cours_doptique_5 (Cours)

CH. V – ANALYSE DES FREQUENCES SPATIALES :
RELATION OBJET-IMAGE
I OBJECTIF DE CE CHAPITRE
On sait qu’entre un objet qui contient une quantité d’information quasi infinie (si on pousse sa
description jusqu’à l’échelle microscopique) et une image dont la qualité peut-être limitée par
des raisons physiques (diffraction) ou techniques (absence de stigmatisme, taille du grain) il y
a une perte notable d’information.
C’est cette perte que nous souhaitons quantifier. L’approche que nous allons utiliser ici est
très classique dans l’étude des systèmes linéaires (en électronique par exemple, mais aussi en
spectroscopie lorsque nous avons introduit la « fonction d’appareil »). On va chercher la
réponse du système à une excitation localisée dans l’espace (δ (x-xo, y-yo) si on place une
source au point xo, yo alors qu’en électronique par exemple on utilise une « entrée » δ(t-to) ou
encore en spectroscopie δ(σ-σo)…).
La transformée de Fourier de cette réponse impulsionnelle est la fonction « filtre » du système
(souvent appelée fonction de transfert). La variable conjuguée du temps est la pulsation ou la
fréquence. C’est celle que l’on utilise pour rendre compte de la bande passante d’un
amplificateur, d’un haut parleur, etc… Ici il nous faudra parler de « fréquences spatiales »qui
sont les variables conjuguées des coordonnées x,y.
II LES FREQUENCES SPATIALES
Nous avons moins l’habitude de les utiliser
que les fréquences temporelles, mais
formellement il s’agit des fréquences,
discrètes (comme dans la mire ci-contre)
ou continues contenues dans le spectre
d’un objet.
-
-
-
Si un objet est une mire sinusoïdale (ou un réseau) à une dimension dont la
1
transmission s’écrit T ( x ) = (1 + cos(2πx / p )) on sait que cet objet contient la
2
fréquence 0 (c’est la valeur moyenne) et la fréquence 1/p (inverse de la période p),
en notation complexe on aura, bien sûr, les fréquences 1/p et –1/p.
Si l’objet est périodique et de période p (exemple un mur de briques) on aura en
plus de la fréquence 0 les multiples de 1/p (voir par exemple la mire rectangulaire
ayant des parties noires de même dimension que les parties blanches dans le
chapitre sur les réseaux).
Si l’objet n’est pas périodique on sait que la transformation de Fourier (T.F.) nous
permettra de décomposer sa structure en une somme continue de fonctions
périodiques élémentaires.
Remarques :
a)Pour un objet plan dont on souhaite réaliser une image plane, la T.F. sera à deux
dimensions.
b) Il nous faut distinguer deux cas extrêmes quant à l’ECLAIRAGE DE L’OBJET. Si celui-ci
est éclairé de façon incohérente (exemple un paysage sous le soleil ou un personnage sous un
projecteur) il faudra considérer cet objet comme une somme de sources élémentaires ayant
chacune une luminance propre. On raisonnera donc sur des « intensités ».
Par contre si l’objet est éclairé de façon cohérente par un laser, ou un faisceau
monochromatique collimaté, il existera entre toutes les sources élémentaires qui constituent
cet objet des relations de phase et nous serons obligés de sommer les amplitudes complexes
élémentaires pour construire l’image avant de prendre le carré du module de cette dernière
pour la décrire telle que nous la percevons sur un écran ou sur un détecteur d’images.
III RELATIONS OBJET-IMAGE
x’
x
D ( x’- γ x , y’- γ y )
D ( x’ , y’ )
x,y
0
z
Système
Optique
γ = grand
z’
y’
y
Plan Image
Plan Objet
a) Eclairage incohérent de l’objet
-
-
Pas de relation de phase entre les ondes issues des différents points de l’objet. On
va voir l’influence de chaque point de l’objet avant de faire la somme sur les
intensités émises par chaque point.
Qualité de l’image stationnaire dans la zone considérée (isoplanétisme) c’est à dire
qu’à tout point objet correspondant la même tache de diffusion à une translation
dans le plan image près (c’est l’analogue de l’invariance par translation dans le
temps que vous avez rencontrée dans l’étude des systèmes linéaires). Cela n’est
pas toujours réalisé partout dans le champ, mais on peut trouver des zones de
champ où cette condition est réalisée.
Point source en O → D(x ' y') : Tache de diffusion en intensité.
Point source en x , y → D(x '− γx , y'− γy ) , la tache est simplement translatée, γ est le
grandissement.
