5 OSCILLATEURS MÉCANIQUES

5 OSCILLATEURS MÉCANIQUES
Si l’on consacre un chapitre à étudier un système aussi simple qu’une masse accrochée à un
ressort c’est que ce système mécanique permet d’introduire un concept important aussi bien en
mécanique que dans de nombreux autres domaines de la science (chimie, physique des matériaux,
électricité, génie civil etc) : l’oscillateur. L’essentiel de ce chapitre est donc consacré à l’étude de
l’oscillateur harmonique en régime libre et forcé puis on termine par une introduction aux effets non
linéaires.
Ce chapitre est accessible en ligne à l’adresse :
http://femto-physique.fr/mecanique/meca_C5.php
Sommaire
5.1
5.2
5.3
Notion d’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Pendule élastique non amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Pendule élastique amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Régime libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Résonance d’élongation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Résonance de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Aspects énergétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Effets anharmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Approximation harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Anharmonicités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Méthode des perturbations appliquée aux oscillateurs non linéaires . . . .
74
75
75
77
78
81
81
82
84
85
87
87
89
91
CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES
5.1
75
Notion d’oscillateur harmonique
5.1.1 Pendule élastique non amorti
Le pendule élastique est un système constitué d’un ressort de masse négligeable dont une extrémité
est fixée et auquel on a attaché une masse ponctuelle m libre de se mouvoir. Le ressort a pour
constante de raideur k et une longueur à vide ¸0 . De plus, nous supposons que la masse est astreinte
à se déplacer suivant un axe horizontal sans frottement (voir figure ci-dessous). On a alors un système
à un degré de liberté qui est amené à osciller comme nous allons le démontrer.
¸0 + x
≠
æ
T
¸0
Équation du mouvement
Dans le référentiel d’étude considéré galiléen, la force de pesanteur est compensée par la réaction du
support puisqu’il n’y a pas d’accélération verticale. Pour le mouvement horizontal, la tension du
ressort produit une force de rappel
æ
≠
T = ≠k(¸ ≠ ¸0 ) ≠
uæ
x
où ¸ désigne la longueur du ressort. La position d’équilibre correspond donc à une longueur ¸eq = ¸0 .
On désigne par x = ¸ ≠ ¸eq l’allongement du ressort par rapport à la situation au repos. Dans ce cas,
on a
æ
≠
T = ≠kx ≠
uæ
x
La seconde loi de Newton donne md2 x/dt2 = ≠kx d’où l’équation différentielle
ẍ + Ê02 x = 0
avec
Ê0 =
Ú
k
m
[rad.s≠1 ]
¸
(5.1)
Il s’agit de l’équation caractéristique d’un oscillateur harmonique.
Propriétés
Avant de trouver les solutions de cette équation différentielle, il est intéressant d’en dégager quelques
propriétés :
¶ L’équation (5.1) est invariante par la transformation t ‘æ ≠t ce qui traduit la réversibilité du
phénomène.
¶ On note également une invariance par la transformation x ‘æ ≠x ce qui signifie que les oscillations
sont symétriques autour de la position d’équilibre.
¶ Enfin, l’analyse dimensionnelle de l’équation différentielle montre que [Ê0 ] = T≠1 : il existe donc
une durée de l’ordre de 1/Ê0 qui est caractéristique du phénomène d’oscillation.
CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES
76
Solution
La solution de l’équation différentielle (5.1) s’écrit
x(t) = A cos (Ê0 t + Ï)
Avec A et Ï, deux constantes d’intégration que l’on obtient grâce à deux conditions initiales. Comme
T0 =
x(t)
A
2fi
Ê0
t
≠A
Figure 5.1 – Oscillations harmoniques.
l’illustre la Figure 5.1, le système se met à osciller (si on l’écarte de sa position d’équilibre x = 0)
avec une amplitude A et à une fréquence, dite fréquence propre
Ê0
1
‹0 =
=
2fi 2fi
Ú
k
m
(5.2)
¸
On notera que la fréquence propre dépend des caractéristiques du pendule élastique (k et m) mais
non de l’amplitude des oscillations : on parle d’isochronisme des oscillations.
Exercice
Un conducteur de masse m = 80 kg monte dans sa voiture vide ; les amortisseurs s’enfoncent
alors de 4 cm. La masse de tout ce qui se trouve sur les ressorts est alors de 1000 kg. Dans
l’approximation harmonique, le système voiture-conducteur se comporte comme un oscillateur.
Donnez sa fréquence propre.
REP : Lorsque le conducteur s’installe dans la voiture, son poids produit une contraction des
ressorts qui doivent exercer une tension supplémentaire pour compenser ce poids. Cette tension
supplémentaire s’exprime par 4k x où k désigne la constante de raideur d’un amortisseur et x
la contraction des ressort. À l’équilibre, on a
mg = 4k x
=∆
k=
mg
= 4900 N.m≠1
4 x
1
La fréquence propre du système masse-ressort vaut f0 = 2fi
trouve environ 0,7 Hz.
