Cours

DEFOBMâTIOK J)*BHSEMBLB MB
A UN TOBSEDR DE GAUCHE QÏÏE3£OSQ^B
à/ M§t^de<oÉi^i^^tigue
12*1 Fgmû.es_genéralea
12*1*1 C^J^^ej^^^^irote
Considérons une poutre, de ligne
moyenne G-j G2^ dans un système cl1 axes
fixe o, x y z.
En *.m point G^ arbitraire donnons nous
un système d*axas x1 y1 sr1 lié à
Gj Crp tel que
- z1 soit tangent à la ligne moyenne
- x1f et y1 B^^^^^^^^j^jo^i^a^L
d inertie de la section droite G.
f
1
r
Les 3 directions x , y , z sont orientées par les recteurs unitaires i, j, k.
Pour obtenir les déformations utilisons les fcgmiles de Bresse
.(§yi.5.3)_
" "
-r
Calcolons X ds
et
"^
6 as i
— La translation de vecteur A ds est due à la combinaison de
l'effort longitudinal et de lseffort tranchant i
A3ds «-J. ds
'(cra.1.3)
Ji D
' . - • • • •
. .
\
TV*
Aj ds =-of i£g ds
,
, T y»
Az ds = -Of-^|~ 4s
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\
)
I
(cf 10.4),
f
v
|
-
v
^ v<?»V
«*»
.
- 8 •HP*
-*•
v
-»•
T*
-»*
Comme A ds « A4d3 i -f A^do j 4- A 3 ds k
*****
jj
«s*- ,_/ T X*
*?*'
T y1
Nous avons ^ ds = - g*-^ ds k - ** -g-g- ds i -*<< -gr-g
•z
Nota s Coefficient c< ~ -^
sectionrectangalaire^
o^ g. ^Z-
section circulaire
'
:>
- De même la rotation
""f"
ds j
*© ds est due à la combinaison du moment
fléchissant et du moment de toirsion.
$i ds - - jry—
ds
^
Xf
)
11 1
^v\__^
- -^
@dads = ^^*
ds
Gî^
—^r
^
«&,
+&
0 ds =
L!5!L*
)
etds « - 4f-yt ds
Comme
cf:
^
~*>
0^ ds i + ^ds j +^ds k
7?"
II xf
"^
M y1
^ Mt
Nous avons 0 ds = — -g Y11"- ds i - -«-^— ds j - -£*•£*
X
""***"
^s k
jT
Remarque ; le terme G 1^ est appelé rJ^idité de torâion (D)
Elle ufest valable sous cette forme que pour les sections circulai*res*
Nous obtenons donc la défoa?mation dfensCTble
^^
*~*.
AG2 = â G l
+
^
-^«^^
e.AG, G2
+
û^
1^^^,
•-»
l r N ~**
y y* ~#» . . T v 1 -** l
y [-^k^î^iJ^ j]ds
5^
^i/f ^T-ifj-^-rjA [ô\ J)
^"^
%/ ^
^"_
f Oo^o^ \
X JU
X
£*
<a
V
O -
-
/
f
H x 1 "^
1
» - ^
M v1 -^
M t k"fl ta
et. 0,= a,+ / - |^, i- |%,<--n;
n
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i
-I
-
j
,.
_* 9 —
Ces deux fomrules permettront de calculer les déformation**»^
1^1.2 CjgMlJ?^^
plan moyen (cf 6»1)
La fibre moyenne est contenue dans un plan (plan mojren)
Un axe d*inertie principal se trouve
dans ce plan.
G* est le cas de la section en U
Considérons le système d1axes xf z
définissant le plan moyen de la
poutre G-j 62
lÊSŒfië^JâS.: ^es charges appliquées
à la poutre sont situées dans le plan
moyen*
Les deux forarules obtenues au para- \
graphe précédent se s3^2^£fOI1^ car \
Ty1 « 0
Mx1 » 0 ( Mt « 0 ) °^
\.
^^/
-5>
Calculons les coaintis oia?ecfeurs de i
Nous avons
k
(
«JTds
• 0
f
•«—
as
~fe
j
)
T ( o , 1, o )
or
i = j Ak
1
,
donc
0
•*• dx
i-lg-
1
0
_
0
dz
g-
}
51. *T
/ dz
l
< S
dx \
A
• ° '-35 }
Effectuons le calcul de :
04 A 646^
Les forces étant situées dans le plan x y 9 le vecteur rotation est
perpendiculaire à ce plan. Soit :
ij* ( o , 0, , o )
__[rri.^ j^_
Les coordonnées de G<| Gg ^onfc : (x2 — x.
donc
CA^
=1 °
ib2 - x1
donne lo vecteur : \(z^ - z-|)6-f
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,0
,
8l
o
°
z
z^ - 2, )
°
z ~ Z1
-QtUg - x^ )|
- 10 -
si
Le déplacement de 62 suivant l'axe des x est i
5
s
r
*-»
r
* M y' /
i i « 1 /a
\
n
^
/
j~
N
dx
,v
T
x»
da
i«
J
z
x,
*V V < 2 - i ' ^ -y [- rs s - * -§~g ad** | - F&'tv^
^
le déplacement de Gp suivant l'axe des y est :
r%
W
t
W
2 - t
-
(X
\f.
X
/f
-,
N
^M'
r3*
dz , - r T X* âlUe,./ H y1
r
\ j
Ssj^/ F^» ^ - ^dsf
2 - 1 >ô +«- O S ^-G"ïï
5
^
<
^
et la rotation de la section droite Gg par rapport à la section
droite
G. est :
S
*- Ô^ '/fi- "
12*1*3 Cas des poutres initialement droites
^
Hypothèses s
- las charges considérées sont toutes
verticales
1=0
- la poutre a son aze initialement
parallèle à z
z2 ** x^ « 0
Des formules calculées précëdeisment nous obtenons
rà£
h = ^ + 01 (z2 - . ) +
/
fàf
-o( L£ dz -/ g5U (z2 - z>) dZ
J
/ Vp « w1
\
*• l.eQ^^" U.*H^^Sr*. oU. »
|î ^w ^s^se^
f
^
(
*~^
3
I\ « t - e,./f *j^ *.
"«1
Ces formules ne sont pas utilisées sous cette forme» On recherche
. Inéquation différentielle de la déformée*
HmTO3fljnat>iématj.ques
/" f à J
r- -l-r -H-Q il» >• » «H»un «IXii. ! iri»» I ,r,rimn*mmmt . ni " i i ' !•![_ i»i in
soife I?intégral3
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I/
/
\
=
/
f
' -Ç,^ JJL*
t^
f* (a, z^ ) dz
-^<%)
- 11 Nous avons
/-^fâr)
£|p -J J2 (Y2) a, +|^ , y2) . |* ^)
°fy
*^
Appliquons ces résultats à u~ ;
d
x (»)
JM ^ =fifc* ~ <rfï
Ut ~M~-4~££
d Zp
1
GS
- //*M
«p™ .<3«5
/ Si
^4
et
d
^^ ^
fc^M]
« .^^^.^
d z^
2L~
J
2
M
«
^2)
^fr
si la section de la poutre est constante nous pouvons écrire t
f\
d
S
^
I (2^)
—T---n « < % ) - -rr
Q- 2Jp
, m
--*«TH-«W
y.,^,
.-_^-J
Nous pouvons supprimer lf indice car il ne reste que su corne
variable, Dfoù la formule :
«•M .- s^ -0(^4^"
t^
,
-___
«.
12*1 «4 Interprétation physique des résultats ^
a) Poutre à grand rayon de courbuire (par rapport aux dimensions transversales de la section)
Hypothèses :
- Le moment H est considéré constant
tout le long de la poutre
~ La section G tourne, sous l1influence de Mf dfun angle d$
- Le prisme initial dlangle do( 9
après cette rotation devient le
prisme dfangle d &(* *
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~K. Cherchons •une relation errcre les rayons de courbure !&> et^L
d&
Nous savons que g *
=
M
*" 1"T
D'autre part d ^ ' = d(X + àO
en divisant par ds nous obtenons
d<4'
«r jiw.
ds
»
d f où la fonmile
a*
_,_ à.&
*.«* -f ^ »
ds
ds
|
i
"**
1
Rg
SOXt *—
\
T
"'
1
=s =r*
R1
. d0
ds
-r 3^-
L V
^' I/[
g** •* W*- = — *$«*?
b) Foutre droite (initialement)
Reportons nous à la formule précédente ;
R1=00
^ =0
soit x » p (2)
R
n
_ (1 -H *'2)
2 "" —~«u, ^ .....
la cotirbe défoimée
I
x
d f où
/V
z" = ** *r*
—
«J
,
~w
x
car lee déformations sont
petites
Cette forme est à;raprocher de
3^ forcaule précédente en ne
tenant pas conçte de l1 effort
tranchant,
Ifemarques siir les signes.
-) Is£3322^^
Dans la f orsaule donnant U!t (^) fig'a»© tm. doaxrièmG torm.ô
que nous n f avons pas obtena en calculant x11 en a/
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~ 13 Considérons un prisse élémentaire»
Les contraintes tangent!elles ne sont
pas uniformément réparties dans la
section droite et il.se produit un
gauchissement des sections»
La fibre moyenne s!eat inclinée ®t nous
avons ;
ff
„ « rf *2
dz
GyS
2
d x
d /
of
à T x \
^WV
v
/ \
r?
= ^ - ^ Ê ( ^ TÎ } e ^ rs « ( 2 )
d2
it
q^ (z) =s coefficient de charge
Nous retrouvons la fomile : ( S ~ 3to)
_«^ ^_^«* ^™__«_
xtt * ^ jrj
- A g^
La fibre moyenne et la section droite tournent du mène angle sous
llaetion dfun moment fléchissant, mais d^sHi angle différent sous
Inaction dfun effort tranchant-^
12>2 PoutresL droites
Po\ir calculer la déformation x noxis pouvons utiliser soit la méthode
algébrique, soit la méthode graphique*
12*2.1 Méthode algébrique,
^i ^SSSiEê. • cette méthode est basée BUT l'utilisation de la
f ornioLe
M
x"tl » -rî
Connaissant M, en intégrano deux foia nous obtenons — EIx
aux constantes près»
Donc s
a) Dresser le tableau des moments fléchissants en
mettant en évidence les différentes régions délimitées
par les charges
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-Kb) Intégrer cUfUx fols par rapport à z sans oublier les
CtOàt-ntea
c) Dét*rnJLn^r las constantes d1 intégration
- Poutre sur deux: appuis»
pour z =5 0
3 = £
)
) X =0
)
ceci permet d'obtenir deâx équations
** Poutre avec encastrement
pour z = 0
x«0
2* « d
nous obtenons ainsi deux équations
-* Limite de deux régions
II faut utiliser les propriétés
physiques de la déformée»
En M les deux flèches st>nt les mêmes
et les pentes sont les mêmes
(continuité)
pour 2, « 2g
x't = x'2
xi =^2
Nous obtenons pour n régions, 2 (n ~ 1) équations*
Ces équations jointes aux deux équations d 1 appuis permettent de
déterminer les 2 n constantes*
2/ Exemples :
Premier cas fondamental (7*4.1)
îfoutre reposant sut deux appuis et supportant une charge
concentrée*
Calcul de la déformée et de la flèche maximum
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Ifota * Entre a et t on a poeé (z - a) « t
dz = dt
On a intégré par rapport à t*
On obtient une constante inconnue* différente de celle donnée
par l1 intégration or rapport à z*
•Nous avons 2 régions (a) et (b) et nous appellerons les valeurs
correspondantes
s x1 a x1,b et za x.t>
r
Déterminons les constantes.
En M les r
pentes sont les mêmes xf a = x*b
d où
'
~ r ï p %T + cr = -rrT- .** |--p^_^- +c 2
pour z « a
ce qui donne
pour z » 0
on a
C. = Cg
xa' « 0
l'équation donne
Pour z » a
on a
C^ =0
x s= 2;
a
D
3
/
\3
Z5
- Be^ ^ C 1 Z ^ C 3 *-^.R ^ ^P^riL +C 2 -«tC 4 .
ceci donne
C
1
a
- n a -f C,.
<£.
^r
d^ù C « o
4
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- 16 - .
Pour z.as x
on a x, = 0
Nous avons Inéquation
.8. l l - p k ^ + c^ + C^O
R. --LS
-4£
d»oîl
,
0 =0
et 2= £
(«-a) = b
L£i?
- *£
+ 0£ , 4 . 0
o
b
C = PTa f;?2
,2l
2 5~ l/ "Ij
Ayant déterminé toutes les constantes nous obtenons les quatre
équations.