Si on prend un rapport d’échelle obj/Im= γ pour un petit objet élémentaire centré en x,y :
O(x , y )dxdy → D(x '− x , y'− y )O(x , y )dxdy et en sommant sur tout l’objet :
I ( x' , y ' ) = ∫ ∫ O(x, y )D( x'− x, y '− y )dxdy I = O * D
Obj
b) Eclairage cohérent
On fait pour aboutir à l’amplitude i le même raisonnement sur les amplitudes o et d :
i(x ' , y') = ∫ ∫ o( x, y)d( x '− x, y'− y)dxdy i = o * d
Obj
et I=ii*.
Remarques
a) D’un point de vue pratique, pour ne pas vous préoccuper de ce « rapport d’échelles » lié
au grandissement entre l’objet et l’image il est conseillé de raisonner dans le plan de
l’image et de comprendre la relation I=O*D (ou i=o*d) comme : l’image obtenue à travers
l’instrument est égale au produit de convolution de l’image idéale (en fait l’objet, à la
taille convenable) par la tache de diffusion.
b) Bien que formellement les deux relations pour les éclairages cohérents et incohérents se
ressemblent il y a un grosse différence :
- En éclairage cohérent la transformée de Fourier de l’objet a une réalité physique :
C’est l’amplitude diffractée à l’infini, on peut la recueillir au foyer d’une lentille,
la visualiser, la modifier…
- En éclairage incohérent nous avons là une relation mathématique commode mais
pas d’accès, autre que celui du calcul, aux transformées de Fourier.
IV APPLICATIONS
A : Eclairage Incohérent
a) Défaut de mise au point
Défaut de mise au point
D ( x’ , y’ )
A
A’
Système Optique
Film ou Ecran
C’est un défaut qui peut se produire lorsqu’on oublie de régler la distance sur un appareil
photographique (non automatique) ou lorsqu’on effectue la mise au point sur un sujet en
présence d’autres plans décalés (cet effet est aussi recherché pour certains flous artistiques).
L’image d’un point est une tache de diamètre « a ».
⎛
2πx ⎞
⎟ . Nous traiterons le problème à
- Nous prendrons un objet périodique O( x ) = ⎜⎜1 + cos
p ⎟⎠
⎝
une dimension.
- Il est conseillé de bien distinguer l’objet, la tache de diffusion et l’image (fonctions de la
variable x) de leur transformée de Fourier (fonction de la variable u conjuguée de x).
~
O(x) TF→ O
(u)
(produit simple)
x
~
D(x) TF→ D(u)
~=
−1
I(x) TF ← I (u)
Espace réel ( 1 - D )
Transformée de Fourier
O(x) = 1 + cos ( 2 π x / p )
˜
O
1
0,5
0
p
-1/ p
x
D(x)
0
0
-2/ a
-1/ a
u
˜
D
1
x
1/p
1/a
0
2/a
u
a
I(x)
0
˜I
1
x
-1/ p
0
1/p
u
Soit I( x ) = 1 + sin c(πa / p ). cos (2πx / p ) .
Pour ce qui est de l’exemple choisi on voit que :
-
⎛1
1⎞
Aux basses fréquences spatiales ⎜⎜ << ⎟⎟ il y a peu de modifications de l’objet.
a⎠
⎝p
1
1
Lorsque tend vers le contraste diminue et s’annule lorsque p=a.
p
a
2 1 1
> >
Si
on a un contraste faible mais aussi inversé (les parties les plus
a p a
foncées prennent la place des blancs et les plus claires celle des noires), etc…
b) Peut-on corriger une image floue ?
Si le flou est dû à un défaut de mise au point connu il suffit de faire l’inverse de l’opération
précédente, c’est à dire de construire la « fonction filtre » inverse dans l’espace des
transformées de Fourier.
En pratique les zéros de la fonction sinc doivent être exclus et il faut réaliser des
interpolations pour ne pas avoir de singularités dans l’image corrigée.
Lorsque le défaut de mise au point est inconnu, en effectuant la T.F. de l’image on voit
apparaître la modulation du spectre par la fonction sinc (ou J1(r)/r à 2D). On peut alors
retrouver la fonction filtre à partir de ses zéros.
La figure extraite d’un article de « Pour la Science » montre (pour une fois en 2D) les
différentes étapes et le résultat sur l’image corrigée numériquement.
Il ne faut pas oublier qu’un tel traitement passe par l’enregistrement de l’image, sa
numérisation et son stockage dans un ordinateur. La numérisation doit en particulier être
effectuée avec une bonne précision lorsqu’on veut minimiser le « poids des zéros » dans la
reconstruction.
Tâche de diffraction
c) Instrument limité par la diffraction
Diaphragme
C’est la limite ultime pour la résolution.