Ò
4k
M avec M la masse totale. On
CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES
77
Aspects énergétiques
Du point de vue énergétique, cet oscillateur transforme l’énergie élastique en énergie cinétique et
vice versa. L ’énergie potentielle élastique vaut
1
1
Ep = kx2 = kA2 cos2 (Ê0 t + Ï)
2
2
alors que l’énergie cinétique s’écrit
1
1
Ec = mẋ2 = kA2 sin2 (Ê0 t + Ï)
2
2
On vérifie que l’énergie mécanique du pendule élastique Em = Ec + Ep = 12 kA2 reste constante
puisque les forces qui travaillent sont conservatives.
À retenir
L’énergie mécanique d’un oscillateur harmonique est proportionnelle au carré de l’amplitude.
5.1.2 Pendule élastique amorti
En réalité, la présence des frottements dissipe l’énergie initialement fournie à l’oscillateur. On assiste
alors à un phénomène d’amortissement qui se caractérise,
1. soit par une diminution de l’amplitude des oscillations au cours du temps ;
2. soit par un retour à l’équilibre sans oscillation.
La modélisation des forces de frottement est plus ou moins complexe :
¶ Pour des frottements de type visqueux, on choisit généralement, en première approximation, un
modèle de frottement linéaire en vitesse : f = ≠–v. Parfois une modélisation plus réaliste exige
d’utiliser un modèle quadratique du type f = ≠– |v| v ce qui présente l’inconvénient de donner
une équation différentielle non linéaire.
¶ Pour des frottements solides, on utilisera les lois d’Amontons-Coulomb sur le frottement.
Nous nous contenterons ici de traiter le pendule élastique en présence de frottements visqueux modélisés par f = ≠–ẋ où – désigne le coefficient de frottement. L’équation du mouvement s’écrit
mẍ + –ẋ + kx = 0
et, si l’on pose
Ê0 =
elle devient
Ú
k
[rad.s≠1 ]
m
et
·=
m
[s]
–
ẋ
+ Ê02 x = 0
(5.3)
·
C’est l’équation caractéristique d’un oscillateur harmonique linéairement amorti. Par rapport à
l’oscillateur harmonique on note la présence d’un terme supplémentaire (ẋ/· ) que l’on appelle terme
dissipatif car à l’origine de la dissipation d’énergie. L’analyse dimensionnelle de l’équation montre
ẍ +
CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES
78
que le paramètre · est homogène à un temps. Nous verrons que · représente l’ordre de grandeur
du temps d’amortissement des oscillations (quand il y en a). Enfin, avec · et Ê0 il est possible de
former un nombre sans dimension Q appelé facteur de qualité. Par définition,
Q © Ê0 ·
(5.4)
¸
In fine, le comportement d’un oscillateur harmonique linéairement amorti est complètement décrit
par la donnée de Ê0 et Q puisque l’équation différentielle s’écrit
ẍ +
Ê0
ẋ + Ê02 x = 0
Q
¸
(5.5)
Remarque : On retrouve l’oscillateur harmonique lorsque Q æ Œ. Plus Q est grand donc, moins
l’oscillateur est amorti.
Propriétés
¶ L’équation (5.5) n’est plus invariante par la transformation t ‘æ ≠t. En d’autres termes, le
phénomène est irréversible.
¶ Le phénomène est caractérisé par par la présence de deux temps caractéristiques : · donne l’ordre
de grandeur de l’amortissement alors que 1/Ê0 est un ordre de grandeur de la durée entre deux
oscillations.
5.1.3 Régime libre
L’équation (5.5) admet des solutions de la forme x(t) = A er t avec r solution de l’équation caractéristique
Ê0
r2 + r + Ê02 = 0
Q
!
"
dont le discriminant s’écrit = Ê02 1/Q2 ≠ 4 . Suivant le signe du discriminant, on distingue trois
régimes différents.
Régime pseudo-périodique : Q >
1
2
Dans ce cas, le discriminant de l’équation caractéristique est négatif et les racines sont complexes :
Ú
Ê0
1
r=≠
± iÊ
avec
Ê = Ê0 1 ≠
2Q
4Q2
La solution réelle est donc de la forme
0t
≠ 2Q
x(t) = e
Ê
[A cos Êt + B sin Êt]
L’oscillateur oscille avec une amplitude qui s’amortie exponentiellement au cours du temps (cf.
figure 5.2). Puisque l’amplitude diminue au cours du temps, on ne peut plus parler de phénomène
CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES
79
périodique. Cependant, il est d’usage de définir la durée T entre deux maxima successifs, qui est
aussi la période de cos(Êt). Cette durée T est appelée pseudo-période et vaut
T=
2fi
T0
=
Ê
1 ≠ 1/(4Q2 )
La figure 5.2 illustre également l’évolution de l’énergie mécanique de l’oscillateur au cours du temps.
La décroissance observée s’explique par la dissipation des forces de frottement et vérifie l’équation
d’évolution
dEm
= ≠–ẋ2 Æ 0
dt
1
1
2
2
1 Em = 2 kx + 2 mv
x
1
t (s)
10
20
30
40
-1
t (s)
10
20
30
40
Figure 5.2 – Évolution de x et de l’énergie mécanique au cours du temps pour un pendule élastique
en régime pseudo-périodique. On a choisi une masse m = 1 kg, une pulsation propre Ê0 = 1 rad.s≠1
et un facteur de qualité Q = 10. Les conditions initiales sont x(0) = 0 et ẋ(0) = 1, 5.
