Probabilités – Loi binomiale Exercices corrigés

Probabilités – Loi binomiale
Exercices corrigés
Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
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Exercice 1 : épreuve de Bernoulli
Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre
Exercice 3 : schéma de Bernoulli d’ordre
Exercice 4 : représentation d’un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré
Exercice 5 : loi binomiale de paramètres et
Exercice 6 : coefficient binomial et nombre de chemins d’un arbre
Exercice 7 : propriétés des coefficients binomiaux et formule du triangle de Pascal
Exercice 8 : calcul de probabilité avec la loi binomiale
Exercice 9 : espérance de la loi binomiale
Exercice 10 : variance de la loi binomiale
Exercice 11 : algorithme de simulation d’une expérience aléatoire (tirage d’une boule avec remise)
Probabilités – Loi binomiale – Exercices corrigés
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1
Exercice 1 (1 question)
Niveau : facile
Dans chacune des quatre situations suivantes, reconnaître une épreuve de Bernoulli en définissant le succès
la probabilité
associée.
et
 Situation 1 : On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on regarde si le
nombre obtenu est un multiple de 3.
 Situation 2 : On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes et on regarde si la carte tirée est un as.
 Situation 3 : On jette une pièce de monnaie non truquée.
 Situation 4 : On extrait une boule au hasard, d’une urne contenant 5 boules vertes et 2 boules rouges
toutes indiscernables au toucher, et on note sa couleur.
Correction de l’exercice 1
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Rappel : Epreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelée succès
(notée ) et l’autre appelée échec (notée
ou plus communément ).
 Situation 1 : On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on regarde si le
nombre obtenu est un multiple de 3.
On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour succès
« le nombre obtenu est un multiple de 3 » et pour échec
de 3 ».
l’événement
l’événement « le nombre obtenu n’est pas un multiple
Le dé cubique a pour faces les numéros 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Or, seuls les nombres 3 et 6 sont multiples de 3.
Autrement dit, 2 faces parmi les 6 faces du dé affichent un multiple de 3. Comme le dé est équilibré, la situation
est équiprobable et chaque face a 1 chance sur 6 de sortir. La probabilité d’obtenir un multiple de 3 est égale à
, c’est-à-dire à . On a donc
.
 Situation 2 : On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes et on regarde si la carte tirée est un as.
On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour succès
« la carte tirée est un as » et pour échec
l’événement
l’événement « la carte tirée n’est pas un as ».
Un jeu de 32 cartes comporte 4 as (l’as de pique, l’as de cœur, l’as de carreau et l’as de trèfle). Le tirage de la
carte se fait de manière aléatoire donc la situation est équiprobable et chaque carte a 1 chance sur 32 d’être
tirée. La probabilité
d’obtenir un des 4 as parmi les 32 cartes est donc donnée par
.
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2
 Situation 3 : On jette une pièce de monnaie non truquée.
On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour succès
« on obtient Pile » et pour échec
l’événement
l’événement « on obtient Face » (ou vice versa).
La pièce de monnaie n’étant pas truquée, la situation est équiprobable et chaque face de la pièce a la même
probabilité d’apparaître. La probabilité d’obtenir Pile est alors donnée par
.
 Situation 4 : On extrait une boule au hasard, d’une urne contenant 5 boules vertes et 2 boules rouges
toutes indiscernables au toucher, et on note sa couleur.
On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour succès
« on obtient une boule verte » et pour échec
l’événement
l’événement « on obtient une boule rouge » (ou vice versa).
Les 7 boules sont toutes indiscernables au toucher donc la situation est celle de l’équiprobabilité ; chaque boule
a 1 chance sur 7 d’être extraite de l’urne. La probabilité
d’obtenir une des 5 boules vertes parmi les 7
boules de l’urne est donc donnée par
.
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3
Exercice 2 (1 question)
Niveau : facile
On lance deux dés tétraédriques parfaits et on regarde si la somme des dés est supérieure ou égale à 5. Donner
la loi de probabilité associée à cette expérience.
Correction de l’exercice 2
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Rappel : Loi de Bernoulli
Une loi de Bernoulli de paramètre
sur l’ensemble
la probabilité
est une loi de probabilité définie
Issue
Probabilité
des issues d’une épreuve de Bernoulli, associant
au succès
et la probabilité
à l’échec .