Nous avons vu au chapitre sur la
diffraction que pour un système imageur
comme une lentille (ou plutôt un objectif
corrigé de ses aberrations) on peut calculer
la distribution d’intensité dans la figure de
diffraction quelle que soit la position de
l’objet ou de l’image.
A
A’
Système Stigmatique
Là encore nous simplifierons en traitant le problème à une dimension (fente au lieu de
diaphragme circulaire). La tache de diffusion en intensité qui a un premier zéro en x=a vaut
(sin(πx / a ) /(πx / a ))2 .
⎡ 1 1⎤
Sa transformée de Fourier est un triangle dont la base est l’intervalle ⎢− , ⎥ .
⎣ a a⎦
1
Comme dans l’exemple précédent, la valeur de cette fonction de transfert en
nous donne le
p
contraste de la mire sinusoïdale utilisée comme objet.
A la différence du défaut de mise au point il y a une fréquence spatiale de coupure
⎛⎜ 1 = 1 ⎞⎟ et l’opération de déconvolution ne paraît pas possible a priori (en fait un léger
a⎠
⎝ p
gain peut être obtenu en utilisant quelques propriétés des fonctions analytiques, cf. le livre de
Goodman sur l’optique de Fourier).
D(x)
a
x
-1/ a
-1/ p
u
˜I
1
x
1/a
0
I(x)
0
˜
D
1
0
1/p
u
d) Cas des « bons » instruments
La plupart des instruments d’optique de qualité, même s’ils ne sont pas rigoureusement
stigmatiques, sont largement corrigés des principales aberrations.
Les aberrations résiduelles sont dites faibles si elle n’élargissent pas trop la tache de
diffraction. Dans ce cas on peut montrer que la fréquence de coupure reste la même mais que
le contraste diminue dans la zone de fréquence intermédiaire (ex. objectif de Microscope).
Pour des instruments de qualité moyenne (ex. objectif Photographique) pour lesquels la
résolution est de la taille du grain d’halogénures d’argent (~10µm) ou du pixel de la matrice
de détecteurs (~10µm) on utilise couramment la « fonction de transfert de modulation »
(FTM) pour rendre compte de la qualité de l’instrument.
En pratique on utilisera plusieurs fonctions de transfert pour différents nombres d’ouvertures
(rapport distance focale/diamètre du diaphragme utilisé) ou pour différents points du champ
car la condition dite « d’isoplanétisme » (IIIa) est loin d’être respectée à travers tout le champ.
e) Mesure du diamètre des étoiles : Expérience de Michelson
L’expérience que Michelson a faite sur le grand télescope du Mont Palomar (φ>5m) au début
du siècle est à la fois élégante et difficile techniquement, elle contient le germe de
l’astronomie moderne pour laquelle on augmente la résolution des télescopes en couplant
interférométriquement deux ou plusieurs miroirs situés à des distances supérieures à leur
diamètre propre.
Le but de cette expérience est de pouvoir mesurer le diamètre des étoiles (ou de voir la
séparation entre les deux composantes d’une étoile double) indépendamment des fluctuations
de l’atmosphère. En effet, les mouvements des masses d’air créent des variations de la
distribution des chemins optiques qui viennent d’un point à l’infini (onde plane). Compte tenu
des échelles, ce sont principalement les gradients de cette distribution qui changent de façon
aléatoire la direction des rayons lumineux. Cet effet de « prisme dynamique » fera qu’au foyer
du télescope l’image de l’étoile ne sera pas fixe mais animée d’un mouvement rapide
−2
(~qq 10 s) dont l’amplitude sera beaucoup plus importante que la résolution du télescope. En
plaçant deux fentes de position variable devant le télescope (en fait deux petits miroirs, jouant
le rôle de fentes, placés sur une poutre de taille supérieure à celle du télescope), Michelson a
observé les franges, qui dansent elles aussi, sur un écran et en particulier le moment où le
Plan focal du
télescope
Lentille
représentant le
télescope
Etoile en l’absence
de turbulences
Atmosphère turbulente
lumière venant de l’étoile
contraste s’annule.
Décrivons cette expérience dans le formalisme des relations objet (étoile) – image. En
raisonnant à une dimension, on a dans le plan focal du télescope :
f focale du télescope, ε diamètre angulaire de l’étoile
O( x ) = rect (x / f .ε )
D( x ) = 1 + cos(2πx / p)
où le pas des franges est p = f λ .
a
a distance des fentes (miroirs), λ longueur d’onde à laquelle se fait l’observation :
~
O(u ) = sin c(πufε) .
