2) Principe du haut-parleur électrodynamique a) description

2) Principe du haut-parleur électrodynamique
a) description
Le 10 décembre 1877 que fut accordé à C.H Siemens le premier brevet concernant un hautparleur (H.P) à bobine mobile.
En 1876, Alexander Graham Bell brevette le microphone magnétique destiné à la téléphonie.
En 1924, Chester W. Rice et Edward W. Kellog, de la General Electric fabriquent un hautparleur selon un principe quasiment inchangé jusqu’à aujourd’hui.
Un haut-parleur est un système de révolution autour d'un axe que nous noterons z’z.
suspension externe
saladier
aimant
membrane
spider
noyau
bobine mobile
z’
entrefer
cache noyau
plaque de champ
aimant
Le haut-parleur
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z
La pièce fixe principale est le saladier.
Il est soit en tôle emboutie, soit en métal injecté. Il est ajouré pour laisser passer l'air et le
son.
Sur ce saladier est fixé le circuit magnétique, que l'on appelle parfois la culasse: il
est constitué d'un aimant torique à section
rectangulaire et de pièces polaires en acier.
L'aimant est le plus souvent en ferrite,
matériau céramique non conducteur de l'électricité et de prix modique pour sa qualité.
Sur cet ensemble rigide est fixé l'élément actif du haut-parleur: l'équipage mobile
formé de la membrane et d’une bobine mobile.
La bobine mobile est, le plus souvent, constituée de deux couches de fil conducteur de façon
à avoir l'entrée et la sortie du bobinage du côté lient à des cosses isolées sur le saladier.
La bobine est solidaire d’une membrane en
pulpe de cellulose (meilleure rigidité pour une masse
faible) qui crée des ondes sonores lorsqu’elle est en
mouvement dans l’air.
La liaison avec le châssis est assurée :
près du centre par le spider, pièce de toile
rigidifiée par du plastique et qui joue le rôle d'un
ressort
Le haut-parleur
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sur le pourtour par une suspension périphérique qui prend souvent la forme d'un demi tore
en néoprène ou d’une suspension à petits plis.
L'ensemble de la suspension assure le rappel vers la position d'équilibre et le guidage en
translation parallèlement à l'axe.
Le cache noyau est destiné à empêcher les poussières magnétiques de se déposer dans l'entrefer.
b) modélisation
La bobine de masse m comporte N spires identiques de rayon a peut se translater le long de
son axe noté zz’.
Elle est plongée dans un champ magnétique constant crée par un aimant permanent de tel
sorte que, au niveau des spires, le champ magnétique est de la forme B ( M ) = B e r ( P ) , avec B
uniforme.
B(M )
B(M )
eθ ( M )
M
z
B(M )
er ( M )
i (t )
i(t)
E(t)
La bobine, de résistance R et d’inductance propre L est reliée à un générateur de f.e.m. E(t),
qui est l’image analogique du signal sonore à émettre. On note i(t) l’intensité du courant dans la
bobine.
La bobine, parcourue par ce courant et plongée dans le champ magnétique B ( M ) , est
soumise à des forces de Laplace motrices qui la mettent en mouvement, ainsi que la membrane à
laquelle elle est liée.
En se déplaçant dans l’air, la membrane engendre des ondes sonores.
La bobine est alors mobile dans le champ constant B ( M ) , elle a une vitesse v(t). Il apparaît
une f.e.m. induite qui se traduit par un terme d’amortissement.
Conclusion: Le haut-parleur est décrit par un système de deux équations couplées en i(t) et v(t).
C’est un transducteur électromécanique.
Remarque: En l’absence de générateur E(t), une onde sonore extérieure met en mouvement
la membrane puis la bobine.
Le haut-parleur
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Celle-ci est mobile dans le champ constant B ( M ) , il apparaît donc une f.e.m. d’induction
