(DS 5-2-Guidage par fibre optique _Mines-Pont 2006_-corrige–)

MP – Physique-chimie. Devoir surveillé
DS n°5-2 : corrigé
Deuxième problème : ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES (d’après Mines-Ponts 2006)
I - Fibre optique à saut d’indice
1 – Montrer que le rayon lumineux est guidé dans le cœur.
n2
, alors il se produit
n1
systématiquement des réflexions totales et le rayon lumineux est guidé par le cœur.
Si l’angle θ est supérieur à l’angle de réfraction limite θL = arcsin
Application numérique : θL = 75° 34 ' .
2 – On note i l’angle d’entrée du rayon à l’extérieur de la fibre. Calculer sin ( imax ) .
n2
M
r
i
θ
θ
θ
a
z
n1
n2
Appliquons la loi de Snell-Descartes en M : sin i = n1 sin r = n1 cos θ . Le rayon sera guidé par le cœur
si θ > θL ou encore cos θ < cos θL = 1 − sin 2 θL = 1 −
Nous en déduisons : imax = arcsin n12 − n22 = arcsin
n22
n12
( n1 + n2 )( n1 − n2 ) arcsin
2 n1 ∆
Application numérique : sin imax = 0,36
3 – Déphasage ϕ entre l’amplitude de l’onde en P et l’onde en P´.
( πB )
H
Avec les notations du schéma ci-dessus, la différence de marche entre les deux ondes dans le plan (π)
s’exprime par δ = n1 ( PB + BC + CP' ) . En choisissant un plan (π) particulier passant par B :
δ = n1 ( BC + CH ) . Le déphasage a donc bien pour valeur :
ϕ=
Jean Le Hir, 20 janvier 2008
2πδ
a
= 4πn1 cos θ
λ
λ
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Devoir surveillé n°5 -2
4 – En déduire l’existence de modes de propagation. Exprimer le nombre de modes possibles.
La propagation est possible si les ondes successives sont en phase, c’est-à-dire si ϕ = mπ avec
mλ
m ∈ * . Chaque mode de propagation correspond à une incidence interne θm = arccos
. Cette
2n1a
incidence doit être supérieure à l’angle limite θL et cela limite le nombre de valeurs possibles de m :
2a
cos θm < cos θL ⇒ m <
2 n1 ∆
λ
Le nombre maximal de modes N M est donc égal à la partie entière de
2a
2 n1 ∆ :
λ
 2a 2 2 
NM = E 
n1 − n2 
 λ