Régime critique : Q =
1
2
Le discriminant de l’équation caractéristique est nulle et la racine est double : r = ≠Ê0 . La solution
s’écrit alors
x(t) = [A + Bt]e≠Ê0 t
L’oscillateur atteint l’équilibre sans osciller (on dit qu’il n’ y a pas dépassement). On peut montrer
que le retour à l’équilibre est ici le plus rapide sans dépassement 1 .
Régime apériodique : Q <
1
2
Le discriminant de l’équation caractéristique est positif et les solutions sont réelles :
Ú
Ê0
1
r=≠
±⌦
avec
⌦ = Ê0
≠1
2Q
4Q2
1. Si l’on souhaite que le système atteigne l’état d’équilibre le plus vite possible en limitant le dépassement à
±5%A par exemple, il faut se placer en régime pseudo-périodique avec un facteur de qualité Q ƒ 0, 35.
CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES
80
1
x
Em = 12 kx2 + 12 mv 2
0.5
t (s)
10
20
30
t (s)
40
10
20
30
40
Figure 5.3 – Évolution de x et de l’énergie mécanique au cours du temps pour un pendule élastique
en régime critique. On a choisi une masse m = 1 kg et une pulsation propre Ê0 = 1 rad.s≠1 . Les
conditions initiales sont identiques.
La solution est donc
x(t) = e
0t
≠ 2Q
Ê
Ë
A e⌦t + B e≠⌦t
È
L’oscillateur atteint l’équilibre sans osciller et très lentement (amortissement fort).
Em = 12 kx2 + 12 mv 2
x
10≠1
10≠1
t (s)
10
20
t (s)
2
4
6
8
10
Figure 5.4 – Évolution de x et de l’énergie mécanique au cours du temps pour un pendule élastique
en régime apériodique. On a choisi une masse m = 1 kg, une pulsation propre Ê0 = 1 rad.s≠1 et un
facteur de qualité Q = 1/10. Les conditions initiales sont identiques.
Finalement, on retiendra les idées simples suivantes : plus l’amortissement est important et moins il
y a d’oscillations. Un oscillateur perturbé, oscillera si Q > 1/2 ce qui est assez fréquent comme le
suggère la Table 5.1.
CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES
81
Table 5.1 – Quelques ordres de grandeurs du facteur de qualité.
Oscillateur
Facteur de qualité Q
circuit RLC sélectif
Diapason
terre, lors d’un tremblement de terre
corde de guitare
oscillateur à quartz
atome excité
≥ 100
≥ 103
≥ 103
≥ 103
104 ≠ 106
≥ 107
Application : la suspension automobile
Dans le domaine de l’automobile, le contrôle de la suspension et de l’amortissement
détermine le confort des passagers. Par exemple, les automobiles adoptent en général des
suspensions isochrones, c’est-à-dire à fréquence propre constante de la pleine charge à
la charge minimum. De plus on gagne en confort en imposant une fréquence propre de
l’ordre de 1 Hz ce qui correspond à la fréquence de la marche d’un être humain. Enfin,
comme on vient de le voir, le facteur de qualité joue un rôle important dans la réponse
d’un oscillateur en régime libre. Quand on cherche un retour à l’équilibre rapide sans
oscillation on a intérêt à ce que l’amortisseur produise un facteur de qualité Q proche de
1/2.
5.2
Résonances
Il est possible d’entretenir les oscillations d’un oscillateur à condition de lui fournir de l’énergie (en moyenne). Nous nous contenterons d’étudier le cas ou l’excitation est périodique et plus
particulièrement sinusoïdale 2 .
5.2.1 Généralités
Reprenons comme exemple le pendule élastique. Soumettons l’autre extrémité du ressort à un
déplacement sinusoïdal a cos(Êt) de fréquence ‹ = Ê/2fi connue. De plus on envisage la présence de
frottements visqueux que l’on modélisera par une force fx = ≠–ẋ.
¸(t)
a cos Êt
•
2. Le théorème de Fourier permet de trouver la réponse d’un oscillateur linéaire à une excitation périodique
quelconque.
CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES
82
La relation fondamentale de la dynamique projetée suivant l’axe horizontal donne
mẍ = ≠k(¸ ≠ ¸0 ) ≠ –ẋ
Fixons l’origine des x à la position de repos du régime libre. On a donc a cos Êt + ¸ = ¸0 + x d’où
l’équation du mouvement
–
k
ka
ẍ + ẋ + x =
cos(Êt)
m
m
m
équation de la forme :
Ê0
ẍ + ẋ + Ê02 x = Ê02 a cos(Êt)
¸
˚˙
˝
Q
¸
(5.6)
¸
˚˙
˝
oscillateur
excitation
avec Ê0 la pulsation propre et Q le facteur de qualité. Il s’agit d’une équation différentielle linéaire
avec un second membre sinusoïdal dont la solution se décompose en deux termes :
1. L’un étant la solution particulière, s’exprime comme un signal sinusoïdal de pulsation Ê ; c’est
le régime forcé.
