Correction

Colle no 7 : Corrigé
I
Simulation de VAR suivant des lois discrètes usuelles
Exercice 1:
1. On a X(Ω) = [[1; n]] et toutes les valeurs prisens par X sont équiprobables donc X suit la loi uniforme
sur [[1; n]]
2. PROGRAM uniforme ;
VAR k,n :INTEGER ;
BEGIN
RANDOMIZE ;
WRITE(’Entrez un entier n ’) ;READLN(n) ;
FOR k :=1 TO 50 do WRITE(RANDOM(n)+1) ;
END.
Exercice 2:
Exercice 3:
1. PROGRAM bernouilli1 ;
VAR p :REAL ; X :INTEGER ;
BEGIN
RANDOMIZE ;
WRITE(’Entrez un réel p ’) ;READLN(p) ;
IF RANDOM <p then X :=1 ELSE X :=0 ;
WRITE(X) ;
END.
2. PROGRAM bernouilli2 ;
VAR p :REAL ; X,k :INTEGER ;
BEGIN
RANDOMIZE ;
WRITE(’Entrez un réel p ’) ;READLN(p) ;
FOR k :=1 TO 50 DO BEGIN
IF RANDOM <p then X :=1 ELSE X :=0 ;
WRITE(X) ;
END ;
END.
Informatique
PROGRAM binomiale ;
VAR p :REAL ; n,k,X :INTEGER ;
BEGIN
RANDOMIZE ;
WRITE(’Entrez un réel p ’) ;READLN(p) ;
WRITE(’Entrez un entier n ’) ;READLN(n) ;
X :=0 ;
FOR k :=1 TO n DO IF RANDOM <p then
X :=X+1 ;
WRITE(X) ;
END.
Page 1
Exercice 4:
PROGRAM geometrique ;
VAR p :REAL ; X :INTEGER ;
BEGIN
RANDOMIZE ;
WRITE(’Entrez un réel p ’) ;READLN(p) ;
X :=0 ;
REPEAT X :=X+1 UNTIL RANDOM < p ;
WRITE(X) ;
END.
Colle no 7 : corrigé
II
Tableaux et lois discrètes usuelles
Exercice 5:
Exercice 6:
Program tableauBinomiale ;
Program tableauBernoulli ;
var i,n,k,j :integer ; T :array [1..50] of integer ;
var i,n,k :integer ; T :array [1..50] of integer ;
p :real ;
p :real ;
begin
begin
randomize ;
randomize ;
write(’Entrer un réel p compris entre 0 et 1’) ;
write(’Entrer un réel p compris entre 0 et 1’) ;
readln(p) ;
readln(p) ;
for i :=1 to 50 do
for i :=1 to 50 do
begin
begin
T[i] :=0 ;
if random<p then T[i] :=1 else T[i] :=0 ;
for j :=1 to 100 do
if random<p then T[i] :=T[i]+1 ;
write(T[i],’ ’) ;
write(T[i],’ ’) ;
end ;
end ;
n :=0 ;
n :=0 ;
for k :=1 to 50 do
for k :=1 to 50 do
begin
begin
if T[k]=1 then n :=n+1 ;
if T[k]>= 100*p then n :=n+1 ;
end ;
end ;
write(’Le nombre 1 apparait ’,n,’ fois dans le
write(’Le nombre de d élément plus grand que
tableau’) ;
’,100*p,’ est ’,n) ;
end.
end.
III
EML 1997
Exercice 7:
1. Z compte le nombre de fois où l’événement
obtenir 6 ≫ se produit au cours de N lancers de dé
1
identiques. Comme la probabilité d’obtenir 6 est toujours de , on peut dire que Z suit une loi
6
1
binomiale de paramètres N et .
6
n N −n
1
5
N
Ainsi Z(Ω) = [[0; N]] et pour tout n ∈ Z(Ω), P (Z = n) =
n
6
6
N
5N
On a donc que E(Z) =
et V (Z) =
.
