre mathématique
et mécanique, l'autre d'ordre pratique :
- le système a~t-il toujours une solution et dans l'affirmative, cette
solution est-elle unique ?
- comment pratiquement trouver la solution.
A. Fondement théorique ; théorème de Cauchy
Le premier problème a reçu une réponse générale sous la forme du
théorème de Cauchy, que nous énoncerons sans démonstration.
Si on connait à un instant t§ (que l'on peut considérer comme instant initial) les positions et les vitesses des éléments d'un système matériel
si de plus s à chaque instant t > 0 les forces en jeu sont bien déterminées
et connues en fonction de t3 des positions et des vitesses^ alors le mouvement du système matériel est déterminé de façon unique pour t > t$
Remarque 1. Ce théorème, outre son importance mathématique, est le fondement
du déterminisme de la mécanique classique.
Remarque 2. Si on a un système à n paramètres : qj ... q^ ... qn la solution
dépend de 2n constantes arbitraires qui sont les positions et les vitesses initiales
B. Résolution pratique
C'est un important problème de mathématiques. Nous ne l'aborderons
donc pas ici sous sa forme générale. On possède certes un certain nombre de
théorèmes très généraux, mais pratiquement on adoptera des méthodes pour tel
ou tel type de problème. Nous les aborderons au fur et à mesure de leur rencontre. D'ailleurs, nous verrons que dans nombre de cas la solution elle-même
n'est pas recherchée sous forme quantitative mais seulement qualitative. Nous
signalerons simplement une méthode car elle a un sens profondément mécanique :
c'est celui de la recherche des intégrales premières.
a) Définition
C'est une relation entre les paramètres? les dérivées premières
des paramètres et des constantes, dépendant des conditions initiales nécessairement satisfaites lorsque les équations du mouvement le sont.
b) Intérêt
C'est une relation du premier ordre (relation entre les paramètres et les dérivées des paramètres) alors que les équations différentielles sont du second ordre. Ce n'est pas une nouvelle équation bien sûr, mais
elle peut remplacer n'importe quelle équation. On sait en mathématique trou-
- 415 -
ver ces intégrales premières mais ce qui est intéressant, c'est qu'on peut
très souvent les trouver directement par "voie mécanique".
Par exemple, nous avons déjà rencontré l'intégrale première des
forces vives
=
U +h
T
car
T * T(qif qj)
U - U(qi)
Nous reviendrons ultérieurement sur cette importante question.
C. Solution numérique
Lorsque l'on connait les valeurs numériques des paramètres qui
entrent dans les équations, il est très facile à l'heure actuelle de résoudre numériquement les équations différentielles à l'aide des calculateurs
numériques. Ces méthodes s'étudient dans tes cours d'analyse numérique.
C'est ainsi que sont résolus à l'heure actuelle tous les problèmes importants.
Ces questions là ont reçu un développement spectaculaire.
D. Solution analogique
II nous est offert une autre possibilité dans de nombreux cas9
d'avoir une solution du système différentiel. On sait que de nombreux domaines de la physique ont le même "modèle mathématique11, c'est à dire les
mêmes équations différentielles. Par exemple, les équations des systèmes
mécaniques de solides sont les mêmes que celles des circuits électriques.
On crée alors un nouveau modèle physique de manière que les équations du
nouveau modèle soient littéralement les mêmes que celles du modèle mécanique.
Si ce nouveau modèle se prête facilement à la mesure, nous aurons par analogie la solution du modèle mathématique mécanique. Nous avons ainsi réalisé
un simulateur analogique.
exemple 1
Considérons le modèle mécanique ci-contre
qui représente de nombreux systèmes mécaniques.
(S|) de masse m se déplace en translation
sur (0,Z0).Un ressort de raideur k agit entre
(S0) et (S^. La liaison (S0)/(Sj) n'est pas
parfaite et l'on a
FOI • ZD = " bz'
On a représenté conventionnellement cej^te
action par un fîdash-potlf de constante b. ZQ
est suppose vertical ascendant. En outre agit
sur (Si) une action
Ê - F(t) . ÎQ
- 416 -
. modèle nia thématique
En appliquant à (S}) le théorème de la somme géométrique en projection sur ZQ on a
m Z" - - mg - k (Z - Z0) - b Z'
ZQ représente la longueur
sans contrainte du ressort
soit
m Z" + b Z f + k (Z - Z0) + mg = F(t)
(1)
Nous allons simplifier ce modèle mathématique par un changement de variable
Z
=
2£ - Z0 + z
z représente le nouveau paramètre (il représente en fait le déplacement par
rapport à la position d'équilibre)
Zfl =
zf
Z' =
z"
mz" "»" bzf + k (n^g - Z0 + z - Z0) + mg
soit
mz
11
+ bz
f
+ kz
=
= F(t)
F(t)
(2)
équation classique, dont la solution est bien connue.
• 52âËlëS«§Ië££EÎ2H§S-É2S£«l§«52âêlë«S§£!îÉS§£i3il§-êS£«Iê~!5iSê
- considérons le circuit électrique dont le schéma est le suivant^
dit montage parallèle.
Il comprend une source de courant i (t),
une self, une capacité et une résistance.
Les lois de Kirchoff donnent, si u désigne
la tension
r d2u + IËH. + £ - lî
dt^ R dt L " dt
C'est une équation différentielle de même
nature que
m z" + b z 1 + k z « 0
- considérons le circuit électrique
dont le montage est le suivant
(montage série)
II comprend une source de tension, une
self, une résistance et une capacité.
Les lois de Kirchoff donnent avec i == -=-*•
£|*R£*i_. q
-
„(.)
C'est encore une équation du même type
mz" + bz' + kz = 0
que
- 417 -
Nous pouvons maintenant étudier les circuits réalisés expérimentalement, faire des mesures et trouver ainsi expérimentalement la solution.
Il faudra ensuite transposer les résultats au modèle mathématique issu du
modelé mécanique. Ces questions sfétudient dans les cours d'analogie. Des
méthodes existent dans certains cas pour passer directement du modèle mécanique au modèle électrique sans passer par l'intermédiaire des équations.
6.5.4
QUELQUES EXEMPLES DE MISE EN EQUATION
A. Pendule composé
On appelle pendule composé un solide
(Si) tournant autour d'un axe fixe du
laboratoire (S0). Nous adopterons un plan
d'étude qui sera valable dans tous les cas
avec des complications plus ou moins importantes .
a) Repérage
A (S0) on lie le repère (R0):|0, X0,f0,Z0|
YQ
-*
ZQ
porté par l'axe de rotation
vertical descendant
X0 - Y0 A Z0
0
+ + +
A (Si) on lie (Ri) : [ûi ,Xi ,YI ,zj
dans le plan vertical contenant
ê centre d'inertie de (Si) : G
Ol = 0
YI - YO
->.
QQ
.._.).
Zi = y-
(l'axe Q\ZI passe par G. On peut toujours déterminer
G)
xx - Y! A Zi
On repère la rotation de (Ri)/(R0) par 6 = (Z0, li)
b) Eléments de géométrie des masses
- masse MI * M
__^
- centre d'inertie OiGi = liZi
A
- tenseur d'inertie
IQ =
-F
-E "
-F B -D
L -E -D C
comme il est d'usage, nous poserons
B
=
I
M! = M
ii = 1
- 418 -
G) Analyse des actions mécaniques
- les actions de pesanteur
P! «
Mg Z0
- l'action de liaison (SQ)/^)
Le torseur [T01] a pour éléments
f01 = [X01, Y Q1 , Z01"]R
S0i(0) = [Loi, MOI, NOI]RQ
Nous supposerons la liaison rotoïde parfaite M01 = 0
Mais il n'y aurait aucune difficulté à introduire une action de liaison
de la forme MQI = - b0'
- les actions de l'air sur le pendule
II faudra les prendre en compte si on fait des expériences très
précises. Ici nous les supposerons négligeables.
d) Application des théorèmes généraux
On supposera le repère (R0) galiléen
ïM2llSË«^ê-.Iâ-22S5Ê-.SË2Së£ïkîâHê
f0l + fl - M J*
V°(G) - ftf A ÔG
-
6 f $! A 1 Zx -
1 0' K!
J°(G) - i e" K! + i e f ^ KX - i e ff KX - i e'2 zx
F cos e o
sin e 1 [" i e fl
0
1
0
*
0
_ -sin e
o
cos e J L- i e f 2 ^
"i el! cos e - i e'2 sin e
o
- i e" sin 0 - i e'2 cos e D
J°(G) -
^RO
*-
d'où les équations de projection
xoi
Z01
YQI
+ Mg
- M (i e ff cos e - i e 12 sin e)
(i)
«
(2)
(3)
0
- M (1 0 ff sin 0 + 1 0'2 cos 0)
ïM2E!2ê_âH_522Ë5Ë_âXSâ2iSHÊ_Ê2_.2
ÔG A P! + MOI(O) = t°(0)
Nous appliquons ce théorème parce que le moment de l'action de liaison
en 0 a une projection connue sur l'axe de rotation
Ô G A P ! =
u
o
ô°(0)
- ^
1 sin 0
0
A
1 cos 0 -J
y°(0)
L.
0
0
-MgJ
["
=
0
- M g l sin 0
0
U
JRo
- 419 -
A
-y°(o)
>. = =IQ. +nj
p
E
r -F ~i ~-D i.r °e i
f
=
-E
iiim . d^co
+
-D
C
Ee f
r ~+10' "
=
i_ -D0' _ _tq
C
3. A ;.(o)
d'î-co _ r-*6e;;
-*-•" Ue
-RiR
*J
^
flf A y°(0)
r° i r~ Eef i
-
0'
10f
A
L° J
ô°(0)
L""
06
r -E0" - D 0 f 2 1
16"
ff
-D0
+ E 0 f 2 -J _,
u-
-
-
0
' J
L
F
E6 t2
'
cos 0
=
L.
