Cours

- 21 «
Chapitre
CONTRAINTES
¥ III
&
DEFORMATIONS
DUES A L'EFFORT LONGITUDINAL
,9<*!£^*^^l^**'~^ZZ>^'^*'<*r7^ï^^^^^*1
• '
.•'."••
8^ 1 ~ |2S2^S?SêiSi
8* 1 « 1 * igfeoÊisiiâa **
Nous supposons dans l'étude qui suit que le torseur de gauche n*a
?
qu uine seule composante s l'effort longitudinal H» On dit qu'il y a alors
traction ^ou compreas,ipn;iiyire * Dans ce chapitre, nous ne distinguerons pas
entre ces deux phénomènes excluant ainsi la possibilité de flambage*
Nous pouvons donc donner de la traction ou de la compression pure le
modèle suivant s
Les équations dféquilibre statique à résoudre sfécrivent }
/
2^2 d S =0 (1)
}
«T 'S,
dS = 0
(2)
g T 5 d S =0
(3)
-q$
N +
l
!
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(
N
j
l y (|^dS=0
-<>:cQ"L.dS«0
*-
j
(4)
(5)
^ <[. ( 3C g 1 - y f?2) d S - 0
(6)
_ pp
***' .Ç-sC-t
*!*%
Nous aurons résolu le problème de la traction pure lorsque nous aurons trouvé les
contraintes qui satisfont aux 6 équations précédentes»
8* 1 * 2 - Ta^l^u^^^coirtraintes^^
En nous servant des relations entre contraintes et déformations, nous pouvons
écrire successivement s
De
(1)
G
1- (A2 + x 95) a's *0
soit
A2 £ d S + 0
«Tx d S = 0
par définition du centre de gravité
£. x d S = 0
d'où
,....., .
A
•
:
.
.
'
2° °
de même de (2) :
"V-o
!
Avec 1 équation (6) , il vient :
r*
"^
2
@3
i J X d S -f ^ / d S j
. 0-
d'où j e 3 =o[
On en déduit donc finalement que
2j « S 2
cs
°
Cherchons à calculer maintenant U « * On a ?
^"3 = E jA 3 + e ( ^.y«./^x^
Portons dans (4) et (5) ; il vient s
\
-—
p
^1
2
-A 3 ^_ 3r d S + 0^ j ^ S I y d S « . / ^ ^ x y d S j
A,
£ x as + G
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|o{ Xx y à s « /^> 2
x2 d s
=0
1 ** °
- 23 «»
comme s
^ x d S«
£ y d3 « 0
ces deux équations permettent de déterminer ($ *
la relation s
2
2 1
f
C*^ et /^ Si on adjoint
<*( * yS *
Remarquons que le déterminant de ce système linéaire homogène
£ x2 d S £ y2 d S ~ ( £ jy d S)2
est différent de zéro* (Cf chapitre sur les moments drinertio), donc nfadxaet
d*autre solution que la solution zéro*
Donc s
| '
'—
9^°°
et par suit^T"
"^77*..
^5 -S A,]
En portant dans l'équation (3) et en supposant .V,... ^ ....«?. Constante .quel^fue :spit
.lg_^PQintL.^Quj^... s
(
T
VI ^ 5
L
*^ '
S
Remarque sur le signe de 11
JEn considérant le modèle de traction du
«1* 1
N
<£ 0 donc v ^
/^ ^
c f est bien ^S^tension^*
En réstoaé, le tableau des contraintes est dans le cas de la traction pure*
^
l
**
0
0
0
0
0
0
0
0
». N
s ,
La direction des z est une direction principale ; l'état de contraintes est
uniaxial»
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5
~ 24 ~
8* 1 » 3 - Pgfgggg^^^gjJsg^ajTO -
Nous pouvons nous placer de deux points de vue :
** J[MÊ2£^^
~"
Celle-ci est caractérisée par une translation parallèle à l'axe des z de valeur s
T^v ds
*
= ** «*^
ES
ds
^
k
** défppaa^ ion .<i * un..pet it jparallélépij^ède —
La loi de H o o c k e généralisée permet de passer du tableau des contraintes
aux déformations unitaire*
( < ~ ^ -+ ^
H
j ^ "l2~ 77
E
HJ
•
-E S
\
^
En particulier la dilatation cubique unitaire est !