La TF de O(x) est
La TF de D(x) est
1 ⎛
~
D(u ) = δ(u ) + δ⎜⎜ u −
2 ⎝
1⎞ 1 ⎛
1⎞
⎟⎟ + δ⎜⎜ u + ⎟⎟ .
p⎠ 2 ⎝
p⎠
On voit donc que lorsque ε = kλ
(k entier >0). Il y a une annulation du contraste qui permet
a
de trouver le diamètre de l’étoile ( ε = λ pour le premier brouillage).
a
Cette expérience était difficile car il fallait faire des réglages optiques sur une poutre ellemême rapportée sur une structure à quelques dizaines de mètres au dessus du sol.
Dans les années 70 l’astronome français Antoine Labeyrie a remis au goût du jour ces
expériences d’interférométrie en couplant deux petits télescopes et en obtenant ainsi une
résolution non plus liée à leur taille mais à leur distance.
Les grands télescopes européens (VLT Very Large Telescope) installés au Chili utilisent eux
aussi ce couplage interférométrique dont on imagine bien la précision des réglages (fraction
de µm à quelques dizaines de m).
B : Eclairage Cohérent
a) Montage « 4f »
Plan de Fourrier
(spectre de l’objet)
Objet
(amplitude
complexe)
f
f
L1
Ecran
f
f
L2
Eclairage cohérent
ex: onde plane
monochromatique
Nous avons déjà fait état de la signification physique de la transformée de Fourier d’un objet
plan dans le cas de l’éclairage cohérent puisqu’il s’agit, rappelons-le, de la diffraction à
l’infini.
Le montage « 4f » que vous retrouverez dans les travaux pratiques permet d’accéder à la
transformée de Fourier de l’objet, de la filtrer, etc…
Considérons un objet plan (ex. diapositive, préparation de microscopie, etc…) au foyer de la
lentille* L1. Cet objet est éclairé par une onde plane (issue par exemple d’un laser dont le
faisceau a été élargi, ou d’un collimateur) monochromatique. Au foyer de cette lentille
(supposée sans défaut) nous avons la transformée de Fourier ~
o (fu , fv) de l’objet O(x,y), c’est
ce plan focal que nous appelons « Plan de Fourier ». La seconde lentille a comme double rôle
d’assurer la focalisation de l’image de O sur l’écran (ici γ=1 car les lentilles sont identiques)
o (ce qui revient au même car TF(TF(O))=O).
et de réaliser la transformée de Fourier ~
On peut placer dans le plan de Fourier des diaphragmes, qui couperont certaines fréquences
spatiales, des filtres qui pourront atténuer et/ou déphaser certaines parties du spectre, etc…
*
comme souvent le mot lentille symbolise abusivement un système optique que nous supposerons
sans aberrations.
b) Limite imposée par la diffraction
Dans un montage avec plusieurs éléments (un objet, deux lentilles, un diaphragme, un écran)
il nous faut préciser de quelle diffraction il s’agit.
Pour cela laissons nous guider par la définition de la tache de diffusion (d(x,y) ici en
amplitude) c’est à dire l’image d’un point de l’objet : c’est la transformée de Fourier de ce que
nous allons recevoir dans le plan de Fourier. C’est donc le diaphragme placé dans ce plan qui,
pour cette géométrie particulière, va imposer la taille de la « tache de diffusion » qui est ici la
« tache de diffraction » en amplitude.
Reprenons comme objet la mire sinusoïdale o( x ) = 1 + cos πx / p , ici nous supposerons que
c’est l’amplitude qui varie sinusoïdalement. Ce réseau va diffracter à l’infini les ordres 0, +1
et 0, ± 1 respectivement situés sur l’axe, et dans les directions ± i' telles que sin i' = ± λ .
p
Le résultat est simple à deviner, si le diaphragme laisse passer les ordres ± 1 (l’ordre 0 passera
toujours) on va retrouver intégralement l’objet sur l’écran. Si le diaphragme coupe ces mêmes
ordres on ne verra sur l’écran qu’un fond uniforme correspondant à l’ordre 0.
o(x) = 1 + cos ( 2 π x / p )
˜
o
1
0,5
0
p
x
-1/p
1/p
0
u
En raisonnant (cf. figure) sur la relation i=o*d on voit que la fonction filtre est bien un
rectangle : à la différence de ce que l’on avait avec l’éclairage incohérent on n’a aucune perte
de contraste jusqu’à la fréquence de coupure, par contre la fréquence de coupure est ici deux
fois plus faible.