Rl
î°(0)
r- Det2 ~
-sin
0
JR
0
1
0
sin 0 1 r - ( E 0 f l + D 6 f 2 ) ~
10lf
cos 6 » L- ( E 0 ? 2 - D0 f t ) __J
f -(E0 f f •*• D 0 t 2 ) cos 0 + ( E 0 f 2 - D0") sin 0"
Ï6»
(E0 lf + D 0 f 2 ) sin 0 -f ( E 0 f 2 - D011) cos 0 J n
-
*-
KO
!
D où les équations de projection
LOI - -(E0I! -f D0'2) cos 0 + (E0t2 - D0ff) sin 0
-M g 1 sin 0 = I 0"
NOI - (E0fl + D0î2) sin 0 + (E0f2 - D0ff) cos 0
(4)
(5)
(6)
La mise en équations est achevée. Il y a six équations pour six inconnues
6» X 01» Y 01» Z 01» L 01> N 01-
Remarque : nous avons choisi (RQ) comme repère d'expression. En choisissant
(Rj), nous aurions eu des équations plus simples.
Posons
FOI
«
[X0i, YQI, Z0i]R
^
.
M
01
=
+>
yv
L
Y
[ 01 »
01>
Z
&-°l
O^R1
? =
f-M è sin 0, 0, M g cos 0JKD
l
Les équations s'écrivent :
XQI - M g sin 0
- M l 0"
YOI
A
Z'oi + M g cos 6
=
0
=
-M16'2
LOI
ss
NOI
- -E 2" - D e'2
=
"D 8'" + E 0f2
La marche à suivre est maintenant évidente :
- résoudre l'équation différentielle (5), c'est à dire trouver 0 = 0(t)
- ensuite 0 et ses dérivées étant connues, les équations (1), (2), (3), (4),
(6) fournissent X01, Z 0 i, LOI, N 01-
~ 420 -
e) Equation du mouvement
Nous avons à résoudre l'équation différentielle
+M |
tf
e
X
sin 6 = 0
(5)
Remarquons que très souvent on peut considérer que I = ml2. On dit que l'on
a un pendule simple. On peut le représenter par une masse sphérique de rayon
r, de masse m placée à l'extrémité d'un fil sans masse de longueur 1.
o
On a
I = m l2 + -r- m r2
Ce modèle du pendule simple n'est donc valable que si
~ m r2 est négligeable devant m l2.
L'équation devient alors
6" + •&• sin 0 =
0
1 °/ ôluîonêxacte^^ discussion_c[ualitative
Pour résoudre l'équation (5), nous allons chercher une intégrale première. Multiplions par 8' les deux
membres de (5)
0".0' + ^|ï. sin e.e' = o
0 '2
_
Mel
s— cos Q
=
cte
Mais nous pouvions trouver cette intégrale première par voie mécanique. En
effet, nous sommes dans les conditions d'application de l'intégrale des forces
vives
T = U +h
F A -F -E 1 F 0 ~
T° = ~ [p,0',o~l
U
d'où
=
-FL-E
i -D e'
-D cJLo_
+ M g 1 cos 9 + C
Y I 6'2
= M g 1 cos 6 + h
6'2 - _
Mgl
_
|_ cos 0
soit encore
»
,
hj
,^N
(7)
fe = e0
Les conditions initiales sont données obligatoirement pour t = 0
ce qui permet de déterminer h en fonction des conditions
initiales
0'2
Mgl
. -y- - -»- cos 6 =
0'2
<^
10' = 0j
0Ô2
Mgl
-±- » -f- cos 00
= 0J2 + Stei (cos 0 - cos 00)
Pour simplifier l'écriture, introduisons la valeur a de 0 qui correspond à
la position où la vitesse s'annule
0
cos a
=
0<$ 2
+
2
^1 (cos a - cos 0 0 )
=
cos 0 0
-
2 Mgl
0J 2
- 421 -
Cette position n'existe que si le second membre est compris entre -1 et +1.
-i «
cos
e0 - y^ ej2 ,< + 1
Nous supposerons qu'il en est ainsi, car autrement 0 f ne s'annule pas, il
y a mouvement continu de rotation. Nous consacrerons une étude complète ultérieurement à ce problème.
L'intégrale première s'écrit donc
0' s'annule pour deux valeurs
6'2 = —•=*— (cos 9 - cos a)
6 = ai = a y
-^ •
A0 - o&2 =-ouJ symétriques
J
H
V è5ÉÊ££-2HâIî£§£îf«âê«IIâ£H^Ë
C'est une relation de la forme 0'2 = F(0) avec F(0) » —=^— (cos 0 - cos a)
Nous rencontrerons souvent en mécanique des expressions de ce genre.
Le second membre est nécessairement positif. Donc 0 reste compris
entre -a et a. Il est intéressant de donner une représentation de la fonction
F(0)
§ -' -!|BÎ.Bin-e
p(6) = F (-0)
F (0 + 2ir) =
on a immédiatement la représentation
F (0)
- 422 Nous voyons donc que le pendule oscille entre -a et +a.Nous pouvons donc
préciser
41 . e /2 "S1
/(cos 0 - cos a)
e - ±1
d t
v l
* si 8§ > 0 e vaut +1 à partir du départ. 0 est donc croissant à partir
de 90.
«L . /
[
M ,/cos 6 - cos a
dt
v
1
Hfi
——
dt
demeure positive jusqu'à ce qu'elle s'annule pour 6 = a
* pour
6 = a
la vitesse s'annule.
A partir de cette position il faut prévoir comment le mouvement va
évoluer. L'équation du mouvement est
6» =
-M sin 6
<6lt)e=a = - ^ «in a
6" est donc négatif. Cela signifie que 6' est décroissante. Partant de
0, 6' est donc négatif. Donc:
g.
=
. yOE (cos e - cos a)
II faut prendre e « -1. Ensuite le mouvement continue avec cette détermination jusqu'à une nouvelle annulation, c'est à dire pour 0 = - a
+
pour
0 = -a- la vitesse s'annule. Donc
(0")^
=
- Mgl sin (-a)
=
Mgl sin a
UTsCX
(6")
Osot
0' est donc croissant, partant de la valeur zéro, 0' est donc cette fois
positive
__
d0
/2
Mgl v cos
y
-.— s /—-.s—
0r - cos a
dt
/ I
Par la suite, le mouvement recommence tel que nous l'avons décrit. Si
nous étions partis avec 69 < 0, nous aurions trouvé les déterminations dans
l'ordre inverse.
Exprimons le temps T qui sépare deux passages de 0 par la valeur
60 avec des vitesses 0' de même sens. Par séparation
dt
T . fa
=
d0
e "THZ
fëjÈ
/2(cos 0 - cos a)
«
p
60/t!|i /2(cos0 - cosa)
, ,2 Ç
as
+
fe°
:
a /^T- /2(cos0 - cosa) -a /^- /2(cos0-cosc
«
-a/^- /2(cos 6 - cos a)
.4 ç
d.
0 yS ^2(cos6 - cos a)
Ce temps est indépendant de ÔQ. Le mouvement est périodique.
ES
- 423 -
Toutefois nous devons nous assurer de la convergence de cette intégrale car
pour 8 -* a la fonction à intégrer devient infinie.
« ;- cos a =
cos 6>'
+ 6 s in 6—r—
-a
- 2 s in a—-—
^
sin a . (a - 6)
On montre en analyse que l'intégrale est de même nature que l'intégrale
' • -ae
j = 4 f
*
j
m
4
Ain a ( a - 6 )
yfM
f°
de
1 /1-M.
sin a
(a
- e£
l'exposant de (a - 6) étant plus petit que 1, cette intégrale est convergente.
Remarquons qu'il en irait autrement si a = TT.
Calculons le temps pour passer de 0 - 89 à a = TT
*
0
f
de
1 + cos 6 = 2 cos2 j
i./^ •*<• * <°*~
r
J
è
. r
de
/A Mal
6
/l^pi cos Y
au voisinage de TT-J sin —=•
que l'intégrale
j - 1f
J
^
^ —-— .
de
/7T Mel
•
/ff '" Q\
/^-pi sin (—y—)
L'intégrale est donc de même nature
a—
/¥(•-«
L'exposant de TT - 0 étant 1, l'intégrale est divergente. II faut un temps
infini pour atteindre la position 0 = TT. Le mouvement n'est pas périodique.
En fait, ceci est un cas qui ne se produira pas pratiquement.
P°/ è£EÊ££_SHê5Ëi£â£i£
Très souvent une discussion qualitative sera suffisante. Néanmoins
il est souvent nécessaire également de préciser la solution quantitativement.
* Loi du mouvement
nous avons
0 = 6(t) fonction elliptique
^t
=
d0
g
fëL
/
I
/2(cos 6 - cos a)
- 424 -
e
d.0ù
. •
t
e
00
|dx
/^|^ /2(cos x - cos a)
t est une fonction de 6 définie par une intégrale : t = ^(6). Par inversion
nous pourrons avoir
ib"1^)
Q
La difficulté vient de ce que nous ne pouvons pas faire l'intégration à l'aide des fonctions élémentaires. Nous pouvons naturellement faire une intégration numérique sans difficulté à l'aide d'un calculateur numérique. Mais il
peut être aussi très fécond de poursuivre par voie théorique. Supposons par
exemple que nous soyons dans le cas où e = 1 au départ,
t =
f6
;
QO
___
dx
/Mel
. . .. .. . ., ..
