La géométrie des vecteurs

Vecteurs géométriques
Addition et soustraction des vecteurs
Propriétés de l’addition des vecteurs
La géométrie des vecteurs
MAT 1739 X Été 2010
Département de mathématiques et de statistique
Université d’Ottawa
MAT 1739 X La géométrie des vecteurs
Vecteurs géométriques
Addition et soustraction des vecteurs
Propriétés de l’addition des vecteurs
Plan
1
Vecteurs géométriques
2
Addition et soustraction des vecteurs
3
Propriétés de l’addition des vecteurs
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Vecteurs géométriques
Addition et soustraction des vecteurs
Propriétés de l’addition des vecteurs
Vecteurs géométriques
A partir de ce chapitre aux chapitres suivants, nous allons
étudier les vecteurs.
Le chapitre 6 donne un point de vue géométrique des
vecteurs et le chapitre 7 donne un point de vue algébrique
des vecteurs.
Tout d’abord, il faut distinguer les scalaires et les vecteurs.
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Vecteurs géométriques
Definition
Un scalaire est une quantité qui décrit la grandeur ou la
taille seulement.
Elle ne comprend pas de direction.
Les exemples de scalaires comprennent le nombre, la
température, la surface, la distance, la vitesse, la masse.
Definition
Un vecteur est une quantité qui a à la fois la longueur et la
direction.
Les exemples de vecteurs comprennent le déplacement, la
vitesse, la force.
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Vecteurs géométriques
Géométriquement, nous représentons un vecteur comme
une flèche.
La longueur de la flèche représente la longueur du vecteur
et la direction de la flèche représente la direction du
vecteur.
Nous noterons le vecteur dans le diagramme suivant
−→
comme AB, où A est le point de départ (queue) et B est le
point final (tête).
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Vecteurs géométriques
−→
−→
La longueur du vecteur AB est notée par kABk.
Nous pouvons également utiliser ~v pour noter un vecteur
et utiliser k~v k pour noter la longueur du vecteur.
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Propriétés de l’addition des vecteurs
Vecteurs géométriques
Le concept suivant est crucial pour les opérations vectorielles.
Definition
Les vecteurs équivalents ont la même longueur et la même
direction.
La notion des vecteurs équivalents dit que l’emplacement
des vecteurs n’a pas d’importance.
Ainsi, nous pouvons déplacer les vecteurs pour répondre à
nos besoins aussi longtemps que nous gardons la
longueur et la direction des vecteurs.
−→ −→
Par exemple AB = CD dans le diagramme suivant.
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Propriétés de l’addition des vecteurs
Vecteurs géométriques
Definition
Les vecteurs opposés ont la même longueur, mais la direction
opposée.
−→
−→
Par exemple AB = −CD dans le diagramme suivant.
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Propriétés de l’addition des vecteurs
Vecteurs géométriques
Definition
Les vecteurs parallèles ont la même direction ou direction
opposée, mais pas nécessairement la même longueur.
−→ −→ −→ −→ −→ −→
Par exemple AB k CD k EF (AB, CD, EF sont parallèles) dans
le diagramme suivant.
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Propriétés de l’addition des vecteurs
Addition et soustraction des vecteurs
Étant donné deux vecteurs ~a et ~b, nous pouvons définir
~ qui est un nouveau vecteur obtenu
l’addition vectorielle ~
a+b
comme suit :
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Propriétés de l’addition des vecteurs
Addition et soustraction des vecteurs
Méthode du triangle :
1- La queue de ~b touche la tête de ~a (à cause des vecteurs
équivalents, nous pouvons déplacer le vecteur ~b ).
2- Tracer le vecteur dont la queue est la queue de ~a et dont la
tête est la tête de ~b.
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Addition et soustraction des vecteurs
Méthode Parallélogramme :
1- Connecter les queues de ~a et ~b (à cause des vecteurs
équivalents, nous pouvons déplacer le vecteur ~b).
2- Compléter le parallélogramme qui a ~a et ~b comme deux de
ses côtés.
3- Tracer la diagonale indiquée du parallélogramme.
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Addition et soustraction des vecteurs
Une addition vectorielle est une opération importante de
vecteurs.
Utilisant l’opération d’addition vectorielle et le concept des
vecteurs opposés, nous pouvons définir la soustraction
vectorielle comme suit :
Étant donnés deux vecteurs ~a et ~b, nous pouvons définir la
~=~
soustraction vectorielle ~
a−b
a + (−~
b).
Puisque l’illustration graphique de la soustraction des vecteurs
est similaire à celle de l’addition des vecteurs, s’il vous plaît voir
manuel page 319.
Ainsi, on a un ensemble des vecteurs et une loi interne pour
faire des opérations sur les éléments de cet ensemble :
l’addition des deux vecteurs donne un nouveau vecteur.
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Propriétés de l’addition des vecteurs
Il existe quatre propriétés (axiomes) principales de l’addition
vectorielle (et de la soustraction vectorielle) comme suit :
Propriété de l’associativité : (l’addition vectorielle + est
associative)
(~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c )
Propriété de la commutativité : (l’addition vectorielle +
est commutative)
~a + ~b = ~b + ~a
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Propriétés de l’addition des vecteurs
Propriétés de l’addition des vecteurs
Propriété de l’identité : (l’existence de l’identité ~0 pour
l’addition vectorielle + tel que pour tout ~a)
~a + ~0 = ~0 + ~a = ~a
Ici ~0 est le vecteur zéro défini comme ayant une longueur
zéro et n’ayant pas de direction spécifique.
Propriété du vecteur opposé −~a de ~a : Pour tout vecteur
~a, il existe un vecteur ~b, appelé vecteur opposé de ~a tel
que
~a + ~b = ~b + ~a = ~0
le vecteur opposé ~b est noté par −~a
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Propriétés de l’addition des vecteurs
Propriétés de l’addition des vecteurs
Toutes ces propriétés peuvent être appuyées à l’aide de la
représentation géométrique des vecteurs et la méthode du
triangle (ou la méthode du parallélogramme) d’addition
vectorielle.
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Propriétés de l’addition des vecteurs
Exemple
Simplifier les expressions vectorielles suivantes en utilisant les
propriétés de l’addition et de la soustraction vectorielle.
(a)
(~u + ~v ) − ~u
(~v + ~u ) − ~u
=
+ est commutative
~v + (~u − ~u )
+ est associative
~v + (~u + (−~u ))
soustraction: addition d’un vecteur opposé −~u
~v + ~0
=
~v .
=
=
=
addition d’un vecteur identité ~0
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Exemple (suite)
(b)
=
=
=
(~p + ~q ) − ~p − ~q
(~q + ~p) − ~p − ~q
+ est commutative
~q + (~p − ~p) − ~q
+ est associative
~q + (~p + (−~p)) − ~q
soustraction: addition d’un vecteur opposé −~p
=
(~q + ~0) − ~q
=
=
~q − ~q
addition d’un vecteur identité ~0
~q + (−~q )
soustraction: addition d’un vecteur opposé −~q
=
~0.
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