g « - JL ( 1 ~ 2 \) )
ES
Dans les paragraphes suivants, nous allons donner quelques exemples de calcul
de pièces à la traction ; câbles, courroies et câbles de transmission, assemblages par boulons*** 11 s 1 agit de développer pour'nous , la partie mécanique
nous ne donnerons donc que l'essentiel des éléments technologiques renvoyant
pour ceux-ci aux références que nous signalons*
8, 2 - OâBIES,,
«W^»*K3lwtW*Sw,.*ri»
8.2.1- Généralités
(**(»,«»**«^w*W^^
• 1} «•» SiblJ^^^^iiB Technique de 1*Ingénieur
Câbles d1acier - Tréfilerie et câblerie de BOURG*
^•) ^5lîS£^."Sâ^22SïïIiSâ """
Le fil tréfilé utilisé pour la fabrication des câbles est obtenue à partir
de fil machine en Acier Martin ou
(teneur en carbone s 0,3 à 0,85 $)•
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-électrique de 5 à 12 mm ,* de diamètre*
- 25 ^
Ia.;r^rica^ion comporte trois opérations distinctes i
- la trempe
«• la préparation des fils
~ le tréfilage*
^â««i£SSE§. rend fil suffisamment ductile pour subir le tréfilage (trempe
à 950° C au Plomb) * Après trempe la résistance à la rupture (R ), est de 8 0
!l? v
à 130 kgp/mm2 suivant la nuance dfacier
La^^re^ra^on est un décapage à 11acide suivi d'un enrobage (chaux,
phosphate, **•) destiné à servir de support au lubrifiant du tréfilage»
Le^tréfilage réduit à froid la section du fil* Cette diminution de
section du fil* Cotte diminution de section provoque 1 ^^^uissage j celui*<îi
augmente la résistance du fil (lO à 15 Icgp/miii2) pour une diminution de 20 à 25 %
de la section»
Le plus simple de tous les câbles est le toroja *
11 est composé de plusieurs fila disposés en hélice, régulièrement placés les
uns par rapport aux autres en une ou plusieurs couches superposées. Les torons
peuvent être entièrement métalliques ou comporter "une âme en textile*
(1+7)
Le toron est généralement employé comme constituant des câbles*
Le ..gable :a torons est un ensemble constitué par plusieurs torons disposés en
hélice régulièrement placés les uns par rapport aux autres en une ou plusieurs
couches superposées et sfappuyant sur une âme centrale qui peut être ;
— en textile
-». métallique
.Sssssîs* *
6 Ttprons de (j 4-6) fils
âme en textile
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*$).
WW
ZQ
5) .feplgiafe^^cableg^~
L Vage et manutention travaux publics
Asconcours et monte-charge
Forages pétrolifères
Exploitations minières
Transporteurs aériens
Ponts suspendus
Haubanst «•*
•
4) Jfe&jLy-M^^
_condij^on ; de nresist.ance t
••
Cette contrainte totale dépend du type d*inbtallâtion | 011 peut cependant la
décomposer de la façon suivante î
*"• ^SSÊESJSiS^SiâMSl^ly ^uea 3-a charge à soulever, au poids propre du câble,
à la raideur du câble, aux frottements des axes des poulies sur paliers
support,' ».*
"" £2S^£âlSÊ£^^SiSîSiî2.» ^uoaus variations de vitesse à imprimer à la charge
à soulever»
- jggntj^j^g j^^1 inqi^7Bftlono -due à l'enroulement du câble sirr les poulies t
11 faut que la contimnte totale maximum soit inférieure ou égale à la limite
de fatigue admissible pour le câble*
8*2*2 - £gniraijTfe§^^
*
l) Contrainte due à laTrcharg:e à soulever
'*~°~' , ' ^ '
la contrainte est alors égale à
•~^w^^^-1 •' ^ '——
ii*
P
\S — *****
S
(Cf - figure) S somme des sections droites de tous les fils d'acier du câble)
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~27 **
2) .2?BÈ?lïï£^
*""
1 - Cable ( qa barre} vertical ( S » Cte)
la contrainte maximum a lieu dans la
section G. * Elle a pour valeur si CCT
est le poids volumique s
j(f _ S X G3
..rtfil
i " T~\~
J
La contrainte due à P et au poids propre
est alors t
y «s ,«P ^cï? i
s
fT"
dîoù
s=_i__
R.1/ •* C3 1
quand S i augmente, S augmente* On peut avoir recours à des câbles de section
décroissante (puits de mine)*
Jfe§EGi£§. - Calculer 1 Allongement du
câblB dans le cas jorécédent»
Appliquons les formules de Bresse* Après simplifications, il vient :
-•""" """"i"'1" ^?
