Optique de Fourier

Département Génie Physique
TP4 - Semestres 7 & 8
Mesures et caractérisations
Optique de Fourier
Directives et indications
Ce fascicule est disponible online sur http ://moodle.insa-toulouse.fr/
Prenez connaissance des règles de sécurité en vigueur.
Indentifiez les risques avant de commencer à manipuler
Benjamin Lassagne
Dernière mise à jour : 3 octobre 2016
1
Sécurité
Règles générales
Les jours de "travaux pratiques", la salle de manipulation est ouverte de 8h00
à 12h00, puis de 13h15 à 17h30. Vous n’êtes pas autorisés à travailler en dehors
de ces plages horaires, sauf avec l’accord préalable d’un enseignant.
Il est interdit de boire, de manger et de fumer dans la salle de manipulation.
Avant de manipuler, familiarisez-vous avec les divers instruments et identifiez les
risques. Lorsque approprié, utilisez les équipements de protection individuelle ou
collective (lunettes de protection, gants etc...). L’application de consignes supplémentaires peuvent être exigées par l’enseignant encadrant selon la nature de
la manipulation. En cas de doute concernant la sécurité, adressez-vous à l’enseignant encadrant. Tout incident ou de blessure (même légère) devra être signalée
à l’enseignant encadrant.
Dès votre arrivée dans la salle de manipulation, identifiez votre environnement
de travail. Repérez en particulier les éléments suivants :
– localisation des extincteurs
– localisation des alarmes incendie
– localisation des sorties de secours
– localisation des trousses de secours
Ne travaillez jamais seul : assurez-vous d’être toujours en présence d’une tierce
personne. Dans le cas de manipulations particulièrement dangereuses (ex : manipulation de fluides cryogéniques, utilisation d’appareils électriques susceptibles
de délivrer de fortes puissances), assurez-vous d’être en présence d’au moins un
enseignant.
Les risques particuliers à la manipulation décrite dans ce fascicule ont été répertoriés ci-après. Assurez-vous d’avoir pris connaissance de ces risques.
Le non respect du règlement pourra entraîner l’exclusion immédiate de l’étudiant des salles des Travaux Pratiques
2
Risques associés à la manipulation
Risque LASER
– Lésion oculaire
– Portez des lunettes de sécurité (protection oculaire) pendant les observations
et pendant les procédures d’alignement.
Assurez-vous d’avoir compris l’ensemble de la manipulation avant de commencer à travailler
Assurez-vous d’avoir pris connaissance des risques liés à cette manipulation
Assurez-vous d’avoir compris toutes les consignes de sécurité
3
Les bases théoriques de l’optique de Fourier
Le principe de Huygens-Fresnel
C. Huygens est à l’origine du développement de la théorie ondulatoire de la lumière, qui permettait d’expliquer entre autre ses propriétés de réflexion, de réfraction et de propagation :
La lumière se propage de proche en proche. Chaque élément de surface atteint par la lumière se comporte
comme une source secondaire qui émet des ondelettes sphériques dont l’amplitude est proportionnelle à cet élément. (Huygens)
Plus tard, bien que non informé des travaux de T. Young, A.J. Fresnel synthétisa les concepts de la théorie
ondulatoire et du principe d’interférence. Il modifia l’assertion de C. Huygens de la manière suivante :
L’amplitude complexe de la vibration lumineuse en un point est la somme des amplitudes complexes des vibrations produites par toutes les sources secondaires. Ces vibrations interfèrent pour former la vibration au point
considéré. (Fresnel)
Grâce à cette théorie, Fresnel était capable de calculer la figure de diffraction de nombreux obstacles et
ouvertures, et expliquait convenablement la propagation rectiligne de la lumière dans les milieux homogènes et
isotropes. Nous commencerons, dans un premier temps, par rappeler l’expression mathématique de la diffraction
à partir de la théorie de Fresnel.