/--|-- . /2(cos x - cos a)
posons
fa
t
r-a
f(x) dx
="
f°
f(x) dx +
J
'00
f (x)
=
"• •• ' »
/^|i /2(cos x - cos a)
^0
f(x) dx +
f(x) dx
-«
<*
6
Les trois premiers termes sont des constantes. Leur somme représente le temps
mis pour passer de 00 à 0. Posons la égale à tl. On a donc finalement à s'occuper de l'intégrale
t
=
ti
+
f6
dx
—IHZ
y^ /2(cos x - cos a)
o
«(t -
tl)
-
f6
i
cos x - cos a
ou e
ncore
dX
/2(cos x - cos a)
2 (sin2 —
=
-
s in2 —)
«(t -1,, ,i r ^L_^
()
/sin"1 -^ - sin^ ~
introduisons une nouvelle variable u définie par
sin —
6
cos —
= (sin—) ,u
__
. y
ru Ot
= v\ - sin -:r uz
/1
') '
1 cos9j^nde = •sinaj
J
y
du
a
on posera k = sin —
d'où
B(t--ti) =
f
o
dy
/]
z /!
" y ' -kZyzl
Le second membre est une fonction de u. La fonction inverse de la fonction
figurant au second membre est appelée fonction sn de Jacobi, k est le
"module",
u =
sn..fl(t - t-j)
Cette fonction est une des fonctions elliptiques de Jacobi. Elles sont tabulées dans des tables spéciales.
- 425 -
ir
2z
—z
/l ~ k sin 4>
la fonction
y =
sn x
a l'allure suivante;
6
.sin •=• = k . sn Q(t - t^)
finalement on aura
Nous voyons donc que l'étude du mouvement a nécessité l'introduction d'une nouvelle fonction. Ceci se rencontrera fréquemment en mécanique.
*
Calcul de la période
T =
fa
4
de
' •"
—
* / ^ /2(cose - coscO
T - -A P
0
' T ' - . i fû
/4(sin* | - sin* -|)
^
1
.-2-na
. 2 0
/sin 2" " Sln
D
demment
de
|
Q
qui se transforme comme précé-
2
prennons comme variable d'intégration l'angle (j) compris entre 0 et -r- tel
que
ô
sin -r- = s in -5- s in ^
k = sin -rA
n,
/l - sin2 7p sinZ 4>'
cos -r- =
1
A
•r- cos — d6
T
= k cos (j) d<j)
. A f *
^
Q
z
i
/l - k sinzcf)
L'intégrale définie est appelée intégrale elliptique de Legendre de 2ème
espèce. On trouve sa valeur directement dans des tables. On peut aussi facilement l'obtenir comme somme d'une série convergente. En effet
(l-k2sin2*)-2 - 1 + j k2sin2^ + ^
| k^sin^ •+ 000 + -^f^^lk2în2n,+000
&.
z.*>Q
2-^H... ***2n
d'autre part on sait que
7T
2
• 2n^ ^
* d*
sin n
0
=
^ 1 x 3 x 5 x , . . 2n - 1
2 1 x 4 x 6
TTTlïï
- 426 -
donc
f * 000
f
=
si a est très petit
27T
T0
on a une meilleure approximation en prenant
T =
TQ
F
1
a2 1
1 + ("T' T~"
•'.<•*$
T a l'allure suivante lorsqu'on fait varier l'amplitude
Le rapport —
T
0
60°
f
120°
180°
-^ a
L isochronisme des oscillations est bien vérifié.
^/solution ap-prochéei
Dans de nombreux exemples, l'angle B demeure petit. L'équation
6" + Q2 sin 0 =
0
3
e
peut s'écrire .-comme sin 0 = 6 - -7— + 000
0!l + Q 2 0
dont la solution est
0 = A cos Qt + B sin ftt
pour
t = 0
0
=
0
00
A
B iï
0
0Q
COS
sn
27T
Le mouvement est périodique, de période TQ = —fi . On retrouve bien le résultat déjà rencontré comme première approximation de la période.
.- 427 -
// Détermination des actions de contact inconnues :
X0i
Z01
LOI
» M (1 e fl cos 0 - 1 0 f 2 sin 0)
= - M g - M(l 0" sin 0 + 1 0 f 2 cos 0)
=
"(E 0lf + D 0T2)cos 0 + (E 0 f 2 - D 0")sin 0
N01 = (E 0" + D 0f2)sin 0 + (E 0 f2 - D 0")cos 0
0 est maintenant connu en fonction de t. Nous pouvons donc connaître facilement ces actions en fonction de t. Mais en général cela est inutile. Pratiquement il suffit que nous les connaissions en fonction de 0 ce qui est très
facile car
,
0"
(cos 0 - cos a)
sin 0
0 f2
Calculons par exemple XQI
X01
=
XQ1
«
sin0 cos0 -
in0
(cos0 - cosa) sin0
r3 cos 0 - 2 cos a|
i
sin 0 [
Pour chaque position on connaît XQI - 'X0i(.0). En particulier il sera intéressant de connaître la valeur maximum de
B, Système à came
Très souvent on rencontre des systèmes où un solide (Si) en rotation par rapport à un autre solide (Sp) vient en contact avec un solide (Sa)
lui-même en translation rectiligne par rapport à (SQ). Ce système est une
came.
'
~ 428 -
Pour étudier les problèmes qui se posent lors de la mise en équation d'un tel système nous choisirons un système plus simple constitué de
la manière suivante :
est le bâti
est une barre tournant autour d'un axe( supposé horizontal)de (SQ)
(S2) est un prisme en translation par rapport à (SQ)
(S2) et (S^) sont en contact en A.
a) Repérage
A (S0) on lie le repère (R0) : Q), X0, Y0, Z0]
XQ
ZQ
YQ
0
dans la direction de la translation de (S2)/(S0)
porté par l'axe de rotation (S|)/(S0)
vertical ascendant
_^
sur l'axe et tel que le plan (0, XQ, YQ) contienne GI centre d'inertie
de (Si)
A (Sj) on lie le repère (Rx) : [pi, Xj, Yj, ZiJ
QI = o
z
~ Zn
Xi
=
l
.A '*
i/z
1 étant la longueur de la barre
on repère la rotation de (RI)/(RQ) par
6 = (X0, X^)
A (S2) on lie le repère (R2) : [o2, X2, Y2, Z2]
02
E
C
on repère la translation
=
XQ
Y2
=
YQ
"*"
Z2
-~ "*"ZQ
X2
de (R2)/(R0) par x tel que
OC
=
x X0
Nous avons deux paramètres pour faire le repérage, mais ces deux paramètres
ne sont pas indépendants.
b) Relations de liaison
On exprime ÔA de deux façons
+ OÎ - ÔC + ÇA
Posons ÇA « p
_^
x
p cos a
x
OA =
0
+
p sin a
=
p
+
-^
OA
JR
o •
+
1 K!
=
=
-' RO
*- °
-* RO
f 1 cos 0-"
1 sin 6
L
° JR.
1 cos 0
1 sin 0
0
J
d'où
différentes
cos a X0 + p sin a ?0
+ p cos a
sin a
=
x + p cos a
p sin a
L
0
,
! cos 0 • x + p cos a
1 cos 0 = x + p sin 0 $22-2
sin a
C Sa
1 (cos 6 - sin 0 ? ) = x
p
=
i sin Q
sin a
1 sin (a - 0)
=
x sin a
o) Analyse des actions mécaniques
* Au solide (Sj)
en 0 :
?
[T0/1]
01 "
[X01> Y01 » ZOl]R()
ôi(o) - [LOI, MOJ, O]RO
en supposant la liaison rotoïde parfaite
- 430 -
r -,
: LT2lJ
F01
= R2i • rî
+ Z1
M2i(A) = 0
-»•
R21 est le module de R2i
en A
n
=
en GT
(liaison parfaite)
(contact ponctuel)
[-sin a, cos a, Oj
?! • « - m g ?Q
assimilable à un vecteur glissant
unique
* Au solide (S2)
etLA
: [T12]
Face CB
-R" ' *
M!2(A) = o
actions de contact normales (pas de frottement) équivalentes
à un vecteur glissant unique
R
=
02
en G9
=
^ *"
?2
=
R
"
02 •
M
Y
0
g YO
Remarque : dans le système réel à came nous aurions eu en outre un couple
appliqué à (Si) et un torseur réduit à un vecteur glissant unique
appliqué à (S2)
d) Application des théorèmes généraux
L'analyse des actions mécaniques nous montre que MOI(O).ZO = ^
et que Î02-^0
_^ Le théorème du moment dynamique appliqué à (Si) en 0 en projection sur ZQ fera donc disparaitre dans cette équation les actions de liaison
(SI)/(SQ). De même le théorème de la somme géométrique appliqué à (S2) en
projection sur XQ fera disparaître dans cette équation les actions de liaison
(So)/(S2). Cependant dans ces équations figurera l'action Ri2, mais nous pourrons l'éliminer entre ces deux équations.
* Théorème du moment d^namigue à .(S^) en_0
ï°(0) = Mext (0)
t°(0) = 11 y°(0) + 0
u
["00
Q1
y°(0) = "o . î
0
=
0 2~Lo
°
y°(0)
d'où
= "$£. e' ^0
î°(o) - .—• e lf z 0
n
°
. _
0
0
e
ÎSli3 J R l L e'
JRl
(car
Zx - Z0)
F
=
0
0
.2ûie3 e JRl
- 431 -
**ext(°)
* MOI + OA A F2i + ÔGi" A PI
LOI
MOI
«
L
° JR O
L
M
i-
1 cos 6
1 sin 6
+
- °
-R2i sin 6
R21 cos 0
A
JRO L
J
°
01
1/2 cos0
1/2 sin0
+
L
Ro
°
i
OI
1 R2i(cos 6 cos a .+ sin 0 sin a) - mg-r- cos 0
z
J
A
RO
0
-mg
LoJ
Ro
_
-» KO
d'où le théorème en projection sur RQ
LOI
MOI
=
-
0
0
2i- 6"
=
(1)
(2)
-,
-,2
1 R 2 i cos (a - 0) - m g j cos 0
(3)
* ïM2EÊ5ë-ÉÊ.iâ-.£2S5ê-SË25ê£EÎ31iê-.âEEii3Hë-.â.I§2 )
f
ext
-
MÎ°(G2)
+
J°(G2) =
(82) se déplace en translation
x"
0
L° JR»
KJ°(G2)
=
Ri/2
+
Ro2
•*• P2
" Mxff~
0
0 J
*
."" R2i sin a~
-R2i cos a
L
°
J
~ 0 ~
R02
L °
+
+
"~0"
-Mg
L°
Mxf!