prod
z
or ï
ûG
2s
,
/^
S3
3
j^
/
6
CU
E
^ 3 dz
—.>^U. A
P
SE
*»***«**
-f
tS" (l - a)
B
*«-,^w-^(^^,n-,^rl««',»
dsoù
i à G « J. ( P - L S • CO" 1}
^
SE
2
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•
«** 28 ***
^ ** lîïSty^
"*
f
Calculons l effort longitudinal au niveau z
n
B
x
rP
-
L
i
/"eis ( <£ ) a£ (
+
y
V
2i
î J
(T-v-L, + H. f
*• s ( ) s ( ) j
a
z
s
z
ct)d<
fI
^
Soit s
1
3 (z)
R = P + oT /
S (% ) • dCp
/
•*"
^
!
En dérivant par rapport à z9 il vient s
âJ-Isl _ « H
"~
*^
s rz)
-*w*^
dz
D
\ZJ
E
t
ou
d S (z)
<2"
S (z)
~
dz
Rt
en intégrant ï
c±y
.
Log
Li5), e -1Ç-2
___
S(z) = S1 e " ^
la loi do variation de S (z) est donc exponentielle
Déterminons
S- -
S R
1
Ç
= P + €3 S1
„TT
_™_ 3
e
*
dz
o
.,:
- S. -f R,
e
L
soit s
—S
P
= -^—«.g.j '
T?
V
•I-
/^
e
«"*
*«WB»*-*S.« .
RR
,t
V.
lu. ^......^....ma^ ^é^,.^.^,,,,^,-,^.,,,.^,^ , .,. *t*»,tt
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*
~~-.
&3'
~~ 1
«. -p 2 ;
i
°
- 29 Au point de vue pratique on ne réalise pas une variation continue de section
mais plusieurs tronçons de sections différentes»
3 «* Câb:Xj^
à haute tension : chaînette»
Noua supposons le câble :
«•» parfaitement flexible s la tension en chaque point est alors tangente à la
courbe d'équilibre
~ inextensible
Si nous isolons un petit élément de câble compris entre deux sections voisines,
l'équation dréquilibre est %
—>
->
d.T ••*-£# da j « 0
ou
~**w*">y
««w*
d T *C£7
.^*r o. « n
-«»
°
ds
or
TT« T T^
d'où en projetant sur les 2 axes, il
vient :
/L.
jd s
( T 15) = 0
as
VJL
( T fljc > - ç^ = o
|d S
(1)
(2)
dS
De (l) nous déduisons que
T âJL » Cte
d,s
c^estàdire Qiie^la^^jDrojec tion de la tension swc l'horizontale est mie constante 0?
*~^-*-**»^-r
^«^«^«^^^--•mr^^^r,^^
De (a)
L» ( a? SL.) = çr
ds
soit
:~»^^»^»
° dx
p
T0- iljx âE» „ ocr
2
dx
or
ds
P
ds
2
p
= ( 1 + y* ) d x
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.
„,,,,.: ,, ^.^^^^^^
, u,.v:, :,;x.r ,»,u ,„„,- .n^orra-,r.r,-
Q
- 30 d*où
_£!_., = 2
VT+ yi2
T
0
-w*«J
ÂTg ah ( y" + C) = ——JE
T
o
£*?x.
fp
yî ^r G *
^2Ls
"" "IfjT**
LJ£-J1-JU_^
2
Prenons les axes tels que s
y1 » o pour x » o
on a s
C «o
dfoù
y1 » s II ~**i*~ 2:
T
o
en intégrant une nouvelle fols s
~~,«#*~\
T
——*
=
J2L
ch
-^ x + Cte
y
CCI
To
Choisissons les axes tels que la constante pour s = o soit nulle :
Soit :
g,
_ """o
y
° " s
En définitives
_
•
-~X ~ i=r
V
»
•
«««**»
Cil ^w««**-
T
o
Cette courbe est^rag^cj^înotte^.:
'
"
'
"
'
" CSJ
!>l11
"""""'" '*'"''
"'-""""-' *;!|J».""».lil»P'.iMt|«<»»'««**<»ri».li ,n,n, I.U-M..I .1..