équations f EU
de la défor (
mée dans les
deux zones
a
- Si f- ^ + ( ^ " ^ *t * ^Z -(*2-b2-^)
°« L
J
•
,
»i s -ï^s (e 2 -b 2 -/ )+ Li-^
â z
a z
^±"
r.i,.
-y
^
^(e
.*
).»(e
.» .s^
a i+
p^nte
^
II.',, =^e #-b2-3.2)>pl2-^
^aBarque^. :
1/ Nous obtenons le signa - dans le tableau ( -» E l)
2/ * 'ËtHser les éqmations corraspondcintes aur diirerses régions
suivant les TOleurs de -.
Que peut^on obtenir avec ces formules ?
a
) Srçp. poiwons calculer la rotation si^r les a^rois G et D
* en G nous avons tg & §^ /V &&
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( z i 0)
- 17 comme la p@fcte en G est x* nous avons
E i i . ' G - E i 0 G = j^| (£ 2 -b 2 )
g 2 - b 2 * ( i + b ) (£-b)
a
d*oùjs> & . gly L*a (g + b ) I
— En D
( z « t)
nous avons
E i x*D * E i e^ « I»!. ( - ae 2 - t>2 + 3 bel
e 2 - b 2 - 3 ( -io|
>^b) ( ^ 2 6 H- D)]
d«'<A 10^ « - g V * '^TT
( 1 +a)
Nous obtenons le signe — ce qui vérifie Me» que la rotation
est contraire r celle de l1origine.
b) Hou3 jp^uvons calculer la flèche ma^jjQLpm
Prenons le cas a^ b
I/a flèche est maxiiaum ( x;Haxi)-pour xf « 0
x«a«0
ce qui donne d'après 1*équations de z'a
v /C2- b2
• -Y-J—
Reportons cette valeur de 2 dans l1 équation donnant la déformée
Xa . nouB obtenons la 'floche- maxi*
2
E i Fmaxi. = ^\/^2"x|
ce
^}
o£ y 3
3
'P.b
" 577T
d'où
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,-2
a
-
2
3
2%
2
b)
2
picaxi
. . = JL
L^r
(r
~b
)I
E l 9tvT
- 18 -
Cas particulier
a =h
r~
^
FF
i
r—»
Pê
* TSTTT; :: " '
par raison de symétrie nous avons z = -4p
Mota s Lorsque P est proche de D, la flèche mazi a lieu pour un
point très voisin du milieu de la poutre»
Dans l1 équation
r'
F (
F
E I x = .,•
nous écrivons
z ~ «£-*
2
2
M
pt
^
f3f
-4b
a ~ -g- ) « -^-j-^j^i f ^ -4 "
*
b
~3g2 ,2]
a .b
= "Pi4ë"Ë"ï
-b
-^
f
I)etigi.^^^c^ :
Charge xanifQirmément répartie stzr une poutre reposant sur deux
appuis (cf 7.4*2)
ïîous appliquerons le principe de superposition dans la 2ème partie
de cet exemple.
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- 19 ~
SââSd^£â^£SSËïïÉS§.
pour z » 0
x»0
nous aurons
Cp sa 0
II y a symétrie ; la déformée possède une tangente horizontale
au milieu
donc x l = 0
pour z ~ -£*
j jv ^
d-ou
G ^5
^3
M. v•
4i r»
—jç—
- 4.
-g+
C1
_ A
=0
r«
C1 = -
Q
*r 3
-/ fx
—
§r
JBquatioris pbtemes :
' Six =
|-2 ( Z 3 - 2 ^ Z 2 - f ^ 5 )
B I x* »«J ( 4 z3 - 6^z 2 +g 5 )
" V.
F masi s'obtient pour z = -*^
»
F
_ <lt l( ^
mazi - 43.
1
î3
r
+
*3 ; \ 1
r
FI.
~Pmaxi _" EL.l x uxT
^g?^
Rotation :
0£ = » *, =
3
^^^
b) Mélgiode de siipeTOQ^itiqn
Notzs pouvons directanent calculer la flèche au
milieu*
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<* 20 -,
nous considérons les charges réparties comme une succession de
charges concentrées.
. .
Considérant q la charge par unité de longueur, nous âtfons des charges
concentrées q x db
Le système étant symétrique nçus aurons la flèche au milieu de la
poutre.
Pour une charge concentrée nous avons obtenu la formule :
x
Ici
/ & 2 ,2
2 Y
( € - b- - z )
Pb s
» ~g*y^~j
t.
- \
|1er uaemple)
P s q db
2 as *-|~
II faut intégrer pour obtenir la formule valable pour toute la charge
répartie de 0 à -|r , et doubler le résultat*
4 q dbxbx^ T
x «F
. « 2/
'
m
r
^J^
l
_
ri
'
!
6 e XBI L
3
2
bdb
A»
'*•**
d'où
^^£«,
r|
2
.« -|
2
/ ^^ ^ b^ - «f- )
. / '4
J
!
b3dl))
^
.
«••
J
Fmax « L|
334 £EVI
Troisième exemle ; Couple concentrée (7f,4»4)
La poutre repose sur deux appuis et est soumis© à un
couple au nmveau de 1*appui D.
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- 21 -
M
La réaction RpG = -f -•£
t
Le couple M0 eat positif il nous faut un couple négatif (créé par les
appuis) pour l1équilibrer.
—
*~~ %•>~-^^~^^^
_&) 2§fel§§îi
0
_____
f
-j-.
2
T>
yi
^.
M
-Elz«
-
H
z3
-5- + C1 z + C2
2>
- -j~
»B I z
+C,
\f
Détej^rLnation des cpns tant ea
po'or 2 = 0
x =0
pour z 5= ç
ce qui entraîne
CL = 0
z = 0
L'équation donne
- ^~ ^ ^ C1 f
=0
G^ » M^ -|--
Egus^om^obtgme^
B
11 » 5ju-£
( ^
- ? )
Q
P
Soit
~^^77Trr
* *" '-J^'™-— - - '" " " "T'-L'UBU- Jl»»*»».-» l.l.
zt
• • I l » II . I III IMIII T- *«•,
M* f
* TTTÎ
/ 3 Z2
(
.
t.«W».
*
7T " 1 *
b) Rotatiprijg BL^ les j^ppu^i
lous a\rons
x1 /v Ô
partons de 1! équation donnant x1
0& s1obtient pour z = 0
' '
rr~" ~J~F"|
b J
j•
^^? ^ "" '^--ITY^
.*. 1
s*obtient po\ir z =
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H»
Tls €
p = + "Tl~î
-» ^
,,
- 22 -
' c ) £§J^lj|^Jâ^làèâ-SiSSS
Nous obtenons Ijg pour x ? = 0
"-o-S^' Rrr--']
L..
J
<"*', 7f-<=°
c
..££•
Reportons cette valeur dans Inéquation de z
m^?x ^v?~ f '
p
^mx*
-vrrx-r gp ~ 1
" 'p" _ S~JE. "
"^ "
9 V3
B"I
Quatrième^ ezeinp3.e : Poutre en porte à faux (influence de lreffori;
.trgxchant)
Nous montrerons qu1 en général, l1 effort tranchant n1 influe; pas sxir
les flèches»
Ii1 intégration est faite par rapport à - s $' se reporter à lfexample !•
T
Le terme *-«><.7rw dû à l1 effort tranchant a été introduit dans la
râleur de x f *
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- 23 S£E§^^Z£2£^£§Î^ deux Iiypothèses
1°) L^eBc^trement^^Lop'Bû.se, àJ?Qi^ej3^aj^pi^
La fibre est tangente à s en Go donc x1 - 0
Calcul des constantes :
^
p,ur
Z
=0
x-0
moyenne
^= + |4f
0
P /*
POU,"
X' = 0
Z= 0
T
^ - *ï g-g
C1 = ~
Calculons la flèche à i'ezc^emité ; (z = ê )
2
+ P ^ +x i T 1 r -
^Tf
w " - n~
. rsr
Pf3
ff s j " rsr
L
_t
FmJax - p^?nîl3
JJ
tj;
«•*»«eir-~»j»a»
SŒÏ132Ê. 2 calcul des rotations*
Considérons lfencastrement*
Soit d l1 angle de inxe^ion de la section droite
(différent) de la fibre moyenne
nous avons
la fibre moyenne ne tournant pas à = 9
dloîi
m
p
ô ««^jr-»
où
@ =5 -^y*w
2°) L f jBncastrament a g QptDp3c à la rotation fd°rJ^^élénent^_^de
sect.Lqn^^^lAjL^^^J^fi^
Calcul des constatâtes s
•^our z =s o
x»0
x = 0
G
«
P *>
-. ^-g^
$ =0
d^où
&'=-*^
Donc dans l'éc^uat^on de 1^ penc^ x 1 , pour z = 0 pious avons
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- 24T
<pç -_ »
lr b
P ?2
=
««yY
<i .bi
T
-h< 5-g>
b- D
-r u.
i
ce qai donne
C = ^»
Calculoîis la flèche à l1 extrémité
Pf'
p
+x P
jnaz * ïn?
2
pf
]fw
Pf^
* 2Ti ^ ru
Tn
. .
P
Pf3
•*•
V
IM*
+
Pf?
f
nax ~ 3 TE *%"
11 semble cpie ce soit cet hypothèse que ce soit cet hypothèse qui soit
exacte*
Remargy.3s :
a) calcul des rotations
0 ~ 0 donc
ô' ~<**
&
«g^
b) Etude comparative del1influence de lp et de lleffort tranchant
Prenons une section rectangulaire
3
E
P
^
P ï s P ? f i1 * <*
T W | "^ ^2* S ' ff
^C --L
^* "" ^^
1 _ b h3
g ~ 12 x b x"h
_ h2
Î5
» =s 2 ( 1 + V )
prenons ^ = 0,3
(acier)
| = 2 (1 4 C,* î = 2 S 6
3 '"
d'où
ï-l^j
2~~
1+l-ir x2,6 x^
4
l
on trouve
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*
2
7,8 k h
2
. h2
HW 7» "*^ ^ *~-n
24 r^
3£
* 5 """" •
F = ^j
2
*» o —
1 + -p
h = 102 m
£ W 2 x 105 mn
si nous aTOns une poutre
3
p
^
1 1j
F = çrêp? F" 1 + «^
nous obtenons
Bonc plus la section est petite par rapport à la longueur moins
1*influence de l'effort tranchant est grande
3°) •JSSSILZ^
Calcul de la"défb3Sàée et de la flèche maadjnum *
T
Dans le tableau nous supprimons les termes en *t *#?**&
Calcul des constantes i
•., . '4tif . c,
^...Lfef
pour z = 0
+ C l . + o2
d f où
x=0
C -. |,|_
2
TEI
T
puisque on considère
^ ^» «s 0
Ona8«e=0
0
&£
«9 « x f ' *s 0
pour z = 0
droù
C,1 = •-
0
_.
<L su,
La flèche laaxi pour z =? c
F
=
P?3
-
F
f3 "
«- nr - ra
SOit
I!ggtîc^.(|gr_!a._d^çg3rée,
3
2
XS P (? » z ) + P ?
^TTTT-~"
^?
*
Biax
"
iarxŒ«ia»
3 5A
P|> 3
rer ~ nr
F ( f 3 > 3 ^ g..t..3^z 2 -a 3 + 3? 2 s ^ g 3 3
6 EI
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\
'
z
2 -
~
5
" srtr [ ^ - j
jjQHgfcy%L-4% Jla .pente
xi-.j"ijù^^
z
_
- 26 -
2
....^^g^
+ *£î
^
^^
_ P S
fo^
1
X * = ^ç^» i <: f •*- 2 I
• L
J
CjLpaui^^ ffgemple r? Foutre aro? deux appuis B^r^^(^te^,_^^^
Nous lirons la charge répartie Q » g^
Appliquons le principe de superposition
appliquons la fomule donnant x dans 1* exemple 2
x-^|j
tJ-2f*2+e*)
- la formule donnant x dans l1exemple 3
*z = i§4A
int
v
(4
JL -1)}
- l«oUS obtenons l'éqxaation pottr |^i partie entre ff et D
ZŒ
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q. z
/ 3 9 > . 2 >3 N . Pafz ( /z2 1}.s
(z - 2 f z +f
~5Tll
^"BTIT ^5 "*
- 27 En B il y a aussi une rotation due au couple Pa.
a
*xax £
M*e
^ t= -^ « -^.^r_
*
-» «-
<^3
Pa£
+ ~~rt
Partons maintenant de D poire calculer la flèche en P
ïïous avons une rotation
Initiale
donc une flèche initiale
x1 - %* a*
•
• •
-avec
••
'•'•. "
ô^ /V tg
•-
Hous tenons compte ensuite de la force P
ceci nous donne une flèche X£ (exemple 4)
P z*2 f - 0
3
x,4i » 'zrVT
o jy. | ^
s
J
j
ac = x, + x0
' *~
,03
d *"
2 "~*
x ~ ï - ^ If^ -f Tfcj^ + TÏï
3
1
^ -'J
Nous pouvons donc résoudre des cas complexes par superposition des
cas fondamentaux*
12«2«2 Méthode ^aphicc^al^ébrique
(méthode du diagramme du mouvement de flexion- ** M0HR)
lô) Remise
Cette méthode est basée sur une interprétation des formules
de Bresse.