=
R2i sin
0
•«
- R2i cos a + R02 - Mg
a
(4)
(5)
Pour résoudre le problème nous avons jusqu'ici les équations (1), (2), (3),
(4), (5) et l'équation de liaison
1 sin (a - 0)
=
x sin a
(6)
x
Les inconnues sont : XQI, YQI, ZQ.I , LOI, MQI, R2i, K-02> > ®> soit neuf
inconnues. Il nous faut donc trouver trois équations supplémentaires où
figurent X01, Y o l f Z&1
F01
+
P!
+
R21
=
m J°(G1)
J°(GI) - ^ V°(G!)
V^G!) = i 0 f Y!
J°(.GI) = i e" Y! - i e f2 x}
J°(G 1 )
=
[" cos 0
sin 0
L °
-sin 0
cos 0
°
Ol~-10t2"
0
10"
l J L
0
J
«
" ~ - 1 0 f 2 cos0-10 fl sin0"
-10 f 2 sin0+10 fl cos0
u
0
j^
- 432 -
-R21 sin a
R2i cos ao:
=
R21
-
°
JE.
Les équations s'écrivent en projection
X
01
""
R
21
sin a
=
- m 1 (6î2 cos 0 + 1 0" sin 0)
YQI - mg.-»-gR2i vcos a = m 1 (0" cos 0 - 0
.
ZQÎ
-
l2
(7)
sin 0)
(8)
0
(9)
Remarque : si nous voulons seulement les équations du mouvement, les équations (3), (4), (6) font intervenir seulement les trois inconnues x, 0, R2i .
On peut donc les résoudre séparément.
e) Equation du mouvement
Les équations (3), (4), (6) permettent très facilement de trouver une équation différentielle
2y- e" - 1 cos (a - 0) R21 + mg| cos 6
=
0
(3)
M x" - R2i sin a
=
0
(4)
1 sin (a - 6) - x sin a
=
0
(6)
L'équation (6) donne
Lféquation (3) devient
R2i
2iiî 0" - Mi cos(a-0) x,t + mgl cos e .
j
sin et
tL
Lféquation de liaison donne :
=
1 cos (a - 0)
x'
sin a
Y"
X
-
' *™"
M xff
—__
=
Q
(10)
0t
- i sin (a - 0)
i
•
sin a
\}
_
f2
cos (a - 0) „
»
o
sin a
J.
en portant dans l'équation (10)
Slf. e" + Mi2 cos(a-e) sin(a-e)
3
sin"1 a
,2 +
cos(a-e) 2 .
sin a
+
^ cose =
2
équation différentielle du second ordre en 6
* Essayons de trouver une intégrale première. Multiplions les deux membres
de l'équation par 0'
2^1 e " 0 î - ^^ cos(a-0)sin(a-0)0' 3 - Ml2 2 cos 2 (a-0)0 t ! 0 ' + 2i|l C os00' = 0
3
sin ot
sin ex
z
ceci s'intègre immédiatement
1 Elie'2
2 3
+ i^ T -cos2(a-0)
2 sin a
supposons que pour
6'2
t = 0
+ Sji
2
sine
0 = ÔQ
=
;
cte
0' = 0Q = 0
pL. + M} 2 cos2(a-0)| 0'2 + mgl (sin0 - sin00) = 0
I ~)
s in oc
I
« 433 -
Remarque : Nous aurions pu obtenir directement cette équation à l'aide de
l'intégrale première des forces vives
T
=
solide parfait
liaisons parfaites
fonction de force au sens strict
U + h
T°
-
T? + T£
T£
-
IM|V°(G2)|2- 1 M X ' 2
U - iftî.ïo,aî ri 5 ^ 8 ' 2
mais
xf
r— cos(a-0) 0 f
sina
-
*• - L T ^S&â-'H'"
U
=
Ui
+ U2
=
- m g j sin 6 + cte
d f où l'équation
fei + H^Cos2(a-0)1 0'2 + m g 1 sin 6 - 2 h
c'est bien l'intégrale première déjà trouvée.
* Intégration
&
L'intégrale des forces vives donne
2
6'
. A - sin A6
sin90
= mg .—=
rrr-7—
ml + Ml. .; cosiz(a-6)
s *\
_
soit une équation de la forme 6'2 = F(0)
Et nous pouvons faire une discussion du même genre que précédemment.
6.5.5
DETERMINATION DU TORSEUR DES FORCES DE COHESION
Nous avons vu que les actions de cohésion d'un solide parfait n'interviennent pas dans les équations de la mécanique (théorème de la somme géométrique, théorème du moment dynamique et théorème de l'énergie cinétique).
Cependant il est possible de les faire intervenir en faisant une coupure
dans le solide^ c'est à dire en délimitant un sous-ensemble par une frontière
à l'intérieur du solide
- 434 Soit donc un solide (Sp appartenant à un ensemble de solides (S-[),
(S;), (S^). On veut déterminer le torseur de ses forces de cohésion. Faisons
une "coupure11,c'est à dire partageons (S^) en deux solides (S^) et (S-j^) •
Du point de vue de la mécanique nous pouvons remplacer (Sjj) par les actions
mécaniques qu'il exerce sur (S-j^) • Le torseur des actions de (S^) sur (S^)
a pour éléments
3
F
j 12
Ul2d>
Appliquons les théorèmes généraux à (Sj_2)
*12+*D+%
M 1 2 (I) + M D (I) + ^(1)
«
>
<*°>s i2
(I)
Jt°(l)]s;2
FD et MD(I) étant les éléments du torseur des forces données agissant sur
(S£2).
Or on a vu que les théorèmes généraux appliqués aux éléments du
système ou à des sous-ensembles permettaient en général de
-
trouver le mouvement, c'est à dire la position en fonction du temps,
du système ou encore finalement la position de chaque point, sa vitesse
et son accélération
Par conséquent (Z°)Sa et \v0(I)\
sont connus
{ 0
i2
Si2
-
trouver les actions de contact inconnues, c'est à dire Fj.[ et M4^(I)
Dans le système (I) les seules inconnues sont alors F^2 e^ Mi2(l)« Les six
équations de projection permettent donc de déterminer les composantes de F}2
et MI2(D
Nous sommes doncainsi ramenés à un des problèmes fondamentaux de
la mécanique : le mouvement de (812) étant connus quelles sont les actions
mécaniques qui entrent en jeu ?
exemple : Supposons que l'on veuille déterminer le torseur de cohésion d'une
barre (S^) en rotation autour d'un axe fixe d'un support (S0). Nous
supposerons que la barre tombe sans vitesse initiale
a) Repérage
A (S0) on lie (R0) : [0, 10, t0 , 10]
ZQ
vertical descendant
YQ
porté par l'axe de rotation
0 œ ^0 A Z0
X
A (Sx) on lie (Rx) : [o, \ , \, Zx]
tl=
%
"£ 1 = —
G milieu de OA
a
\ = Â \
on repère (R!)/(RO) par 0 = (Z0, Z^
- 435 —>. —»OA
II s'agit d f un pendule composé de masse m. La barre est homogène OG = — et
le tenseur d'inertie est
~~ ma2
-
I0
I
0
o
0
2
3~ ma
o
0 "
0
oJ Ri
(tenseur d'inertie d'une barre homogène de longueur 2a)
b) Equations du mouvement
ici
Nous connaissons l'équation du mouvement
4
9
I - — m a^
6" + -—-^ sin 6 = 0
1 - 2a
0" + 1 ! sin 6 = 0
4 a
Nous avons, en multipliant par 0'
0" 0f + ---i. sin 6 6'1
^f a
f2
ce qui conduit à l'intégrale première
——- - •— «• Cos 6
L.
H a
Pour t = 0
: 6 « 60
d'où
6£
e
3g
=
*
0
cte
; 6' = 6j = 0
=
-. s.
2 a
(cos Q - cos ÔQ)
Nous pourrions en déduire 0 = 0(t) mais ce n'est pas nécessaire. Il nous
suffit d'évaluer les actions mécaniques en fonction de 0 comme nous l'avons
déjà signalé.
D'autre part nous verrons qu'exceptionnellement ici nous n'auront
pas besoin des actions de liaison
o) Détermination du torseur d'actions intérieures
- 436 -
Faisons une coupure en un point P tel que OP = z.Z^. Nous déterminons ainsi
deux nouveaux solides (Su) et (Si2). Nous allons appliquer les théorèmes
généraux à la partie 2 : (812)
1 °/ Anal2se_des_actions_mécanic|ues
* Actions de (Sji) sur (S12). Le torseur '[ïjj a pour éléments
Fl2 = [Xi2, Y12, Zi2JRi
M12(P) = [L12, M12, N12]Ri
* Les actions de pesanteur sur (S12)
P2 = - M2g . Z0
M2 = |_ (2a - z)
P2 =
[ - 2f (2a - z) sin 6
/a
0
_f(2a-z) cose J Ri
Remarque : nous constatons quTexceptionnellement ici nous n'avons pas d'action
de liaison sur (812)
2 ° / ÊEli£â£i2S-ËÊS-.£îîâ2Eêî?ÊË-ÊâSÉEâHî«ê-l§12l
* Théorème de la somme géométrique
F!2 + ?2 = M2J°(G2)
., ÔGÎ -
[«+î.]îi
V°(G2) = n? A ÔG2
= 6' Y! A (z + 2a ~ Z) Z}
,
2a - zs e. x, •>
(z +
^—>
l
=
J°(G2) = î^°(G2) + Sj A V°(G2)
T (z+ 2L-IJL)6"
J°(G2) =
en outre
M2
0
_.(z.lH^)e,2JRi
- -5— (2a - z)
^.a
'X12 - 2£ (2a - Z) sin 6 = 2_ (2a - z) (z + 2a ^ Z) 6"
< Yl2
=
0
[ Zl2 + f|(2a - z) cos 6
(1)
(2)
=
- |_ (2a - z)(z + 2a ^Z) 6'2
(3)
- 437 -
*
Théorème du moment dynamique à (S 12 ) en P
S 12 (P)
+
PGt A ï£
0
P(£ A P2
=
p-28. (2a - z) sinel
^-LJL
z.