»>, m
»
^
.
.
.
,
.
, .1 i
y
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Z'
-, 31 «
Calcul ffe.,,13 loft^0^r ^e A*8-1*0, ~
d ( y*
« Sda
T
o
/
*"o
/ eu. rcr
«y®*. /«
«••»•~
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T
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. .-= "C$7
x eut
«*«•»
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/
/o
o
X
d'OÙ
^
.' f; a? '
•s
«wn.O
CT
, "T^J
SJ3.
•*«•
m
{*
= io,
Sh
^ I
_^^.
"2Z x
V j°
S
^
£â3£3îLjââJLÊ«iSi2î2i w
T SLo T
ds
°
T
-
T0
Jft „
T
dx
ch
°
soit î
S
x-
'
T
o
.
T « €3' y
La^tfîasion en M est égale au poids de "l'ordonnée^^y"
gimplificatlon usuolle «-
TAÏ" x
—*»-»
étant petit, on peut développer on série :
T
o
T
y =
-p».-
^
T
f
ch £1 X » -2.
03
TQ
^^
-03- L
et ne prendre quo les 2 premiers termes
•VT
^
(«—
_,^
'?o .
-<—
"4-
T-
^
1
g
•«—«-
-^ 2
__^^. .^.
«*w«*
«M»
A.
T
Q
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2
1 -f ^- ( 22. X)
TQ
.
+
L
41
«—.
( ÇZL
T0
4
-^i
Z) +, J
J
32^
La figure cl1 équilibre est donc dans cette hypothèse une jg^abole,* Appliquons
cette remarque- au cas do deinc p3^1ônes de môme niveau»
On peut écrire I
La tension se calcule par t
P
~~ T
"
" "*"Tïto
TA cTB
L^,
« _°^ et tg c< « _.
cos c*(
.. • . ..,..., '. - .
1
^*—
3 *~ Contrainte(i ^du^^à J^^gdj^urjd^c^^ •considérons un câble passant sur une
poulie*
Si le câble est parfaitement flexible, on
a , BU mouvement unif orme :
T' « ï
m
Par suite d'une certaine raideur du
câble, il prend la forme indiquée sur
la fig* 2* On a en négligeant les frottements axe poulie dans ses paliers*
. fP m x a =. T X E
0? m « R
a
y
soit s ?
[~** >"T]
La raideur du câble crée donc une contrainte supplémentaire*
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~ 33 4 ^ 3J*£Qtj^gst^d^^
uppulles_
** •
A l'effort dû à la raideur, il faut ajouter celui dû au frottement des axes
de poulie sur les paliers.
On estima que le rapport
JL » 0,96 ou 0, 93
Tm
suivant que le montago est, à paliers lisses ou à ï*oulenients à billes et pour
l'ensemble (3) et (4)
On a s
P
1
T ss •*** X -****«P. (si paliers lisses)
4
0,964
T
= 1,1776 x -Z
8. 2. 3 - Contrainte dynamique —
Au démarrage, la charge P subit une accélération o .La force
d'inertie résultante provoque une contrainte dynamique de valeur :
(TJ
V
SS
P
«M«
•
g
V
«*?.*»
•
S
Dans l'exemple précédent9 la contrainte totale (statique et dynamique).est donc :
<Tt « JL (1 + 1 ) x -~L~
s
4S
0,964
(i..: = (.—i ( 1+ <âV ) x ~J~,
u
*
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^,4-
0,96
« 34 8* 2*4** GoSiB^^
***
f
Lorsquhzn câble d assez grand diamètre passe sur une poulie, il subit
des efforts supplémentaires dus à l'enroulement de ça câble sur la poulie*
les fibres extérieures s*allongent de s
77
LtJ1 J1 L ~~ "~JL
*
-
'2
2
2
L'allongement relatif est donc s
M d/2
j3^
M D/2
D
la loi de Hooke permet de calculer la
contrainte correspondante, soit î
CT =: E d/D
Si le câble est fait d'un, seul fil, ou bien constitué de fils réunis
en Lin faisceau parallèle, la formule ci-dessus est rigoureuse* En réalité, les
fils sont enroulés en hélice | le câble se comporte couine un nouveau natériau
de module d'élasticité E
c
•r*~
M .