2. L’autre terme, que nous désignons par régime transitoire, correspond à la solution de l’équation
homogène. On a vu qu’il y a trois régimes distincts selon la valeur du facteur de qualité. Dans
tous les cas réalistes, la présence de termes dissipatifs – même faibles – entraîne la disparition
du régime transitoire (d’où son nom) au bout d’un certain temps d’autant plus court que ·
est petit. Passé ce délai, seul persiste le régime sinusoïdal forcé.
Dans toute la suite, nous supposons que le régime transitoire est complètement dissipé et que seul
persiste le régime forcé :
x(t) = a1 cos(Êt) + a2 sin(Êt)
avec
t∫·
5.2.2 Résonance d’élongation
La méthode classique qui permet d’obtenir la solution particulière consiste à remplacer x(t) par
a1 cos(Êt) + a2 sin(Êt) dans l’équation différentielle pour en déduire les valeurs de a1 et a2 :
5
6
5
6
! 2
"
! 2
"
ÊÊ0
ÊÊ0
2
2
cos(Êt) a1 Ê0 ≠ Ê + a2
+ sin(Êt) a2 Ê0 ≠ Ê ≠ a1
= Ê02 a cos(Êt)
Q
Q
d’où l’on tire deux équations
ce qui donne finalement
Y
_
_
a1
_
_
_
_
_
]
_
_
a2
_
_
_
_
_
[
Y !
"
0
]a1 Ê02 ≠ Ê 2 + a2 ÊÊ
Q
"
[ ! 2
0
a2 Ê0 ≠ Ê 2 ≠ a1 ÊÊ
Q
1 ≠ u2
3 42
u
2
2
(1 ≠ u ) +
Q
u/Q
= a
3 42
u
2
2
(1 ≠ u ) +
Q
= Ê02 a
=0
= a
avec
u=
Ê
‹
=
Ê0
‹0
(5.7)
CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES
83
u désigne la fréquence réduite c’est-à-dire la fréquence rapportée à l’échelle de la fréquence propre.
En général, on préfère écrire les solutions harmoniques sous la forme A cos(Êt + Ï). Compte tenu du
fait que
Y
Ò
_
_
A
=
a21 + a22
]
a1 cos(Êt) + a2 sin(Êt) = A cos(Êt + Ï) avec
_
_
[tan Ï = ≠a2/a
1
l’élongation s’écrit
x(t) = A cos (Êt + Ï)
avec
Y
]
A
[ tan Ï
=
=
Ò
a
! "2
u
(1≠u2 )2 + Q
u
Q(u2 ≠1)
L’amplitude A, comme la phase Ï, varie donc avec la fréquence de l’excitation.
Q=8
Amplitude réduite
A(Ê)
a
8
6
4
Q=4
2
Q=2
Ô
Q = 22
0
Q = 1/10
0
0.5
1
1.5
Fréquence réduite
2
2.5
Ê
Ê0
Figure 5.5 – Réponse fréquentielle de l’amplitude d’un oscillateur vis à vis d’une excitation
sinusoïdale.
La Figure 5.5 représente l’évolution de l’amplitude des oscillations en fonction de la fréquence pour
différentes valeur du facteur de qualité. On constate que si le facteur de qualité est suffisamment
grand, l’amplitude des oscillations passe par un maximum : c’est la résonance en élongation.
On montre sans difficulté que :
¶ la résonance n’a lieu que si Q >
¶ la fréquence de résonance vaut
Ô
2
2
;
Ú
1
2Q2
et si Q > 5, on fait une erreur inférieure à 1% en écrivant ‹r ƒ ‹0 ;
‹r = ‹0
1≠
CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES
84
¶ l’amplitude des oscillations à la fréquence propre ‹0 vaut Qa d’où le phénomène d’amplification
d’élongationÔ
avec un ressort de grand facteur de qualité ;
2/2, l’amplitude des oscillations vaut a sur une grande bande de fréquence (à basse
fréquence), ce qui confère au ressort un comportement identique à celui d’une tige rigide.
¶ lorsque Q =
Applications
L’amplification –par le facteur de qualité– des oscillations d’élongation à la résonance peut être à
l’origine d’effets néfastes comme la destruction d’habitations suite à un séisme. Elle peut aussi être
recherchée pour construire des appareils sensibles à l’instar des sismographes.
Par ailleurs, la réponse en fréquence d’un oscillateur permet d’accéder à la raideur de l’oscillateur et
donc à la force de la liaison. Par exemple, la réponse fréquentielle d’une molécule vis-à-vis d’une onde
électromagnétique permet de remonter aux caractéristiques de la liaison chimique. Cette technique
d’analyse chimique s’appelle spectrométrie Infra Rouge.
5.2.3 Résonance de vitesse
On s’intéresse maintenant à la vitesse du pendule élastique. Sachant que
x(t) = Ú
a
(1 ≠ u2 )2 +
1 22 cos (Êt + Ï)
u
Q
avec
u=
Ê
Ê0
on obtient la vitesse v(t) par dérivation temporelle
aÊ
v(t) = ẋ(t) = Ú
(1 ≠ u2 )2 +
1 22 cos (Êt + Ï + fi/2)
u
Q
La vitesse est en quadrature de phase avec le déplacement. L’amplitude de la vitesse s’écrit :
V = AÊ = Ú
aÊ
a QÊ0
1 22 = Ò
# !1
"$2
1+ Q u ≠u
(1 ≠ u2 )2 + u
Q
Comme on peut le voir sur la Figure 5.6, l’amplitude de la vitesse passe par un maximum : c’est la
résonance en vitesse. Ce phénomène se produit à la fréquence ‹ = ‹0 quelle que soit la valeur de Q.
