Centre d`inertie, Opérateur d`inertie I CENTRE D`INERTIE

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CI8 – DYNAMIQUE DES SYSTEMES
Centre d’inertie, Opérateur d’inertie
I CENTRE D’INERTIE
Un point G est centre d’inertie du système matériel Σ s’il vérifie la relation :
∫ GPdm( P) = 0
P∈Σ
avec dm( P) = µ (P )dv et µ (P ) la masse volumique au point P
Position du centre d’inertie G :
m(Σ )OG =
∫ OPdm(P)
P∈Σ
Avec O un point quelconque fixé
Si Σ présente des éléments de symétrie matérielle (symétrie géométrique et de la
distribution massique) alors le centre d’inertie appartient à ces éléments.
II THEOREMES DE GULDIN
Idée : ne pas passer par le calcul de l’intégrale afin de déterminer le centre d’inertie G
dans certains cas particuliers
Théorème 1 : La surface latérale engendrée par la rotation d’une ligne (plane) L autour
d’un axe ∆ coplanaire à L et ne la coupant pas est égale au produit de la circonférence
décrite par le centre d’inertie G de la ligne L et la longueur L de la ligne L.
Remarque : La masse linéique de la ligne L doit être constante et est notée µl
S latérale = 2π . yG .L
y
Démonstration :
M L OG = ∫ OPµ L dl
L : longueur (L)
P∈L
µ L . L . OG . y = µ L . L . yG = µ L
×G
∫ y p dl avec µL constante
yG
P∈L
Or Slatérale = 2π . ∫ y P dl = 2π .yG .L
P∈L
O
∆
x
Théorème 2 : Le volume engendré par la rotation de la surface plane S autour d’un axe
∆ coplanaire à S et ne la coupant pas est égale au produit de la circonférence décrite
par le centre d’inertie G de la surface S et l’aire S de la surface S.
Remarque : La masse surfacique de la surface S doit
y
être constante et est notée µ S
S : aire (S)
Vengendré = 2π . yG .S
×G
Démonstration :
M S OG = ∫ OPµ S ds
yG
O
x
∆
P∈S
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µ S . S . OG . y = µ S . S . yG = µ S
∫y
P
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ds avec µS constante
P∈S
Or Vengendre = 2π . ∫ y P ds = 2π .yG .S
P∈S
III MOMENT D’INERTIE PAR RAPPORT A UN AXE
Notons :
ur ur
• ∆(Q; δ ) , δ étant unitaire
• H la projection de orthogonale de P sur ∆
On appelle moment d'inertie
rapport à un axe la quantité
IS/∆ =
∫ PH
2
∆
P
z
y
d'un solide S par
H
δ
Q
x
dm( P )
P∈S
Le moment d'inertie caractérise la manière dont la masse est répartie dans le solide S
autour de l'axe ∆ et est lié à la facilité ou non de mettre en rotation S autour de ∆ : plus
I S / ∆ est grand, plus S est difficilement mis en rotation autour de ∆ .
L'unité d'un moment d'inertie est le kg.m2.
IV
OPERATEUR D’INERTIE D’UN SOLIDE
Le moment d'inertie I S / ∆ =
2
∫ PH dm( P) peut facilement être calculé en utilisant le fait
P∈S
2
que PH = PH
Donc I S / ∆ =
2
(
)(
) (( ) )
∫ δ ⋅ ((QP ∧ δ )∧ QP )dm( P) = δ ⋅ ∫ ((QP ∧ δ )∧ QP )dm( P)
= QP ∧ δ = QP ∧ δ ⋅ QP ∧ δ = δ ⋅ QP ∧ δ ∧ QP
2
∫ PH dm( P) =
P∈S
P∈S
P∈S
r
L’application linéaire qui a tout vecteur u fait correspondre
uuur r uuur
QP
∫ ∧ (u ∧ QP) dm( p ) est appelé opérateur d’inertie du solide (S) au point Q.
S
(
On a la relation I S / ∆ = δ . I (Q, S ) .δ
le
vecteur
)
Cette application est linéaire (produit vectoriel + intégrales) et est représentable par une
matrice symétrique dans une base donnée.
a
Calculons les termes de la matrice d’inertie : on pose u = b dans R(O, x, y, z ) .
c
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(
x
)
a
CI8 – DYNAMIQUE DES SYSTEMES
x
x
zb − yc
y 2 a + z 2 a − xy.b − xz.c
QP ∧ u ∧ QP = y ∧ b ∧ y = y ∧ xc − za = x 2b + z 2b − yz.c − xy.a
z c z z ya − xb x 2 c + y 2 c − xz.a − yz.b
En utilisant la notation matricielle, on remarque que ce terme peut s’écrire comme le
produit de deux matrices :
 y2 + z2
− xy
− xz  a 


QP ∧ u ∧ QP =  − xy
x2 + z2
− yz .b  . En intégrant sur S on obtient finalement en
 − xz
− yz
x 2 + y 2   c 

simplifiant par u :

2
2
 ∫ ( y + z ).dm
S
I (Q, S ) =  − ∫ xy.dm

S
 − xz.dm
∫S


•
•
− ∫ xy.dm
∫
S
2
( x + z ).dm
2
S
− ∫ yz.dm
S


S
  A
− ∫ yz.dm  = − F

S
− E
2
2
( x + y ).dm 


− ∫ xz.dm
∫
S
−F
− E
B − D 
− D C  Q ,(x , y , z )
A, B, C sont appelés respectivement moments d’inertie par rapport aux axes
(Q, x) , (Q, y ) , (Q, z ) .
D, E, F sont appelés respectivement produits d’inertie par rapport aux plans
(Q, y, z ) , (Q, x, z ) , (Q, x, y ) .
La matrice est symétrique à valeurs réelles, il est donc possible de trouver une base
orthonormée pour laquelle la matrice d’inertie est diagonale. Cette base est appelée
base principale d’inertie du solide S.
A
r  1
[Ι(Q, S )] u =  0
0