et un courant induit, images analogiques de l’onde sonore excitatrice.
Le système fonctionne alors en microphone. L’amortissement est dû cette fois aux forces de
Laplace qui s’opposent au mouvement
c) mise en équations
α) équation mécanique
Dans le référentiel R lié au support, on assimile la bobine et la membrane à un solide mobile
en translation le long de Oz.
Il est soumis à :
son poids qui est très faible compte tenu des masses très petites de la bobine
et de la membrane. On le néglige dans la suite ;
la réaction du support qui n’a pas de composante le long de Oz en l’absence
de frottement ;
la force de Laplace : la bobine parcourue par
un courant d’intensité i(t) et placée dans un champ magnétique
Un
élément dℓ
d F LAP = i ( t ) τ( M ) d ℓ ∧ B ( M ) .
subit
une
force
a
i (t )
On repère le point courant M dans la base cylindrique d’axe
eθ ( M )
e
r (M )
M
B(M )
B ( M ) est soumise à des forces de Laplace.
Oz, avec τ ( M ) = eθ ( M ) .
(
) (
)
Donc d F LAP = i ( t ) d ℓ e θ ( M ) ∧ B e r ( M ) = − i ( t ) B d ℓ e z .
Toutes ces forces élémentaires ont même direction donc la résultante est
F LAP ( t ) =
− i (t ) B d ℓ ez = − i (t ) B ez
dℓ
BOBINE
BOBINE
F LAP ( t ) = − i ( t ) B ℓ e z où ℓ = N 2πa est la longueur totale du fil de la bobine.
∫
∫
la force de rappel exercée par le spider et la suspension :
soit
On la modélise par l’expression F RAP ( t ) = − k z ( t ) e z .
la force de frottement fluide due à l’air :
La puissance sonore émise correspond à une perte d’énergie que l’on traduit par une
force de frottement visqueuse de la forme F FROT ( t ) = − h v ( t ) e z .
La bobine est en translation donc on utilise le théorème de la résultante cinétique.
En projection sur e z , il reste :
m
dv ( t )
= − k z ( t ) − h v ( t ) − B ℓ i ( t ) (M) (M)
dt
C’est l’équation mécanique du système.
Le haut-parleur
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β) équation électrique
eθ ( M )
e
r (M )
M
ez v (t )
a
Le flux magnétique à travers le circuit n’est pas calculable car
on ne connaît pas le champ B ( M ) en tout point de la surface des spires mais seulement sur leur périmètre.
On doit donc calculer la f.e.m. induite en utilisant la circulation
du champ électromoteur de Lorentz.
B(M )
i(t)
Le contour est une spire orientée comme eθ ( M ) .
∫
eSPIRE ( t ) =
E EM ( M , t ) ⋅ τ ( M ) d ℓ =
SPIRE
=
∫ (
∫ (
v (t ) ∧ B ( M ) ⋅ τ( M ) dℓ
)
SPIRE
v ( t ) e z ∧ B e r ( M ) ⋅ eθ ( M ) d ℓ =
)
SPIRE
∫
v (t ) B dℓ
SPIRE
soit eSPIRE ( t ) = v ( t ) B 2πa .
Toutes les spires sont en série donc, pour la bobine, on a
e ( t ) = N eSPIRE ( t ) = v ( t ) B 2πaN
d’où e ( t ) = v ( t ) B ℓ en posant ℓ = N 2πa .
On peut donc modéliser le système du point de vue électrique par
le circuit :
R
L
La loi des mailles s’écrit :
E (t ) = − e (t ) + L
L
di ( t )
+ Ri ( t ) soit
dt
di ( t )
+ Ri ( t ) = E (t ) + B ℓ v ( t ) (E)
dt
e(t)
i(t)
E(t)
d) fonctionnement en régime sinusoïdal forcé
α) amplitudes complexes
Les équations différentielles (E) et (M) sont linéaires. Donc les fonctions sinusoïdales servent de bases aux solutions générales du système, d’après l’analyse de Fourier.
Après un transitoire correspondant au régime libre, la réponse du système à une f.e.m. E(t)
sinusoïdale est elle même sinusoïdale lorsque le régime est établi.
Pour la déterminer, on utilise la représentation complexe avec E ( t ) = E0 eiωt ,
i ( t ) = I eiωt , z ( t ) = Z eiωt et v ( t ) = V eiωt .
La relation v ( t ) =
dz ( t )
devient Veiωt = iωZ eiωt donc Z = V / iω .
dt
En ne gardant que les inconnues V et I, le système d’équations
Le haut-parleur
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 dv ( t )
m dt = −k z ( t ) − h v ( t ) − B ℓ i ( t )