Considérons un système optique tel que représenté sur la figure ci-dessous. Une source lumineuse primaire
supposée cohérente éclaire un écran plan contenant une petite ouverture de géométrie connue. cette dernière
fait alors office de source lumineuse secondaire. Le plan de l’écran est perpendiculaire à l’axe optique de manière
à ce que l’étendue de la source secondaire reste dans le plan (Ox,Oy). Nous souhaitons établir une expression
physique permettant de déterminer l’intensité lumineuse en aval de l’ouverture, à une distance appréciable
de cette dernière. Nous commençons pour cela par rappeler l’expression de l’amplitude complexe d’une onde
monochromatique sphérique :
~
~ (~r,t) = E0 ei(~k.~r−ω.t)
E
r
Elle est similaire à l’expression d’une onde plane mais présente toutefois un terme additionnel en 1/r qui
tient compte de la diminution du flux lumineux émis dans une direction ~k donnée 1 . L’amplitude du champ
~ = R.~e) s’écrit, d’après le principe de Huygens-Fresnel :
électrique EP au point d’observation P (OP
~ P (t) =
E
Z Z ~
ξ (i~k.~r−ω.t)
e
.dS
S r
où dS représente un élément de surface élémentaire de la source secondaire, ξ~ correspond à l’amplitude du
champ électrique pour chaque élément de surface dS considéré, ~k est le vecteur d’onde de la vibration lumineuse
avec |~k| = 2π/λ et ~r = M~P est le vecteur reliant le point M (désignant un élément dS de la source lumineuse)
au point d’observation P.
Nous supposerons par la suite que la polarisation de la lumière reste inchangée. Ainsi le "vecteur" champ
~ sera simplement remplacé par un scalaire E. Si la source primaire est suffisamment éloignée de
électrique E
l’écran, l’intensité lumineuse de la source lumineuse est spatialement homogène en tout point et ξ est assimilable
à une constante 2 . Par ailleurs, l’origine O du repère est placée au centre de la source lumineuse. Si cette dernière
1. Retrouvez ce résultat d’après le principe
de conservation du flux luminuex
R
2. nous définissons alors E0 = S × ξ = S ξi dS
4
(1)
est très petite, et que le point d’observation P est très loin de O, l’angle 3 formé entre les vecteurs ~k et ~r est
négligeable et leur produit scalaire devient, au premier ordre, ~k.~r = k.r. En considérant ces dernières remarques
et en effectuant les approximations mentionnées ci-dessus, l’expression ?? devient :
EP (t) = E0 eiω.t
Z Z
S
eik.r
dS
r
(2)
Par la suite, le facteur complexe E0 regroupera tous les termes pouvant être "sortis" de l’intégrale. Par
ailleurs, pour des temps d’observation long, la partie dépendante du temps eiω.t sera moyennée et il n’est plus
nécessaire de la faire apparaître. Ainsi, pour une onde monochromatique tombant sur un diaphragme plan
d’ouverture S, son amplitude complexe au point d’observation P est la somme des amplitudes complexes de
toutes les ondelettes sphériques émises par chaque élément dS (point M) du domaine de S.
La diffraction de Fraunhofer
L’approximation de Fraunhofer consiste à supposer le point P très distant de M. Dans ces conditions, la
distance Z est grande devant toutes les autres dimensions du système et il est possible d’approximer 4 r par :
r=
p
1/2
2xX + 2yY
xX + yY
x2 + y 2
−
≈Z−
(X − x)2 + (Y − y)2 + Z 2 = Z 1 +
Z2
Z2
Z
En remplaçant ces approximations dans la formule de la diffraction (??), il vient :
Z Z
Y
X
E P = E0
e−ik( Z .x+ Z .y) dxdy
(3)
(4)
S
Nous notons que r est remplacé par Z au dénominateur de l’intégrande (développement limité d’ordre 0).
Par contre il est nécessaire de faire intervenir x et y dans le terme de l’exponentielle : cette dernière reliée à la
différence de chemin optique varie beaucoup plus "vite" que le terme en 1/r.