0
B1
0
0
r

0
u
C1 (Q , xr1 , uyr , rz1 )
1
r ur r
x1 , y 1 , z 1
sont les axes principaux d’inertie.
A1, B1, C1 sont les moments principaux d’inertie.
Le repère dont l’origine est le centre d’inertie G du solide S et dont les axes sont
parallèles à ceux de la base principale d’inertie du solide S, est appelé repère central
d’inertie.
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CI8 – DYNAMIQUE DES SYSTEMES
V CAS DES SYMETRIES MATERIELLES
But : Réduire les calculs (et donc les erreurs) en mettant en évidence des propriétés
simplifiant la matrice d’inertie et en choisissant des bases d’expression
particulières
Symétrie matérielle=symétrie géométrique + symétrie au niveau de la répartition des
masses.
V.1 Solide possédant un plan de symétrie
r ur r
S possède un plan de symétrie ΠS passant par Q. Choisissons un repère RS (Q, x, y, z ) tel
r ur
que le plan (Q, x, y ) soit confondu avec ΠS. La symétrie associe à tout point P(x,y,z) le
point P’(x,y,-z). La matrice d’inertie en Q dans la base considérée s’écrit alors :
 A
r 
[Ι(Q, S )] u =  − F
 0

−F
0
r

0
u
C ( Q , rx , uyr , rz )
B
0
Q
Si z est la normale d’un plan de symétrie matérielle de S alors les produits
d’inertie en z à savoir D = ∫ yz.dm( P) et E = ∫ xz.dm( P) sont nuls.
S
S
V.2 Solide possédant deux plans de symétries
Si S possède deux plans de symétrie perpendiculaires (ce qui est le cas s’il y en a
deux), les produits d’inertie en Q sont nuls dans une base orthonormée dont les axes
appartiennent aux plans de symétrie. La matrice est diagonale.
A 0 0
r 
r
u
[Ι(Q, S )] u =  0 B 0 
 0 0 C  r ur r

(Q , x , y , z )
Q
V.3 Solide de révolution
r
S présente une symétrie matérielle de révolution autour d’un axe (Q, z ) .La matrice
r
d’inertie en Q dans un base contenant l’axe z est.
A 0 0
r 
r
u
[Ι(Q, S )] u =  0 A 0 
 0 0 C  r ur r

(Q , x , y , z )
Q
avec 2 A = C + 2 ∫ z 2 dm( p )
S
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VI
Cours
CI8 – DYNAMIQUE DES SYSTEMES
THEOREME DE HUYGENS
But : déterminer la matrice d’inertie de S en Q à partir de I(G,S) avec G, le centre
d’inertie.
r
uuur
r
uuur
[Ι(Q, S )] u = ∫ QP ∧ (u ∧ QP) dm( p )
S
Q
uuur uuur uuur
QP = QG + GP
r
uuur uuur
r uuur
uuur r uuur
uuur r uuur
Ι(Q, S ) u = ∫ (QG + GP) ∧ (u ∧ QP) dm( p ) = ∫ QG ∧ (u ∧ QP) dm( p ) + ∫ GP ∧ (u ∧ QP
{ ) dm( p )
uuur uuur
S
S
S
QG + GP



r uuur
r  uuur
uuur r uuur
   uuur
 r uuur

[Ι(Q, S )] u = QG ∧  u ∧  ∫ QP dm( p )   +  ∫ GP dm( p )  ∧ (u ∧ QG) + ∫ GP ∧ (u ∧ GP) dm( p )
S
S
S
14
144424443
4244
3  14
4244
3

r
uuur
r
I (G , S ) u
0
mS QG


r
r
uuur r uuur
Ι(Q, S ) u = I (G, S ) u + mS QG ∧ (u ∧ QG )
Conclusion : La matrice d’inertie en Q de S s’exprime à partir de la matrice d’inertie
de G en S et d’une matrice d’inertie I(Q,G m(s)).
r
r
r
[Ι(Q, S )] u = [ I (G, S )] u +  I (Q, G m( S ) )  u
x 
uuur  G 
avec QG =  yG 
 zG 
 yG2 + zG2 − xG yG

on a  I (Q, G m( S ) )  = m( S )  − xG yG xG2 + zG2
 − xG zG − yG zG

r
r
uuur r uuur
[Ι(Q, S )] u = [ I (G, S )] u + mS QG ∧ (u ∧ QG)
− xG zG 

− yG zG 
xG2 + yG2 
Remarque : C’est par rapport à des axes passant par le centre d’inertie d’un solide que
les moments d’inertie sont minimaux.
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Cours App2
CI8 – DYNAMIQUE DES SYSTEMES
VII APPLICATIONS
VII.1 Cylindre plein et creux
On considère un cylindre plein de rayon R et de hauteur h, de masse volumique µ
uniforme.
r
z
• Déterminer la position du centre d’inertie.
• Déterminer l’opérateur d’inertie en O
• Déterminer l’opérateur d’inertie en G
ur
y
r
x
• Déterminer la position du centre de gravité ainsi que
l’opérateur d’inertie en G d’un cylindre creux de rayon
extérieur R et de rayon intérieur r
O
Quelques opérateurs à connaître (par cœur)
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