6
36
2. Lorsque l’on sait que l’événement [Z = n] s’est produit, X compte le nombre d’apparition de pile
au cours de n lancers identiques d’une pièce. La loi conditionnelle de X à [Z = n] suit donc une loi
binomiale de paramètres n et p :
≪
n k n−k
si 0 6 k 6 n P[Z=n] (X = k) =
p q
k
si k > n P[Z=n](X = k) = 0
3. On sait que P ([X = k] ∩ [Z = n]) = P (Z = n)P[Z=n](X = k). Donc, grâce à la loi de Z, on a bien :
N −n n
1
5
n
N
n−k
k
- si 0 6 k 6 n 6 N alors P ([X = k] ∩ [Z = n]) =
· p (1 − p)
k
n
6
6
- si n > N ou k > n alors P ([X = k] ∩ [Z = n]) = 0
Informatique
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Colle no 7 : corrigé
4. D’après la formule des probabilités totales appliquée avec le système complet d’événements
([Z = n])n=0,...,N , on a
N
X
P (X = 0) =
P ([X = 0] ∩ [Z = n])
n=0
N X
N −n n
1
5
N
n
=
(1 − p)
n
6
6
n=0
n N −n
N X
1−p
5
N
=
n
6
6
n=0
N
5 1−p
=
+
formule du binome
6
6
p N
= 1−
6
5. Pour 0 6 k 6 n 6 N :
n!
N!
N
n
=
n
k
k!(n − k)! n!(N − n)!
N!
=
k!(n − k)!(N − n)!
N!
(N − k)!
=
k!(N − k)! (n − k)!(N − k − (n − k))!
N −k
N
=
n−k
k
Pour k 6 N, d’après la formule des probabilités totales appliquée avec le système complet d’événements
([Z = n])n=0,...,N , on a
P (X = k) =
N
X
n=0
P ([X = k] ∩ [Z = n]) =
k−1
X
P ([X = k] ∩ [Z = n]) +
n=0
N
X
P ([X = k] ∩ [Z = n])
n=k
N −n n
N X
5
1
N
N −k k
n−k
p (1 − p)
=
k
n−k
6
6
n=k
N −k−i i+k
NX
−k 5
1
N −k
N
i
k
(1 − p)
p
=
changement d’indice i = n − k
i
k
6
6
i=0
N −k−i i
k NX
−k 5
1
1
N −k
N
i
k
(1 − p)
p
=
i
k
6
6
6
i=0
i N −k−i
N
−k 1−p
5
p k X N −k
N
=
i
k
6
6
6
i=0
N −k
p k 1−p 5
N
=
+
k
6
6
6
p N −k
p k
N
1−
=
k
6
6
Pour k > N, toujours grâce à la formule des probabilité totales, on a P (X = k) = 0
Informatique
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Colle no 7 : corrigé
6. D’après la question précédente, Xprend ses valeurs dans {0, · · · , N} et d’après la formule trouvée
p
pour P (X = k) on a bien X ֒→ B N,
6
On peut appliquer les questions 3 et 4 en remplaçant X par Y et en échangeant le rôle de p et 1 − p.
On obtient alors pour tout 0 6 k 6 N,
k N −k
1−p
1−p
N
P (Y = k) =
1−
k
6
6
1−p
.
6
7. • L’événement [X = N] ∩ [Y = N] est impossible car on peut effectuer au plus N lancers de la
pièce et on ne peut donc pas obtenir N pile et N face. Donc P ([X = N] ∩ [Y = N]) = 0. Or
N
p N
1−p
P (X = N) =
et P (Y = N) =
, donc P (X = N)P (Y = N) 6= 0.
6
6
Les variables X et Y ne sont donc pas indépendantes.
• Pour déterminer la loi du couple (X, Y ), il nous faut trouver P ([X = i]∩[Y = j]) pour i, j ∈ [[0; N]].
Or on peut remarquer que P ([X = i] ∩ [Y = j]) = P ([X = i] ∩ [Z = i + j]) donc d’après la question
3. on a
Donc Y suit une loi binomiale de paramètres N et
P ([X = i] ∩ [Y = j]) =
N
i+j
N −i−j i+j
1
5
i+j i
j
p (1 − p)
i
6
6
Np(6 − p)
N(1 − p)(5 + p)
5N
, V (X) =
et V (Y ) =
36
36
36
De plus comme Z = X + Y , V (Z) = V (X) + V (Y ) + 2cov(X, Y ), donc on en déduit que :
8. On sait que V (Z) =
cov(X, Y ) =
Informatique
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Np(p − 1)
36
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