+
V°(P)
= z6 ' . \
t°(G 2 ) = (z +
2a
2"
0
0
- 2| (2a-z) 2 sine
=
h t ( 2a - z ) c o s 6
-j
= f^°(P)
l~
2a
A
^°(P)
_^
(«p ( S l 2 )
1
©
—
mais
=
-
^za
-
M2 V°(P) A V°(G 2 )
2
) e ' xx
^
t°(P) A t°(G 2 )
-
0
y ° ( G ) + PG^ A
y°(P)
-
y°(G2)
= IG2 . nf 2
I(j2
p
n°
n
i2
rç,t°(G 2 )
tenseur d'inertie de la barre PA
-
n°
fli
-y^- (2a-z)2
y°(G2)
=
0
0
f j ^ 2a ~ z)2
0
°
0
0
0 9 '
0
0
- rô °2a-z)3ef
Mj ï>(i£ A V°(G 2 ) =
°
R
JR1
[ O l
|~(z + ÎE.)6 '"
0
2a-z
A
0
.~~r.
L
°
x ~ (2a-z)
2a
i
0
2^- (2a-z) 2 (2a+z) . 6 '
L
°
J»,
0
y°(P)
-7!- (2a-z) 2 (4a+z) 6'
«
L
°
\
C'est aussi l'expression de y ° ( P ) dans (R ) . Donc
0
JK.J
L
- 438 -
0
Î°(P)
-^ (2a-z)2 (4a+z) 9"
0
-
Lia
= 0
Mi2 - ff (2a-z)2 sin 9 = J2_ (2a-z)2 (4a+z) 9"
(4)
(5)
NI 2
(6)
=
0
•
3° / D§£S£SiSâ£i2S_âë_^12a._2i2A_îîl2_ê2_f2D££i°S_âë_â
L'étude du mouvement dans la première partie nous a donné
6"
=
sin
-r
4 &
a
e
e'2 = |-& (cos e - cos e0)
donc en éliminant 9" et 9'2 en fonction de dans les équations (1), (3), (5)
nous pouvons avoir Xi2, Y^2 et MI 2 en fonction de 6.
X12
= + ?6 (2a-z) sin 9 - 2_ (2a-z)(z+ ^~-) . 7- & sin 9
2a
2a
2
4 a
X
12 -
^ (2a-z) (2a-3z) sin 9
Zi2
= - ff (2a-z) cose - |- (2a-z)(z + ^SIE.) |
| (cos9 - cos9 0 )
Z
=
12
?^T (2a-z) [4a cos9 + 3(2a+z) (cos9 - cos 9 0 )1
oâ.
MI2 - 7
^ (2a-z)2.sin9 - -rf(2a-z)2 (4a+z) 7& . sin 9
^•3.
i 2. Si
A- 3.
MI2 - "^ff2" •z (2a~z)2 • sin e
Le torseur des actions de (S^) sur (S^)est maintenant parfaitement connu.
Remarque : Maintenant le problème entre dans le cadre de la mécanique du
solide réel, c'est à dire dans une branche de la mécanique où l'on étudie
la résistance des solides et leur déformation. Ces théories montrent que ce
qui est capital pour le maintien de la cohésion, c'est la valeur maximum de
1^121 • M!2 est une fonction de z. Cherchons le point pour lequel |M12| est
maxi
012. , - fo U. - .) (2. - „)
Î^M
*'l 2 =
0
pour
z =
32
2
L'expression
M12
=
- ., 2
z
=
2a
2a
—
(extrémité)
(2a " 3Z) montre que le maxi de |M12|
. pour z = 2a
a lieu
—
- 439 -
on voit immédiatement que |'Mi2| est maxi pour
z
=
—-
Par exemple lorsqu'on abat une cheminée,de mine, on a bien constaté que la
rupture se produit à environ 2. de la base.
3
- 440 -
SÈME P A R T I E
STATIQUE PAR LES THÉORÈMES GÉNÉRAUX
- 441 -
La statique est l'étude des conditions d'équilibre des systèmes matériels. Nous la considérerons comme un cas particulier de la
dynamique bien qu'historiquement la statique se soit constituée en corps
de doctrine avant la dynamique.
6.6.1. DEFINITION DE L'EQUILIBRE
A/ Equilibre d'un point matériel
Un point matériel P est dit en équilibre dans la position (P )
telle que OP
« x ,y , z
si le système
dF = J^(P)dm
Tx" dm "
dF = y" dm
.s" dm.
admet seulement la solution
*
x »x
y -y
*
z =z
pour
t>tn
lorsqu'il est abandonné à t-tn avec les conditions
x =x
x =
o *
2 =z
o *
y
y° = y*
'° = °
'o °
'o = °
z
B/ Définition de l'équilibre d'un système matériel
Un système matériel est dit en équilibre si tout point (P)
appartenant à (S) est en équilibre.
6.6.2. STABILITE D'UN EQUILIBRE
Une position d'équilibre d'un système matériel est dite stable
si écartant ce système suffisamment peu de cette position en lui communicant des vitesses initiales suffisamment faibles on peut être assuré que
le système s'écarte suffisamment peu de sa position d'équilibre.
A/ Définition préliminaire ; écart d'un système
Une position d'équilibre étant donnée désignons par x , y , z
les coordonnées d'un élément de matière quelconque dans cette position,
et par x, y, z les coordonnées du même élément de matrice dans une position quelconque.
On appelle écart E du système par rapport à sa position
d'équilibre :
i r r *,2 _,_, * 2 ^, *. 21.
E = j I (x-x ) + (y-y N ) + (z-z ) dm
P6S
- 442 -
B/ Définition mathématique de la stabilité
La position (S ) est stable si à tout nombre e positif arbitrairement petit on peut faire correspondre deux nombres A et y tels que
la double condition
E <A
o
TQ < p
„E
< e
Remarque : il est notable que si E reste petit toutes les distances
|p p [restent petites et si T est petit toutes les vitesses restent
petites.
y^-.
C/ Cas particulier d f un système dont la configuration s1exprime
à l'aide de A paramètres
Soit un système dont on exprime la configuration à lfaide de
A paramètres q.,...,q.,...,q
pour l'équilibre
q. = q.
(i)
L'écart est donc défini pour chaque paramètre par
*
q.
- q.
H
i
i
Supposons que l'on écarte le système de sa position d'équilibre avec les
conditions pour t-tn
q.
= q.
4
i
!Q
q'.
= q!
4
i H10
La position (S ) est dite stable si à tout nombre e positif et arbitrairement petit on peut faire correspondre deux nombres A et y tels que
q
<y
q
<
i0 ~ qi
\/i =^> q.(t) - q*
iQ
de t=0 à t=+°°
6.6.3. STATIQUE PAR LES THEOREMES GENERAUX
A/ Equilibre du point matériel
a) Condition nécessaire
Hypothèse
x = x = XQ
x' = 0
y - y*= y0 y'0 = °
z = z*=z0
x" = o
y" = 0
z" = 0
Conclusion
dF = 0
z'0 = 0
< e
i
- 443 -
W Condition suffisante
Hypothèse
dF « 0
x fQ « 0
y'0 - o
z'0 = o
.. .
Le système différentiel donne
x" = 0
+
x f = cte
-
xf
« 0
y"•-« 0
'-*
y 1 • cte
=
yfQ
=
0
=
z'
-
0
z" « 0
+
z
1
= cte
jt
x • cte
-*• •
x = x
y = cte
->•
Y - y
z = cte
->
z = z
Théorème : une condition nécessaire et suffisante pour qu'un point matériel abandonné sans vitesse initiale soit en équilibre est que la
somme géométrique des forces qui agissent sur lui soit nulle.
B/ Equilibre des systèmes matériels
Le système est considéré comme formé d'un ensemble de points
matériels. Pour chaque point matériel on peut écrire
7? + d!F. « 0
e
i
(condition nécessaire et suffisante)
f dF
J
e
mais
+ f dF.
J
i
pes
f dF.
"^ = 0
=
0
pes
P6S
F
«0
ex
CP A dF + CP A dF. = 0
e
i
f -»
-^
f -^ -+
CP dF + CP dF. » 0
J
X
P6S r ^ i^^S
CP A dF.^ = 0
pes
M
ex
(C) = 0
Théorème : Pour qurun système matériel soit en équilibre il faut que
le torseur des forces extérieures soit nul.
- 444 -
Remarque : Cette condition n'est pas suffisante pour un système quelconque même formé de solides.
Exemple :
Les deux barres forment un systerne plan. Appliquons un torseur formé de deux forces opposées en A et B
->
->•
F1+F2=0
yV
/ \
i+\ /
\ /^\
\1 //
\v^/
7
V
m
QA
B«
£T
Le torseur est nu
l mais il est
évident que le système ne reste
pas en équilibre.