Remarque : sans doute existe-t-il plusieurs polarisations possibles, ce qui multiplie d’autant le nombre
de modes de propagation.
5 – Le rayon de cœur a étant donné, démontrer l’existence d’une fréquence de coupure pour
le mode d’ordre m. Préciser le comportement fréquentiel du dispositif.
La valeur de m étant fixée, il lui correspond une longueur d’onde minimale λ > λ min =
par conséquent une fréquence maximale : f < f max = m
2a
2 n1 ∆ et
m
c
1
.
2a 2 n1 ∆
Un tel dispositif est donc un filtre passe-bas.
6 – Le mode fondamental correspond, par définition, à m = 0. Exprimer, puis calculer pour
λ = 1, 5 × 10−6 m la valeur maximale que peut prendre a pour que seul ce mode se propage.
Pour que la fibre soit « monomode », il faut que déjà le mode m = 1 ne puisse pas se propager et donc
que l’angle θ1 soit inférieur à l’angle limite, ce qui s’écrit :
cosθ1 ≥ cosθ L
soit
a≤
λ
2 2 n1 ∆
Application numérique : a ≤ 2, 07 µm
7 – Soit L = 1 km la longueur de la fibre. Exprimer la différence ∆T de temps de parcours de
l’entrée à la sortie, entre le trajet de durée minimale (θ = π 2 ) et le trajet maximal (θ = θ L ) .
Donner l’expression approchée de ∆T en fonction seulement de L, ∆ et c . On convient que le
saut
saut
débit maximal de la fibre, Rmax
(bits par seconde).
, est l’inverse de ∆T . Calculer Rmax
L
tandis que le rayon de mode 0 parcourt
sin θL
c
la distance L. La vitesse de propagation étant dans les deux cas v = , nous en déduisons :
n1
Le rayon lumineux le plus long parcourt une distance
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∆T = n1
L  n1  n1 L
L∆
∆
 −1  =
c  n2  n2 c
c
saut
Application numérique : Rmax
=
Devoir surveillé n°5 -2
saut
Rmax
=
et donc
1
c
=
∆T L∆
c
= 6,5 × 106 bit ⋅ s −1 = 6,5 Mbit ⋅ s −1 .
L∆
II – Fibre optique à gradient d’indice
8 – Un rayon lumineux entre dans la fibre au centre de la face d’entrée, avec un angle externe
d’incidence i. Montrer que ce rayon se propage dans un plan et que l’équation différentielle donnant sa
2
n2 (r)
 dr 
trajectoire dans la fibre s’écrit : 1 +   = 2 2
n1 sin θo
 dz 
Le rayon se propage dans le plan d’incidence défini par les conditions d’entrée dans la fibre.
Avec tan θ ( r ) =
dz
, nous avons
dr
2
2
1
1
1
 dr 
 dr 
et donc : 1 +   = 1 +
=
  =
2
2
2
tan θ ( r )
tan θ ( r ) sin θ ( r )
 dz 
 dz 
La relation n ( r ) sin θ ( r ) = n1 sin θ0 , nous conduit alors à la relation [1] :
2
n2 ( r )
 dr 
1+   = 2 2
 dz  n1 sin θ0
9 – Quelle est la valeur de F (1) ? Retrouver l’expression de l’ouverture numérique, à partir
de l’équation différentielle [1] et de l’expression générale de l’indice.
L’indice variant de façon continue, nous avons n ( a ) = n2 en plus de n ( 0 ) = n1 et, par conséquent :
F (1) = 1 en plus de F ( 0 ) = 0 .
n12 − n22  r 
r
F   , soit n 2 ( r ) = n12 − n12 − n22 F   et donc :
Partant de n(r ) = n1 1 −
2
n1
a
a
r
r
n12 − n12 − n22 F   − n12 sin 2 θ0 n12 cos 2 θ0 − n12 − n22 F  
2
2
2
2
n
r
−
n
sin
θ
( ) 1
 dr 
0
a
a
=
=
  =
2
2
2
2
2
2
2
n1 sin θ0
n1 sin θ0
n1 − n1 cos θ0
 dz 
(
(
)
)
(
)
(
)
r
sin 2 i − n12 − n22 F  
 dr 
a
Avec sin i = n1 cos θ0 , cette équation peut encore s’écrire :   =
2
2
n1 − sin i
 dz 
dr
Le rayon limite correspond au cas où
s’annule pour r = a , soit sin 2 imax = n12 − n22 , ce qui
dz
correspond effectivement à la même expression de l’ouverture numérique qu’à la question 3).
2
(
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)
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Devoir surveillé n°5 -2
10 – En considérant le portrait de phase associé à [1], montrer que la trajectoire des rayons,
r ( z ) , est une fonction périodique de z.
(
)
r
n12 cos 2 θ0 − n12 − n22 F  
 dr 
 dr 
a.
Considérons le graphe  r ,
 avec   =
2
2
n1 sin θ0
 dz 
 dz 
r
F   étant monotone croissante sur [0, 1], il existe une valeur rmax
a
2
de r, telle que
2
2
dr
 r  n cos θ0
F  max  = 1 2
, pour laquelle
= 0 . Pour la valeur de z correspondante, la fonction r ( z )
2
dz
n1 − n2
 a 
présente donc un maximum et ne peut alors que décroître jusqu’à r = 0 , puis prendre des valeurs
négatives de façon symétrique jusqu’à ce que de nouveau la dérivée s’annule. Les conditions aux
limites étant de nouveau les mêmes, nous en déduisons que la fonction r ( z ) est nécessairement une
fonction périodique de z.
Note : mais quel rapport avec le concept de portrait de phase ?
11 – Dans une fibre à gradient d’indice de longueur L, la différence de temps de parcours
2
1  n − n2  L
entre le trajet minimal et le trajet maximal est ∆T ′ = n1  1
 . Déduire de cette relation
2  n1  c
le débit numérique maximal. Exprimer et calculer
grad.ind.
Rmax
.
saut
Rmax
2
grad.ind.
max
R
1
2  n1  c
=
= 
= 416 Mbit ⋅ s −1

∆T ′ n1  n1 − n2  L
grad.ind.
Rmax
2n
= 1 = 63 . Les fibres à gradient d’indice permettent un débit maximal bien plus élevé.
saut
Rmax
∆
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