Ut
v
/3*.
« lif + 0,
(ap< 4>» - aj
- /:? ' E
( ap£, - a) dz
'
I
J2.!.l.
^
^ ..'^ ./^
dZ
u
i
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'*>
(l)
fa)
L'équation (2) montre iffimédiatement que ^^^y^deajt^^
à la
f
déformée en ^ et B s exprime par 1*aire du dia^raffloie des Mp courpriBe
entre les ordonnées correspondantes»
^interprétation de lféquation (t) conduit à :
U^~U*:=B«~B
Ô.C^-^ ) -SnTB'
)
]
__
B«B-B"BV=B'B
/î-t
FI . -/
^ ( Z2 ^ B ) d*
%>
Mt statique
BB* de jfc. |
^
dz
La distance B^ de la tangente en A au point B est égale au moment
^W;..yajgEgggj^^g^gt^. de l1 aire du dia^raime des Mp (divj,3és par El)
ÇjSI'^gg, entre A et B»
** Sappsls géométriques^
taiangle s
S=^ f h
parabole ; S s? * f h
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parabole inversée
Ste
3ffn
parabole cubique
s =l
h
2°) Poutres en_^orte_à^f^gç
- Poutre en porte à faaiz arreo charg^ .c^onoentrée à llextréiiite
Jibre.
Hous avons tracé le diagramme des -Mp
•* i(^nil de la, rotation ftp- •
LIalre du diagramme des M if. , divisée par El est égale à lfangle
des tangentes soit &^ — Ô^
Or ô^. s* 0 (confondu avec z)
il reste donc
p
+ 0^ =
PP v 0
+
£^^L
1
x
glp
soit
P^
0,= |^p
D1après le schéma la rotation est bien positive*
- Calcul de la flèche en D
G 1 est le Ht de lfaire du diagraiome des M
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divisée par Et
Substituons à cotte airo un. vecteur
d'où
- .30 -
-*> p/92
Y = v^-av
?A | (f*
]?
:&
=
j?
max
2S
P^3
3 SI
'
M>KKsa3f
cherchons 1?équation de la déformée»
Considéron3 -un point situé à la distance z*
La rotation 8^ ~Gj, * •*• ^ ^ sera égale en ce point à lîaire
située à sa gauche (aire 1 2 3 4 ) divisée par El
+ ,,. +I..+ L£->.+«
^x.
z..Ll4jiii, + J |^
La déformée 8fobtient en faisant le Ht de cette aire par rapport à 3
On divise l1 aire en un triangle et un rectangle, auxquels on substitue
dea vecteurs proportionnels placés aux contres de gravité.
droù
x
x
A Pif «• z) z
El
x ^ -f 1^ F g^
2
2 El
^JPÇJ^x£ t f£
.... z .
2EI
3 El
- Poutre en porte à faux avec charge "uniformément réy>artie
Procédons de la même façon que précédemment*
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x ^2 2
3
£§3s^--ââ-,5â.^si§Èîss
= 1 J xh
•:
•
'
_ 1
qf2
^> 5 rr~ - - -^
ù
xH?
_
-
4f
5
g-gy-
Csa.CTil__feJâ_flèche
xv 5 a¥
aiZ
s ~ rir
?
FT?
4
PF -- â^
g-g»
Pour obtenir la déformée au niveau de z il faut calculer
effectuer la somme de 0 à z
Ceci équivaut à procéder par la méthode algébrique.
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et
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- 33 T
1
Cette méthode est valable pour n importe quel système de ^harge.
Pour la compréhension de ce paragraphe se reporter au (7»5»2)
*" Cogg.idéri^^i[iune
(figure 1)
une ^chgirge^ren porte a faïuc
«• Traçons le d^amique.
On porte la force P et prend un polo arbitraire p.
nous obtenons les rayons (O, 1) (figure 2)
•* traçons le funiculaire :
De L arbitraire on trace le rayon 0* parallèle à Of et
de H obtenu on porte *t * parallèle à 1 *
Le triangle obtenu (lOf) représente le diagramme des Mp
— Noua voulons connaître le. Ht P par rapport à un point d1abscisse z.
(figure 2)
Le segment mn déteimné par le funiculaire représente ce moment.
Sur le dynamique nous considérons le vecteur Pu dirigé de telle
sorte que son Mt par rapport à H
soit positif
Nous portons mn sur ce vecteur
Sn sera 4- s*il pst de même sens
mn sera «* s1 il est de sens contraire
Dans le cas présent mn est positif
jnais nous avons considéré le Mt de P (force de droite)
Or noua "roulons connaître le Mt dû au iorseur des forces de gauche*
Ce Mt est l1 opposé du précédent* Donc le Mt fléchissant au point
dfabscisse s est le segment jTnu
Les vecteurs représentant les ?ftf
vers Of
*WL$»
sont donc diriges de i*
n"m
x
éch. longueurs
d1
éclu des forces
Proaons le cas de la figure s échelle des longueurs 1 nui pour 0,10 m
échelle des forces 1 mai pour 5 kgf
Nous lisons n"m = 1fl mm
d. » 34 nm
d«où 7 ? ^ « i 7 x O f 1 x 34 x 5 = 289
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fftf
« 289 m lùkgf
« 34 ~
- Cherchons mainterart la déformée :
- Obtention de la flèche B»B
II nous faut prendre le Mt de la surface ( 1 V M H) divisée par
El, par rapport à la droite (? W)
SOitB'B=Mt(z)(2 jjSj-fe)
Divisons alors le diagramme en deux parties (1 et 2) situées de
part et d'autre de (V ï) (figure 21)
Représentons ces surfaces
par dos vecteurs S^ etc 82 proportionnels
«rBf M
^r H
tels que S1 =lr g-j dz
et S2 * £ g-j dz
nous sommes dans le cas analogue a une poutre encastrée en M
soumise à deux forces Sj et S^
nous en traçons le diagramme des Mj>
nous voyons que BfB représente Ht de S. par rapport à V W.
(c'est la flèche cherchée)
Nota : II n'y a que pour les points A* B, C que nous obtenons les
flèches exactes* En effet nous avons remplacé la surface
(qui équivaut à des forces réparties) par deux forces
concentrées*
'Nous voyons donc que si nous voulons obtenir la déformée
complète il nous faudra diviser la smrface en n parties
ce qui nous donnera n -f 1 points teln que A, B, C*
Finalement nous obtenons une courbe funiculaire tangente
au funiculaire tracé (figure 3)«
La courbe funiculaire obtenue est la déformée. De la même
manière que précédex&ment, la valeur do la flèche est
obtenue par :
f «
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B»B
échelle dos longueurs
X
d € fll
éch. des */«r*?
&z
£1 1
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- 36 Nous traçons le dynamique et le funiculaire ce qui nous donne le
diagranuie des Mp (figure 2)
Nous divisons co diagramme en plusieurs parties (exemple 7 divisions)
et nous substituons dos forces S* S0 *.* ètc toiles que
^ r/f
,
»
£
Sj = I -g^f ds *<> o
1 -A
Nous traçons le dynamique correspondant de pôle pf et d'un point
arbitraire MJ nous traçons le funiculaire (**-* D1) (figure 3)
Nous en déduisons la courbe funiculaire correspondante* Cette courbe
est la déformée cherchée, tracée à partir de la tangente en G
La flèche est lue directement en ,âB
R^^g^ :
si nous voulons redresser la déformée;en mettant £C/Dr horizontal, soit UJ -D% le côté (?) du funiculaire nous donne un point tt/Noua joignons Uj ™ à D"
et nous obtenons le côté 7Î! du nouveau funiculaire»
En procédant de la mârae manière nous obtenons le funiculaire redressé
aimi déformée, (représentés en pointillé sur la figure 3)
:
M
n
Nous appellerons "^OT^r^oojyugjee" la; poutre chargée du diagramme
..
' '•" ~
' '; .'
'v
-
f
^
f
;
i
Graphiquaaent on s aperçoit qu il y a équivalence entre la déformée
et le diagramme des J%« de la poutre conjuguée.
Démonstration algébrique :
Poutre réelle
coefficient de charge
effort tranchant î
Mt fléchissant H
Pente de la déformée x1
Déformée x
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**;>/Intégrons deux fois par rapport à z.
fP=
«
dz x + Cl»
J$(\
s= X + C-j Z + C2
Pour2*0
x= û
^ - 0 ) ^ ^^3
s » JE
x«o
/m « o }<
n «0
Ç
*0
Hous constatons que ^?/7 = x
Le moment fléchissant dans la poutreïlctivo est égal à la déformée
Effort trancàant ficitf
^ - xf
J^gJimtiœi
Soit une poutro soumise à un couple.
Pour équilibrer le couple m, les réactions en G et D introduisent
tin oouple antagoniste - /KK1
d'où les réactions
R,, = -*«—
B-. = *- *^
Nous Obtenons le diagramme des Mp
Etudions maintenant une poutre chargée de ce diagramme, (on réalité
nous portons p-y et non M 9 ce qui retient au'mône- si I = Cte)
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pour cette poutre, ce qui nous donnera x et xf.
Nous cherchons
et
Réactions RQ. et RD ;
les charges triangulaires sont remplacées par des forces*
'i—r3prr>"
On écrit ^JTi « 0
pour obtenir
*^-4fB-»
Rp
«•«* *e*/=2;fla-¥> - sf** I *
Ht positif
rnt
négatif
*"* '^ïhl/^^i'J
en remplaçant a par J£ - b npus obtenons /
•o-^t^-^)
'
do marne
E
1 ?tf a2
D = 2 Sjr
x
2a
1 Wi! x*( f 0
T " 5 ^2
/ ~ 1"
2
a« ^
- j^L. lr£
R^--57%
i" >
- liaison avec les rotations sur les appuis
Ç
2>
= - x1 si rotation changée de signe
donc ee =-K
=-E 0
0o .
.
^ ..„„
=-^7- (f-*2)
.
. fâ (fa2)
force do droite changée de signo*
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2b
}^
- 39 Vérification de ces formules sur un cas particulier b = 0
è
^
•* C^cgilvA^.^
-yQ3£ ^eçtion ^d^absoi^^ z»
(entre l*appui G et l'application du couple)
Ht des charges : soit'q/le coefficient de charge nous avons par
similitude des deux triangles î
•* prr
JE a
*»Hq/
//
-
x
dfom
«Jw » ^-^&uL^-,
2
a
\\ /^
^ J3
A«
q « - X4jS4^ 23T
le vecteur est : ~J2^ x «
x'x
a
2
1
Ht=f| M x 5 ,
donc
IQç
«*--B0«+^m-
3
fe
z
. 77?
2
** <^?
*%^^ 4%pwt
id JbJ-^
u^ iîUL
x
3
3
^v rz t ^
= i^ t T - "5 +b
;jvjirj i u
-- ••'"•'• "ir-"v"-~;-'trJ1-'
cas particulier
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b =0
nous retrouvons
-
"^*" *
g
x « M^^l^ ( —- — 1 )
6 El
|2
/i
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• -. •
•
- 4t *•
On trace le dynamique en partant de la charge P
Nous portons les .côtés O f et 1 1 ? puis, .le côté 21 pour fermer le
funiculaire* / £;^ 2]
En menant (2) parallèle à 21 nous obtenons R^ et IL (figure 2)
Ru-n est positif $ son moment par rapport à un point d*abscisse s est
négatif et représenté par un vecteur n m situé entre les cdtés
t * et 2*.
Pour un point d 1 abscisse £> ,4 le moment de IL, 4- . p
est toujours
positif mais diminue «
le triangle 0•* 1 f 2f représente le diagramme des Il~ *
-H»
*H>
:
" Obtention de la longaeur BB^ (figure l0^..d^^^^Jg^^^^t^e.v^
â^^^i^luSâ^&^^iâ-.i3!^
BfB, pour l'abscisse z est égal au %omentft du diagraimae des ï^
situé à gauche de z par rapport à ce point d1 abscisse 2»*
Divisons le diagramme, an deuz triangles quo nous repréeeiiterona par
deux vecteurs S. et Sp
. jP-
s
i ^ "(rr d2
6
S
2 " Irr
M
Jota : les -diagrammes M et ^r-y
dB
D: /
sont les mêmes si î * Cte
Nous traçons le dynamique correspondant, de pôle P1. On obtient le
fumcuiaire Of 1 f 2f (figure 3) puis la courbe funiculaire corrospon*danta*
La tangente en G est le cêté O f .
