Première ES - Schéma de Bernoulli – Loi binomiale

Schéma de Bernoulli – Loi binomiale
I) Epreuve et loi de Bernoulli
1) Définition
On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre , toute expérience aléatoire
admettant deux issues exactement :
• L’une appelée succès notée
• L’autre appelée échec notée
dont la probabilité de réalisation est
ou
dont la probabilité de réalisation est
Exemples
Exemples
1) Un lancer de pièce de monnaie bien équilibrée est une épreuve de Bernoulli de
paramètre
( le succès S étant indifféremment « obtenir PILE » ou « obtenir
FACE » ).
2) Un lancer de dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, dans
lequel on s’intéresse à l’apparition de S : « obtenir un 1» est une épreuve de Bernoulli
5
et la probabilité de ̅ est donc 1
de paramètre
6
3) Extraire une carte d’un jeu de 32 cartes et s’intéresser à l’obtention d’un as est une
7
et la probabilité de ̅ est donc 1 p épreuve de Bernoulli de paramètre
8
Illustration
Note historique : Jacques Bernoulli est un mathématicien suisse (1654 – 1705)
2) Propriété : loi de Bernoulli
Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre , si on appelle X la variable
aléatoire prenant la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec, on dit
que X est une variable de Bernoulli de paramètre , elle suit la loi de
Bernoulli de paramètre :
1
0
– P(X = )
Son espérance est E(X) =
, sa variance est V(x) =
son écart type est σ (X) =
et
.
II) Schéma de Bernoulli
1) Définition 1 : Schéma de Bernoulli
On appelle schéma de Bernoulli comportant épreuves ( entier naturel
non nul) de paramètre , toute expérience consistant à répéter fois de
façon indépendantes une même épreuve de Bernoulli de paramètre .
Exemples
Exemples :
1) 5 lancers successifs d’une pièce bien équilibrée, en appelant succès l’obtention de
PILE constitue un schéma de Bernoulli avec
et de paramètre
2) 10 lancers de dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, en
appelant succès l’apparition de S : « obtenir un 1» constitue un schéma de Bernoulli
avec 10 et de paramètre
Remarques :
• Un schéma de Bernoulli peut être illustré par un arbre (ci-dessous cas de
• Un résultat est une liste de
schéma à 5 épreuves )
• Le chemin codé
Illustration :
̅ ̅
issues
= 3)
ou ̅ ( par exemple { , ̅, ̅, , ̅ } dans un
̅ est un chemin qui réalise 2 succès lors de 5 répétitions.
2) Définition 2
On considère un schéma de Bernoulli de
nul), représenté par un arbre.
Pour tout
entier naturel
l’arbre réalisant
Par convention
succès lors des
épreuves (entier naturel non
, On note
le nombre de chemins de
répétitions.
=1
Exemples
Exemple :
Dans l’arbre représenté ci-dessus on a :
= 3 et
Pour
= 0 , il y a 1 seul chemin réalisant 0 succès donc
Pour
= 1 , il y a 3 chemins réalisant 1 succès donc
Pour
Pour
3
=1
0
3
=3
1
3
= 2 , il y a 3 chemins réalisant 2 succès donc
=3
2
3
= 3 , il y a 1 seul chemin réalisant 3 succès donc
=1
3
III) Propriétés des
1) Propriété 1
Pour tout entier naturel
,
≥0 ,
= 1 et
=1
Justification :
Dans un arbre, un seul chemin conduit à 0 succès lors de
donc
0
̅….. ̅
=1
Dans un arbre, un seul chemin conduit à
donc
répétitions c’est
succès lors de
répétitions c’est
….
=1
2) Propriété 2
Pour tous entiers naturels
et
=
tels que
Justification :
Si = 0, 0
donne = 0 , la propriété est vérifiée grâce à la convention
donnée dans la définition plus haut.
Si
> 0, alors sur l’arbre représentant le schéma de
nombre de chemins réalisant
Par ailleurs,
succès donc aussi
épreuves de Bernoulli
– échecs.
est le nombre de chemins réalisant
Par symétrie de l’arbre, on a donc
=
3) Propriété 3
Pour tous entiers naturels
=
et
tels que
+
succès.
est le
Justification :
est le nombre de chemins réalisant
succès dans un schéma de Bernoulli à
répétitions.
Ces succès sont obtenus :
• d’une part en réalisant – 1succès lors des – 1premières épreuves suivis d’un succès