La bande passante ‹ est définie par l’intervalle de fréquence tel que V Ø VÔmax . On montre que la
2
bande passante est reliée simplement au facteur de qualité par la relation
‹0
=Q
‹
¸
(5.8)
La résonance est donc d’autant plus aigüe que Q est grand ce qui explique pourquoi le facteur Q est
aussi appelé facteur d’acuité de la résonance.
CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES
85
Bande passante
Réponse fréquentielle en vitesse
Q=8
Vmax
6
VÔ
max
2
4
Q=4
2
Q=2
Bande Passante
Vitesse réduite
V
aÊ0
8
Q=1
0
0
0.5
1
1.5
Fréquence réduite
2
2.5
Ê
Ê0
Figure 5.6 – Évolution de l’amplitude de la vitesse en fonction de la fréquence pour différentes
valeur du facteur de qualité.
Remarque : Nous avons vu que le facteur de qualité était lié au temps de relaxation · par la
relation Q = Ê0 · . La relation précédente entre bande passante et facteur de qualité permet de
relier temps de relaxation et bande passante :
‹=
1
2fi·
Autrement dit, un oscillateur qui possède une réponse fréquentielle très sélective est aussi un
oscillateur qui possède un grand temps de réponse : sélectivité et inertie vont de paire.
5.2.4 Aspects énergétiques
Pour entretenir les oscillations d’un oscillateur harmonique il faut fournir de l’énergie en moyenne
comme nous allons le montrer et ceci, d’autant plus que les frottements son importants.
a cos Êt
æ
≠
f op
•
E
¸(t)
≠
æ
TÕ
Reprenons l’étude du pendule élastique mis en mouvement par une excitation harmonique de son
extrémité E : xE = a cos Êt. Au niveau de l’extrémité E, deux forces agissent :
≠
æ
æ
≠
1. la tension élastique T Õ = ≠ T = kx(t) ≠
uæ
x ;
CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES
86
æ
≠
2. la force qu’exerce l’opérateur pour entretenir le forçage sinusoïdal : f op .
≠
æ æ
æ
≠
æ
≠
≠
Le point E étant sans masse, on a f op + T Õ = 0 ce qui donne f op = ≠kx(t) ≠
uæ
x . La puissance
fournie par l’opérateur vaut alors
æ
≠
≠
Pop = f op · æ
v E = k a Ê x(t) sin Êt
Par ailleurs, en régime sinusoïdal forcé on a x(t) = a1 cos Êt + a2 sin Êt, d’où
!
"
Pop = k a Ê a1 sin Êt cos Êt + a2 sin2 Êt
+
,
La puissance fournie oscille à la pulsation 2Ê autour d’une valeur moyenne Pop . Sachant que
Èsin Êt cos ÊtÍ = 0 et Èsin2 ÊtÍ = 1/2, on trouve
ÈPop Í =
kaÊ
a2 > 0
2
car
a2 > 0
Ainsi, en moyenne, l’opérateur doit fournir de l’énergie à l’oscillateur pour entretenir les oscillations.
Notons également que la puissance moyenne ÈPop Í est proportionnelle à a2 qui représente l’amplitude
des oscillations en quadrature de phase avec l’excitation.
Poursuivons notre calcul en remplaçant a2 par son expression (5.7) :
ÈPop Í =
=
=
ÈPop Í =
ka2
Êu/Q
2 (1 ≠ u2 )2 + (u/Q)2
ka2 Ê0 Q
(u/Q)2
2
(1 ≠ u2 )2 + (u/Q)2
ka2 Ê0 Q
1
2
1 + [Q(1/u ≠ u)]2
k
V2
2Ê0 Q
La puissance fournie est proportionnelle au carré de l’amplitude de vitesse. Le facteur de qualité
étant lié au coefficient de frottement – par la relation Ê0 /Q = –/m, on peut réécrire la puissance
ÈPop Í :
–
ÈPop Í = V 2
(5.9)
2
Expression dans laquelle, le deuxième terme n’est rien d’autre que la puissance dissipée par les forces
de frottement (ÈPdiss Í = ≠ –2 V 2 ). On obtient donc la relation ÈPop Í + ÈPdiss Í = 0 qui traduit le fait,
qu’en moyenne, l’opérateur doit fournir de l’énergie pour compenser la dissipation d’énergie par les
frottements.
