Brevet Blanc de décembre 2014 : exercice 3 Emma et Arthur ont

Brevet Blanc de décembre 2014 : exercice 3
Emma et Arthur ont acheté pour leur mariage 3 003 dragées au chocolat
et 3 731 dragées aux amandes.
1. Arthur propose de répartir ces dragées de façon identique dans 20
corbeilles. Chaque corbeille doit avoir la même composition.
Combien lui rest-t-il de dragées non utilisées ?
2. Emma et Arthur changent d'avis et décident de proposer des petits
ballotins* dont la composition est identique. Ils souhaitent qu'il ne
leur reste pas de dragées.
a) Emma propose d'en faire 90. Ceci convient-il ? Justifie.
b) Ils se mettent d'accord pour faire un maximum de ballotins.
Combien vont-ils en faire ?
(*) Un ballotin est un emballage pour confiseries.
Solution :
1. On partage 3 003 dragées en 20 donc :
3 003 = 20 x 150 + 3 (et 3 < 20) donc il y a 150 dragées au chocolat
par boîte et il en reste 3. De même :
3 731 = 20 x 186 + 11 (et 11 < 20) donc il y a 186 dragées aux
amandes par boîte et il en reste 11.
2. a) On partage 3 003 dragées en 90 donc :
3 003 = 90 x 33 + 33 (et 33 < 90) donc chaque boîte a 33 dragées et il
reste 33 dragées au chocolat. De même :
3 731 = 90 x 41 + 41 (et 41 < 90) donc chaque boîte a 41 dragées et il
reste 41 dragées aux amandes, donc ils peuvent faire 91 ballotins de
chacun 33 dragées au chocolat et 41 dragées aux amandes.
b) Trouvons le PGCD de 3 731 et 3 003 par l'algorithme d'Euclide :
3 731 = 3 003 x 1 + 728 (et 728 < 3 003) ;
3 003 = 728 x 4 + 91 (et 91 < 728) ;
728 = 91 x 8 + 0 (et 0 < 8) donc le PGCD de 3 731 et de 3 003 est le
dernier reste non nul donc 91 est le plus grand nombre de ballotins
possible pour qu'il ne reste aucun dragée.