On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour succès
l’événement
« la somme des dés est supérieure ou égale à 5 » et pour échec
strictement inférieure à 5 ».
l’événement « la somme des dés est
Le jet de 2 dés tétraédriques parfaits conduit à
issues. Parmi ces 16 issues, 10 correspondent à une
somme supérieure ou égale à 5.
1
2
3
4
5
Par conséquent,
.
Il vient alors que
.
1
2
3
4
dé 2
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
dé 1
Issue
D’où la loi de probabilité ci-contre :
Probabilité
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4
Exercice 3 (1 question)
Niveau : facile
Une urne contient 3 boules blanches et 12 boules noires, toutes indiscernables au toucher. On tire
successivement et avec remise 3 boules de l’urne. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 boules blanches au terme
des 3 tirages ?
Correction de l’exercice 3
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Rappel : Schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli d’ordre
est une répétition de
épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
L’expérience aléatoire qui consiste à tirer une boule de l’urne et à observer si la boule tirée est blanche peut être
modélisée par une épreuve de Bernoulli ayant pour succès l’événement « la boule extraite de l’urne est
blanche » et pour échec
l’événement « la boule extraite de l’urne est noire ».
Comme les 3 boules blanches et les 12 boules noires ne sont pas discernables au toucher, la situation est
équiprobable et chaque boule a 1 chance sur 15 d’être tirée de l’urne. On dénombre 3 boules blanches parmi le
lot de 15 boules donc la probabilité
d’obtenir une boule blanche est donnée par
.
On tire successivement et avec remise 3 boules de l’urne. Cette expérience aléatoire est la répétition de 3
épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de paramètre
. Autrement dit, l’expérience est un
schéma de Bernoulli d’ordre . Par conséquent, la probabilité d’obtenir 3 boules blanches au terme des 3 tirages
est égale à
.
Remarque importante : Si les tirages ont lieu sans remise, il ne s’agit plus d’un schéma de Bernoulli car les
expériences répétées ne sont plus ni identiques, ni indépendantes.
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Exercice 4 (1 question)
Niveau : facile
On fait tourner deux fois de suite la roue ci-contre,
parfaitement équilibrée, et dont les secteurs colorés
sont représentés par une même aire.
Représenter l’expérience à l’aide d’un arbre pondéré.
Correction de l’exercice 4
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L’expérience aléatoire qui consiste à faire tourner la roue ci-dessus et à observer la couleur du segment obtenu
peut être modélisée par une épreuve de Bernoulli ayant pour succès l’événement « le segment est vert » et
pour échec
l’événement « le segment est gris ».
Les 8 secteurs colorés sont tous de même aire et la roue est parfaitement équilibrée. Par conséquent, on a une
situation d’équiprobabilité : chaque segment a 1 chance sur 8 d’apparaître.
On dénombre 3 secteurs verts parmi les 8 secteurs colorés, donc la probabilité
d’obtenir un segment de roue
. En outre, la probabilité d’obtenir un segment de couleur grise est donnée par
vert est donnée par
.
On fait tourner deux fois de suite cette roue, ce qui correspond à la répétition de deux épreuves de Bernoulli,
identiques et indépendantes. Ce schéma de Bernoulli d’ordre 2 et de paramètre
peut être représenté par
l’arbre de probabilité suivant :
succès
succès
échec
succès
échec
échec
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Exercice 5 (1 question)
Niveau : facile
Un questionnaire à choix multiples (QCM) comporte 10 questions. Pour chacune d’elles, quatre réponses sont
proposées dont une seule correcte. Un élève répond au hasard à chaque question du QCM. On note le nombre
de réponses correctes qu’il a données. Préciser la loi de probabilité suivie par .
Correction de l’exercice 5
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Rappel : Loi binomiale de paramètres
et
Soit un schéma de Bernoulli d’ordre , répétition de
même paramètre , et soit
épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de
la variable aléatoire qui associe à cette répétition de
succès. La loi de probabilité de
est alors appelée loi binomiale de paramètres
et
épreuves le nombre de
et est notée
.
Le choix aléatoire d’une réponse à une question peut être modélisé par une épreuve de Bernoulli ayant pour
succès l’événement « la réponse choisie est la réponse correcte » et pour échec l’événement « la réponse
choisie est une réponse erronée ». A chaque question sont proposées 4 réponses, dont une seule correcte. Ainsi,
.