d
«. B o SL
1
D
•—•—- • • •'*•" ••"" """•' •"• .,.,ll.l-«^
'*"~~"~~j^'^^
'
î
E
°
!
'»LL.-ronn-jjmiBi.n.j.mK-..m^nt • J4Jj^ujiM»^^wtupjiq^^
' - Pils
J
( « Torons (1 + 6) fils !
20 000 kgf/iam2 '
18 000
(
> - 6 Torons de (1 + 6) j
(
(
fils à âae textile
-
_
On constate que le module d 1 élasticité B
donc pour contrainte d f incurvation *
l
•
1
\
10 800
,
-
)
)
,.,.,_^___)
augmente en cours dfusage, on prend
- <nx « 1f2 -B ° i.
D
j -, . ^..^.^.••.^nn.H^Mn^MM .'
;^«***~~*
»«
Enfin, le rapport d/D dépend de la composition du,, câble* Donnons pour fixer
les idées D/d
=? 35»
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- 35 8# 2* 5* Condition de rés istance •»
On vérifiera que la contrainte totale no dépasse pas la résistance
pratique du câble ou si le câble est soumis à un effort variable la limite de
fatigue* (Cf'5,4)
Par exemple, pour un acier 120 /i60 kgp/mm2 la limite de fatigue est
comprise entre 43 et 50 kgp/mmS*
8, 3 - C^^^DE^mMESOT*
8* 3* 1 Générantes^»
1) £îÈiî2S!SEÈ⣠** •
Technique de lf ingénieur
Transmission de la force motrice» TAtTALS
Eléments de construction* F* Bernard ~ Tomme IY - Dunod.
2) ^.chnodogio_. s_:omaire ***
On peut classer les courroies selon leur forme ou selon leur nature j
ainsi, on distingue 2
«- les courroies plates
- les rondes
*•
trapézoïdales
~ les courroies spéciales
ou encore s
-* les courroies cuir
-»
*»• . textiles
- matières plastiques
•^
*• composites*
Par exemple courroie plate en cuir à tannage végétal (chêne) ou
courroie trapézoïdale à lamelles en-textile enrobé de caoutchouc*
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.,36-
.
3 *•*• JÏ!S^iMï^^
"*
11 faut envisager une étude spéciale pour chaque type de courroie* Nous exa«~
rainerons le cas d'une courroie plate simple» La contrainte totale dépend de
ilSÊÙ^
centrifu^^e/cr t de_^
*
^° \l2ilj£iJÈLJât ,Ê2îlS£
poulios^
*
8. 3» 2 •*>
firn^^c^
Soient deux poulies A et B reliées par une courroie montée avec une certaine
tension, initiale T ••>• A est fixée sur l'arbre moteur, c'fest la poulie
motrice j B sur lfarbre à entraîner t cfost la poulie réceptrice*
La rotation de la poulie A a pour effet dfaugmenter la tension du brin supérieur (brin tendu) en donnant du mou dans le brin inférieur (brin mou) «
On a T **> T » t ^ T * Les tensions T et . J-à l'entrée et à la sor** o
o
tie de la poulie sont liées par la relation :
9
9
£<
•T ~* Û 1T « ( t - P TT S ) e
où
(1)
p masse volumique de la courroie
V vitesse linéaire de la courroie
f coefficient de frottement do la courroie sur la poulie
oJ arc d'enroulement de la courroie sur la petite poulie «
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Isolons un petit élément de courroie, le glissement étant sur le
point de naître- L'équilibre des forces conduit aux doux équations ;
( 4 T. -
't N d '£
<
'
)T a 0 - N d J
l
==0
J2
-. » L
l E
dl =0
e
En remarquant que î
d f « 1 E d Q,
(l largeur de la courroie), il vient :
.™»—^—»~», » £ d &
T - P V2 S
En intégrant :
Los-.ls-fLjLs.