*•
^
2
1
G/ Equilibre d'un solide. Condition nécessaire et suffisante
de l'équilibre d'un solide (S)
a) Forme cinématique de l'équilibre
S. Mais
On doit avoir V8(P) » 0 pour tout point (P) appartenant à
^
^
_^
_+
V8(P) = ^(G) -«• fif A GP
b
Le champ de vitesse d'un solide est un champ de torseur. Pour qu'il soit
nul il faut et il suffit que
V8(G) = 0
«8 -o
Remarque : Le point (G) ne joue aucun rôle particulier comme il est
connu dans la théorie des torseurs.
b) Condition nécessaire de l'équilibre
Le solide est un système matériel. On peut donc lui appliquer le théorème démontré en (III-B>.
Si le solide est en équilibre on a
F
= 0
+
ex
Mex(G) =0
o) Condition suffisante
de l'équilibre
Supposons le solide abandonné sans vitesse initiale pour
t=tn avec les conditions
u
->.
F
=0
6X
a) ,
Mex(G) - 0
Comme il est sans vitesse initiale (V* J
•b)
(^S)0 -°
S/
v|(G) = 0
= 0 pour V P
°
c'est-à-dire
- 445 -
Appliquons au solide (S) les théorèmes généraux
- m G8(G)
F
6X
- *!. ^
M ex.G " dt yG
D'après les hypothèses (a) le théorème de la somme géométrique donne
J°(G) = 0
V8(G) - cte
V8(G) = (V*)Q
Mais d'après (b)
V8(G) = 0
D'après l'hypothèse (b) le théorème du moment dynamique donne
gî«<w-o
•M8(G) « cte
• ^(G) o
mais
y8(G) « ÎG . fi8
ft«)
- G\
vfà)
\ G/
S/
0
Q
= 0
D'où
_yg(G) = 0
J_.^f
(j i>
= 0
soit
ÎJ-o
Donc
-^2
iï*b = 0
et
->e
V*(G)
= 0
b
Par suite le torseur des vitesses reste nul et l'on a :
V8(P) = 0
pour
\/P
Le solide est en équilibre.
Théorème :
Pour qu'un solide initialement en équilibre reste en équilibre il faut et il suffit que le torseur des forces extérieures soit nul
- 446 -
d) Rem<ZPQUe • ce théorème peut être utilisé pour deux genres
de problèmes
- les forces étant connues trouver la configuration du
système à l'équilibre
- la position d'équilibre étant donnée trouver certaines
actions mécaniques.
6.6.4. EXEMPLE
Considérons le système qui a donné lieu au schéma mécanique
suivant. Il est composé de 4 solides (S ), (S ) , (S ) , (S ) . Les liaisons (SQ.)/(S ),. (S )/(S ), (S3)/(S2)
sont des
liaisons rotoïdes parfai-
tes et la liaison (S^)/(S ) est une liaison prismatique parfaite.
(S ) et (S ) sont des barres homogènes de longueur 1 de masse m et de
centres d'inertie respectifs G
et G?. (S ) est un solide de masse M
et de centre d'inertie G~. G , G~» G., sont dans un même plan.
A/ Repérage
A (S0) on lie (RQ) :[o, XQ, YQ, ZQ ]
0 appartient à l'axe de la liaison (S )/(S0) dans le plan
contenant G , G9, GQ
1
_^.
2.
J
Y^ de sens arbitraire porté par l'axe de la liaison (S )/(S n )
Z n vertical descendant porté par l'axe de la liaison
+X
'V/'V
H. H.
O=YOAZO
A (Sj) on lie (Rj) : lojt Xj, Yj, Zj j
2i- s i
Y
l
=Y
0
zZ
-^
i
"
~T
- > • - > • - > •
x =Y Az
i i i
On repère la rotation de (R )/(R ) par
e - <z0. z,.)
r
-»• •*• -»• ~i
A (S2) on lie (R2) : 02» X2, Y.2> Z2 I
02HB
->
2 Y
->
! " -s
Y
X
- BA
2 ~T
.
Z2 -.X2 A Y2
- 447 -
On repère (R )/(R.) par z et ç tels que
OB = z ZQ
ç - (X^, X^>
et
B/ Relations de liaison
Les paramètres z, 0 et <f> ne sont pas indépendants. On a
immédiatement
s
î-f-"
J>
z = 2 1 cos 6 f
relations holonomes
Par la suite on conservera le seul paramètre 6.
C/ Analyse des actions mécaniques appliquées aux différents
solides
a) Actions appliquées à (S )
1°/ Actions de (S^/CSj)
*oi
=
[ x oi> Yor zoi] RO
*<oi(0)
=
[Lor °^ Noi] RO
(liaison rotoïde parfaite)
2°/ Actions de (S^/CSj)
?
21
=
[X21> Y21' Z2l] RQ
^2,(A) ' [L2,' °'N2] RQ
(liaison rotoïde parfaite)
3°/ Action du ressort sur (S )
C'est un vecteur glissant unique
SGi
RI = "k &-LJ G^G;
F
L - (GAi
L = 2 1 cos 6
-> LQ = 2 1 cos 0Q
L^ est la longueur sans contrainte du ressort. Nous supposerons ici que
lorsque le ressort est sans contrainte
•o'ï
ÎR1 - + k 1 [cos
- Ij 1Q
^°/ è££i25S-.ÉË_EË5êBi£HE
C'est un vecteur glissant unique
?, - mg ?Q
- 448 -
b) Actions appliquées à (SJ
u
1°/ Actions de (Sj)/^)
?
12 = [X.2> Y12' Zl2]Ro
*12(A) - f 12» °' Nl2JRo
soit encore d'après le théorème de l'action et de la réaction
*12 ' [-X21> -Y21» -Z2l]R0 M12(A) ' [-L21» °' -*2^RQ
2°/ Actions de (S3)/(S2>
F32 = [X32, Y32, Z32]RQ
M32(B) - |L32. 0, N32]RQ
3°) Action du^ressort
FR2 = -kl (cos 6 - 1) ZQ
4°/ Action de_gesanteur
P2 - mg Î0
c) Actions appliquées à (S )
_
ô_
\°l Actions de (S2)/(S3>
Î23 = [X23, Y23, Z23]RQ
OU
M23(B) = [L23, 0, N23JRQ
_>.
-^
F23 = [-X32, -Y32, -Z32JRQ
M23(B) = [-L32, 0,-N32]Ro
2°/ Action de (SQ)/(S3)
^03 = [X03' Y03' °]RO
5
03(B)> [L03' M03' ^KQ
^°/ âSl-'-Sïî-Éë-EêSêSiêHï
P3 - mg ZQ
D/ Application des théorèmes généraux de la statique
a) Théorèmes généraux appliqués à (S )
f
01
+f
21 + \
+f
Rl
=
°
ce qui donne en projection sur les axes
xQ1 + x21
=o
(i)
01 + Y21
. = ° (2)
ZQ] + Z2] + mg + kl (cos6 - j) = 0 (3)
Y
- 449 -
OGj A P I H- OA A F21 + M2] (A) + OG^ A FR] = 0
*f__
•
•j sin 6
0
0
1 sin 6
A 0
1
•j cos a0
+
0
'
mg
L2}
X2]
+ 0
AY
'
1 cos 0
- Y21 1 cos0
~ sin 0
+
0
N2]
+ L2J
A
i cos 0
2
M
Z21
0
0
kl (cos0. - ~)
2
= 0
(4)
1
- mg y sin0 + X2J 1 cos0 - Z2] 1 sin0
Y21 1 sin0 + N2,
kl
1
r— (cos0 - j) sin0 = 0 (5)
- 0
(6)
b) Théorèmes généraux appliqués à (SJ
?
12
X
-
+
21
- Y21
\2
+ X
+
+
*E2
+ ?
2
=
°
=
32
V
(7)
°
(8)
= °
- Z2] + Z32 - kl (cosô - j) + mg = Q(9)
M32(B) + BG2 A P2 + BG2 A FR2 + BA A F J 2 + M]2(A) = 0
L
32
0
N
32
"2
+
Sin6
O
°
A
T °0se
O
I
+
Sin6
O
A
~2" C°s9
"^
~ L 21
°
O
+
~kl ^cose ~ 7^
1 sin6
+.
0
32 " L21 " Y21 -1
1
kl
- mg j sin0 + -y-
COS0
=
A -Y2]•
N
32 "N21 " Y21
X Sin8 =
°
=0
-z2J
(10)
°
1
(cos0 - -) sin-6 + Z
~N?i
-X21
-i cose
L
0
1 sin0 + X
1 cos0 = 0
( 12 >
(11)
- 450 -
e) ^
Théorèmes généraux appliqués à (S )
g
^3 + V*!>3-0
-X32+X03
=
°
(13)
-Y32+Y03
=
°
(14)
- Z32 + Mg
(15)
=0
M^3(B) + BG3 A P^ + M^3(B) = 0
-L32 + L03
=
- M 32 +M 03
* N32 + N03
=
=
<16>
°
°
°
(17)
(18)
E/ Positions d'équilibre
Nous allons essayer de trouver une relation comprenant seulement e et qui définira les configurations d'équilibre. Nous allons pouvoir obtenir cette relation en fonction des équations (5), (9), (11),
(15)
1
kl
1
- mg — sine + X
1 cose - Z2 1 sine
r- (cose - ~) sin6 - 0 (5)
" Z21 + Z32 •" kl
1
- mg — sine + X_
1 cose + Z«
(COS0
=
-'" I}+ mg
° (9)
kl
1
1 sine ••• -y- (cose - y) sine = 0 (11)
" Z32 -H Mg
= 0 (15)
Nous avons sélectionné sur l'ensemble des 18 équations 4 équations qui contiennent les 4 mêmes inconnues. Cela simplifie beaucoup la
résolution.
Les équations (9) et (15) donnent :
Z2] = (M+m) g - kl (cose - j)
Retranchons membre à membre (5) et (11)
2
1
+ 2 Z 1 sine + kl (cose - -7) sine = 0
r
*•*
^
n
2 |(M+m) g - kl (cose - ~)1 + kl (cose - j) sine = 0
(19)
Cette relation est une conséquence des autres équations.