 L di ( t ) + Ri ( t ) = E (t ) + B ℓ v ( t )
 dt
k 

V

i
m
ω
+
h
+
m
i
ω
V
=
−
k
−
h
V
−
B
ℓ
I


V + Bℓ I = 0
iω 
devient : 
soit 
.
iω
 LiωI + RI = E0 + B ℓ V
− Bℓ V + ( R + i Lω) I = E
0

k 

 i mω + h +  E0
iω 

On en déduit I =
k 
2

 i mω + h +  ( R + i Lω) + ( Bℓ )
iω 

et V =
− Bℓ E0
k 
2

 i mω + h +  ( R + i Lω) + ( Bℓ )
iω 

β) impédances
On peut définir l’impédance électrique du dipôle vu par la source par la relation Z =
(avec ici E = E0). On trouve dans le modèle étudié ici Z = R + i Lω +
( Bℓ )2
k

h + i  mω − 
ω

E
I
.
Tout se passe comme si, en raison du mouvement dans le champ magnétique, s’ajoutait aux
impédances de la résistance et de la bobine une impédance supplémentaire caractérisant le couplage
électromécanique.
On l’appelle impédance motionelle Z MOT =
( Bℓ )2
k

h + i  mω − 
ω

.
Le module de l’impédance électrique dépend de la fréquence. L’allure caractéristique est la
suivante :
|Z| (en Ω)
|ZMOT|
40
Lω
30
20
10
Le haut-parleur
R
10
102
page 6/12 3
10
104
f
Les valeurs usuelles de |Z| à 1 kHz sont 4Ω, 6Ω et 8Ω. L’impédance est alors purement résistive (L ≈ qq mH).
Aux fréquences élevées, le terme iLω l’emporte et l’impédance est inductive.
On remarque un phénomène de résonance aiguë centrée sur une fréquence voisine de
200 Hz.
Par l’analogie entre mécanique et électrocinétique, on sait que l’on a les correspondances:
F (force) ↔ U (tension)
V (vitesse) ↔ I (intensité)
On définit donc l’impédance mécanique complexe de l’équipage mobile par Z M :=
F LAP
V
(Il ne faut pas confondre avec l’impédance motionelle qui n’a pas la même dimension)
L’expression
FLAP ( t ) = −i ( t ) B ℓ conduit
à
F LAP = − I B ℓ
et
k 

 i mω + h + 
k 
iω 

I = −
V donne F LAP =  i mω + h +  V .
iω 
Bℓ



On en déduit Z M = h + i  mω −
k
.
ω
L’impédance mécanique ne fait intervenir que les caractéristiques mécaniques du hautparleur.
Par ailleurs, on montre que la pression sonore pS est proportionnelle à l’accélération de la
membrane. Cette accélération s’écrit en représentation complexe a = iωV . On a montré
V=
iωBℓ E0
− Bℓ E0
donc PS = α
.
k 
2

k 
2

 i mω + h +  ( R + i Lω) + ( Bℓ )
 i mω + h +  ( R + i Lω) + ( Bℓ )
iω 
iω 


On constate que la pression sonore dépend de la fréquence.
Développement documentaire : pour restituer les sons le plus fidèlement possible, il faudrait
un système dont le fonctionnement soit indépendant de la fréquence dans la gamme des sons audibles [20 Hz, 20 kHz].
On conçoit donc des enceintes acoustiques comportant plusieurs haut-parleurs dont les caractéristiques sont différentes pour couvrir différents domaines de fréquences.
Le haut-parleur
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On distingue généralement trois types de haut-parleurs :
Woofer ou Boomer, haut-parleur des graves (fréquences entre 20 Hz et
500 Hz, diamètre supérieur à 150 mm);
…équipée de deux
boomers de 38 cm à
saladier en aluminium moulé.
Médium, haut-parleur des médiums (500 Hz et 5000 Hz pour les médiums standards ; 150 Hz et 3000 Hz pour les médiums haut de gamme ;
100 Hz et 10 kHz pour les haut-parleurs large bande.
…et des hautparleurs médiumgrave plus petits
avec une taille de
133 mm.
Tweeter, haut-parleur des aigus (fréquences entre 2000 et 20000 Hz,
diamètre de l’ordre de 2,5 cm).
Transducteur UHF 19mm film
polyester radiateur circulaire,
blindé,
Transducteur haute fréquence de
19 mm le titane laminé dôme,
blindé,
Médium de 100 mm PolyPlas,
blindé
Le haut-parleur
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e) bilans énergétiques
α) bilans
On a établi le système d’équations
 dv ( t )
m dt = − k z ( t ) − h v ( t ) − B ℓ i ( t )