*«» Si nous avions 'réellement S et S f BB^ serait la distance 1 1 O f j
mais notis avons mie charge répartie, par conaéguent la distance BB1
s1obtient en prenant la distance verticale entre la courbe.funiculaire
ât le rayon O f »
Cependant nous nf obtenons pas la défortaée réelle s
enefxet pour
a= 0
) x ^Q (appujs)
2 =^
f
II nous faut ramener l1 appui D à la hauteur de G»
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- 42 ~
K^ir rodressons 3e funiculaire en prenant la verticale passant par G
connc droite de?« pi^^ts (ir^dre en pointillé)
Cctie méthode sera pratique dans le cas d'jneifcies variables* II n f y
aura que le diagramme des KL, qui sera change.
12.2*3 Jtéfg^iî^^^
La poutre considérée a une section rectangulaire.
La section en I conviendrait, niais pour une section «sn U noiis
aurions è la fois fleTicm et torsion <***+
Etablissons la déformée /
nons partons des formules de Brecae^
_
*G 2 =^ +
r\
fÂG7\ . I
f(|nE > ** + < ET| )T~j*<nÇa0
^
H et T sont nuls ou négligeables**
P se décompose en P~ = P sia °f
et P, = P cos &(
-» Hous pouvons calculer séparément les fl èdhien.
«~^e»
La poutro est eoicastrée d f où
B^ =* 0
/T'^ ^ o _
Lo déplaceuaiit oleffeo1rae EuiTcr>L
Calci3lon^ 3rs ternie de
^
1
£v G^
_~^
A
se et y
GG
2
^
'I
h
o
o
|lo
0
(VZ)
M
ce qui ^otine ^. ' - (sjg - z) «*
I °
1°
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^
.*
î /s G G
2
i ^o „ i!;
j,oj :
=
0
0
a
f(i -*;
ce gux donne _ /
» 43'-
u
Q
Projection sur les de^oz axos x et y
—
^ir
soit
•~ip.
i4 projection de /S G0 sin* y
^
2
—
A^2
W*-**!
^-
"c--_/ ï t % - < « 2 - " ) * «
—
aoit V9 projoction de ^ G-p
'
/'*
'2-- / - B r i ^^
(l
-*
*
uîz)
9
HT
I ^.V.^-*-
—ffy 'J
_^^-
sur x
2 - 0 d l —'"Wffi
Nota i ï.1^ est identique au oaa de In, pontre^cbargée dans le
p3an inojrerî.
Nous pouTons tracer 1!ellipse d'inertie de la section rectangulaire»
La direction de P détermine deux: pointe sui 1! ellipse par lesquels
nous manunt, ues tangentes.
Ces tangentes déterminent la direction û .
la flèche est perocndic^i3.gare a lfax:o
nous sa^vonp que i (cf 9*6*3))^
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ù
9
donc on obtient P sur v
- 44 «
.
—.nv
L-
jjj
»
=r. ^^
x 3 Y
.; '
pa^ ciiialogv.e S//QO les fonmzlea déjà Tues
a
-
-• -
'
......
- -
nous obtenons
H
M/
Y« » ~ oms*^
EC7
de lsaze à pour que les fournies soient correctes
v est à - ~2,.
oa signe»
12*3 POUTRES COimB^dére étud§)
l1 étude est basée sur lJapp3JLcation de la formule
1
1
M
IÇ ~ ÏÇ ^ FT
1°) Ressort^^^J[trojSj_. horlogerie)
Problème ; Combien de tours peut on effectuer sans casser le
Lfaze B est suppose libre.
^our un point F. nous avbns.
P
If
tl
t,
4-
4
qf^
f
<V
^2r - 2
^2
jetant le point P. après l1 établissement du couple en B
Açt:'^ de oontact en A :
nous-avons" - & pcxir équilibrer le couple €*de B^
*T
Nous aav(ns que i
^
6.3
R. = jyr
'•
1 ac-t?
et
En utilisait la prooière f oismle t
d^ ' d %
p .
*^ — **gg = « .pf-
*r-*(i~
S
S ^Cte
*"*
J^£
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/^o
R, = JS
2
o^^
ce qui donna en intégrant :
- 45 -
Or -pour-S = 0 # 2 ^.fl^ « Q
donc
Cte = 0
La rotation totale devient s
4^
^8 x" c?
/>
r -. «^
en radians
ET I
Le Ht fléchissant est constant tout le long do S
noijB forona le calcul de résistance pour une section P queloooque/
(T
C
6 n
IL
^ ^
R
fbh2
dfoù *,
& = ~^-~~—«*•
6
O^^st le couple mari que lfon obtient
pour iin matériau et une section donnés»
R. , bh 2 ^ ..
2R^ . t
<//
= ^w«—».—«-. -fc
- ,-^^^^f^^.
> totale
^
3
,
6 E -|g"*
Application numérique s
€ « 580 no.
b « 1,82 sm
E ~ 22000
f
...
h « 0,15 mm
f
acier Ifengano-Silicepx
E."\f * 90 kg/m2
. JJL&XS22000 x 0,15
2°) Segsort à lames planep ou co'ig'tps
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en rad.
V^ - 31 rd.
- 46 Par raison de syidéirie nouB n étudierons que la moitié du ressort,
en considérant la partie centrale encastrée*
s
H^ËSËlàSââ :
" ' '
-• les lamas peuvent glisser les unes sur les autres
- lf-épaisseur de chaque lame est constante
- lfépaisseui? totale la plus grande est faible vis à vis des
rayons de courbure des fibres moyennes des lames successives/
— R = Cte pour'toutes les lames (valable d1après ltloypotlièse précédente)
- les laciez sont initialement cintrées
Ho = Rayon de courbure initial
** QffilÉl^^
t•
"* l^s lanies: iixLti^ement, .ciiffla^^
Prônons une section droite quelconque, que nous repérons par son
abscisse curviligne
appliquons la formule
1ère lame
1
1
M
« - g~* = <*• «-»
B 1^ ( .g -g* ) « - m.j
EI
2ème lame
ème «
n
lame
2^ff"!T^ s:5: ^ in 2
« «r
/ 1
1 \
E In < j- ^ ) - - »n
E ( I1 + I2 + ..». + In) (g - g» ) = - (j^ -f E^ + ... + ma)
••'
• •'
;'•-•• '
• ••• '"
'-'
• •'•'•'
'
Les actions de contact entre les lamss s'annulent
(action ~ réaction)
II reste 3? sur la 1ère lame (force de droits)
Fx,é= + M
d»où
E ( I. + I_ -i- .». + l ) ( i - J L ) e - P - X ^
i
c.
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2l
il
..t,O
M
;; :
-'' - •
•
'
~ 47 _
Poiir avoir des lames circulaires 51 faut R = Cte tout le long de /à
donc *.•«- ^ = Cte ce qui entraîne (l1 * 3L * **« -*- I )
proportionnel à /6 soit k >f/6
Si nous prenons dos soetions rectangulaires pour les lames9 nous
aurons :
\
,3
.
•
U +b +
T2 ^' " 1
2
..
*'*'*
+b
n^ ^k#^
Déterminoi^ le coefficient k :
si lu ressort est constitué de p lames de largeur b le terme devient
y^ x p b « k L
Si nous assimilons l^rç £> à la corde L
et finalement
k « -» x ^-*
En.revenant à la première foimile :
5
-B'h
^—^
p b . • V/ ç1 - * r »1; =% « * J ?.,
_„«
11
IC
! ,, ,
jd'ou
xl
XtO
1
1
12 P L {
g ^ g- = ~ FhJ^d
- Conditions à se fixer t
ïïcus voulons atteindre la valeur limite quand le ressort
est horizontal»
Pour cette position
R S."Ô®
F
' s a F*
limite
dfoîi
-f J.
Ro
12 F* L
. ^™
Calculons la contrainte maximum -j elle ae trouve dans la section
d f encastrement.
JS
Pour taie lame
E l , ( - ,.« } *-• « m.
_ =B
« TI. x. 12
F* L *= F'
L
+. m
—«—^~«~
1
1
P
SvJ»
E tf p h
b h
P
E
"TT
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- 48 CO3ILii3
CJ"" -
••si' = ^.«~»»^1^»
•TTL
__ ^b ilh3
'
p ~~.r
-s R.
•
2
F' = Et x P £g£j~
d'où
Inversement si nous avons F1 nous obtiendrons la courbure «y»
donner initialement
12 x Et x p b h2 L
•6r - LT „
E ,3
h p 'vb
1
-i-
MQÇil»
S2
«^qa^^tfl^^lli'li^^lll^llIM i^
KO
^5.
, ,
d ftou
a
2 Et<»MM»Kîtee»t
S 11
-,
Eh
Ro « sj^ip*
** Ca]Ural de .,lgi...vgyiati;.on d.e jflgplie
Nous avons une relation entre
•Ro-, L et
Pô
L r±f 2 Ro Fo
d.où
De même nous aurons
Fo^^
L^^f 2 R F
o
F
d'où.
•nF
•nt *
D'où
'
~irE
L2
m = — /•( 1
- Po
* - - ,1) \= = 2
E
Eo
6 P g—.
L3
Elij p b
E fa5
b
PTT. = ik x = • •'-"". * P
4 .'"•"
6 I?
Application noméidgue
L = 1,25 m
b = 0,25 m
R. = 13,5 kg/W2
-6
vx
*-iJ)|!^/Nlv'
h = 0,015
p =8
' '
2
• Acier, dur E = 27.000 'kg/mn.
(après traitement)
Calcul de Ro, fof F1
Eh
p^
R o ^ rl^
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&
27.000 x 0,015 ' " 1R „
-^-x-1^— = 1 5 m
Le système étant symétrique, on considère ton eacastramsnt en G*
r
Nous avons
\i
¥„ = ¥ - ô (2 -x ) + I -jL. (x - x) ds
soient C le point 1
A le point 2
notis avons
^
¥ =0
%l = 0
-2.
il reste
¥2 = /jpj
( 3C2 - x ) ds
Nous devons faire l'intégrale en parcourant
w^ toute la courbe.
Il faut poser deux équations différentes des mentre C et D
M = P (^+ E cos & )
avec Zy ~ tet x = - R cos 8
entre D et A
K = P (t - x )
Xg = £ X = X
Nous pouvons calculer ¥p
/*J?
CD ~*^EI ¥2 = / 2P (£ + R cos © ) ( £ + E cos-9 ) dô
Jofl
DA ^> El ¥2 =
.
/P ( t - x ) ( € ~ x ) dx
^o
d^où A A B . S£[/+R< 4^ ^ ^ + !L|! )j
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^ 51 _
JÈEêSBiê^â
Portique iso-statique
Soit à calculer le déplacement de 1*appui mobile du portique ci-des-
Ig^otnes^ î
.-* B et G sont des naettds rigides
- le profilé est en I
- Si A rotule f en B rouleaux.
fSL
U
2
= ÏÏ
1 * \^2~ *J * / r r
.
'
. .
Jj
(Z
.
2 ^ z)
dS
. . .
f
A ne se déplace pas d cù ïï, = 0
A et D restent SET x dIoù
2u =c 0 )
)
«! = 0 )
z -z =0
2
1
r*
U2 = - / ~|T (z2 » a) ds
Ji
Calcul des réactions
•••1 sont4. vertxcales
4.- T
r>' = —-~
Pe
elles
s R»
e
•
T, •= P.
(6 - e)
R^
—-W£—.«wi
e
Les mcsnents sont :
de A à B
de B à G
M= 0
f BS dorme
1
1 EC dôme
1
M= £-£ x
€
1 J^l^âi (E - 2 )
t
avec fz ss h
K«o
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( d^ = dz
X
- 52 -
de C à D
H=0
En reportant
dans l'équation cors avons
!)
/* - 2
/" it
BIÏÏ, = - |âV( ^.iQax-. rJl.-.gl ( £ - x ) ( - h ) c t a
p^ o *
h _(
4e^
•
2
- £k (i^f 4. LU i^} r ^-L*}
88
T" "" ï "
.^LJË
r
""1 ^ L
.
^ J !-e
( £ - e ) [ ? - e + e]
U
_ Pxexhx(f-e)
2 ~ --^^^^
B1 après ces résultats noiis pouvoiis représenter la défonaée.