2 (M+m) g - kl (cose - j) sine = 0
Nous supposerons que les positions trouvées seront possibles
(montage convenable).
- 451 -
Les positions d'équilibre sont données par
-e=o
*
sin9 - 0 -*
*
2 (M+m) g - kl (cos9 - 1) « 0
Soit
fl
COS6
e
.
ff
(19-a)
(19-b)
1 _-_
M + m g
= +
2iL
cette équation n'a de solution que si
i* p?«'
M + m
k
jg
JL
1*4
Si cette condition est vérifiée on a deux valeurs 8~ et 0,
telle que
0. = - 6
On désignera par 0
(positions symétriques)
la valeur positive.
Il y a donc en tout quatre positions d'équilibre.
Remarque : Les liaisons (S0)/(S]), (Sj)/^), (S2>/(S3) et (SQ)/(S3)
introduisaient chacune 5 inconnues dynamiques soit 20 au total. Il y
avait en outre à déterminer le paramètre 0 ; il y avait donc en fait
21 inconnues pour 18 équations. Toutes les inconnues ne pourront pas
être déterminées. On dit que le système est hyperstatique.
F/ Etude de la stabilité des positions
L'équilibre n'a d'intérêt en pratique que s'il est stable au
sens où par exemple nous l'avons défini. Nous allons pour cela étudier
le mouvement voisin. La façon dont nous posons le problème montre que
ce n'est plus une question de statique mais de dynamique. Et il nous
faudra tout d'abord l'équation du mouvement.
a) Equation du mouvement
II faudra appliquer les théorèmes généraux à (S ), (S ),
(S ) . Les premiers membres seront les mêmes que ceux déjà écrits pour
l'étude statique. Au second membre figurera un élément du torseur dynamique.
Nous appliquerons les principes déjà signalés pour choisir
les équations les plus favorables.
* La liaison (S )/(S ) est rotoïde parfaite d'axe [o, Y.].
Nous appliquerons donc à (S ) le théorème du moment dynamique en 0 en
.->.
1
projection sur Y .
- 452 -
^ A?, +Â7 2 1 +i£j(A) +TC, A^ - (ÎJ)^
Le premier membre est déjà calculé.
t°(0) -£ J°(0)
p°(0) = Î0.fij
o
"2ii
o" [o^
2
0
ml
o
o
I*
= m i_ e <
0
6'
oj |_ o
->•
->•->"
y, -Y O
Y,
2
_,.
î°(0) =25-6" YQ
Compte tenu de l'équation (5) nous avons :
2
2
- mg j sin6 -H X21 1 cos6 - Z2] 1 sin6 - ~- (cos0 - -j) sin6 = ~- 0
* La liaison (S )/(S ) est rotoïde parfaite d'axe B t Y 0 - Nous
appliquerons donc à (S9) le théorème du moment dynamique en B en projec->
7
tion sur Y . (Nous aurions pu tout aussi bien choisir A).
*Ç2(B) + B G ^ A P ^ . + BGÂÏ^ 2 + M^(A) + BA A F^2 = $J
S
2
Le premier membre est déjà calculé.
6° = ô°(G7) + BG^ A J°G7
(formule des torseurs appliquée
au torseur dynamique).
Nous emploierons ici cette méthode de préférence à celle qui consiste à
calculer d'abord
y°(B).
*•»,>•£ î-«2
""S
'
~0
'
-
\ • *'l
0
0 "I [O ~
o -Slj o
*•
o o flij [o
2
2
(5)
- 453 -
mais
6 = -r
- $
•] ^
mi
TT°<v
y <G 2"\) --
-fi
-V
->
fi'e Y
Y2
i2
->•
Y
Y2 =- YYQ
->
"£°
fr }'i - A" Y
6 (G
2 " ~ 6 Y0
OG
~2 S"16
0
3 1 cose
=
L 72
- RR o
~+ - cose e 1
V°(G 2 ) =
0
L- 42 i sine e'_ R O
~ _ I sine e' 2 + -| cose e"
J°(G 2 ) =
0
- 2I- i cose.e' 2 - 24 i cose e" R_
L
J o
- -| sin6. 6' 2 + -| cos 6. 6"
y sine
m BG2 A J°G 2 = m
0
A
0
2
- 2i cose R
i sine.e"
2 T i cose.e' 2 - |
L
J 0 L
J Ro
On aura donc :
m BG0 A J°G. = ml 2 [7- sin6 cos6 6' 2 + 7- sin 2 ee" +• 1 sin6 cosee' 2
2
2
L*
'
^
-Icos 2 e.e']. YQ
= ml 2 [sine cos6 6 ' 2 +
sinVe" - i 6"] YQ
ô°(B) = ml 2 [sine cosB 6 ' 2 +
sin 2 6 6" - j e'j] YQ
- mg j sin6 + ^j-
cose- ^
sin6 + Z
1 sin6 + X
1 cos6
= ml 2 ["sine cos6 6 ' 2 + sin 2 6 6" - j e"~|
(H1)
D
- 454 -
* La liaison (S )/(S ) est prismatique parfaite. Nous appliquerons à (S ) le théorème de la somme géométrique en projection sur Zn.
*23 + *3 + *03mm*°<G3)
J°(G3)--J°(B)
OB « 2 1 cos0 Zn
->
^ -*
V°(B) =-2 1 sin0.0f ZQ
J°(B) =[-21 cos0.0f2 - 2 1 sine.0"] ZQ
compte tenu de (15)
- Z 2 + Mg - - 2 Ml cos0 0 f2 + sin0 6"
(15f)
Nous avons 3 équations avec 4 inconnues X~ , Z^., Z «, 9* II nous faut
une équation supplémentaire qui ne fasse si possible intervenir que ces
équations.
* Appliquons le théorème de la somme géométrique à (S9) en
projection sur ZQ.
*12**32 + ?R2 + Î2-111ÎO(G2>
J°(G2) a déjà été calculé. Compte tenu de (9)
" Z21 * Z32 '" kl
(cose
"" ^ *mg '" "m \\ l cos6
6f2 +
f l sin6
0f
J(9f)
Nous pouvons pour éliminer les inconnues dynamiques procéder
comme dans la recherche des configurations d'équilibre.
Les équations (15f) et (9f) donnent
Z21 « (M+m) g - kl (cos0 - j) + (2 M + j m) 1 cos0 0'2 +(2 M + |- m) 1 sin0 0"
En retranchant les équations (5f) et (ll f )
1
2F 2
2
2 "1
2 Z J 2 1 sine + kl (cos0 - -j) sin0 « ml - r- e" + sine cose 6"f "•" sin 00"
En remplaçant Z ~ par sa valeur
2
l
2 2
2
2
2(M+m) g 1 sin0 - kl (cos0 - y) sin0 = -ml (+ j eff + 2 sine cose e 1 +2sin e)
- 4 Ml
(cose sine 6.f2 + sin e0ff)
soit encore :
|-m + (2 m + 4 M) sin20
0" + (2 m + 4 M) sin0 cos0 0 f2 +
+ 2 (M-fm) g 1 sin0 - kl2 (cos0 - j) sin0 = 0
(19f)
- 455 -
C'est l'équation différentielle du mouvement. C'est une conséquence des
équations déjà écrites.
Remarque 1 :
On constate immédiatement qu'à partir de cette équation on
peut trouver la configuration d'équilibre. En effet l'équilibre est par
définition un état de mouvement dans lequel
0 « cte
0' = 0
->
->
0ff = 0
D'où 1'équation d'équilibre
2 (M+m) g 1 sin0 - kl2 (cos6 - j) sin6 = 0
Remarque 2 :
Elle découle du résultat précédent. Si l'on envisage une étude
complète du problème c'est-à-dire équilibre et stabilité^ l'étude directe de l'équilibre comme nous l'avons faite n'a pas d'intérêt ; les positions d'équilibre s'obtiennent à partir de l'équation du mouvement
(Solution correspondant aux paramètres constants). C'est pourquoi actuellement la statique en tant que part autonome de la mécanique a un intérêt limité. Cependant nous verrons ultérieurement des méthodes à priori
pour étudier la stabilité.
Remarque 3 :
Nous venons de constater que la mise en équation par les théorèmes généraux est laborieuse. Aussi nous allons indiquer une méthode
qui évite ici cette décomposition et qui est beaucoup plus rapide.