 L di ( t ) + Ri ( t ) = E (t ) + B ℓ v ( t )
 dt
On multiplie l’équation (M) par v ( t ) dt =
(M)
.
(E)
dz ( t )
dt .
dt
On obtient
m
dv ( t )
dz ( t )
2
v ( t ) dt = − k z ( t )
dt − h v ( t )  dt − B ℓ i ( t ) v ( t ) dt
dt
dt
que l’on peut réécrire:
2
2
d 1
1
 m v ( t )  + k  z ( t )   dt + hv ( t ) v ( t ) dt = − Bℓ i ( t ) v ( t ) dt
dt  2
2

− FFROT
FLAP
ou encore
FLAP ( t ) v ( t ) dt =
2
2
d 1
1
 m v ( t )  + k  z ( t )   dt − FFROT v ( t ) dt
dt  2
2

Le terme de gauche est le travail reçu pendant dt par la bobine de la part de la
force de Laplace qu’elle subit.
FLAP ( t ) v ( t ) dt =
2
2
d 1
1
 m v ( t )  + k  z ( t )   dt − FFROT v ( t ) dt
dt  2
2

Celui de droite contient :
la
variation
pendant
dt
de
l’énergie
mécanique
de
la
bobine
2
2
1
1
EM ( t ) = m v ( t )  + k  z ( t )  stockée sous forme cinétique et élastique dans le système
2
2
mécanique (bobine + membrane + spider) ;
FLAP ( t ) v ( t ) dt =
2
2
d 1
1
 m v ( t )  + k  z ( t )   dt − FFROT v ( t ) dt
dt  2
2

le travail fourni pendant dt par la membrane à l’air sous forme de force de frotte2
ment fluide (la puissance instantanée PAC ( t ) = − FFROT v ( t ) = h  v ( t )  correspond à la puissance sonore émise par le haut-parleur).
Cette équation est donc un bilan d’énergie mécanique.
Le haut-parleur
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De la même façon, on multiplie par i(t)dt l’équation (E) du système
 dv ( t )
m dt = − k z ( t ) − h v ( t ) − B ℓ i ( t )

 L di ( t ) + Ri ( t ) = E (t ) + B ℓ v ( t )
 dt
(M)
(E)
et l’on obtient:
L
di ( t )
2
i ( t ) dt + R i ( t )  dt = E (t )i ( t ) dt + B ℓ v ( t ) i ( t ) dt
dt
que l’on peut réécrire
E ( t ) i ( t ) dt =
2
2
d 1
 L i ( t )   dt + R i ( t )  dt − e ( t ) i ( t ) dt
dt  2

Le terme de gauche contient l’énergie fournie pendant dt par le générateur de tension.
E ( t ) i ( t ) dt =
2
2
d 1
 L i ( t )   dt + R i ( t )  dt − e ( t ) i ( t ) dt
dt  2

Celui de droite contient :
la variation pendant dt de l’énergie électromagnétique
2
1
L i ( t )  stockée sous
2
forme magnétique dans la bobine;
E ( t ) i ( t ) dt =
R
2
2
d 1
 L i ( t )   dt + R i ( t )  dt − e ( t ) i ( t ) dt
dt  2