M
Mous avons xtf == ~ ^^
Or entre iB et CD HF - 0
g=-0
d'où
R « **£>
Hous voyons que J03 et CD restent droits*
^fcjsgsgffltion. de ^ :
nous avons
¥2 == W^ - (z2 - x, ) S^ -j- f g^j ( x^ *- x) ds
fyjf
(déplacement suivant z)
et . ¥1 = 0
d*où
Or ¥2 = 0
/
"M
(x2 - X1 ) 9^j = 1 ^. (zg - x) ds
.faa-«,)^
E
Eki prenant 001000 précédesnmant
rS-e
EiE0,=
=
M de 0 à u - e
J0 f
LlL^sl re- s ) 2 dz
4-e e
* « f P ^ 2 Li
( E - e) ^
-
-(£-e)l
^p—j
—-
.
P(l-e)
+ —^
4
. L.!_Çf-![/ +2 L e ^ - 2 e 2 + 2e 2 J
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C*
{/ ^ e
TE
L2.x.(e.x)az J
>
et de
e5
-3-
à &
- 53 -
d.ofc
a' « JLil^I^
(1*4)
6 El
•#
ÊêSiSÎBâ^* dans le système suivant il nous faut calculer.
en
premier pc/ur obtenir le déplacement longitudinal.
' '4°) Calcul de 3^ défoCTia^ ou^^
donnée
' (sÉ^2ââJ^Sdfe3âSâ) '
, Sum>osons une poutre encastrée.
calculons la flecne dans la direction à
Prenons x parallèle à A
nous avons ÏÏg « ÏÏ 4- ft (zp - 2, ) •** / ««-» ( z ' ^ z ) ds
Lfencastrement implique ( D. « 0
l^=°
d'où
U2 = - 1^
t
( 2 2 ~2 ) ds
On trace le diagramme des EL et on le décompose"en petites zones.
Le point B est pris sur la fibre moyenne. Un petit élément de surface
est de la forme _J|_ ^s
El
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- 54 En partant de ce diagramme nous obtiendrons mie valeur approchée de
ltintégrale»
Leà calculs sont diposéa aelon le tableau suivant.
Nous pouvons résoudre'ces problèmes par une méthode entièrement
graphique, en portant un vecteur proportionnel à *» et parallèle
à x*
jtogsgglg^ : JtS^ySLJ^^^
On détermine d1abord le dia,g3?amme des KL^
on trace le djaaamique de pôle *
on porte 0* et 1 f parallèlement à 0 et 1
le diagramme des HL, s*obtient avec lsintorsection de ces rayons avec
des droites menées de G. et Gp parallèlement à P
Le mt an G est égal à | a"b |
Or nous désirons les moments dans la direction
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A
~ 55 Nous portons les valeurs telles que :
A1 Jk1 ~ JLJi* e* <lue âL^kL80^ parallèle à û à partir
de la fibre moyenne*
Nous obtenons un nouveau àiagramie.^
Partageons ce diagramme en deus sones et portons S. et S.^ proportionnels à ces surfaces «>
On trace le dynamique correspondant de pôle jt et on porte les
rayons 0* 1 * 21
La flèche F* se lit immédiatement en KL ; si nous roulons la flèche
le long de la poutre il faut tracer la courbe funiculaire*
(les flèches s Obtiennent parallèlement à A entre la courbe et O1)
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- 57 12.4 §2llÉ5§§-J^^
minés*
1
°) ^l£Mlii2M *
On dit qusun système est statiquement déterminé (ig^^^lgue)
lorsqu'on peut déterminer toutes les réactions à lfaide des seul"??équations de la statique* Dans le cas contraire il est dit statique—
ment indéterminé ou encore (h^gi^staticiue)
' f c e m ^ l e s 1 1 gtp>j,<^g.
Il y a deux inconnues f R~
U
la statique donne deux équations
deux: inconnues f Réaction
i Mt d f encastrement
>»
la statique donne deux équations
si nous ajoutons \m appui à ce dernier système îl devient hyperstatique.
Nous aTons cependant des relations
il y a trois inconnues( Rg
;%
...
'
'M*
^MD
nous avons deux équations
donc (5 - 2) = 1
II y a une inconnue surabondante ou encore nous dirons que le
degré dfhyperstaticité est égal à 1
degré dfhyperstaticité ^ nombre d3inconnues surabondantes
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~ 58 Dans cette autre système il y a :
$eux encastrements
4 Inconnues
2 équations
degré d1hyperstaticité » (4 - 2)
Dans tous ces cas il s1agit de réactions de liaison.
Le système est hyperstatique extérieur*
Le système est hyperstatique intérieur si l^on ne peut pas déterminer
le passage des efforts à l'intérieur de la structure.
E^ffî^le : anneau de forme quelconque soumis, à deux forces égales et
Coupons le en deux parties A et B<
II noua faudra déterminer 6 quantités .
Bans le plan nous aurons 3 équations ; d!oîi le degré à'hyperstaticité : (6 ~ 3) = 3
v
..sterne liyperstatique extérieur..._simple :
Nous voulons déterminer le diagramme des Mp
dans le cas dfune poutre encastrée aux deux extrémités
la statique donno : R^ -f Hg H- ql = 0
Nous avcnq vu que le degré d1hyperstaticité était 2
en réalité, le système étant symétrique le degré sera diminué.
En effet
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RXiA = IL,
= - q *CÏJ
- 59 Ecrivons l'équation des Mts par rapport à A
l2
0
MA + MB + q ^ + Rg x £ = 0
^'""•^^
1
r
. 4 -jr - <i "2
d'0ù n^rrig
L—«_.^_—^j
Formons le tahleau de la déformée
celui-ci nous donnera
xf = 0
A et B
au centre (symétrie)
sont de manie niveau
a) Méthode algébrique• ••m»»nniinrrnii
.I.I-I:.-JI-.CL.- a
: -
•,-
I
n
ui .in--
- -g.. T-n».tt>. -• n
3
M z + q. 3. ^_ •*- G
A
2 2><5
,
_
0
35.
-HZ
«"'•ll "•"»«•"" '
i j . .1 • jr-ropaMT rnu-LiTrn-r:nt ari-nniji;»ijii.i n>i|»ini.an m»
j r-imi-n
-.uuiriiiin .. .. ,., i unim. ruri r il; i miunti
i. i
M^ç^-dl-
- El x>
-
r...-.n-. .-. — -.,.T.H mininmi n niin ir .1 n -ui-.-_i...-
___
«
symétrie
_
^™_
^
«
—^u,,WW^a.,.,^,
2
..
nA^+ ,J ^.- §^ J2
""•' i "•""'"•
••"•>" »«••*-»" ••«•«>.«»
•» M»»»»-.»»»»...»»»!.-'»-
—V^L-UJ^-J. -!.„..-._..._n.-mn-r.--:-.--,-T-
-
-J-l*"'- j-ir i '••"• -u.
« i » «
n.ïiiiir««»~-«-~«.--iir_jjt,v.«i.m-i»-*-~««-.J-.J
• _ «-.--J unui. J i ir, r-rimm..^»,
zj = 0 (encastrement) donc G. = 0
pour z = 0
pour z - 0
x=0
"
ïïous pouvons déterminer M^
Dans l'équation de z1 z* ±= 0
=- q ?
5+
|
^
-A-3^-
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*
pour z = « (simplifier par a)
l2
1 1
MA
donc Cp = 0
'
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Poutre encastrée soumise à une., force*
sous l1action de cette force nous obtenons une flèche
P« =
l3
%
,(Cf. 12.2,2
^.j-
1 ) .
En superposant ces deux cas et en écrivant que
P1 + F = 0
nous retrouvons le problème initial.
FP ++ PP. =_ g^j
*l4 .+ RDqpgp
i5
d! Ù
° p^^1^
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=n0
-62-
Cet exemple peut se traiter par la méthode algébrique.
- Obtention des moments d*encastrement.
de l'équation d* équilibre ~ RQ. + EL -f q 1 = 0
nous déduisons
H = -; §JLi .
G
.
' 8.
. • ;
Ecrivons l'cSquation des moments ••
K, + RD 1 + 1_12
i
.
,
*--*-u-;-n?1"-""1'*
"^
=0
A, *
2
^
•'•
•
"
d.où
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-
.• ' -,
2• '
[ Me - - V"
- 63 Partageons 1*anneau en deux parties au niveau de A et B»
Les actions eu A et B peuvent être de trois sortes ZA Xâ HA
Considérons l1équilibre de la partie nupérieure*
ZA 4- ZB + P = 0
d*où
or par symétrie ZA = ZB
j ZA = ZB = - |f
iwaH^aWMttMV-l f^atm^tUm^^^ »«»•»%«,.,.«. Jf
- Considérons maintenant le cas où il existerait des actions horizontales X^ et Xg
Nous aurions par symétrie X^ + XB = 0
d'où X^ 3= ~ X]j
j X^ /
r^I^r~!
l^$ \
si X^ existe (action de 2 sur 1 )
il y a une réaction de 1 sur 2 pour
équilibrer soit X1^
(Xf. opposé à X^ )
Or nous avons symétrie de l1anneau par rapport à ltaxe x. Ceci
entraîne X1^ de mîmo sers qre XA
La seule condition d 1 équilibre est donc fx^ = X^ = 0
- Calculons maintenant M^ et MB
Efou^ avons M^ -f MB = 0
soit jHfl& - —"nÎB""
II ^?este cependant M^ inconnue.
L0 degré d hyper, baticité est intérieur à 1*
t
M$£^îîl^icS^ââJlâ
deux méthodes peuvent être utilisées :
- soit écrire que les sections C et C* restent sur z,
- soit écrire que l1 angle ei^tre les sections A et C
est constant (solution la plus simple)«
Deuxième cas : *
lfoquation de Bresse donnant la rotation :
V 9, ox\- ^= °
-jkrr -
i:L reste
ftpj ds = 0
^V
Coïisidérons une section G formant un angle ^ avec l'axe x
Calculons M^, en G.
M = M - | R (1 - cos <p )
ds = R do
ï
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- 64 ~
/*?•
/ *'MA - | R (1 - cos.<p )J R d<p =? 0
d j où | ^ ds =
Q
•J
~
•
'
«•-
-d'A--[(«*-£,£) 4- + - y | R = o
d*oti
MA = ^ (1 - JL )
S^l^^lg^^g^^fci?!^,. ,^--e.. A9?^&^!S^-A^-»4?Sl^§fer JS
- Pour à (GO») W2 * W1 - ^ (x2 - x t ) + |^j (x2 - x) ds
le point
A est le point 1 et le point C le point 2
¥2 =j fj, (x2 - x) ds
R ^^
^
N
. ÏTwoxis avons TfM = î"«—?.
vl - ——
)
P R f 2
= --rLT-
P
R
s>r* / .u - cos, -1|> \ )
c o s ^1
fJ
Z
2= °
d'où
z = - R cos <P
>1
El ¥2 = -
f 2 =yi
P T» Ir -p - cos Cf1| v<R 003 CD X. R d €>
1
-/O
2
- p.^T
""1 "
?~", L^f" " TJ
U_ = p
gT/^""
2 \ ^ n n0(4
_ F?"
2 rs \T- ~ TJJ-; - °'
- Po^or
£i (AB)
•
.-
U2 = ^ + 0^ «
BI)
-
bly
(^ -
soient A le point 1 et C le point 2
On a
u
-j = ] E"l
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n
(Z2 "* z)
ds
Z)
dS
- 65 z2 = R
ds = E d <p
z = R sin \p
. . : . . . ' .
En prenant M comme précédemment on a
El U.t = I 5^|"™
- oos<pj|t - sîn<f JR x R d(p
^_.. _. ___.:
. , . . U.„ = «-«?
P R3f f 2
On obtient
^ 1 2 El j^-ri
A
il
ô2J
i
.•
Remarques. ;
- ¥p représente le déplacement du point G
- IL représente le déplacement du point A
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DUES A PN- ^^MBJ^^^MJS^JC^^Ë
B « ^M^E^^MGETI^Œ .
,
12*5 Intégrales de Mphr :
Les intégrales de Hohr ont été introduites en France par
M» F. SâlLES (cf "Initiation à la théorie de l'énergie élastique
DIMOD 1961)
Ces intégrales sont de la forme générale
/yt W y2 (x) dx
Elles ont été calculées pour un grand nombre de combinaisons mises
sous forme de tableaux»
Méthode de calcul
1/ Foimile des trois niyeauz :
cette forraule nfést utilisable que pour des fonctions
Y1 e^ 5*2 ^^ne sont pas supérieure au troisième degré.
— ^HE§i«ââ-JL§L^2SS3^.
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- 67 -
- S^ffiiê^Al§EEli5S!SSa •
soit à calculer I = i y, (x) yp(x)
représentées ci-dessus-
pour les fonctions
• ,.&
I - /
y1 y2 dx « £ f 0 + 4 (Ç x Hh) + OJ
^ % _____ .
soit I = 1 Mi Mk i j
2/ Shgo^rCTie.jie^ Vere^B<^ia^ine
Soient deux fonctions yXx) et
yp(x) considérées èans le même
intervale et telle
que
yp(x) soit linéaire.