X
Y
Y
Dans l’approximation de Fraunhofer, on a X
R ≈ Z ≈ sin(α) ≈ α et R ≈ Z ≈ sin(β) ≈ β. La formule de la
diffraction, dans l’approximation de Fraunhofer devient alors :
Z Z
Z Z
Z Z
β
−ik(αx+βy)
.x+ λ
.y)
−2iπ( α
λ
EP = E0
e
dxdy = E0
dxdy = E0
e
e−2iπ(µ.x+υ.y) dxdy
(5)
S
où µ =
α
λ
=
X
Zλ
et υ =
S
β
λ
=
Y
Zλ
S
sont des fréquences spatiales. Leur unité est l’inverse d’une longueur.
Alternativement, l’expression précédente peut se ré-écrire en faisant apparaître la source lumineuse dans
l’intégrande plutôt qu’au niveau du domaine d’intégration. On obtient :
EP = E0
Z Z
+∞
S(x,y) e−2iπ(µ.x+υ.y) dxdy
(6)
−∞
où S(x,y) est une fonction 2D qui représente la transmittance 5 de l’ouverture ou de l’obstacle. Notons enfin
que l’expression ci-dessus doit être élevée au carré afin de connaître, à un facteur multiplicatif près, le profil de
l’intensité lumineuse sur le plan d’observation.
Conditions de diffraction :
En partant du principe de Huygens-Fresnel, on montre que pour une fente de largeur 2a, la largeur angulaire
de la tache centrale diffractée est de λ/a. Ainsi, la diffraction se manifeste lorsque la longueur d’onde est à peut
près égale à l’ouverture du diaphragme.
Validation de l’approximation de Fraunhofer :
2
+y 2
π x λR
2
2
+y
< 0.01 soit R > 100π(x
≈ 1.3m pour λ ≈ 0.6µm. Ainsi, la figure de diffraction relative à un
λ
diaphragme circulaire de 100µm de diamètre, éclairée par l’onde issue d’un laser, est de type Fraunhofer avec une
bonne approximation lorsque le plan d’observation est situé à une distance de quelques mètres du diaphragme.
3. ~k (le vecteur d’onde) n’est colinéaire à ~
r que si l’origine du repère (définissant le vecteur ~
r ) coïncide avec le centre de la source
lumineuse ponctuelle considérée.
√
4. En utilisant le développement limité 1 − x = 1 − 12 x − 18 x2 − ...
5. Rapport de la puissance optique transmise sur la puissance optique incidente
5
La transformée de Fourier
A une dimension, la transformée de Fourier directe d’une fonction f(x) s’écrit :
1
̥[(f(x) ),µ] = √
2π
Z
+∞
f(x) e−iµx dx
−∞
La transformée de Fourier inverse (ou indirecte) s’écrit :
̥+
[(f(x) ),µ]
1
=√
2π
Z
+∞
f(x) eiµx dx
−∞
A deux dimensions, les expressions se généralisent facilement et deviennent :
Z Z +∞
1
̥[(f(x,y) ),µ,υ] = √
f(x,y) e−i(µx+υ.y) dxdy
2π
−∞
Z Z +∞
1
√
̥+
=
f(x,y) ei(µx+υ.y) dxdy
[(f(x,y) ),µ,υ]
2π
−∞
Le tableau ci-dessous récapitule quelques propriétés de la transformée de Fourier, Soit f et g deux fonctions...
Linéarité : ̥[af +bg] = ḁ[f ] + b̥[g]
Parité : ̥[(f(−x) ),µ] = ̥[(f(x) ),−µ]
Translation : ̥[(f(x−a) ),µ] = e−iaµ .̥[(f(x) ),µ]
Conjugaison : ̥[f ,µ] = ̥[f,−µ]
1
Modulation : ̥[(eiax f(x) ),µ] = ̥[(f(x) ),(µ−a)] Changement d’échelle : ̥[(f(ax) ),µ] = kak
̥[(f(x) ),( µa )]
′ ),µ] = iµ × ̥[(f
Dérivation :̥[(f(x)
Multiplication par x : ̥[(x.f(x) ),µ] = i × ̥′[(f(x) ),µ]
(x) ),µ]
Continuité et comportement à l’infini : ̥[(f(x) ),µ] est continue sur ℜ et limµ→∞ ̥[(f(x) ),µ] = 0
R +∞
N
Convolution : soit f (x) g(y) = −∞ f (x − y)g(y)dy, alors ̥[f N g] = √12π ̥[f ] × ̥[g]
La linéarité de la transformation de Fourier est une propriété particulièrement intéressante. Elle justifie
l’intérêt de la décomposition d’un signal en une superposition de signaux simples sinusoïdaux. La transformée
de Fourier permet donc de faire ressortir les différentes fréquences constituant le spectre du signal d’entrée. Ce
principe est aussi vrai à deux dimensions : si f(x,y) représente
une image, alors celle-ci peut être vue comme la
P
somme modulée d’images "sinusoïdales", soit f(x,y) = i Ai .sin(µi .x + υi .y + φi ). La transformée de Fourier
de f(x,y) donnera une image constituée de points "d’amplitude" Ai aux coordonnées µi et υ i dans l’espace de
Fourier.