La relation (5.9) montre également que la puissance fournie obéit à un phénomène de résonance
lorsque la fréquence excitatrice vaut ‹0 . L’oscillateur absorbe alors une puissance maximum
ÈPop Ímax =
– 2
1
V
= Q m a Ê03
2 max 2
Il est intéressant de calculer l’énergie moyenne stockée par l’oscillateur et de la comparer à l’énergie
dissipée sur une période. À la résonance, ces deux énergies sont directement liées au facteur de
CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES
87
qualité Q. En effet, lorsque Ê = Ê0 , l’amplitude des oscillations vaut A = Qa et celle de la vitesse
V = AÊ0 de sorte que l’énergie dissipée sur une période s’écrit
Ediss
Ediss
2fi
Ê0
1
2fi
=
–V 2
2
Ê0
= fi–A2 Ê0
= ÈPop Í
alors que l’énergie mécanique stockée sous forme d’énergie cinétique et potentielle vaut, en moyenne,
1
ÈEm Í = kA2
2
Le rapport des ces deux énergies donne (en utilisant Ê0 /Q = –/m et Ê02 = k/m)
ÈEm Í
Q
=
Ediss
2fi
(5.10)
¸
Plus Q est grand et plus la part d’énergie stockée sous forme cinétique et potentielle est grande
devant l’énergie dissipée par période. On peut alors donner une interprétation énergétique du facteur
de qualité :
Facteur de qualité
Le facteur de qualité Q d’un système oscillant est 2fi fois l’énergie moyenne emmagasinée
dans le système divisée par l’énergie dissipée par cycle.
5.3
Effets anharmoniques
5.3.1 Approximation harmonique
Considérons un système mécanique conservatif à un degré de
liberté x dans une situation d’équilibre stable. L’énergie potentielle présente donc un puits de potentiel centré sur la position
d’équilibre. L’énergie mécanique s’écrit
1 2
µẋ + Ep (x) = Em
2
Ep
(5.11)
Ep,min + 12 Ÿ(x ≠ xeq )2
x
où µ est un scalaire positif représentant l’inertie. L’approximation E
p,min
harmonique est en général la première modélisation choisie quand
on veut décrire simplement les oscillations. Elle est utilisée pour décrire les vibrations moléculaires,
les vibrations d’un cristal etc. Elle consiste à approcher le puits de potentiel (de courbure non
nulle) par la parabole osculatrice. En effet, au voisinage d’un équilibre stable, un développement de
l’énergie potentielle à l’ordre deux, donne
1
Ep ƒ Ep (xeq ) + Ÿ(x ≠ xeq )2
2
avec
Ÿ=
d2 E p
(xeq ) > 0
dx2
CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES
88
En traduisant la conservation de l’énergie mécanique par dEm /dt = 0, on obtient
µẍ + Ÿ (x ≠ xeq ) = 0
Si l’on désigne par X = x ≠ xeq l’écart à l’équilibre, on obtient l’équation différentielle
Ẍ +
Ÿ
X =0
µ
caractéristique d’un oscillateur harmonique oscillant à la pulsation propre
Ê0 =
Ú
Ÿ
µ
¸
(5.12)
Ainsi, pour de petites élongations autour de l’équilibre, un puits de potentiel présentant un courbure
Ÿ positive, donnera lieu à un comportement d’oscillateur harmonique.
Remarque : Si Ÿ < 0, les solutions sont divergentes (Aert avec r > 0) ce qui correspond à une
position d’équilibre instable. On retrouve donc l’idée qu’un état d’équilibre instable est associé à
un profil d’énergie potentiel présentant un maximum local.
CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES
89
Exemple : Le pendule rigide
Considérons un pendule simple rigide de masse m et de longueur ¸ astreint à évoluer dans un
plan vertical. Il s’agit d’un système à un degré de liberté (◊ désigne l’écart angulaire) d’énergie
potentielle de pesanteur
Ep = ≠mg¸ cos ◊
présentant un puits de potentiel symétrique et centré en ◊ = 0.
Ep
≠
æ
g
mg¸
◊(t)
approximation
harmonique
¸
≠
æ
T
≠
uæ
◊
M(¸,◊)
◊
fi
≠fi
≠mg¸
≠
uæ
r
≠
æ
æ
P = m≠
g
Si l’on communique au pendule une énergie faible, celui-ci développera un régime d’oscillations
quasi-harmoniques puisque l’on peut approcher le puits de potentiel par une parabole (cos ◊ ƒ
1 ≠ ◊2 /2) :
1
Ep ƒ mgl◊2 + Cte =∆ Ÿ = mg¸
2
Alors que l’énergie cinétique s’écrit
Ec =
1
1
mv 2 = m¸2 ◊˙2
2
2
=∆
µ = m¸2
Ainsi, au voisinage de ◊ = 0 , on a
Ÿ
◊¨ + ◊ = 0
µ
l’angle oscille de façon harmonique à la pulsation propre
Ê0 =
Ú
Ÿ
=
µ
Ò
g
¸
valeur indépendante de la masse et de l’amplitude des oscillations. Cette dernière propriété n’est
valable que dans l’approximation harmonique, c’est-à-dire pour les petits angles.
5.3.2 Anharmonicités
Comme nous venons de le voir, l’approximation harmonique constitue souvent la première approche lorsque l’on étudie les petits oscillations autour d’un équilibre stable. En revanche, pour
les grandes amplitudes on sort du domaine de validité de cette approximation ce qui se traduit
par l’apparition dans l’équation différentielle de termes supplémentaires non linéaires dit termes
anharmoniques.
CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES
90
De manière générale, de tels oscillateurs peuvent se décrire par l’équation différentielle suivante :
ẍ +
ẋ
+ f (x) = 0
·
avec
f (x) ≠≠≠æ 0
(5.13)
xæ0
où x représente l’écart à la position d’équilibre et le terme ẋ/· modélise l’amortissement. Cette
équation peut s’interpréter comme l’équation du mouvement d’un point matériel de masse unité et
de coordonnée x, dans un puits de potentiel
⁄ x
Ep (x) =
f (xÕ ) dxÕ
0
La stabilité de l’oscillateur est garantie si Ep (x) présente un minimum en x = 0.
Cas du pendule simple
3
T /T0
Le pendule simple, comme nous l’avons vu, est régi par
une équation différentielle du type (5.13) avec f (x) = sin x.
Le puits de potentiel a tendance à s’évaser par rapport au
puits parabolique associé à l’approximation harmonique
ce qui signifie que les oscillations ralentiront par rapport
à des oscillations harmoniques. En d’autres termes, la période des oscillations, contrairement au cas de l’oscillateur
harmonique, augmente avec l’amplitude ◊max des oscillations. C’est ce qu’illustre la figure ci-contre en traçant
l’évolution de la période T en unité de T0 (période dans
l’approximation harmonique) en fonction de l’amplitude
des oscillations ◊max .
2
1
0
0
50
100
150 180
angle ◊max (°)
Cas de la liaison moléculaire
Considérons une molécule diatomique comme H2 , O2 , CO, etc. Bien que la stabilité d’un tel édifice
relève de la mécanique quantique, il est souvent plus simple, moyennant quelques approximations,
de décrire la liaison de façon phénoménologique. Philip Morse a proposé une énergie potentielle qui
décrit de façon satisfaisante la structure vibrationnelle d’une molécule diatomique. Dans ce modèle,
les deux atomes interagissent via une énergie potentielle d’interaction, dit potentiel de Morse, de la
forme
!
"
Ep = E0 e≠2ax ≠ 2e≠ax
où x désigne l’écart à l’équilibre et E0 l’énergie de dissociation de la molécule. Le profil de ce
potentiel, représenté sur la Figure 5.7 montre clairement une dissymétrie. Lorsque l’on développe
Ep (x) au voisinage de 0, on trouve
1
Ep ƒ ≠E0 + Ÿx2 ≠ ‘x3
2
avec
Ÿ = 2E0 a2
et ‘ = Ÿa/2
CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES
91
Ep
!
"
Morse : Ep = E0 e≠2ax ≠ 2e≠ax
0
≠E0
0
écart à l’équilibre x
Figure 5.7 – Potentiels de Morse.
ce qui donne une équation du mouvement du type 3 .
ẍ + Ê02 x ≠ —x2 = 0
avec
Ê0 =

3
Ÿ/µ et — = aÊ02
2
En conséquence, les oscillations ne sont plus symétriques autour de x = 0 et la moyenne temporelle Èx(t)Í varie avec l’énergie de l’oscillateur. En effet, on peut montrer à l’aide d’une méthode
perturbative (cf. § 5.3.3) que
—x2max
3a
Èx(t)Í =
= x2max
2
4
2Ê0
En d’autres termes, la longueur de la liaison moléculaire augmente avec l’énergie emmagasinée
dans la liaison (dans l’approximation harmonique, l’énergie d’un oscillateur varie comme le carré
de l’amplitude). C’est ce même phénomène qui explique le phénomène de dilatation des cristaux :
quand la température augmente, l’énergie de vibration atomique augmente également ce qui accroit
la distance intermoléculaire par effet anharmonique.
5.3.3 Méthode des perturbations appliquée aux oscillateurs non linéaires
Supposons que nous voulions résoudre analytiquement l’équation différentielle d’un oscillateur
non linéaire contenant un terme anharmonique suffisamment petit pour le traiter comme une
perturbation. La méthode des perturbations classique (cf. le complémentA[Comment résoudre une
équation différentielle]) a cependant le défaut de produire des solutions divergentes lorsqu’il n’y a
pas de terme dissipatif, à cause du phénomène de résonance.
3. L’énergie cinétique s’écrit Ec = 12 µẋ2 avec µ la masse réduite du système diatomique (cf. chapitre sur les
systèmes à deux corps).
CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES
92
Pour éviter ces divergences sans aucun sens physique, Lindstedt a proposé la méthode perturbative
suivante.
1. Cherchant des solutions oscillantes, on définit une pulsation Ê = Ê0 + ‘Ê1 + ‘2 Ê2 . . . où les Êi
sont des paramètres à trouver.
2. On remplace le temps t par la nouvelle variable Ï = Êt.
3. On cherche la solution sous la forme x(Ï) = x0 (Ï) + ‘x1 (Ï) + ‘2 x2 (Ï) + . . ., où les xi (Ï) sont
des fonctions inconnues.
4. Par substitution dans l’équation différentielle, on obtient n + 1 équations différentielles linéaires
si l’on décide de faire un développement perturbatif à l’ordre n.
5. On résout chaque équation de manière itérative en commençant par la recherche de x0 (Ï).
Lors de cette résolution, les Êi sont choisis de façon à annuler les phénomènes de résonance.