L’élève répond au hasard à chacune des 10 questions du QCM donc il y a répétition de 10 épreuves de
Bernoulli identiques et indépendantes. Autrement dit, l’expérience décrite est un schéma de Bernoulli d’ordre
.
La variable aléatoire
de succès ;
prend pour valeur le nombre de réponses correctes, c’est-à-dire comptabilise le nombre
suit donc la loi binomiale de paramètres
et
.
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Exercice 6 (1 question)
Niveau : facile
A l’aide d’un arbre, calculer les quatre nombres suivants :
Correction de l’exercice 6
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Rappel : Coefficient binomial
On représente à l’aide d’un arbre un schéma de Bernoulli, répétition de
indépendantes. Pour tout entier
tel que
épreuves de Bernoulli identiques et
, le nombre de chemins réalisant
succès est noté
et
appelé coefficient binomial.
En considérant l’arbre ci-contre, correspondant à la
répétition de 3 épreuves de Bernoulli identiques et
indépendantes, on dénombre
chemins.
succès
succès
échec
succès
succès
Ces chemins sont : « succès-succès-succès »,
« succès-succès-échec », « succès-échec-succès »,
« succès-échec-échec »,
« échec-succès-succès »,
« échec-succès-échec »,
« échec-échec-succès »,
« échec-échec-échec ».
échec
échec
succès
succès
échec
échec
succès
échec
échec
Un seul chemin réalise 3 succès ; il s’agit du
chemin « succès-succès-succès ».
succès
succès
On a donc
échec
.
succès
succès
échec
échec
succès
succès
échec
échec
succès
échec
échec
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8
Trois chemins réalisent 2 succès ; il s’agit des chemins « succès-succès-échec », « succès-échec-succès » et
« échec-succès-succès ». On a donc
.
succès
succès
succès
succès
succès
échec
succès
succès
échec
échec
succès
succès
succès
succès
échec
succès
échec
échec
échec
échec
succès
échec
succès
succès
succès
succès
échec
échec
succès
échec
échec
échec
échec
succès
succès
échec
succès
échec
échec
échec
échec
échec
Trois chemins réalisent 1 succès ; il s’agit des chemins « succès-échec-échec », « échec-succès-échec » et
« échec-échec-succès ». On a donc
.
succès
succès
succès
échec
succès
succès
échec
échec
succès
succès
succès
succès
échec
succès
échec
échec
échec
échec
succès
échec
succès
succès
succès
succès
échec
échec
succès
échec
échec
échec
échec
succès
succès
échec
échec
échec
Un seul chemin réalise 0 succès ; il s’agit du
chemin « échec-échec-échec ».
.
succès
échec
échec
On a donc
succès
succès
échec
succès
succès
échec
succès
succès
échec
échec
succès
succès
échec
échec
succès
échec
échec
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Exercice 7 (3 questions)
Par convention, on pose
Niveau : moyen
. De plus, pour tous entiers
1) Montrer que, pour tout entier
2) Montrer que, pour tous entiers
et
tels que
et
, on a :
non nul, on a :
et
tels que
et
, on a :
3) Calculer la somme suivante :
Correction de l’exercice 7
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1)
Remarque (autre démonstration) : Il y a en effet un seul chemin qui ne réalise aucun succès.
Remarque (autre démonstration) : Il y a en effet un seul chemin qui ne réalise que des succès.
2)
Remarque (autre démonstration) : Il y a autant de chemins qui réalisent
réalisent échecs, c’est-à-dire
succès.
succès que de chemins qui
Autre remarque : On dit que les coefficients binomiaux sont symétriques.
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Remarque importante (autre démonstration) : Cette égalité est également connue sous le nom de « formule
du triangle de Pascal », dont voici une autre démonstration (au programme).
On suppose
et on considère l’arbre à
Les chemins qui indiquent
répétitions d’une épreuve de Bernoulli.
succès sont de deux types. D’une part, ceux qui indiquent
premières répétitions ; il y en a donc
. D’autre part, ceux qui indiquent les
premières répétitions ; il y en a donc
répétitions, c’est-à-dire
.
chemins donnent
succès lors des
succès lors des
succès en
.
3)
correspond au nombre de chemins réalisant 0 succès dans un schéma de Bernoulli d’ordre . De même,
correspond au nombre de chemins réalisant 1 succès dans un schéma de Bernoulli d’ordre
etc. Par
conséquent, la somme considérée correspond au nombre de chemins réalisant 0 succès, 1 succès, … et succès,
soit toutes les branches de l’arbre 1 fois et 1 seule chacune. Comme l’arbre dispose de
branches, la somme
considérée vaut .