C
fQ
T - p T2 S = C e
Peur
0=0
T=t
d'où
T - p V2 S a ( t - p Y2 S) ef^
ce qui dénontre la formule annoncée
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(l)
-
:
-
.
. - 38 ~ •
A cette relation II faut ajouter lf équation d 1 équilibre de la poulie matrice A*
Si P est la puissance à transaettre (ou F l'effort tangentiel à la jante)
on a :
F a T - t « -S
f
V
en continuant (1) et (2) il vient :
JL . ••—
T
L-
•"*(•-.*—
.
?
(2)
2
f iP V
S
•
iw
«
-J2H•
foC
e
** 1
d'où la contrainte I
3L« JL ^!±_ +f v2
3
Sv
fo< *»11 '
e
.3)
A cette contrainte, il faut ajouter celle due à 1!incurvation ( Cf* 8«2C4)
JL - JL
S
ST
~JL^L~
f<<
+
,
e
D
la résistance pratique de la courroie? il vient s
SU.
3=
2-
+ E
*
~1
Si nous appelons R,
t»
p v2
(4)
£±
2
(Rt - J> V - B e/D)
f
N
e "^ - 1
jL£--2-S-EJL§r
Calculer la section d'une courroie plate capable d1assurer la transmission suivante 5
p
« 25 ch
poulie motrice* 2 R « 360
Hffii
Vitesse rotation - arbre noteur
720 tr/nn
.« 163°
courroie en balata
:
f = 0,3
R, =« 0,3 I^p/m2
£>
p C^ i0" kg/rm3
On négligera l'influence de E d/D - 1 Rêp « 750 m& l
l
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J
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* "" éirSS!^^
£>* 4* 1 - ÊS^Mi2£--⣧^£E2ki^§§, "*
Ils sont de trois types
Etant donné le schéma suivant (fig 1)
1) De conbian faut-il faire tourner l'écrou
pour obtenir un effort de serrage donné P ?
2) On connaît la rotation de l*écrou, quel
est li5effort do serrage ?
on étant donné le schéma de la fig 2,
Déterminer la P2llj2È£IH2-Z » ^e "teHe façon
que lorsque lfon applique les charges F , le
nanchon (2) soit encore compriné sous une
charge * P/n
Ce procédé est appliqué notanment pour les
montants de presse, les têtes de bielle*
EeLgotjue ^ 11 ne s'agit pas ici du calcul
du boulon. Nous y reviendrons au nonent de
la combinaison des contraintes.
8,4 2 - ^^l^g^^X^et^ ~
Les pièces 2 et 3 sont compririîées * Lfeffort de compression est P »
Le raccourcissenent (valeur absolue) (Gf 8,2*2*) est :
ai - P [-Î2- + fa_
l E2 S2
E3 S3 1
Le corps du boulon s'allonge sous l'effet de l'effort de serrage P , de î
\
A l'- = P x _~.L»
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1 1
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- 40 „
Lo déplacement axial de l'écrou devra donc être de s
/! « A i -h &i»
Si
p est le pas du filetage, l!écrou tourne de
360° x <Û
~^^.^w««^
P
d°
• 8« 4. 3 ~ j^cbl^L^l
Bous supposerons que les pièces 3 et 4 sont indéforaables«
Lorsque P nfest pas appliquée, 2 est comprimée sous P f 1 tendue
sous P « Quand F est appliquée 2 est eoinprimée sous P/n , mais 1 est tendue
sous P •*• P/n*
Le phénomène physique à traduire est que la diminution de raccourcissement de (2) est égale à l'augmentation d 1 allongeront de 1.
soit s
«
-
( . P . L) -X „ ( L + F - P ) 1,
n
d'où
r^ '
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P=
E2 S2
n
EI•S1
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S.
£-=-1(.t + J2 . J. * J,
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E
X
1
' S2
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2
Sâ^ïïBâ "*
^es trois problèaea précédents peuvent se traiter graphiquement
("(Diagranme P = f ( ^ 1 ) "]
*
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