Bewertung von Anleihen Arithmetik der Anleihebewertung

Bewertung von Anleihen
Arithmetik der Anleihebewertung: Überblick
• Zerobonds und Kouponanleihen
• Zinskurven: Spot Zinsen und Yield to Maturity
• Day count Konventionen
• Replikation und Arbitrage
• Forward Zinsen
• Yield und ex post realisierte Rendite
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Zerobonds oder „Strips“
• Zahlungsstrom eines Zerobonds
t
t+n
Erhalte 100 DM
Zahle pn
n: Laufzeit in Jahren
3
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Spotrates
• Die Spotrate ist die Rendite (yield) des Zeros:
pn =
pn =
100
(1 + yn )n
jährliche Verzinsung
(Annual compunding)
halbjährliche Verzinsung
100
(semianual compounding)
2n
(1 + yn / 2)
pn =
100
e yn n
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kontinuierliche Verzinsung
(continuous compunding)
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Verzinsungsfrequenz und Vermögensentwicklung
• Endvermögen nach einem Jahr in Abhängigkeit von
Zinsfrequenz
Zinstermine p.a.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100
unendlich
Zins
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
Endvermögen
110,00
110,25
110,34
110,38
110,41
110,43
110,44
110,45
110,46
110,46
110,51
110,52
Formel
100*(1+10%)
100*(1+5%)(1+5%)
100*(1+3,33%)(1+3,33%)(1+3,33%)
...
...
...
...
...
...
...
...
100*exp(10% * 1)
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Diskontfaktor
• Der Diskontfaktor ist der Preis einer zukünftigen DM
dn =
pn
1
=
100 (1 + yn ) n
Beispiel:
Laufzeit
1
2
3
4
5
6
Zerobondpreis Diskontfaktor
95,69
0,957
90,70
0,907
83,96
0,840
77,73
0,777
76,51
0,765
75,48
0,755
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Zerorate
4,5%
5,0%
6,0%
6,5%
5,5%
4,8%
6
Bewertung von Kouponanleihen
• Kouponanleihen sind Ansprüche auf feststehende zukünftige
Zahlungen:
t
t+1
t+2
t+n
• Kouponanleihen können durch Zerobonds repliziert werden
=> Preis(Kouponanleihe) = Preis (Replikationsportfolio)
Pr eis = d1c1 + d 2 c2 + d 3c3 + d 4 c4 + ...d n cn +
=
c1
c2
c3
+
+
+ ...
2
(1 + y1 ) (1 + y2 ) (1 + y3 ) 3
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Prinzip der arbitragefreien Bewertung
• Schritt 1: finde Replikationsportfolio
= identischer Zahlungsstrom, durch Portfolio aus anderen
gehandelte Wertpapiere gebildet
• Schritt 2: Bewertung nach Arbitragefreiheitsprinzip
Wenn Preis der Kouponanleihe ≠ Preis des Replikationsportfolio
=> risikoloser Arbitragegewinn durch
Kauf (Verkauf) der Kouponanleihe
+ Verkauf (Kauf) des Replikationsportfolios
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Ableitung von Spotraten aus Kouponbondpreisen
• Beispiel:
Laufzeit
1
2
3
4
Koupon
6%
8%
4%
5%
Preis
101,4
105,6
94,8
95,1
• Rekursive Ableitung der Diskontfaktoren:
101,4 = d1 * 106 => d1 = 0,957
105,6= d1 * 8 + d2 * 108 => d2 = 0,907
94,8 = d1 * 4 + d2 * 4 + d3 * 104 => d3 = 0,84
95,1 = d1 * 5 + d2 * 5 + d3 * 5 + d4 * 105 => d4 = 0,777
• Ableitung der Zeroraten aus d n =
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1
(1 + yn )n
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Implizieren Zerobondpreise und Kouponbondpreise die
gleiche Spotkurve?
• Proposition:
Es existiert eine risikolose Arbitragemöglichkeit , wenn die
beiden Zinsstrukturkurven nicht übereinstimmen
• Realität:
geringe Abweichungen aufgrund:
- Bid-Ask-Spread
- nicht synchrone Preisdaten
- Kosten der Arbitrage (insbesondere des Shortselling)
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Rendite einer Anleihe (Yield to Maturity)
• Yield to Maturity ist der interne Zins einer Anleihe:
0 = − Pr eis +
c1
c1
c3
+
+
+ ...
2
(1 + y ) (1 + y ) (1 + y ) 3
Beispiel: 2 jährige Anleihe, 8% Koupon
0 = -105,6 + 8/(1+y) + 108/(1+y)2 => y=4,988%
(Spotrate y2 = 5%)
Anmerkung: Yield hängt von Kouponhöhe ab (!)