L
l’énergie perdue pendant dt par effet Joule ;
2
2
d 1
E ( t ) i ( t ) dt =  L i ( t )   dt + R i ( t )  dt − e ( t ) i ( t ) dt
dt  2

l’énergie absorbée pendant dt sous forme de f.e.m. induite.
e(t)
i(t)
E(t)
Cette équation est donc un bilan d’énergie électromagnétique.
On a donc deux bilans énergétiques, l’un mécanique, l’autre électrique.
On constate cependant que la puissance instantanée reçue par la bobine de la part de la force
de Laplace PLAP ( t ) = FLAP ( t ) v ( t ) = − Bℓ i ( t ) v ( t ) est l’opposée de la puissance fournie algébriquement par la f.e.m. induite PIND ( t ) = e ( t ) i ( t ) = Bℓ v ( t ) i ( t ) .
Il y a donc transfert énergétique parfait entre la puissance électrique de la f.e.m. induite et
la puissance mécanique de la force de Laplace reçue par la bobine.
On peut écrire les deux bilans sous la forme :
Le haut-parleur
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2
2
2
d 1
1

− Bℓ i ( t ) v ( t ) dt = dt  2 m v ( t )  + 2 k  z ( t )   dt + h v ( t )  dt




 E ( t ) i ( t ) dt = d  1 L i ( t )  2  dt + R i ( t )  2 dt − Bℓ i ( t ) v ( t ) dt

 



dt  2 

En éliminant ces deux puissances entre les deux bilans précédents, on obtient:
2
E ( t ) i ( t ) = R i ( t )  + PAC ( t ) +
2
2
2
d 1
1
1
 L i ( t )  + m v ( t )  + k  z ( t )   .
2
2
dt  2

C’est le bilan de puissance global du système que l’on peut interpréter ainsi :
La puissance instantanée E(t)i(t) fournie par le générateur sert :
à faire varier l’énergie totale du système (stockée sous forme magnétique, cinétique et
élastique) ;
à compenser les pertes dues aux phénomènes dissipatifs (effet Joule) ;
à fournir de la puissance sonore.
β) rendement
Lemme souvent utile pour la suite :
En régime périodique, on peut définir la valeur moyenne sur une période d’une fonction
f(t) :
f (t ) =
1
T
∫
T
0
f ( t ) dt .
Pour la dérivée de f(t), on a
df
1
=
dt
T
∫
T
0
df ( t )
1
dt =
dt
T
∫
T
0
df =
f (T ) − f ( 0 )
donc
T
df
= 0 car f(T) = f(0) puisque la fonction est périodique.
dt
Fin du lemme souvent utile pour la suite :
La valeur moyenne du bilan global
2
E ( t ) i ( t ) = R i ( t )  + PAC ( t ) +
2
2
2
d 1
1
1
 L i ( t )  + m v ( t )  + k  z ( t )  
dt  2
2
2

conduit alors à:
E i = Ri 2 + PAC
Conclusion : En valeur moyenne, la puissance fournie par le générateur sert à produire du
son et à compenser la dissipation par effet Joule .
On peut donc définir le rendement du haut-parleur par
η=
Le haut-parleur
PAC
PELEC
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puissance « utile » car traduite en ondes sonores
puissance « consommée » sous forme électrique
E i − Ri 2
Ri 2
PAC
η=
=1−
.
=
PELEC
Ei
Ei
Or l’impédance complexe vue par la source E(t) est Z = R + iLω + [ RMOT + iX MOT ] ,
Comme E i = Re ( Z ) i
puis η = 1 −
2
, on a E i = ( R + RMOT ) i 2
R
RMOT
.
=
R + RMOT R + RMOT
Comme RMOT << R, on a η << 1.
Le rendement est en le plus souvent de l’ordre de 0,3% à 1%, ce qui est très faible.
(L’essentiel de la puissance électrique fournie est dissipée par effet Joule, ce qui peut entraîner des
problèmes d’échauffement de la bobine).
Commercialement, on n’indique pas le rendement mais la sensibilité (ou efficacité) d’un
haut-parleur. Par définition, c’est la puissance acoustique (exprimée en dB) mesurée à un mètre
devant le haut-parleur recevant une puissance électrique de un watt.
Sachant qu’une augmentation de 3dB correspond à une multiplication de la puissance
acoustique par 2, on a le tableau :
sensibilité
rendement
(en dB⋅W–1⋅m–1)
78 à 83
faible
Le haut-parleur
moyen
83 à 88
bon
88 à 93
élevé
≥ 93
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