Préparation au DNB : Fiche n°1

Préparation au DNB : Fiche n°1
Exercice 1 : 6 pts
20 min
Emma et Arthur ont acheté pour leur mariage 3 003 dragées au chocolat et 3 731 dragées
aux amandes.
1) Arthur propose de répartir ces dragées de façon identique dans 20 corbeilles. Chaque
corbeille doit avoir la même composition.
Combien lui reste-t-il de dragées non utilisées ? 2 pts
2) Emma et Arthur changent d’avis et décident de proposer des petits ballotins* dont la
composition est identique. Ils souhaitent qu’il ne leur reste pas de dragées.
a) Emma se propose d’en faire 90. Ceci convient-il ? Justifier. 1 pt
b) Ils se mettent d’accord pour faire un maximum de ballotins. Combien en feront-ils et
quelle sera leur composition ? 3 pts
*Un ballotin est un emballage pour confiseries, une boîte par exemple.
Exercice 1 :
1) 3 003 = 20 × 150 + 3. Si Arthur réalise 20 corbeilles, chacune d’entre elles contiendra 150
dragées au chocolat et il en restera 3.
3 731 = 20 × 186 + 11. Si Arthur réalise 20 corbeilles, chacune d’entre elles contiendra 186
dragées aux amandes et il en restera 11.
11 + 3 = 14. Il restera 14 dragées en tout non utilisées.
2) a) 3 003 = 90 × 33 + 33.
Si Emma réalise 90 ballotins avec le même nombre de dragées au chocolat dans chaque, il
lui en restera 33. Or elle ne veut pas de reste. Cela ne convient donc pas.
b) Emma et Arthur veulent faire des ballotins en utilisant l’intégralité des 3 003 dragées
au chocolat et en les répartissant équitablement. Je cherche donc un diviseur de 3 003.
De même, je cherche un diviseur de 3 731. Emma et Arthur veulent faire un nombre
maximal de sachets, je cherche donc le plus grand diviseur commun à 3 003 et à 3 731.
Méthode 1
Les diviseurs de 3 003 sont :
1 ; 3 ; 7 ; 11 ; 13 ; 21 ; 33 ;
39 ; 77 ; 91 ; 143 ; 231 ;
273 ; 429 ; 1 001 ; 3 003.
Les diviseurs de 3 731 sont :
1 ; 7 ; 13 ; 41 ; 91 ; 287 ; 733
; 3 731.
Les diviseurs communs de
3 003 et de 3 731 sont :
1 ; 7 ; 13 et 91.
Méthode 2
3 731 – 3 003 = 728
3 003 – 728 = 2 275
2 275 – 728 = 1 547
1 547 – 728 = 819
819 – 728 = 91
728 – 91 = 637
637 – 91 = 546
546 – 91 = 455
455 – 91 = 364
364 – 91 = 273
273 – 91 = 182
Méthode 3
3 731 = 1 × 3 003 + 728
3 003 = 4 × 728 + 91
728 = 8 × 91 + 0
182 – 91 = 91
91 – 91 = 0
PGCD(3 003 ;3 731) = 91. Emma et Arthur peuvent faire au maximum 91 ballotins.
3 003 ÷ 91 = 33. Il y aura dans chaque ballotin 33 dragées au chocolat.
3 731 ÷ 91 = 41. Il y aura dans chaque ballotin 41 dragées aux amandes.
Exercice 2 : 3 pts
10 min
« Je prends un nombre entier. Je lui ajoute 3 et je multiplie le résultat par 7. J’ajoute le
triple du nombre de départ au résultat et j’enlève 21. J’obtiens toujours un multiple de 10. »
Est-ce vrai ? Justifier.
Si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise
en compte dans l’évaluation.
Exercice 2 :
Soit x un nombre entier.
Je lui ajoute 3 et je multiplie le résultat par 7. J’obtiens l’expression : (x + 3) × 7
J’ajoute le triple du nombre de départ au résultat et j’enlève 21.
J’obtiens l’expression : (x + 3) × 7 + 3x – 21
Or (x + 3) × 7 + 3x – 21 = x × 7 + 3 × 7 + 3x – 21 = 7x + 21 + 3x – 21 = 10x
10x représentent bien un multiple de 10. C’est vrai.
Exercice 3 : 7 pts
25 min
Une commune souhaite aménager des parcours de santé sur son territoire. On fait deux
propositions au conseil municipal, schématisées ci-dessous :
 Le parcours ACDA
 Le parcours AEFA
Ils souhaitent faire un parcours dont la longueur s’approche le plus possible de 4 km. Peux-tu
les aider à choisir le parcours ? Justifie.
Attention : la figure proposée au conseil municipal n’est pas à l’échelle, mais les codages et les
dimensions données sont corrects.
(E’F’)//(EF)
AC = 1,4 km
CD = 1,05 km
AE’ = 0,5 km
AE = 1,3 km
AF = 1,6 km
E’F’ = 0,4 km
L’angle A dans le triangle AEF vaut 30°
Exercice 3 :
 Je calcule la longueur du parcours ACDA :
Dans le triangle ACD rectangle en C, d’après le théorème de Pythagore : AD2 = AC2 + CD2
Donc AD2 = 1,42 + 1,052 = 1,96 + 1,1025 = 3,0625 donc AD = 1,75 cm
Périmètre (ACD) = AC + CD + DA = 1,4 + 1,05 + 1,75 = 4,2
Le parcours ACDA mesure 4,2 km.
 Je calcule la longueur du parcours AEFA :
Dans le triangle AEF, E’ ∈ [AE], F’ ∈ [AF], et (E’F’)//(EF), d’après le théorème de Thalès :
AE' AF' E'F'
0,5 AF' 0,4
0,5 0,4
1,3 × 0,4
=
=
donc
=
=
donc
=
donc EF =
= 1,04
AE AF
EF
1,3 1,6 EF
1,3 EF
0,5
Périmètre (AEFA) = AE + EF + FA = 1,3 + 1,04 + 1,6 = 3,94
Me parcours AEFA mesure 3,94 km.
 Je trouve le parcours le plus proche de 4 km :
Pour le parcours ACDA : 4,2 – 4 = 0,2
Pour le parcours AEFA : 4 – 3,94 = 0,06
0,2 > 0,06 donc le conseil municipal va choisir le parcours AEFA.