Nous pouvons écrire l'intégrale des forces vives T° = u+h
'' solides parfaits
J liaisons parfaites
fonction de force au sens strict
s
*
T° = T°J + T°2 + T°3
T, = I . n; . Î0 . n;
T-,-^4 e'2
T ° 2 = i m (;°G2)2+I^
1^°
compte tenu des calculs déjà faits
T%=l[m(4e'2cos2e
+
l i 2 s i n 2 e e . 2 ) + i T ^ a' 2 ]
T°34M(^G3)2
T°3 = 1 . 4 M l2 sin26 6'2
T° = ~ j 2 -m l2 + 2 (m+2M) l2 sin20
6'2
- 456 -
*
u = u R + up
U
K
: fonction de force du ressort
Up : fonction de force de pesanteur
UR = - ~K (L-L0)2 + cte
i
o
UT, -'- -r K (1 cos6. - 1 cos0n) + cte
K
Z
U
1
cos6A = ~
avec
U
Z
1
3
Up « mg ~ cos0 + . — • mgl cos0 + 2 Mgl cos0 + cte
U * - -j Kl2 (cos0 - ~)2 + 2 (m+M) gl cos0 + cte
d'où l'intégrale des forces vives
j f m l 2 + 2 (m+2M) l2 sin20
0' 2 -H j Kl2 (cos0 - ~) 2 - 2 (M+m) gl cos0 - h
Nous avons ici une équation à paramètre principal et nous pourrions intégrer par le procédé déjà indiqué. Mais compte tenu du but poursuivi, nous
allons procéder autrement. Dérivons cette équation :
•| ml 2 + 2 (2M+m) l 2 sin20 0 ' 0 l f + 2 (2M+m) l2 sin0 cos0 0' 3
- Kl2 (cos0 - -j) sin0 0' + 2 (M-Hm) gl sin0 6 f - 0
en mettant 0' en facteur
0'j
|ml 2 + 2 (2M+m) l 2 sin 2 0
0" + 2 (2M+m) l2 sin0 cos0 0' 2
- kl 2 (cos0 - j) sin0 4- 2 (M-Kn) gl sin0 i = 0
L'expression entre parenthèse n'est autre que l'équation différentielle
du mouvement déjà trouvée.
|ml 2 + 2 (2M+m) l 2 sin 2 0| 0" + 2 (2M+m) l2 sin0 cos0 0' 2
- kl 2 (cos0 - j) sin0 + 2 (M+m) gl sin0 = 0
(19')
Mais attention il faut bien remarquer que cette méthode ne s'applique
qu'au système à z£z paramètre (ou encore systèmes dits à "liaisons complètes") pour lesquels il existe une intégrale première des forces
vives* Nous verrons ultérieurement comment généraliser ces procédés.
b) Etude de la stabilité des différentes
positions
Nous allons chercher le mouvement voisin des positions
d'équilibres et voir s'ils sont stables.
l 0 / Etude de la position 0 = 0«
Désignons par 0 le^ déplacement par rapport à la position d'équilibre. Nous supposerons 0 petit ainsi que ses dérivées premières
et secondes.
- 457 -
0 = 03 + ?
0 ' = ?'
e" = ?"
Dans l'équation du mouvement nous négligerons tous les termes d'ordre
supérieur au premier (par rapport à 6, 8 f , 6". On dit que l'on linéarise l'équation du mouvement* Faisons tout d'abord quelques calculs
préliminaires. Par la formule de Taylor
cos0 = cos (63 + ?)
sin0 = sin (6
+ ?)
cos6 = cos00 - sin000 )
^
,
3
3_. i au 02eme ordre près
sin6 = sine + cose 6 ^
2
2
sine cose = cos e sin 0 + (cos 0 - sin 0~) e au 2ëme ordre
près
2
2
sin e = sin e + 2 sin 6 cos e .e
au 2ème ordre près
L'équation (19') devient donc :
j ml2 + 2 (2M+m) l2 sin2 6 ?" - kl2 (cos ©3 - sin e3 ?- j) (sin03+cos03?)
+ 2 (M+m) gl (sin 0 + cos 0 ¥) = 0
|ml2 + 2 (2M+m) l2 sin2 © 3 ?" - kl2 (cos ©3 - «) sin © 3 -H kl2 sin2 ©3 ?
- kl2 (cos 03 - j) cos 03 ?
+ 2 (M+m) gl sin 0 + 2 (M+m) gl cos 0 ? = 0
-ml2 + 2 (2M+m) l2 sin2 © 3 ?" +1 kl2 sin2 © 3 - kl2 (cos © 3 - j) cos 03
+ 2 (M+m) gl cos©!! ?
i~"
*"i
-H 2(M+m) gl - kl2 (cos 03 - ~) sin © 3 = °
Mais B vérifie l'équation (19-b). Donc le dernier terme de l'équation
est nul.
|ml2 + 2 (2M+m) l2 s in2 © 3 ?" +fkl2 sin203 + cos © 3
12 (M+m) gl -'kl2 (cos 03 - I) ( ? = 0
Compte tenu toujours de l'équation (19-b) le crochet de la parenthèse
est nul. -D-'où finalement l'équation du mouvement voisin de l'état
d'équilibre :
- 458 -
i| ml2 + 2 (2M+m) l2 sin2 0J 0" + kl2 sin2 63 ? = 0
C'est une équation différentielle du second ordre à coefficient constant que l'on met sous la forme
2
2
_
kl sin 0
_
6" + •=
5
-—5
5
0=0
|ml2 + 2 (2M+m) 1 sin 63'
On peut donc poser comme le coefficient de 6 est toujours positif
2
2
kr sin 0
df û
^= 2 2
^~2
2
°
j ml + 2 (2M+m) 1 sin 03
?fl + Q2 0" = 0
Q>0
La solution est alors bien connue cependant nous allons refaire la
théorie générale pour montrer la différence entre la stabilité et
l'instabilité. Comme on sait on cherche la solution sous la forme
?=Aert
•?' - r A ert
ë» - r2 A ert
D'où l'équation caractéristique
2
2
r + fl - 0
Les racines sont imaginaires
r - - iflLa solution est donc
n
7T
0 •* A ie t
+A A2 -int
e
que l'on peut transformer en
? « Bj cos .nt .+ B2 sin fit
fi s'appelle la pulsation. La période est
' T =2 *
fi
pour
t=0
0 = 0ft
.?' - e'0
?
o'-Bf
e' 0 =^.B 2
e
'o
6 = 0Q cos fit + ——
sin Œt
- 459 -
Le mouvement voisin est stable. En effet nous pouvons irendre 0 - 0~ = 6
aussi petit que nous le désirons en choisissant 0~ et 0' de façon
convenable. Autrement dit si 6., et 6' sont bornés 6 reste borné.
Nous aurons un mouvement oscillatoire autour de la position d'équilibre.
Rappelons que l'existence d'une position d'équilibre 6 = 0
est soumise à une condition d'existence
M + m &< 1
k
1 4
Nous pouvons donc définitivement conclure. Si la position d'équilibre
0 = 0 existe, alors elle est toujours stable (en pratique pour qu'elle
existe il suffit que la masse ne soit pas trop grande pour la raideur
du ressort).
2°/ Etude_de_la_£osition_0_=_0
Comme précédemment on pose
0 = 0 + 0" + 0 f = "0f
;
0 " = ?"
et l'on obtient immédiatement en négligeant les termes du 2ème ordre
| ml 2 ?" - kl 2 (i - I) ? + 2 (M+m) gl ? = 0
2 2
r
L-I^
j ml 0" + 2 (M+m) gl - *i- ?
?- + f2. rL 2m^ f-iilê
1
2 m J
=0
.0
Nous sommes ici dans une situation bien différente du cas
précédent car le crochet peut être positif négatif ou nul.
*
2 (M+m) | - j > 0
ou
&SL '•&>!•
k
1 4
On peut poser comme précédemment
Q2 .1 fZ2 *Ë£
&-Itl
2 [ m 1 2 mj
Et l'on a comme dans l'étude précédente
lff
? = "0Q cos fit + -—. s in n t
L'équilibre est stable.
- 460 -
*
8 - k
2 (M+m) *•
~ < 0
M+m £
k
1
ou encore
^
4
on peut alors poser
n2 =
"
_ 3 [ M+m
2 L
m
ft_rkl
1
2 mj
"0" - Q2 ? = 0
cette fois l'équation caractéristique est
2
2
r - fl - 0
Les racines sont réelles
+
r « - -8
Q>0
La solution est
ë = A, efit + A2 e-nt
t-0 rë0 = A, + A2
?t = n(A A )
o
pour t-x»
r2
e -x». Donc quels que soient 6 et 6 f 0 choisis aussi
petits que l'on voudra, 6 ne restera pas borné. L'équilibre est instable
(en fait on sort du domaine de validité de la linéarisation). L'équilibre
est instable.
*
2 (M+m) & - | . 0
Dans ce cas le développement jusqu'à l'ordre 1 des fonctions de 0 qui
interviennent dans l'équation du mouvement n'est pas suffisant. Il faut
développer jusqu'au premier terme non nul.
Nous reprendrons ultérieurement cette étude avec des moyens
plus puissants.
On étudierait de la même façon les positions 0 = TF et 0 = 6. .
MECANIQUE GENERALE COURS ET EXERCICES EN 16 VOLUMES
CHAPITRE 1
• COURS - TORSEURS
• EXERCICES - TORSEURS
VOLUME 1
VOLUME 2
CHAPITRE 2
•COURS PARTIES ï &2-CINEMATIQUE
• COURS PARTIE 3 - CINEMATIQUE
• EXERCICES - CINEMATIQUE
VOLUMES
VOLUME 4
VOLUME 5
CHAPITRES
• COURS - LES TENSEURS CARTESIENS D'ORDRE2
• EXERCICES - LES TENSEURS CARTESIENS D'ORDRE 2
VOLUME 6
VOLUME 7
CHAPITRE 4
• COURS - GEOMETRIE DES MASSES
• EXERCICES - GEOMETRIE DES MASSES
VOLUME 6
VOLUME 7
CHAPITRE 5
•COURS- CINETIQUE
• EXERCICES - CINETIQUE
CHAPITRES
• COURS - THEOREMES GENERAUX DE LA DYNAMIQUE
• EXERCICES - THEOREMES GENERAUX DE LA DYNAMIQUE
VOLUME6
VOLUME 7
VOLUME 8
VOLUME 9
CHAPITRE?
• COURS - EQUATIONS DE LAGRANGE - EQUATIONS D'APPELS
• EXERCICES - EQUATIONS DE LAGRANGE - EQUATIONS D'APPELS
VOLUME 10
VOLUME 11
CHAPITRES
• COURS - EQUILIBRE - STABILITE - PETITS MOUVEMENTS VOISINS
VOLUME 12
• EXERCICES - EQUILIBRE - STABILITE - PETITS MOUVEMENTS VOISINS VOLUME 13
CHAPITRE 9
• COURS - MOUVEMENT STATIONNAIRE - STABILITE
• EXERCICES - MOUVEMENT STATIONNAIRE - STABILITE
VOLUME 14
VOLUME 15
CHAPITRE 10
•COURS-THEORIE DU CHOC
VOLUME 16

Mecanique Generale - Chapitre 6

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