Interprétons géométriquement la
figure j2 » x tg 0
d r où
I «/y^ Y2 ^ - tgS/x y.j dx
/"xy.dx est ,
Lfintégrale /
égale au
•-r
*
S21ffii-§iâi^ïïâ ^e l!Q-i^^ S par_ rapport
à T'axe Oy
On a donc : I = tg S xu-n S
EEZZïE]
C r est le ^és^^ÊJ^^ZêSSSS^â^SSê.
;feggiâ«âv!S2SMSâiî2SL
y^z) est une parabole
^ - | i ^yG = |Mi
S = £ 1 M,.
3
•"•
d'où I = | l M k x | t t L
I = ^| Mi JDc 1
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- 68 ~
12*6 BQg2g^^
12.6.1 Defômtim s
On considère un état déformé à partir duquel on provoque un
accroissement infiniment petit des déformations * les contraintes
fournissant tin travail»
$?*
Soit
o\fj le travail des contraintes par unité de volume*
Ce travail correspond en général à un â^£2iâ§S^tAîJSâESâ
^gotentielle, qui est restitué au retour à l'état initial, et à une
perte par frottements dans la matière.
Si le corps est parfaitement élastique, il y a réversibilité et le
travail des contraintes se retrouve en énergie potentielle*
<Fw est une différentielle totale exacte dw et W
est
:
appelé énergie j.e déforjaation élastique
12*6.2 E^reBsion de l1énergie de défomation é^^js^j^^fç^G^^ûi,
de^.cc^ralnt§s.
Soit un parallélépipède élémentaire
et une de ses facettes ABCD
Considérons l'état déformé à<la
traction Â'B'Cf1>f
Exprimons la déformation en fonction
de 1!arête 1, et de l1allongement
unitaire e.
M1 = BB1 '=* CC1 = DDf = e.l.
Considérons maintenant une
déformation supplémentaire CCn
CC» « (e^+de^ ^
Exprimons le travail ms en jeu
dW «0^.^12 x-de1 lt
soit dW
= CJ (Xj 12 1^) det
&l ^ 13)
. U*UU)
1 lp L = V volume du parallélépipède
Exprimons le travail par unité de volume
aiT- Ci dev
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_ 69 Au point de vue glissement nous allons obtenir quelque chose de
comparable*
On considère un état défomé l'B'CD puis une déformation supplétaentaire AnB"CD telle que
B'B" - d (2 g2) l5
d W * t£ lt 12 x d (2 g2) ^
(volume complet)
Et en ramenant à Ifunité de volume
dW *'£A d (2 g2)
Dfune façon générale, par imité de
volume9 l1énergie élastique augmente
de la quantité :
(1 )
; d W = '€J de1 + i^ de2 + fj de^ + ^f d (2gf ) + ^td(2g2)
+ S§d (2-g^y
*' A partir des f oimules de Lamé nous allons exprimer ce travail
, uniquement soit en fonction des contraintesf soit en fonction de.r
déformations unifcaires «
a) Expression de jWLjgS^2MM£2w-âê.ei > eo> e^?2 ^1 » 2 %>* 2 ^
/
•
«««rtWijUto»--»*»»-^!»^^^*
I"" *"' "
««'»l''««i«''«'"»*^W'''*""'^W«»-lll->«'
j
£
2
I
C.^
__
n-it-T^r-,
Rappel des formules 2
CV=X§V2/ée<
.<rj»>;0 + 2/»ea,
•
'«isAB^ej
0 s- e
!£•= G
+0
4. e
^4* 2 >^i4
tis2/»^ f
£ 3 »2^ ?3
(dilatation cubique unitaire)
(module d1élasticité transversale)
Remplaçons les contraintes par leur valeur dans la fournie (l)
dW=(A0+ 2/J ej de1 -f (A6+ 2^4»e2) de2 + (A 0+ 2^» e? ) de^
+ 2M g d (2gl) 4 2A| go d( 2 gj -f 2lj^ d (2 g)
JF
\ droits réservés.
t
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tous
,</
C,
.^
/
J
**
- 70 -
^
d»
dW-^0(de1 + de2 + de-) + 2/U (e1 de.j + e2 de2 + e^ dej) 4- 2^4gTd(2 g^
+ g2 d (2 gg) + g3 d(2 g^
Intégrons cette expression
W = \ §0 + 2//(e* -f. e/ + e32} -f 4^ (
^ + t£ + ^^
b) Expression de \J/ en fonction de <f^ | C^ /tï^ ^ C^ ^"H'iyCj
Nous utilisons les fennuies inverses-:
e
i=-^-Oî-yC^^tfs)]
2s =
2 = |[Ça-K(C 3 tr,0
2 § 2 = Ç|,
i %f
e
• ê,-«d. FCC-Kftri-* oîflJ
.
;£
.. "
2g 3 = ij.
•
.
©
•
Remplaçons les déformations par leur valeur dans la foimule (l)
4W = (qlîdC; ^df^^fSîl^^ird^^rrftOi^rt+^l
•
E"
E
•
€1
^Cs^raC^t^J^r^dr^^^l-d^ 4^|ci^s
r
4(^qt^dratC5. d€j^fûfr^ç|V
3,çdC(t-..-l
. . fc * t-^
Ea intégrant
r
Wr
^
f 2,4. dr.j * 2"2 Id^a ^ r % 1 cl £3*
_Lj5* ;:ji
^ _6 tm v
,]a.,.,<S,.,_v,..,,,.....,
,
\[itf+*î+ ^}' |^Ir^2*• r2^f + SC|^l(r^z^ri)
rn^jEL^..........,»
^-.TU^£TC..X - L •!.-.
-il.iMt'rn.
-r.^.r
.^-
.._..., _ , . . . _ . ,
.--.
-'•''-,'
c) Ene^rgio ^
L! énergie de changement de forme est due à fc. uniquement/
Exprimons cette énergie,
.
.
Il y a une relation simple entre 0 et les contraintes*
J6
=
SJ'
e,i + e,<i+ e,9= L^L.
«T, 1+0% *:+ <T,)p
.•. ili
Sgggxgae i 0 ne dépendant pas du système dlax:e considéré, la somme
C"\ -f 0*^ -f Cl%, est constante, invariante pour un changement dtaxes*
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>
- 71 On peut supposer que le matériau est soumis à une pression uniforme
puisque les contraintes interviennent sous la forme
<n + $*' +c p = « ((^4-SJ-f^J)
cette pression p peut sl écrire
ce qui ne change pas la valeur de '0 »
Soit dWf l1 énergie élémentaire de changement de forme î
âWç = P da = P Mi^iiLldp
TIntégrons
*'
Wt>
3 (1 - 2 K) 2A-^-.g.—£,...£
Wf = |
soit en fonction des contraintes
p
Wf * | lL^JlL( €.J^±&
Energie de changement de forme
'l^TI^Elîuiï+tfî ) 2 !
Cette énergie étant l'Jngrffie élasjbiC|UQ de c^iaQg!aaent._d_ejf^rme>
le reste de l'énergie totale est appelé énergie, élastigue de dis^
-torsiori«
Soit Wd lféne.vgie de distorsion
Wd^W-Wp
w^l^{d^c/j^(C€^%^^C^^i{^^^4)
1
1 -1||K{fF*c,^)
Mettons T-W
en facteur, puis
uiii
M.
j)£j
v^xi^f^^^j [3.i4^^ffr^*çç*«;flrW-^- »+**}
• iH+r» ^Ifgf^r^^)
-^ri
J8
1 + i^
Mettons <-*-&>£*
en facteur
^^i^^rrcVAc/)
.fd<ç*ra<i;*«;<î;*^i^J^^l^)
B£ ^
2o
f
Wd
*
**?
f(ffi
.«y
*(*i-rs)**tr» -*ï\' * $&
^^l i
:
"
éC **
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- 72 M
L1énergie totalo peut donc.se. mettre sous la forme :
W^H
^fa;^*^ ^£1.
€£
'
«** £v '
^Tâïffijîs
cette étude est due à HDBER (1904) et VOI
(1913)
On borne l'énergie de distorsion qui ne doit pas dépasser
1!énergie de distorsion relative au cas d*un essai de traction.
Il nfy a donc que la contrainte ^- Re
limite élastique
•
..
• Wa traction
/ ,- -i4Ç.
He2 ' '
3 E
.
Cggr deirla résistance des..,,matériaux,
•
•
H,=Ç. + ^/P74?
N2 = ^_-^'Çv7?
,
On remplace ^1 et C|. par les contraintes principales ÏÏL et ïfp
. dans 1*expression (4) d.e llénergie élastique de distorsion
2 2 a
^.vf .[.«•i-v t-2 *'i 3
v^ ^[rWV^f^^^^^^^^
^ £4 i F1^ 4 r1 ) +M f * |\f5rî7?>
4 .4
V^tsiiTHr*-*cV z£ t + iirVAz Jt )]<3-itT^
&E^2
II reste
<T
,i- *2 *
^
+ 3 ZT ^ Re
rtweaBaeBrçsi«ïR!fi»w»^
*
f
D où la condition de résistance
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'JE.
C. •
Re*^ 1 Cf ^5
^
'M .M i ' ^
, »^>^^^Mic^»»ag^^
'"
- 73 —_—ÇL_O. •
«M — . dans le cas d'un cisaillement pur,
.£ « B g Rg « 2| ^ 0,58 Ee
Dans ce cas les essais sont faits sur un tube mince»
12.6,5 jjj^Pgggx^^
a
) ,ï£ë^î£!^
Dans le cas d'une traction (ou d'une compression) pure
l'expression do l'énergie totale (expression (2:) s1 écrit
«-*
W ,
,
« i SlL
(par unité de volume)x
2 E
Pour un petit élément hacîïuré
1*énergie est
W(hachure)
A , *\
*-*>
1 0 % .' 0 a
= 2
i -rr
d S ds
E
Dans ime traction en a
ïï
«or*= - g
et llénergie pour le petit élément hachuré s'écrit :
1 N2; ^ Q ,
/'i
-u
^\
=
«
d S ds
•
(hachure) 2 E*-~^
g2
W
pour le prisme
W
i dS «^ S
t;
/
\ s±. •»
(prisme) S
2
H
*--. ,
dea
ES
Nous avons ainsi l'expression de 1?énergie totale pour une poutre
:
.
WV
W
1
~
2
i «-P.^,—«^^^
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I ®2
I gy
A
dS
- 74 Sâ^ESEîê, * ^n Peu^ retrouver cette fonmile plus., directement en
exprimant le travail mis en jeti au cours de la déformation
du prisme.
D l après la loi de Hooke
H est proportionnel à M (ds)
Le travail est donc représenté
par lfaire du triangle OAa
H variant de 0 à N
^pr^eH <-"><*<*=)
La loi de Hooke s'écrit
N
""_
'-"E à-fel
• ;*~ S ~
'as
W
(prisme)m 2
B. ^
^) llexion pure, (principa^^^^
II y a flexion pure lorsque seul le moment fléchissant intervient
II n!y a alors que les contraintes normales*
.r- Flexion .principale (ordinaire)
- Flexion déviée
(X, Y axes principaux d'inert
Dans ce cas €j n*est pas constant
On a toujours
^r-l
1
W
w
"5.
^2 T
Considérons une fibre élémen/p- '
taire pour laquelle ^^^oonst*
2
W(fxbre) = 2T)
i ( ^r
•& x •- CE
)
dsds
y
K '
v
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J
- 75 Et pour le prisme élémentaire
W
(prisme)
/ *V
1
\ = TTTÏ
2 E
fMly
y Y M .Ix^u*.2 * «
A
dS
K( «^ A - «w*^»
0. S
soit
2
2
1 *„
2 ab 4- Mx
/
MX ly /_
/ W7 v » -**»•-•
as fMj
I —^ I
I- V-X.
—**•»
j^
x ao —.2^^^^^^f
AI cto
2
(prisme) 2 E
\-tf-f.
Is ly /
Ix /
li
d S = moment d'inertie par rapport à X = Ix
/X d S = moment d'inertie par rapport à Y = ly
^
donc
M x2
M 2
W
W
H -y.. + 3^,
1 -g-}
\ /, ds
= (gg
(.prxsœe;
^
et pour toute la poutre 5
•
W
// 1 My2
(poutre) =P 21 TJ
.
