CHAPITRE 10 : CHUTE VERTICALE D`UN SOLIDE

CHAPITRE 10 : CHUTE VERTICALE D’UN SOLIDE
CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME
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• La force de pesanteur P exercée sur un objet de masse m, dont le centre d'inertie est situé en un point M à la
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surface de la Terre, peut s'exprimer sous la forme P = m g (M).
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• Le champ de pesanteur est caractérisé en chacun de ses points par le vecteur g (M).= g. k .
G . MT
→
Le vecteur k est dirigé vers le centre de la Terre et la valeur de g varie avec l’altitude. g = (R + z)²
T
Dans une zone peu étendue, le champ de pesanteur sera considéré comme localement uniforme, le vecteur
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unitaire k étant dans ce cas vertical descendant.
CHUTE VERTICALE AVEC FROTTEMENT
→
k
• Soit v la composante de la vitesse du centre d'inertie du solide sur un axe vertical descendant. Lors
d'une chute verticale dans un fluide immobile, l'équation différentielle de v(t) s'écrit:
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→
A = -mfluide g
dv
m. = (m – m fluide)g – f(v)
dt
-
m est la masse du solide.
mfluide représente la masse de fluide déplacé par le solide ;
mfluide.g est la valeur de la poussée d'Archimède exercée par le fluide sur le solide.
f(v) est la valeur de la force de frottement exercée par le fluide sur le solide en
mouvement dans le référentiel d'étude (sa valeur dépend de la vitesse).
→
f (v)
→
mg
• La vitesse tend vers une valeur asymptotique vlim appelée vitesse limite ; elle vlim
est théoriquement atteinte lorsque les forces se compensent. La force de
frottement correspondante f(vlim) vérifie la relation :
(m – m fluide)g = f(vlim)
• Le temps caractéristique τ est une estimation de la durée nécessaire pour
passer du régime initial au régime permanent (vlim est pratiquement atteinte
pour t ≈ 5τ).
τ
vlim
τ=
où ao est l’accélération initiale
ao
• On peut distinguer deux phases dans le mouvement : le régime transitoire (pour v < vlim) et le régime permanent
(v = vlim).
METHODE D’EULER
La méthode d'Euler permet d'obtenir une solution numérique approchée de l'équation différentielle du
mouvement de chute avec frottement. (voir TP )
CHUTE LIBRE. MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEMENT ACCELERE
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→
• Lors de la chute libre d'un solide, l'accélération a de G est égale à g . Lorsque la vitesse initiale de G est
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verticale ou nulle, le mouvement de G est vertical. À partir de d v /dt= g et des conditions initiales, on calcule la
coordonnée v(t) de la vitesse de G et ensuite son altitude z(t).
v(t) = -gt + vo et
z(t) = - ½ gt2 + vot + zo où l'axe (0 ;→
k ) est vertical ascendant.
• Plus généralement, lorsque G est en mouvement rectiligne uniformément accéléré, la trajectoire de G est une
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→
portion de droite et son vecteur accélération a = a. i est constant pendant la durée du mouvement. Les conditions
→
initiales sont vo et xo. Alors:
x(t) = ½ at² + vo.t + xo est l'équation horaire du mouvement.
Savoir-faire
Définir un champ de pesanteur uniforme.
Connaître les caractéristiques de la poussée
d’Archimède
Appliquer la deuxième loi de Newton à un
corps en chute verticale dans un fluide et
établir l’équation différentielle du
mouvement, la force de frottement étant
donnée.
Connaître le principe de la méthode d’Euler
pour la résolution approchée d’une équation
différentielle.
Définir une chute libre, établir son équation
différentielle et la résoudre
Définir un mouvement rectiligne
uniformément accéléré.
Savoir exploiter des reproductions d’écrans
d’ordinateur (lors de l’utilisation d’un tableur
grapheur) correspondant à des
enregistrements expérimentaux
Savoir exploiter des courbes vG = f(t) pour :
- reconnaître le régime initial et/ou le régime
asymptotique.
- évaluer le temps caractéristique
correspondant au passage d’un régime à
l’autre.
- déterminer la vitesse limite.
Dans le cas de la résolution par
la méthode itérative de l’équation
différentielle, discuter la pertinence des
courbes obtenues par rapport aux résultats
expérimentaux (choix du pas de résolution,
modèle proposé pour la force de frottement).
Savoir-faire expérimentaux
Savoir enregistrer expérimentalement le
mouvement de chute d’un solide dans l’air
et/ou dans un autre fluide en vue de
l’exploitation du document obtenu.
Utiliser un tableur ou une calculatrice pour
résoudre une équation différentielle par la
méthode d’Euler.