En comparant les formules de la diffraction de Fraunhofer et celle de la transformée de Fourier, on s’aperçoit
qu’il s’agit de fonctions très similaires. En fait, la figure de diffraction de Fraunhofer est directement proportionnelle 6 à la transformée de Fourier de la transmittance de l’ouverture/obstacle. L’optique permet ainsi, par la
diffraction de Fraunhofer, de réaliser simplement une opération mathématique de premier plan, la transformée
de Fourier d’une fonction f(x,y) : il suffit de placer un diaphragme dont la transmittance S(x,y) s’identifie à la
fonction f(x,y) .
La diffraction de Fraunhofer a lieu à l’infini. Une lentille mince convergente permet de la ramener dans le
plan focal image aussi appelé "Plan de Fourier" ou "Plan de transformation". En effet, la lentille transforme
des directions des rayons lumineux en points dans le plan focal image. C’est à dire que tous les rayons parallèles
entre eux et formant un certain angle avec l’axe optique, seront focalisés en un point dans le plan de Fourier. La
distribution de champ dans ce plan image est ainsi le spectre spatial de la fonction d’ouverture. Chaque point
dans la figure de diffraction indique la présence d’une fréquence spatiale spécifique. Plus petite est la fonction
d’ouverture, plus large est le spectre spatial.
6. Attention : nous raisonnons en termes d’amplitude du champ électrique, pas en termes d’intensité lumineuse
6
Exemple d’application avec solutions analytiques
Figure de diffraction d’une ouverture rectangulaire
On a : S(x,y) = 1 pour a < |x| < b et c < |y| < d et
̥[S(x,y) ,µ,υ]
1
=√ ×
2π
Z
+∞
−∞
Z b
Z
+∞
−∞
S(x,y)e−i(µx+υy) dxdy
Z d
1
̥[S(x,y) ,µ,υ] = √ ×
e−i(υy) dy
e−i(µx) dx ×
2π
c
a
e−iµb − e−iµa
1
e−iυd − e−iµc
̥[S(x,y) ,µ,υ] = √ ×
×
−iµ
−iυ
2π
b+a
d+c
a−b
a−b
c−d
c−d
e−iµ( 2 ) × eiµ( 2 ) − e−iµ( 2 )
e−iυ( 2 ) × eiυ( 2 ) − e−iυ( 2 )
1
×
̥[S(x,y) ,µ,υ] = √ ×
−iµ
−iυ
2π
sin(µ a−b
sin(υ c−d
b+a
c+d
4
2 )
2 )
× e−iυ( 2 ) ×
̥[S(x,y) ,µ,υ] = √ × e−iµ( 2 ) ×
µ
υ
2π
sin(µ a−b
sin(υ c−d
2 )
2 )
̥[S(x,y) ,µ,υ] ∝
×
µ
υ
Si a = −X/2, b = X/2, c = −Y /2 et d = Y /2
alors
̥[S(x,y) ,µ,υ] ∝
sin(µ X2 ) sin(υ Y2 )
×
µ
υ
Figure de diffraction d’une double ouverture rectangulaire
1
1
0
Calculons la figure de diffraction d’une double fente. Il suffit de remarquer que dans ce cas, S(x,y) s’écrit :
pour − a2 − 2ε < x < − a2 + 2ε et pour c < y < d
a
ε
a
ε
pour
et pour c < y < d
2 − 2 <x< 2 + 2
pour
tous les autres cas
̥[S(x,y) ,µ,υ]
̥[S(x,y) ,µ,υ]
1
=√ ×
2π
1
=√ ×
2π
"
̥[S(x,y) ,µ,υ] ∝ e
iµ( a
2)
̥[S(x,y) ,µ,υ] ∝ cos(
Z
+∞
−∞
"Z
Z
+∞
S(x,y) e−i(µx+υy) dxdy
−∞
−a/2+ε/2
−a/2−ε/2
Z
d