Prenons l’exemple de l’oscillateur de Duffing pour illustrer la méthode de Lindstedt. Cet oscillateur
vérifie l’équation différentielle
;
x(0) = A
ẍ + Ê02 x + ‘x3 = 0 avec
ẋ(0) = 0
où le terme non linéaire ‘x3 est suffisamment petit pour justifier l’emploi d’une méthode perturbative.
Contentons nous d’un développement perturbatif à l’ordre un. On pose donc
Ê = Ê0 + ‘Ê1
puis
Ï = Êt
Sachant que ẍ = Ê 2 xÕÕ (Ï), l’équation différentielle devient, en omettant les termes d’ordre supérieur
à un :
! 2
"
Ê0 + 2‘Ê0 Ê1 xÕÕ (Ï) + Ê02 x(Ï) + ‘x3 (Ï) = 0
Cherchant la solution sous la forme du développement perturbatif x(Ï) = x0 (Ï) + ‘x1 (Ï), on obtient,
après substitution, deux équations différentielles :
;
x0 (0) = A
xÕÕ0 (Ï) + x0 (Ï) = 0 avec
(5.14)
xÕ0 (0) = 0
;
x1 (0) = 0
Ê02 xÕÕ1 (Ï) + Ê02 x1 (Ï) + 2Ê0 Ê1 xÕÕ0 (Ï) + x30 (Ï) = 0 avec
(5.15)
xÕ1 (0) = 0
L’équation différentielle (5.14) est celle d’un oscillateur harmonique :
x0 (Ï) = A cos Ï
En utilisant ce résultat et l’identité cos3 x = 1/4 cos 3x + 3/4 cos x, l’équation (5.15) se réécrit
3
4
2Ê1 A 3A3
A3
xÕÕ1 (Ï) + x1 (Ï) = cos Ï
≠ 2 ≠ 2 cos 3Ï
Ê0
4Ê0
4Ê0
Il s’agit ici !de l’équation d’un oscillateur
harmonique soumis à une excitation périodique. Or, le
"
terme cos Ï 2Ê1 A/Ê0 ≠ 3A3 /4Ê02 est responsable d’une résonance qu’il faut éliminer si l’on veut
éviter une solution divergente. On doit donc imposer
2Ê1
3A3
A≠ 2 = 0
Ê0
4Ê0
=∆
Ê1 =
3A2
8Ê0
CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES
93
Ainsi, une fois les problèmes de divergence éliminés, l’équation 5.15 s’écrit
;
A3
x1 (0) = 0
ÕÕ
x1 (Ï) + x1 (Ï) = ≠ 2 cos 3Ï avec
xÕ1 (0) = 0
4Ê0
Equation différentielle linéaire qui se résout sans difficulté (cf. Annexe A) :
x1 (Ï) =
A3
(cos 3Ï ≠ cos Ï)
32Ê02
Finalement, la méthode des perturbation à l’ordre un donne comme résultat analytique :
3
4
‘A3
‘A3
3A2
x(t) ƒ A ≠
cos(Ê
+
‘Ê
)t
+
cos
3(Ê
+
‘Ê
)t
avec
Ê
=
0
1
0
1
1
8Ê0
32Ê02
32Ê02
(5.16)
Cette approximation est d’autant plus proche de la solution que le terme non linéaire est petit devant
le terme harmonique, c’est-à-dire lorsque |‘|A3 π Ê02 A. La Figure 5.8 compare cette solution avec
la solution numérique obtenue par la méthode d’Euler : on constate un désaccord de plus en plus
prononcé au cours du temps, dû à l’erreur de troncature produite par l’approximation Ê ƒ Ê0 + ‘Ê1 .
Ce désaccord se prononce d’autant plus vite que ‘ augmente. Une application du calcul précédent
Oscillateur de Duffing : ‘ = 0, 1
Oscillateur de Duffing : ‘ = 1
1
1
0.5
0.5
0
0
≠0.5
≠0.5
≠1
≠1.5
Euler
0
5
≠1
Lindstedt (ordre un)
10
temps
15
20
≠1.5
Euler
0
5
Lindstedt (ordre un)
10
temps
15
Figure 5.8 – Solution x(t) de l’oscillateur de Duffing avec A = 1 et Ê0 = 1. Comparaison entre la
solution approximative (5.16) et la solution numérique obtenue par la méthode d’Euler.
est la détermination de la période du pendule simple en fonction de l’amplitude ◊max des oscillations.
En effet, pour les angles suffisamment petits, sin(◊) ƒ ◊ ≠ ◊3 /6 de sorte que l’équation du pendule
simple se ramène à l’équation de l’oscillateur de Duffing avec ‘ = ≠Ê02 /6 :
2
Ê
◊¨ + Ê02 ◊ ≠ 0 ◊3 = 0
6
20
CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES
94
Le résultat de la méthode de Lindstedt à l’ordre un prévoit que ◊(t) oscille à la pulsation
3
4
2
◊max
Ê = Ê0 + ‘Ê1 = Ê0 1 ≠
16
ce qui donne une période des oscillations
T ƒ◊max æ0 T0
3
◊2
1 + max
16
4
¸
(5.17)
On trouve ici la célèbre formule de Borda en l’honneur de Jean-Charles de Borda (1733–1799) qui
l’obtint de manière empirique. On peut montrer qu’elle produit une erreur relative inférieure à 10≠3
si l’on impose ◊max < 40°.