Autrement dit,
.
Remarque importante (autre démonstration) :
On peut également montrer cette égalité en utilisant
la formule du binôme de Newton. En effet, on a :
Rappel : Formule du binôme de Newton
Pour tous réels
et
et pour tout entier naturel
non nul, on a :
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Exercice 8 (3 questions)
Niveau : facile
Une usine fabrique des composants électroniques dont 5% présentent des défauts. On considère un échantillon
de 200 objets.
1) Quelle est la probabilité qu’aucun objet ne soit défectueux ?
2) Quelle est la probabilité qu’un seul objet soit défectueux ?
3) Quelle est la probabilité qu’au plus 3 objets soient défectueux ?
Correction de l’exercice 8
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Rappel : Probabilité d’un événement avec la loi binomiale
Si
est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres
alors, pour tout entier
tel que
et ,
,
.
Soit la variable aléatoire égale au nombre d’objets défectueux dans l’échantillon considéré.
binomiale de paramètres
et
.
suit alors la loi
1) Calculons la probabilité qu’aucun objet ne soit défectueux.
2) Calculons la probabilité qu’un seul objet soit défectueux.
3) Calculons la probabilité qu’au plus 3 objets soient défectueux.
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Exercice 9 (3 questions)
Niveau : moyen
Un fabricant produit et vend 400 consoles de jeux par mois. Le coût de fabrication est de 160 € par machine. Le
fabricant fait réaliser un test de conformité, dans les mêmes conditions, sur chacun de ses objets fabriqués. Le
test est positif dans 93% des cas et une console de jeux reconnue conforme peut alors être vendue 290 €. Si le
test est en revanche négatif, la console de jeux est bradée au prix de 150 €.
1) On note la variable aléatoire qui indique le nombre de consoles de jeux conformes parmi les 400
produites. Calculer l’espérance de .
2) On note la variable aléatoire qui indique le bénéfice mensuel, exprimé en euros. Calculer l’espérance
de et interpréter le résultat.
Correction de l’exercice 9
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Rappel : Espérance mathématique de la loi binomiale
Si
est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres
alors l’espérance mathématique de , notée
et ,
, est donnée par
.
1) Calculons l’espérance de .
Le test de conformité est une épreuve de Bernoulli dont le succès
est l’issue « la console de jeux est
conforme ». Le test est positif dans 93% des cas donc
. On répète 400 fois cette épreuve de
Bernoulli dans les mêmes conditions d’indépendance. On définit ainsi un schéma de Bernoulli d’ordre 400.
La variable aléatoire indique le nombre de consoles de jeux conformes parmi les 400, c’est-à-dire le nombre
de succès au test de conformité. suit donc la loi binomiale de paramètres
et
. Il vient alors
que
.
2) Calculons l’espérance de .
indique le nombre de consoles de jeux conformes. Par conséquent, le nombre de consoles de jeux non
conformes est donné par
. Le prix de vente en euros est alors égal à
, c’est-àdire à
. En outre, le prix de revient des 400 consoles est égal à
, c’est-à-dire à
euros. On en déduit le bénéfice mensuel en euros :
.
Rappel : Linéarité de l’espérance mathématique
En définitive,
Soient
.
et
deux variables aléatoires définies sur
le même univers
Le fabricant peut donc espérer un bénéfice mensuel
de
euros pour
consoles de jeux.
Pour tous réels
et soit
une probabilité sur
.
et , on a :
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Exercice 10 (1 question)
Niveau : moyen
On lance 50 fois un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6, truqué de telle sorte que la probabilité
de faire apparaître la face numérotée 6 soit supérieure à . On compte le nombre de 6 obtenus. Quelle doit être
la valeur de
pour que la variance de la loi de probabilité du nombre de 6 obtenus soit égale à 10 ?
Correction de l’exercice 10
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Rappel : Variance de la loi binomiale
Si
est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres
alors la variance de , notée
, est donnée par
et ,
.
Notons la variable aléatoire égale au nombre de 6 obtenus lors des 50 lancers du dé cubique. Les lancers étant
réalisés dans des conditions identiques et indépendantes, suit la loi binomiale de paramètres
et .
On cherche ainsi à résoudre l’équation
Or,
.