TF(d)
d
1
0
-2a
Remarques :
-a
0
a
a
u
1/a
u
1) Si aucun diaphragme ne vient limiter le spectre, l’angle i’ peut atteindre la valeur ± π / 2
lorsque ± λ / p = sin i' = ±1 . Lorsque p est <λ il n’y a plus d’ordre ± 1 émergeants et seul
l’ordre 0 existe.
Quelle que soit l’ouverture du système utilisé, il ne sera pas capable de révéler l’existence
d’un réseau, par formation de son image, si p<λ lorsque l’éclairage du réseau se fait en
incidence normale (en incidence oblique rasante on peut voir que cette limite est p<λ/2).
L’information qui est sensée nous révéler l’existence d’une distribution sinusoïdale de pas p
ne peut pas se propager, elle n’existe que sous forme d’ondes évanescentes qui restent
localisées au voisinage de la surface (cf. cours d’optique II).
2) Nous avons souligné que les mires sinusoïdales utilisées en éclairage cohérent ou
incohérent sont différentes. En effet, si on avait une diapositive avec des franges dont la
1
2
transmission est t ( x ) = (1 + cos 2πx / p ) en amplitude, on aurait T ( x ) = t ( x ) en intensité
2
1
qui n’est pas la même chose de T ( x ) = (1 + cos 2πx / p ) .
2
Bien sûr, la mire périodique avec des noirs (t=T=0) et des blancs (t=T=1) reste un objet qui
présente la même distribution de la transmission en intensité ou en amplitude.
c) Contraste de Phase
Dans le cas de l’éclairage cohérent c’est l’amplitude complexe (amplitude et phase) qui va
caractériser un objet, une image ou la tache de diffusion.
Ici nous allons considérer un cas extrême d’un objet dont l’amplitude est constante et égale à
1 et dont la phase va varier périodiquement (et faiblement).
Soit ϕ(x) la phase variable de l’objet (ϕ(x ) = ϕ o cos 2πx / p avec ϕ o << 1) , l’amplitude de cet
objet sera o( x ) = exp( jϕ( x ) ) et son intensité o(x)o(x)*=O(x)=1.
Cet objet est donc invisible, même si rien ne vient affecter la qualité de l’image (o(x)=i(x)).
Introduisons dans le plan de Fourier de notre montage « 4f » un filtre qui déphase la
composante 0 de π/2 par rapport aux composantes ± 1 (par exemple une lame de verre
d’épaisseur variable).
o( x ) = exp(iϕ( x ) ) ≈ 1 + jϕ o cos(2πx / p ) .
L’image compte tenu de notre filtrage aura la forme
i( x ) ≈ j + jϕ o cos(2πx / p ) en amplitude et
I( x ) = ii* ≈ 1 + 2ϕ o cos 2πx / p + termes en ϕ o2 .
Le contraste de l’image devient alors :
γ = (I max − I min ) (I max + I min ) ≈ 4ϕ o .
Si ce contraste s’avère insuffisant, on peut non seulement déphaser mais affaiblir
(transmission t<1 en amplitude) la fréquence 0. le contraste devient alors γ = 4ϕ o / t .
d) Applications du montage « 4f » : Traitement analogique ou numérique ?
Comme on l’a vu ce montage permet un filtrage analogique des fréquences spatiales
contenues dans l’objet.
Par exemple (cf. T.P.) une image tramée (comme certaines photos de journaux quotidiens)
peut être filtrée.
Il est possible d’introduire des fonctions transmission qui viennent par exemple compenser la
perte de contraste pour les fréquences élevées (comme dans le défaut de mise au point).
Enfin on peut chercher à reconnaître des formes (lettres, chiffres, empreintes, avions,
visages…) en plaçant un filtre qui sélectionne la transformée d’un objet particulier (on verra
en fait au chapitre suivant que l’opération est un peu plus difficile car la T.F. est une fonction
en général complexe dont la synthèse n’est pas toujours possible.
Remarquons que toutes ces opérations peuvent être réalisées de façon numérique avec un
ordinateur une fois l’objet numérisé. Bien qu’il soit difficile de manipuler la très grande
quantité d’information contenue dans une image (par exemple, calculer une T.F. sur 107
points) très rapidement alors que le montage « calcule à la vitesse de la lumière » il n’est pas
possible de conclure nettement pour une approche ou pour l’autre. Alors que le numérique
progresse comme l’informatique (matériel et algorithmes), l’approche analogique est
tributaire des nouveaux matériaux et de composants (matrices à cristaux liquides) capables
d’enregistrer et de transmettre sélectivement l’information.
→ Des systèmes hybrides existent déjà pour des applications robotiques (reconnaissance
de pièces à monter) ou militaires (reconnaissance de cibles multiples).