Chapitre 4.6 –Le théorème des axes parallèles

Chapitre 4.6 –Le théorème des axes parallèles
Le théorème des axes parallèles
Le théorème des axes parallèles permet d’évaluer l’inertie I d’un corps par rapport à un axe
de rotation quelconque à partir de l’inertie I CM du corps par rapport à un axe parallèle
passant par le centre de masse CM du corps et de la distance h entre les deux axes :
I  mh 2  I CM
où
h
I : Inertie de l’objet en rotation ( kg  m 2 )
m : Masse de l’objet en rotation (kg)
h : Distance entre l’axe de rotation et un axe parallèle
passant par le centre de masse CM (m)
I CM : Inertie de l’objet en rotation autour d’un axe
passant par le centre de masse CM et parallèle à
l’axe de rotation ( kg  m 2 )
CM
m *
axe
centre
masse
axe
rotation
En d’autres mots, on peut visualiser le théorème des axes parallèles grâce au schéma cidessous :
I
h
=
CM
m *
axe
centre
masse
mh2
CM
*
I CM
+
h
m
axe
rotation
CM
m *
axe
rotation
axe
centre
masse
Preuve : (deux dimensions)
Considérons un corps dans le plan xy de
densité surfacique  quelconque et de
masse m. Situons l’origine du système
d’axe xy à l’endroit où le centre de masse
CM est situé. Faisons tourner le corps
autour d’un axe A parallèle à l’axe z situé
à la coordonnée x A et y A par rapport à
notre système d’axe xy. Définissons la
distance h entre l’axe de rotation et l’axe
passant par le centre de masse CM :
y m 
yA
*
CM
h  xA  yA
2
A
h
xA
xm 
2
(par Pythagore)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 1
Puisque l’origine du système d’axe coïncide avec le centre de masse CM, nous pouvons
affirmer que xCM  0 et y CM  0 . Ceci nous permet d’affirmer les relations suivantes :
1
x dm
m
1
  y dm
m
xCM 

 x dm  m x
y CM

 y dm  m y
CM
CM
Évaluons l’expression de l’inertie dI d’un
élément de masse dm du corps :

 x dm  0
car xCM  0

 y dm  0
car
y CM  0
y m 
dI  r 2 dm
et
r
y
yA
 x  x A 2   y  y A 2
h  xA  yA
2
*
2
CM
r
A
h
rCM
x
xA
xm 
rCM  x 2  y 2
Évaluons l’inertie totale I du corps en introduisant la mesure h  x A  y A
2
2
:
I   dI
(Inertie totale)

I   r 2 dm
(Définition de l’inertie)

I    x  x A    y  y A  dm



I   x  2 x x  x   y  2 y y  y dm
I   x  y  x  y  2 x x  2 y y dm
I   r
 h  2 x x  2 y y dm

I   rCM dm   h 2 dm    2 x x A dm    2 y y A dm
(Distribuer l’intégrale)

I   rCM dm  h 2  dm  2 x A  x dm  2 y A  y dm
(Factoriser constantes)

I   rCM dm  h 2  dm  2 x A 0   2 y A 0 
(  x dm  0 et

I   rCM dm  h 2 m 
( m   dm )

I  I CM  mh 2
(Inertie au CM : I CM   rCM dm )


2
2
2
2
A
2
A
2
2
A
2
A
2
2
2
A
A
A
A
2
CM
A
A
2
2
2
2
■
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(Remplacer r 2 )
(Développer termes au carré)
(Regrouper termes)
2
(Remplacer rCM et h 2 )
 y dm  0 )
2
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Situation A : Le moment d’inertie d’une pendule simple. Un
pendule simple fixé à un plafond est constitué d’une tige de masse
mT de longueur L et d’une sphère de masse mS de rayon R fixée à
l’extrémité de la tige en son centre (voir schéma ci-contre). Le
pendule oscille autour d’un axe perpendiculaire aux oscillations
passant par l’extrémité de la tige où le pendule est fixé au plafond.
On désire déterminer le moment d’inertie du pendule (a) lorsqu’on
néglige la masse de la tige ( mT  0 ) et le rayon de la sphère
( R  0 ) (masse ponctuelle), (b) lorsqu’on néglige seulement la
masse de la tige et (c) lorsqu’on néglige aucun paramètre.
mT
L
R
mS
(a) Puisque la masse de la sphère est ponctuelle et que l’on néglige la masse de la tige, le
moment d’inertie sera égal à l’expression d’une masse ponctuelle :
I  mS r 2

I  mS L2
(Remplacer r  L )
(a)
(b) Puisque l’on néglige la masse de la tige, évaluons le moment d’inertie de la sphère à
l’aide du théorème des axes parallèles :
I  IS
N.B.

I  mS h 2  I CM S
(Théorème axe parallèle)

2

2
I  mS L    mS R 2 
5

( I CM sphère 

2 

I S  mS  L2  R 2  (b)
5 

(Factoriser mS , I  I S )
2
mR 2 , h  L )
5
Plus la sphère est grosse ( R  ), plus l’inertie est importante.
(c) Puisque l’on néglige aucun paramètre, évaluer le moment d’inertie du pendule à l’aide
du moment d’inertie de la sphère obtenu en (b) :
I  IT  IS

2 
1
  
I   mT L2    mS  L2  R 2  
5 
3
  
1
( I tige extrémité  mL2 , remplacer I S )
3

1
2
I  mT L2  mS L2  mS R 2
3
5
(Distribuer mS )

2
1

I   mT  mS  L2  mS R 2
5
3

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(c)
(Factoriser L2 )
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