1 ïk2
+
O S"
^^
x
J
^
E^iargu£ s comoie dans le cas de la traction, on peut retrouver
. direct amant ce .résultat*
Supposons que le prisme soit
tel que le moment de flexion
soit porté par ljaz$ Oy
Le prisme est isolé* On a donc
(•!• M) en G» On suppose que
la section Go reste fixe» La section
ds*
II y a proportionnalité entre la rotation et le couple (loi de Hooke)
W « | ( - M) 0 ds
dans le cas de la flexion
donc
V^
1 / -.> /
9 » ^- çr-y
M
\,
(pxdLa) - 2 <-M) (- rr > ^
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- 76 |'
S0lt
'
....,-•
(p sme)
^
.
,
' ~"™m"±'*
.
U)
" 2Tg'-^H
c
) S^ÎSL§3ffiBîSi (revoir ^chapitra 10.-1 10*2)
Dans la flexion simple l1 effort tranchant sf ajoute au moment
fléchissant. La flexion simple peut être principale ou déviée,
\ / 1 My
Pour My nous avons toujours
W = y ^-:
II faut calculer l.1 énergie due à Tx
En se reportant au 10.1.2
^2 s= constante le long de AE
\
*y
__ -, T Ms
<-2 ~ ïy x IB
Energie par unité de voliœie
•-ra-:'" '
W
,
v« 1
2 11'
#S
x
(unité
vol;
•'•-
"v "
Energie pour- Lin parallélépipède élémentaire d f épaisseur dx
•^ . - . - . • - . r; . • . . • .--'.....,^... . . .
1
1
- 1
\A/
7\ x^AB
L^â^àà
d.1
^-fa'UA^^M4
W
» ^ fcA
^*^«û. «^
•1
^7É!*^
?
(parallélépipède)
; (J
. .
^ .^Ai • • V/
et
2
/
V /
-W-
1
T
= ^
«-2
d s //
(prisme)
I y
'•• • - '' "
• "
Pour simplifier on pose
\
*^
1
"T ^
aw
..
....-./
^^
*
J - Jx_ du '
Y
wi
J^ I
• - ' • • • • •
^ LA&
•*>" est appelé sactj^^ggdmtg.
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'
vv sr- «**g .—7*— .ds . (fe)
.rtg),< i^a^-uaxjuJUCipft^-^^UiufrJUrtiiiM i i • i niir "r i.i>i
:•
2
S
—jj
dX
- 77 •" JsSsSE?^^
(Cf 10.2)
1°) Se^^jn^aji^lad^ (10.2.2 1°)
ly de la section est :
iy T
1-g-
^
Calculons le moment statique de la
section ABCD
«
b /h
\ /h
\
Ms = j ( g - x) ( g -t- z)
û /(h2 - x2x)
Ms=
5
T
^
/ I2
Calculons l'intégrale / T—rs dz
/ L.^
,, ,
d'OU
<•
b2 h6
l^.l^
*=sbh
2
X
^z:-—
r
/^ Ma2
en prenant 2-1
-TB dx
j |^^
Q
120
b h.
—g,
£-g'â*"
°) sesMas-sissiisis® (10.2.2 2°)
, ^fi 4
ly = U^.-
ito = | (a2 - x2) ?/2
Exprimons le moment statique en
coordonnées polaires.
X = R sin^
dx = - R cos ^»d<£
R2 - X2 = R2 (1 - sin2*P ) = R2 cos2 f
AB = 2 R cos V
3/2
Ms = | (R2 cos2^ )
••'
On calculera 1?intégrale de 0 à H
/B.
l/*4
4
3
2
(H
2 °°°V)
cos
*
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*^
!
' ^.ir
xRoosfJf-
J E 6 /*
£
=os 6 Vcfr
=| R3 cos5 F
- 78 On a une intégrale de Wallis avec n pair :
,r
(n •- l) (n - 3) .... Tî
rtrtn,
cos y> a*^ = •——r-————,.——-,—- —«n(n - 2) (n - 4) ....
soit dans ce cas
,J?
6
I E70
/^S5ra^|R6x|^|^^:
l'intégrale s'écrit finalement
:
5
9TT8
D»où
TT R
R6
"
:
<
^
Œ
8
T?\
^.
x
9x8
~_g^i> fi| K
_^, ^
< __ TO;
9 . -rr
_^.
I f R?2
i < •' 9 7 1 •
' 4L
=
,T5, "
I
.
3°) iogan^e
En faisant le calcul peur un losange. on trouve :
. <•••- gr
- -
Ea_ré3umé s les formules (a) et (b) donnent
W
'
(poutre)
« J2 //SL
y V«^
+
d) TgSSSySiJSîEâ *
Dans ce cas il nfy a que la contrainte "Z
Son expression nre3t valable qtte dans
le cas d'*tine section circulaire :
•*®*
^
7
Ht
~^
C =± ». -*» r v
Is
On peut décomposer surG'X etO^J
ce qui nous donne "^^ êl" X ^
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j£\ds
0£l
.
;
- 79 Energie par unité de volume
W
1
-
/ ../*_ ^ rs
vunrte volume;
(f-T^-rS
£ vT + < t 2/
1
7"a
» rs ^
Tous les points situés à la même distance de G étant sonnais à la
même contrainte ; soit l1énergie pour un anneau
1
2
\xs/
*'
^V.. - .-«• ..+f,~ - M
._.
/
d CT
\
(anneau /
-f^
^*. de ./ r 2 2 - ï î r d r
L G
xl^-%
s
r5 2 TT dr =
/
* x o2 -ffil rdras
1 G
W
^
(prisme)
or
2
r
A- G
^
\^/
;
•*
." .'"V"'
m-iffum.rt
J^
=
(prisme)
•"'
M^t
^
ï.
•»""•
"'" "•'""" """ " ' ' -
""'•"
1J
'"
"
>
.
'
et nous avons 1*énergie étendue à toute la poutre :
W
(poutre)
-aln
/ è <•
I H
Ê^SJESQiâ *on Peu"t obtenir directement ce résultat :
Nous supposerons que la section circulaire G0
Il y a rotation de la section G
autour de ltase GoG
Qn suppose toujours que le couple
est appliqué progressivement depuis
la valeur séro.
W . = J ( - Ht) 6 ds
(prisme)
ïïous avons :
Ô
Mt
J
ds
a —
fS
etL.
I0 «sT ic
T
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est fixe.
- 80 ~
Nous retrouvons bien
~"w~Z£~^~T
(prasme)
1Q
e
)fiâll^^îSïSi:
"
Nous supposons ici au1 il y a toutes les contraintes.
On fait la somme des différentes énergies*
W
(poutre)
..d< £ + - g
)a.., .
+ f§V^
J
U1
/
**-*•
G
M t n*est valable que pour une section
Rappelons que Je terme ^rrG JG
circulaire. Dans le cas d'une poutre qui aurait une section autre,
il faudrait calculer la rigidité de torsion de celle-ci*
12*6*4 Ifeer^ie de .déf oimtion élj^i^^
Considérons *un piôsme élémentaire d*une poutre soumise à un torseur
"*^& •
.
de charge ( *G^) qui donne dans la section un effort longitudinal
N--J , wi effort trancliant T^j (X), un moment fléchissant M^ ( j^ )
un moment de torsion M^
Imposons à la section droite G des déplacements arbitraires :
. translation
rotation
G0> =r A ds
(Àf, A^ ^^J
—*Jbj^...
/ .
*JK
&\
0 ds
(ô'I^f.^Ss)
MOUS dirons que l'énergie de déformation élastique, les déplacements
étant imposés,- est donnée par la formule ;
W « ^ (« îll) A 3 da'+ 2 (- T1)^, ds + J (- M1>èk2 ds + ^ (- Mt1)8 ds
.-**:§*«
v
•
.
«
^
.
£V
En particulier si G(P et Q ds sont les défoBnaticns dues à un
torseur
on a :
( Gjj )
V 3 ss -» 12
A
^>
*f--*i
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uv>
- 81 -
fi
M2
IV
Mt
H^-IT
2
U3= *" sr"~
bl&
(valable pour une section circulaire)
L'énergie s'écrit :
_'
„____„
1[N1H2 e^l^T^^r H ti»t 2 l ,
« si"-®- **< -o-- * .--gr + .™r— J as
"T^
W
(prisme;
*"
ui*
..
On remarquera qu.fon aura à utiliser les intégrales de Molir dans cette
formule
/*1 y2cbt
12,7 Principe de Clapeyron - Remarque de MILLER - BRESLAU
12«7»1 Sig^^âÊE-^lâîSÊS^SfiBSâËiEiêâ
Nous considérons un corps quelconque
soumis à "une force Fj au point j
Soit ^i 11 * le déplacement de i
autre point du corps, dû à la force
—>
F
^
_^
Si on prend Pj égale à lrunité de force
dans le système utilisé, ce dépla-Hr
cément sera ï <| i *.
J
H» - ->
r
••
-*^Appelons ^ s j la projection dero11• sur
Fi
•
"""""^ / F".
Le déplacement de i est alors dans la direction de Fi s o I | ^ J
Et si nous avons un ensemble de forces le déplacement de Fi sera :
Jhm
.
.
cli * 5 ^i}Fj. -^U^H^^*^* *
*-W« F*^^ - ^
J^
Nous avons admis ici le principe de superposition* Ce principe est
l
dfailleurs vrai dans la plus part des cas*
Supposons que toutes les charges sont appliquées progressivement* A un
instant donnéf les forces sont égales à une fraction de leur valeur finale :
•»âM»K
p Fi
(£
variant de 0 à 1)
le déplacement est alors
P& V
A partir de cet état ââfvrm& nous allons faire les mêmes calculs que
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-. 82 -
pour les contraintes, P variant de P + d-p
d W 3» ç Fï x 4^ ^ *
eh W *. /£ F ' * ^ & ~ ifFî-&
^
W-24-Fi^-' : • •
(V-^Q\)
^epreme dQ C^lape^Ton :
Le travail des forces extérieures est égal à 1* énergie
emmagasinée dans la structure*
ïïous verrons que ce théorème a des applications, contrairement à ce
qu*on croyait au début.
Dans l1expression précédente de l1énergie, remplaçons
par sa
valeur calculée*
Explicitons quelques termes :
35
travail de la force Fj soug ^es p3?;oi)res dépècements,
= travasil de la.^fQrce F^ s.QUB_les déplacements dtfa à Fj>
Explicitons le terme ^
P1I
cl
cfest-à—dire que le travail de F. est égal au travail P-j sous ses
propres déplacements plus tous les travaux correspondants au travail
de F. sous les déplacements dûs aux autres charges*
^^x^e^_WM^^^^SW_
Le théorème de Clapejrron est précisé et généralisé par la
remartjae de Miller et Breslau.
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- 83 Le travail des forces extérieures appliquées à une structure,
^SëJ^âE^SSS^^SJÊ^S^LJsSSBSâS^ B3^ égal à l1énergie de déformation
élastique emmagasinée sous ces mêmes déplacements*
Soit 1 P1 ( S12F2) =W 1Z
II y a donc une décomposition possible terme à terme :
J*i(%/5)= ^%L1 énergie globale est donc la somme des ^W^Â
12.*7«2 Cas ,d^n ^Qraejg;.J^.^]^gg3 :
HQUS allons considérer un ensemble de forces (torseur de
charges) en équilibre que lfon peut définir par un même symbole»
^zemgleg, i •
Torseur
(1)
Symbole
-Ff P
P
M -%;.%^ ''TTCe'.
(3)
q , RG , RD
q
I
Exprimons le travail de ces différents torseurs :
d) w ,J PA A£
(2) W «J ÎTt^^
On désignera : F, J/C^.
u par Ki
/Vt.
""" y v^Gr
m
| trni r
: -*-—^
forces
..généralisées.
----nT^-"«
-- " " " "•-»-*«-»-
c ffien
n
Par S./"*~ •'MEJft
^ M^^
??â3^^s
• ' ^-----*r-•
~~~«-.-~--«~-
Avec cette noiation le théorème de Clapeyron s1 écrit
W
t
= j r•%-,X"*
<?4,
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• •
- 84 1
Revenons à l exemple (?) t charge uniformément répartie
Sravail élémentaire
dW = q dz z
W
l
1
f
= ^ f 0. â-
z
-
V
W
, I /x dz = J EU§Z
Jo
K^ = q.
O^ =
(f orce/iaétre)
/ x dz sa S (tinité de surface)
^
*G
(On voit que Ki n!est pas forcément homogène à une force et de même
njest pas ici homogène, à une longueur)*
-~—.