e−i(µx+υy) dxdy +
c
Z
a/2+ε/2
a/2−ε/2
Z
d
e−i(µx+υy) dxdy
c
#
# "
#
sin(µ 2ε )
sin(υ c−d
sin(µ 2ε )
sin(υ c−d
)
)
c+d
a
−iµ(
−iυ( c+d
−iυ(
)
)
)
2
2
2
2 ×
2
+ e
×e
×e
×
×
×
µ
υ
µ
υ
sin(µ 2ε ) sin(υ c−d
µa
2 )
)×
×
2
µ
υ
Théorème de Babinet
Considérons deux ouvertures complémentaires S1 etS2 , de manière à ce que la réunion des deux donne un
écran opaque. En l’absence de l’ouverture, l’intensité est nulle.
I = EE ∗ = 0 donc E = 0
S
Appliquons le principe de Huygens-Fresnel à la surface S = S1 S2
Z Z
Z Z
Z Z Z Z
Z Z
E=
dE =
+
dE =
dE +
S
S1
S2
S1
(7)
dE = E1 + E2 = 0
(8)
S2
2
Ainsi, E1 = −E2 . Or, comme I = C.ǫ
2.n E avec n = C/v et ǫ = ǫ0 .ǫr , on a I1 = I2 . Cela constitue le théorème de
Babinet : En dehors de l’image géométrique, les figures de diffraction données par deux écrans complémentaires
sont identiques.
7
La diffraction de Fresnel
La diffraction de Fresnel est plus "exacte" que la diffraction de Fraunhofer : les termes quadratiques dans
le développement limité de r ne sont désormais plus négligés. La diffraction de Fresnel permet donc de décrire
correctement les figures de diffraction observées lorsque la distance qui sépare le plan pupillaire du plan d’observation n’est plus très grande devant les autres dimensions du système. Nous savons que l’amplitude complexe
de l’onde diffractée par un diaphragme plan S, au point d’observation P s’écrit :
Z
eikr
dS
E0
E=
r
S
Exprimons r en fonction des coordonnées de M{x,y} et de P {X,Y,Z}, et effectuons le développement limité
approprié.
(X − x)2 + (Y − y)2
r = (X − x) + (Y − y) + Z
=Z 1+
Z2
(X − x)2 + (Y − y)2
(X − x)2 + (Y − y)2
≈
Z
+
r ≈Z 1+
2Z 2
2Z
2
2 1/2
2
1/2
il vient :
E = E0
Z
e λZ [(X−x)
i.π
2
+(Y −y)2 ]
dx dy
S
Si S est un spot lumineux circulaire, la figure de diffraction sera formée de cercles concentriques plus ou
moins illuminés. Les diamètres respectifs de ces cercles dépendent de la distance Z entre la source et l’écran
d’observation. Au contraire, si on utilise cette image de diffraction comme une source, (c’est à dire si l’on effectue une transformée de Fourier inverse), la lumière va être re-focalisée à la même distance Z de cette dernière.
Une image peut être vue comme un réseau 2D de points d’intensité différente. En décomposant les images
selon ce principe, le calcul numérique de la figure de diffraction de Fresnel ne pose aucune difficulté. L’intégrale
peut être remplacée par une somme discrète sur les coordonnées {xi ,yi } de chaque points. Dans certains cas, il
est aussi plus aisé de travailler dans l’espace réel en remplaçant les exponentielles complexes par des cosinus.