1
x 1 chemins dans l’arbre.
1
lors de la dernière épreuve ce qui représente
succès lors des – 1 premières épreuves ce qui représente
• D’autre part en réalisant
1
chemins dans l’arbre.
1
+
1
=
D’où
1
Remarque importante:
Ces trois propriétés permettent de calculer les valeurs de
et pour tout
tel que
pour tout entier naturel
Exemple
Calculer
4
5
=
2
3
5
3
4
3
3
1
3
=
2
3
2
3
2
=3
=3
3
2
1
0
3
3
3
2
3
2
propriété 3
propriété 2 et propriété 1
1
1 = 3
2
1
3
1
1
3
1
3
= 3 + 3 +3 +1 = 10
2
2
1
propriété 3
propriété 3 et propriété 1
propriété 1
On comprend que ces calculs peuvent devenir fastidieux, c’est pourquoi on se
servira du résultat établi par Blaise Pascal dans le triangle suivant :
IV) Triangle de Pascal
Ce tableau triangulaire donne la valeur des
pour tout tel que colonne portant la valeur de .
pour tout entier naturel
et
à l’intersection de la ligne portant la valeur de n et de la
Remarque :
Ce tableau peut être poursuivi pour toutes valeurs de
k
et de
0
1
2
3
4
5
6
7
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
1
3
6
10
15
21
1
4
10
20
35
1
5
15
35
1
6
21
1
7
1
n
0
1
2
3
4
5
6
7
Valeur de
Propriété 1
Propriété 3
6 + 4 = 10
6
4
Propriété 1
La propriété 2 est illustrée par la symétrie existant sur chacune des lignes du tableau
V) Loi binomiale
1) Propriété
Dans un schéma de épreuves de Bernoulli de paramètre , la variable
aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de succès obtenus à pour loi
de probabilité :
P( )=
On dit que
pour tout entier
tel que
suit une loi binomiale de paramètres
et , notée
B(
,
)
Justification :
Dans un schéma de
valeurs 0, 1, 2,….,
épreuves de Bernoulli la variable qui compte les succès prend pour
Pour un entier compris entre 0 et , l’événement ( = ) est représenté dans l’arbre par
les chemins qui comportent
succès et – échecs, il y en a
Chacun de ces chemins comporte
1
Il en résulte que P( = ) =
fois
̅
x 1
et – fois ̅ et a donc pour probabilité :
Exemples :
1) On considère l’expérience suivante : On lance 10 fois de suite un dé bien équilibré
dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On appelle X la variable aléatoire qui prend la
valeur correspondant au nombre de fois où la face 1 apparaît.
a) Quelle est la loi suivie par la variable
?
b) Quelle est la probabilité de l’événement
=3?
c) Quelle est la probabilité que la face 1 apparaisse au moins 1 fois ?
Solution :
a) Les lancers étant identiques et indépendants
paramètres
b) P(
= 10 et
B(10 ,
=
suit une loi binomiale de
)
7
10 1 3 5 7
6 6 = 120 x 510  0,155
3
6
= 3) =
c) L’événement « la face 1 apparaît au moins une fois » correspond à l’événement
«
≥ 1 » qui a pour événement contraire «
=0»
Donc on a P(
≥1 )=1–P(
= 0 ) = 1
10
0
 0,838
2) Deux joueurs Alain et Bernard s’affrontent dans un tournoi de tennis. Alain et Bernard
jouent 9 matchs. La probabilité qu’Alain gagne un match est 0,6.Le vainqueur est celui
qui gagne le plus de matchs. Soit la variable aléatoire donnant le nombre de matchs
gagnés par Bernard.
a) Quelle est la loi suivie par
?
b) Ecrire l’événement « Bernard gagne le tournoi » à l’aide de
probabilité.
puis calculer sa
Solution :
a) Les matchs étant identiques et leurs résultats indépendants
B(9 , 0,4)
binomiale de paramètres = 9 et = 0,4
suit une loi
b) Bernard gagne le tournoi si il gagne au moins 5 matchs, donc si l’événement
«
≥ 5 » est réalisé
Or P(
≥ 5) = P(
P( ≥ 5)=
= 5) + P( = 6 ) + P(
= 7) + P(
= 8) +P(
= 9)
9
9
9
9
9
0,4 0,6 +
0,4 0,6 +
0,4 0,6 +
0,4 0,6 +
0,4
5
6
8
9
7
P(X≥ 5)  0,267
2) Espérance, Ecart type
L’espérance de la variable aléatoire X suivant une loi binomiale de
paramètres et
est E(X) =
et son écart type est
σ(X) =
Exemples
Dans l’exemple 1) précédent
E( ) = 10 x
=
 1,67
et σ (
)=
10 =
√

Dans l’exemple 2) précédent
E( ) = 9
0,4 = 3,6
σ ( ) = √9
0,4
0,6 = √2,16

1,47
1,18