^^^^^^
r
..
o£ r Z §2 i ^*
12.8 Théorëae de ÎIASffiLL - BETTI
^éjprème : le travail dfun torseiir K^ so-ua les déplacements d*un
torseur TLJL
est égal au travail du torseur K^ sous les déplacements
du torseur K^
1°) Appliquons d'abord le torseur K^ » puis le torseur ÏC^
¥"(K^ ) =i S^ K^
W (k;Kf) =1. JU^*^-^â 4 * {^} 4JK,|(D
Dans le dernier terme, ii n'y a pas. le coefficient ^ car 1® torseur
Ea n!a pas été appliqué progressivement mais été déjà appliqué.
2°) Appliquons maintenant le torseur KA- en premier
w(^)^SjfrKj
^^
w(K^x) =» 1 S^K^ ^^ k^(S^ >f ^Kj.
Les énergies (l) et (2) sont les mômes» 9!L-^-âS£2xJJM«im-n^-r
(5^kj)kiwfSjiki)Kj«» ^'x|=S^
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(2)
- 85 D'après la remarque de Miller- et Breslau nous pouvons écrire ;
f^T^T
w* IIKiSx
= £kî£,4 + .....+ jM<i*4t+----+t*iK^
Ceci permet de simplifier l-1 écriture de l'énergie élastique au
paragraphe 12.7.1
D'après ce qui précède
«42 - ^-'l
W^K^-K...* MI^K..
(3>
12,9 Théorème de CASTIGLIANO
,f|héoreg|e s l'énergie élastique étant exprimée à l$aide de toutes les
forces généralisées, y compris les réactions (celles qui sont ctati(
3M5§SL.îMÉE§3âiEk§â) > ^a dérivée de l1 énergie par rapport à J.J*n.e
dselles est égale au déplacement généralisé correspondant à celle- ~i*
Reprenons l1 expression (3) de lf énergie et dérivons la par rapport
à Ki . 3\(/ •
j- r k. ^ c
' •
alT, =^^^ «à«*...
La deuicièiae membre-zLK^^i est égal à QA
de K, -d8après le paragraphe 12.7,2
^-^
aK, "
12*10 Poutres et systèmes à joints rigides
12*10*1 ^^EEMSâ^
JlSL^Sffiiâ
Calcul de la flèche au droit
de la charge P
II n f y a que la charge P qui travaille :
2
.
|î p x f = ?1 j/ M
m d,
I?
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déplacement généralisé
- 86 -
C'est une intégrale de Mohr
i xi £^!i. * f•
Pxf=
dî
-
" iiJzi.
^M§«*§£§S2iâ
•
Calcul de la flèche à lf extrémité
de la poutre encastrée
\
|'fcd Z +£
I-J1 ]
2 Pxf =^JEL
6
On considérai, G et •£•' constants
le long de la poutre.
Pxf
1
1 2 2
1
2
= FI "S. 1 ^ 1 . X 4 S1Ê 3 f l
-!_ _PI3^gj +PI G2L
•
Remarque : Avec le théorème de Clapeyron on ne peut calculer la
flèche qu'au droit de la charge appliquée.
3ème exemple
jr.»r,l«^_o..v^,^,..,l«» atMKÏ^ajHXàf**™*.
Soit à calculer Q^ dans le
cas si contre.
5^-00= i^*--^ " J < < soit
& =±.r ^t0-2
3fc.JL
Cette méthode ne permet pas de calculer CT^
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- 87 -
12* 10 «2 Cglg^
Bjgelau,
Cette méthode permet de calculer des déplacements quelconques ;
quelque soit le système de charge
j^eivexCTgle,
Calculons la flèche au
milieu de la poutre ci-contre.
Considérons ltatat €0 charge créé
par une ^^gê^igsM appliquée au
droit de 1*endroit où on veut
calculer la flèche auquel nous
allons imposer les déplacements
dus à P
D1après la remarque de M. B. la
travail de la force 1 sous les
déplacements de P, c'est-à-dire f
est t
Y «gx 1xf
Ce travail est de la forme
•~f
f » 1 ML
dz (cf 12.6.4)d JaX /
c.
/
x 1 xf
"
soit ^
•
•
= ^fï p1 1*2
"V
dz
=^H
'§'
x
"T*
x
$
2
x
?' 2E ^ 5 "* "1T~ ^
.
.- .
(cf tableau de Mohr)
lous avons donc la flèche au milieu de la poutre s
"^"îV p'-'a2]
„
T
(nous avons supposé
^;
a
Pa (il*~ 4 a2 )
• 48 II
•Mt;.;A^^o*.-o«»^.x.-»>«-iiii.Tiii.».i»i.,i»i»l: Mi««B,e;iriiiii^ij»
b)
BajSÉSJS^, s toutes les fois qufon aura des poutres droites et E et I
constants il faudra penser à utiliser la méthode
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- 88 12.10.3fiêlSB^-â^^MsiâSlêSSi^^l1-^^ife-^J^
JL§£J§SSEiâ
Rapport entre le principe de Clapeyron
et le théorème de Castigliano,
D'après Castigliano s
f Π<!H
. aP
et d*après Olapeyron :
1
/ P;
¥ = ^f
f
ÎTdss
<£ iiiX /
On fait une dérivation sous le
signe somme :
P.™-.±. faiîîei*
ae Eir_y a p «
L1 expression du moment est
et
M = -* P ( ^C. «. z)
,/ .
an
.- = .(-«;.«)
(^•v - 2) est représenté par le triangle des moments (au facteur P près)
Donc l1intégrale est une intégrale de Mohr
*.&(w
Jul
X
f
j*a.<«—^«-•««•-*
J
y.fc
^
2
2
^
1
(•^v - a) est le Y ' de l intégrale
de MOIffi
Donc s
ff =
- î np
1? 43
n
S^ÊUSSSÏÏBÎsÊ ~ Méthpde. de 3ra.^agge^fictigg.
G5est lfintroduction d*une charge fictive à 1*endroit où on veut
chercher le déplacement* On développe les calculs avec cetto force
fictive et à la fin, on la fait tendre vers 0.
' - Z2Hfeâw^f2Mê..«§H£^iMw§£ffiâ
Nous voulons calculer la flèche au milieu, de la poutre* On
applique donc la charge
f se ÔW
<_-JL
dp
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avec
fcp
--^ O
<fe
au milieu de la poutre.
Ceci revient à faire
= 1 dans le diagraiome des moments*
Donc cette méthode est la même que celle que nous avons vue avec
MBller - Breslau.
12*11 Déplacements dans les spstèmes triangulés
12 » 11 « 1 M,t§S?Sffiiî(::S, dos efforts ^rinciijaux dansLl^^^j^M^..Jf^ai3^Xeg
1°) Un système triangulé est la représentation schématique des
•constructions métalliques* Les barres sont représentées par des
droites, les noeuds par des points assimilés à des articulations
parfaites où concourent les différentes barres.
L1élément de base de la structure est le triangle* L'ensemble
©st un assemblage de triangles * dloù le nom de ces systèmes*
Les forces sont appliquées au& différents noeuds de la structure
de telle sorte que ies barres sont ;
- soit des tirgSÊÈSL (tension)
- soit des poiggona (compression)
Poux déterminer les efforts dans une structure articulée, il
existe *5 méthodes principales qui différent par la manière dont on
extériorise les forces intérieures*
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-. 90 -
2°) liËiSââJêSJSS^â, (CREMOM 1830 - 1883)
- ËSSSiEâ: ^n is°l£ successivement les différents
noeuds de la struettire et on construit le polygone des forces qui
leur sont appliquées. On trace les différents polygones de proche
en proche.
L1 épure ainsi obtenue est appelée CRgIKA_
Comme dans tout problème de statique il faut déteiOTiner les réactions»
Système symétrique : R « R = ~ 2,5 tp
_J^.. "lir---:.... .il^r- T-J. •.;'. ifr-T r : -giiuMi-U': TV irr
?P3^J3^t_Jf o^- puisse faire les calculsr il..ng faut T)as qu^il j ait
^3j5JgL..jde_deux .JgLg<^iuegrj^agjBpgi3^.
'
îlous construisons le polygone
des forces*
«MU
\
^-^ tension
/*
' ^y ^
/%
K 7 -2,j
\^
f. (action de l1 extérieur sur la
barre ab) «^ pression ( '— )
"f^
^r---^^^--^^
\
^ //
^H^_
( -f )
V|
/'
"^2
Nous devons maintenant passer au noeud b pour nfavoir que deux
inconnues à ealcLiler.
—^
..
Nogudjb
- f,
~>
f
3
~*î
On voit
que
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la figure se complique rapidement;*
- 91 Pour éviter de faire figurer le sens des forces numérotons les différentes régions du plan séparées par la demâ-droite d* action d*une
force ou par une barre.
Notons que la numérotation est tou'c a fait arbitraire maxs quf3.1
faut toujours tourner dans le même sens autour des noeuds pour
obtenir correctement le sens des forces*
3°)
(BITTER 1826 - 1900)
ZSfiSÎEâ * ^n pratique dans la structure une section coupant
trois barres où les efforts sont inconnus. Les équations de la
statique permettent de les déterminer*
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~ 92 On fait wie section S dans la structure ci-dessus « Déterminons les
efforts f1 , f2 , £*
Dans cette méthode on peut trouver des équations de moment intéressantes :
Déterminons f^ en faisant une équation de moment par rappoirt à •*•£$
2 P x d RA ~ Pdp -h f1 a = 0
.. £,
- = -^
2*PdM
dp
soit
^^s^-^C
t
a
De même Inéquation des moments par rapport à if 3 npus donnera f^
et 1J équation des moments par rapport à £42 &•&$& donnera f^
(Si ltun des ces points est rejeté à l'infini, on fait une équation
de projection)»
- 4°) Mthode de...CUMJMffl.
a
) 2£2kLSS§,«^£3^^ffiîSî£â: décomposition d*une force
suivant trois directions non parallèles. Les forces fi ? f2 , f3
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VoV
;
\ jf^T^
L'intersection des côtés 1 f et 5* du funiculaire donne un point de
la direction de la résultante 'trî de ( — 2 P et P.)* Nous savons
que cette direction est verticale* Nous pouvons donc déterminer /
le point j| sur le côté 1 de la structure»
.. '
.
.'—3*
—1>
T
OA-2.3 es"t 3-a direction de IL- résultante de fp et f^.
—>• _~^ —*>
D*oli comme précédemment f^ f f2 et f*
^^
12.11*2 Détej^^a^-gojcl^^
a
) Z^S23£â-â§-JtâJSÉiï!S^
Cfest le principe du calcul des déplacements dans les
systèmes à joints rigides*
On considère deux états :
l^eta/fc^O^ s caractérisé par le torseur ( **f*
*-^j ) des charges
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c\^ V^^ *
1
\ 9
*
- 94r
JLUJâL-L: °^ on applique une charge •unitaire (toraeur'Cj)
dans la direction du déplacement à calculer*
Soit à calculer le déplacement suivant s dans la structure ci-contre
On utilise la remarque de MOller-Bre^lau
î > < 1 x o = énergie emmagasinée
^
>
par( v | ) sous leâ déplacements -deC'C^)
Cette énergie est de la forme
1
C 71/^0*1
J x 1 x V » « 2 . J I -^ ds
NO»!
4
•^rs-' ost constant
Pour toutes les barres du système
on peut donc écrire
^ -. ^
T1
—/ ^
—*—*
K2
x 1 xQ
H0H
-««—JL
iv
-ïp^K^
-*-^
s
^k
K
c
xo »!
soitS=Z.^l
1k.
Remargue : dans les systèmes triangulés on ne tient pas compte en général du
poids propre des barres. Dans le cas où. on veut en tenir compte
il faut ramener ce. poids aux différents noeuds*
H^gothege : les deux barres ont même section? cfest-à-dire
r^=cte =a
1°) ^és3S£^^^-^S3S=SS^£.:
Nous appliquons la méthode de
Crémona. Le triangle ABC étant
équilatéral
|l,2J » |of2| = P
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Il n*y a pas de déplacement suivant
lfaKB' des y*
ÈSSEM-â .JSâiS^^
soit à calculer la rotation de la barre AB dans l'exemple précédent*
On fait agir des forces •unités pour établir le couple.
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EgBjagg&e 5 la rotation est donc opposée au couple unité choisie
feempjl^
...la. distance entre deux feoeuds
Variation de la distance entre les points A et B de la structrre
ci-dessous*
On applique la remarque de Huiler et Breslau
1j x i x A*j f f l ^. j *•r N^^5
n Hi £
[travail de (£y) soiis les déplacements de
(*2^)*
^r ïï Ni L
& m « Z-Hg^l
On a donc R(j = RD ~ P
Déterminons les zonus (5 zones suffisent par raison de symétrie)
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- 97 Dans le système ( l ) il n'y a plus de réaction. Il n'y a donc pas
exaction sur les barres*
BC, CD, AP, EA
On mesure les forces sur le Crémona et on fait un tableau comme
précédeïïîment.
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