Posons
le discriminant du trinôme du second degré
Alors
.
donc le trinôme
Or,
, d’inconnue .
et
donc
admet deux racines réelles distinctes :
.
Le dé doit donc être truqué de telle sorte que la probabilité d’obtenir 6 soit égale à
.
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Exercice 11 (1 question)
Niveau : moyen
Une urne contient boules numérotées de 1 à . On tire au hasard, successivement et avec remise, boules de
l’urne, et on observe si, à chaque tirage, la boule tirée est numérotée ( entier compris entre 1 et ).
Ecrire un algorithme permettant de simuler cette expérience aléatoire.
Correction de l’exercice 11
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1 VARIABLES
2 nb_boules_dans_urne EST_DU_TYPE NOMBRE
3 numero_boule_a_tirer EST_DU_TYPE NOMBRE
4 numero_boule_tiree EST_DU_TYPE NOMBRE
5 occurrence_boule_a_tirer EST_DU_TYPE NOMBRE
6 compteur EST_DU_TYPE NOMBRE
7 nb_tirages EST_DU_TYPE NOMBRE
8 DEBUT_ALGORITHME
9 AFFICHER "Nombre de boules contenues dans l'urne : "
10 LIRE nb_boules_dans_urne (On demande à l’utilisateur de préciser le nombre de boules contenues dans l’urne.)
11 AFFICHER nb_boules_dans_urne
12 AFFICHER "Nombre de tirages : "
13 LIRE nb_tirages (On demande à l’utilisateur de préciser le nombre de tirages à effectuer.)
14 AFFICHER nb_tirages
15 AFFICHER "Numéro de la boule à tirer : "
16
numero_boule_a_tirer PREND_LA_VALEUR floor(random()*nb_boules_dans_urne+1) (On lance un calcul
automatique et aléatoire afin d’obtenir un numéro de boule compris entre 1 et le nombre de boules contenues
dans l’urne ; la fonction random() renvoie un nombre réel entre 0 et 1 et la fonction floor renvoie la partie
entière d’un nombre.)
17 AFFICHER numero_boule_a_tirer
18 occurrence_boule_a_tirer PREND_LA_VALEUR 0
19 AFFICHER "Tirages obtenus : "
20 POUR compteur ALLANT_DE 1 A nb_tirages
21 DEBUT_POUR
22
numero_boule_tiree PREND_LA_VALEUR floor(random()*nb_boules_dans_urne+1) ) (A chaque tour de
boucle, on effectue un tirage aléatoire d’une boule dont le numéro est compris entre 1 et le nombre de boules
contenues dans l’urne )
23
24
AFFICHER numero_boule_tiree
SI (numero_boule_tiree==numero_boule_a_tirer) ALORS (Si le numéro de la boule tirée correspond au
numéro de la boule à tirer, alors on augmente d’une unité le nombre d’occurrences d’affichages de cette boule.)
25
DEBUT_SI
26
occurrence_boule_a_tirer PREND_LA_VALEUR occurrence_boule_a_tirer+1
27
FIN_SI
28 FIN_POUR
29 AFFICHER "Nombre d'occurrences de la boule portant le numéro "
30 AFFICHER numero_boule_a_tirer
31 AFFICHER " parmi les "
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15
32
33
34
35
AFFICHER nb_tirages
AFFICHER " tirages : "
AFFICHER occurrence_boule_a_tirer
FIN_ALGORITHME
Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox
***Algorithme lancé***
Nombre de boules contenues dans l'urne : 10
Nombre de tirages : 5
Numéro de la boule à tirer : 6
Tirages obtenus :
2
7
2
1
Nombre d'occurrences de la boule portant le numéro 6 parmi les 5 tirages : 0
***Algorithme terminé***
***Algorithme lancé***
Nombre de boules contenues dans l'urne : 15
Nombre de tirages : 7
Numéro de la boule à tirer : 13
Tirages obtenus :
12
5
13
2
13
Nombre d'occurrences de la boule portant le numéro 13 parmi les 7 tirages : 2
***Algorithme terminé***
***Algorithme lancé***
Nombre de boules contenues dans l'urne : 5
Nombre de tirages : 8
Numéro de la boule à tirer : 1
Tirages obtenus :
4
3
1
1
2
Nombre d'occurrences de la boule numéro 1 parmi les 8 tirages : 2
***Algorithme terminé***
2
2
1
9
5
2
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