2π (X − xi )2 + (Y − yj )2
λ
2z
i,j
X
π(X − xi )2
π(Y − yj )2
π(X − xi )2
π(Y − yj )2
∝
cos
× cos
− sin
× sin
λz
λz
λz
λz
i,j
E(X,Y ) ∝
E(X,Y )
X
cos
8
Dispositif expérimental
Le montage optique
Vous disposez d’une source laser He-Ne (λ = 632.8 nm) munie d’un collimateur. Ce dernier permet d’élargir
le "spot" laser en conservant une distribution de lumière relativement homogène. En utilisant les supports dédiés,
placez sur le banc d’optique les divers éléments à votre disposition (lentilles de distances focales variées, diaphragme, objet, caméra CCD). Un des supports sont pourvus d’une table de déplacement XY micro-métrique :
utilisez-le de préférence pour y fixer les éléments que vous positionnerez avec précision dans le plan de Fourier.
Lors de la réalisation des montages, apportez un soin particulier à l’alignement des divers éléments. Nous vous
conseillons vivement de toujours réaliser un schéma (ou d’effectuer des calculs préliminaires) avant de réaliser
votre montage expérimental. Observez directement les images obtenues sur un écran ou bien enregistrez-les à
l’aide d’une caméra CCD.
Principe des mesures / observations avec le montage 4f
Réalisez le schéma ci-dessous. Effectuez des réglages précis afin d’obtenir une image nette. Positionnez dans
le plan de Fourier différents filtres et caches (de votre conception) et analysez les images obtenues. Que se
passe-t-il lorsque les éléments optiques ne sont pas placés exactement selon le modèle du "montage 4f" ? Testez
vos résultats avec le montage expérimental.
Tracé des rayons lumineux selon l’approche "optique géométrique"
Tracé des rayons lumineux selon l’approche "diffraction"
Expériences numériques sur PC
Certaines des manipulations réalisées sur le banc d’optique pourront être reproduite numériquement sur
PC. Vous êtes libres d’utiliser les logiciels qui vous conviennent le mieux pour les différentes tâches demandées
(MathLab, ImageJ, WXsM etc...). Il est toutefois conseillé d’utiliser le logiciel WxSM, dont les notions de base
sont rapidement présentées ci-dessous :
WxSM, de Nanotec electronics, est essentiellement un logiciel destiné au pilotage des systèmes de microscopie de champ proche. Mais il possède aussi des outils performants de traitement d’image que nous utiliserons
par la suite. Les formats des fichiers images que le logiciel est capable de lire sont très spécifiques et la plupart
9
des formats "courants" (bmp, jpg etc...) ne sont pas supportés 7 . En effet, les images pouvant être traitées par
le logiciel doivent représenter une "surface topographique", telle qu’elle est enregistrée par les microscopes de
champ proche (AFM, STM etc...). Chaque pixel d’une telle image, de coordonnée {x,y} est affecté d’un nombre
représentant la hauteur relative (coordonnée z) de ce point. Le logiciel représente alors les hauteurs par un code
de couleur "artificielle".
Le logiciel WxSM permet de générer des images artificielles à partir d’expressions mathématiques simples.
9 pour ouvrir la fenêtre "fonction générator". Générez quelques images à partir d’expresCliquez sur le bouton sions mathématiques simples (mettant en oeuvre des fonctions périodiques) puis traitez-les par TF. Expliquez
votre démarche et vos conclusions.
Il est aussi possible de traiter des images "naturelles" quelconques... Cependant, nous devons prendre un
soin particulier à leur format et "faire croire" au logiciel q’il s’agit d’une image "topographique". La notion
de couleur devra donc être abandonnée, et sera remplacée par l’utilisation de 256 niveaux de gris simulant 256
niveaux de "hauteur". Bien que non obligatoire, il est préférable d’utiliser des images carrées (même nombre
de pixel en X et en Y et même résolution). Enfin, l’image choisie devra être convertie au format *.TIFF (sans
compression), seul format que le logiciel WxSM est capable de lire. Nous vous conseillons d’utiliser le logiciel
gratuit "The GIMP" pour préparer une image quelconque dans le bon format TIFF. Une fois l’image chargée
4 et éventuellement changer son code de couleur (bouton
dans WsXM, pensez à lui donner une échelle (bouton )
6 La fenêtre de traitement des images par transformée de Fourier s’obtient en pressant le bouton .
1 Pensez
).