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Par Yields (Zinsstrukturkurve von Kouponanleihen)
• Finde Kouponhöhe, so daß Wert der Kouponanleihe = 100
100 = Koupon (d1 + d2 + d3 + ...dn-1) + (100+Koupon) * dn
=> Zinsstrukturkurve von Kouponanleihen, die zum
Nominalwert (100) gehandelt werden
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Vergleich von Spotzinskurve und Yieldkurve (Beispiel)
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Schätzung von Zinsstrukturkurven in der Praxis
„Fitting“ einer Funktion (z.B. Polynom) an empirische Daten
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Forwardzinsen
• Einperiodiger Forwardzins = Zins eines heute vereinbarten
zukünftigen einperiodigen Kredit-/Anlagegeschäfts
t+n
t
Z.B. Forward Kredit:
t+n+1
Erhalte
100
1+ fn
Zahle 100
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Ableitung des Forwardzinses aus Arbitragefreiheitsbedingung
• Synthetische Generierung durch Zeros:
t
t+n
- pn+1
+x*pn
x*100
t+n+1
+100
• Wähle x so, daß sich Zahlungen in t zu null saldieren:
=> - pn+1 + x*pn = 0 => x = pn+1 / pn
• Berechnung des Zinses des synthetischen Forwardgeschäfts:
pn +1
x *100 * ( 1 + f n ) = 100
*(1 + fn ) = 1
pn
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fn =
pn − pn +1
pn +1
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Ableitung der Forwardzinsstruktur aus Zerozinsstruktur
Laufzeit
1
2
3
4
5
6
Zerobondpreis
95,69
90,70
83,96
77,73
76,51
75,48
Zerorate
4,5%
5,0%
6,0%
6,5%
5,5%
4,8%
Forwardrate
n.a.
5,50%
8,03%
8,01%
1,59%
1,37%
fn =
pn − pn +1
pn +1
• Approximativ gilt: Spotraten sind Durchschnitte von Forwards*)
z.B. y3 = 6%
≈ ( f 0 + f1 + f 2 )
= 4,5% + 5,5% + 8,03%) / 3 = 6,01%
*)
!
f 0 = y1
exakt für kontinuierliche Verzinsung
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Alternative Herleitung von Forwardzinsen
• Anlage in n-jährigen Zerobond bringt gleiches
Endvermögen wie revolvierende einperiodige Anlagen
zum Forwardzins
(1 + y1 ) = (1 + f 0 ) = (1 + y1 )
(1 + y2 ) 2 = (1 + f 0 )(1 + f1 )
(1 + y3 )3 = (1 + f 0 )(1 + f1 )(1 + f 2 )
(1 + y4 ) 4 = (1 + f 0 )(1 + f1 )(1 + f 2 )(1 + f 3 )
...
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Erwartungstheorie des Zinses
Forwardzins = erwarteter zukünftiger Spotzins
fn = E (y1) in Zeitpunkt n
„einperiodiger Zerobondzins in Zeitpunkt n“
• risikoneutraler Kapitalmarkt
=> revolvierende n-periodige Anlage muß gleichen
erwarteten Endwert wie n-periodiger Zerobond aufweisen
=> Erwartungstheorie muß gelten
• risikoaverser Kapitalmarkt => Geltung der Erwartungstheorie offen
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Andere Zinstheorien
• Liquiditätspräferenztheorie
Anleger beforzugen kurze Laufzeiten
Kurzfristige Zinsen in der Regel geringer als langfristige „normale“ Zinsstruktur
• Preferred Habitat Theorie / Theorie segmentierter
Märkte
Verschiedene Schuldner/Anlager haben unterschiedliche
Laufzeitpräferenzen
Steigung der Zinsstrukturkurve beliebig / im Extremfall kein
Zusammenhang mit Erwartungen der Marktteilnehmer (
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Zinsstrukturkurven
Zins
„Inverse“ Zinsstruktur
„Normale“ Zinsstruktur
Laufzeit
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Spotkurve und Forwardkurve: Beispiel
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Realisierte Rendite = versprochene Rendite ?
Mögliche Vermögensentwicklung bei Anlage in Anleihen
T
Zeit
Kursrisiko
Wiederanlagerisiko
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Ex ante Rendite (Yield) und ex post realisierte Rendite
• Realisierte Rendite von Zerobonds
1. Bis Laufzeitende: yn (Ex post Rendite = Yield)
2. Kürzerer Zeithorizont: Ex post Rendite von
Verkaufserlös, d.h. von zukünftiger Zinsentwicklung
abhängig
• Realisierte Rendite von Kouponbonds
Erfolg der Wiederanlage der Koupons abhängig von
zukünftigen Zinsen => Ex post Rendite ≠ Yield
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Zusammenfassung (1)
• Folgende Daten stellen äquivalente, vollständige
Charakterisierungen der Zinsstruktur dar:
- Preise von Zerobonds
(jeweils für alle Laufzeiten)
- Diskontfaktoren
- Zerobondzinsen
- Forwardzinsen
- Yield to Maturity von Bonds, die zum Nominalwert
gehandelt werden („Par bonds“)
• Koupon Bonds mit verschiedenen Koupons weisen bei fairer
Bewertung unterschiedliche Yields auf
=> Yield to Maturity kein Indikator für „Investitionsentscheidung“
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Zusammenfassung (2)
• Alle Finanzinstrumente mit feststehenden Zahlungströmen
können mit Zerobonds repliziert und aufgrund des
Arbitragefreiheitsprinzip bewertet werden
• Im allgemeinen divergieren Yield und ex post realisierte
Rendite
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