2 Parcourez le
alors à supprimer le pic d’auto-corrélation en sélectionnant les niveaux de couleur (bouton ).
WEB à la recherche d’images susceptibles d’être exploitées par TF, traitez les images et tirez-en les informations
requises en expliquant votre démarche.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2D-FFT (Transformée de Fourier 2D)
Sélection des niveaux de couleur
Inverse l’image (Blanc ⇔ noir)
Définir une échelle pour l’image
Visualisation 2D ou 3D
Modifie le code de couleur
Affiche ou masque l’échelle sur l’image
Ouvre un fichier (format *.TIFF uniquement)
Function generator (permet de former des images à partir de fonctions mathématiques simples)
Mode opératoire et directives
– Observez et commentez la figure de diffraction de quelques objets diffractant simples. Précisez les conditions expérimentales d’observation
– Réalisez le montage 4f comme indiqué sur le schéma ci-contre. Expliquer son fonctionnement et son intérêt.
Dessiner un schéma du montage et tracez le cheminement de quelques rayons lumineux (du point de vue
"diffraction" et du point de vue "optique linéaire"). Expliquez votre méthode.
– Que se passe-t-il lorsque les distances "4f" ne sont pas respectées ? Est-il possible d’agrandir l’image finale
par rapport à l’objet ? Justifiez votre réponse par des schémas et/ou mathématiquement.
7. Cependant, le logiciel est capable d’enregistrer les images au format .bmp
10
– Utilisez un des masques optiques de l’AIME comme objet, et placez différents filtres dans le plan de Fourier. Enregistrez grâce à la caméra CCD les images obtenues. Commentez et expliquez les effets produits ?
Justifiez l’utilisation des termes "filtre passe-haut", "filtre passe-bas", "champ clair" et champ sombre".
– P
Retrouvez les résultats précédents à l’aide du calcul numérique : construisez une image de type I(x,y) =
9 puis construisez sa "transformée de Fourier" (WsXM (n,m) cos (ωn .x + ωm .y) (WsXM - bouton )
1 L’image ainsi obtenue est-elle conforme à vos attentes ?
bouton ).
– Le dossier "TP Fourier" contient des exemples d’images adaptées à un traitement par transformée de
Fourier (voir annexe pour une description des images). Modifiez ces images en introduisant des filtres
"cut" ou "pass" dans leur transformée de Fourier (bouton "filters" du menu FFT dans WxSM). Comment
rendre floue une image ? Comment en améliorer le contraste ? Pensez à conserver une copie des images
avant et après traitement que vous consignerez dans votre rapport. Vous pouvez aussi utiliser vos propres
images 8
– Essayez de trouver (ou de réfléchir) à des applications concrètes de l’optique de Fourier, au traitement
des images ou autres techniques associées. Par exemple, le détramage d’une image ne peut-elle pas être
envisagée à l’aide de l’optique de Fourier ? Que pensez-vous de la diffraction de Fresnel ? De l’holographie ?
Quel est le point commun de toutes ces techniques ? Et si vous deviez remplacer les photons par les
électrons... ? Pouvez-vous citer des exemples d’instruments de "la vie de tous les jours" qui exploitent ces
phénomènes ? Réfléchissez aussi au rôle de l’ingénierie dans (la place d’un ingénieur) pour ces techniques
ou autres domaines exploitant les phénomènes reliés de près ou de loin à l’optique de Fourier. Cette
"ouverture" du sujet et cette réflexion autour du métier d’ingénieur devront être obligatoirement consignées
dans votre rapport ou présentation orale.
8. Convertissez votre image en noir et blanc avec 256 niveaux de gris, puis enregistrez-là dans le format *.TIFF à l’aide du
logiciel "the Gimp"
11