Bulletin 136 - ANORI

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS
Programa de Pós-Graduação em Estatística e
Experimentação Agropecuária
Prova do Processo Seletivo para o Mestrado 2014/02
1.
lim x e− x
Calcular
x→∞
Resolução:
x
= indeterminação. Aplicando L’Hospital:
x →∞ e x
lim x e− x = lim
x→∞
d
( x)
1
= lim dx
= lim x = 0
x →∞ d
x→∞ e
ex )
(
dx
2. Determinar
d
arcsen ( x )
dx
Resolução:
Se
y = arcsen ( x )
queremos
y = arcsen ( x )
⇒
d
d
( x ) =  sen ( y ) ⇒
dx
dx
⇒
dy
1
1
=
=
2
dx
1 − sen ( y )
1 − x2
dy
.
dx
x = sen ( y ) . Derivando em relação a x:
1 = cos ( x )
dy
⇒
dx
dy
1
=
dx cos ( x )
3. Determinar
x
∫ x + 1 dx
Resolução:
x
∫ x + 1 dx
=∫
x + 1−1
1
dx = ∫ dx − ∫
dx
x +1
x +1
x − ln ( x + 1 ) + C
4. Em uma linha de produção de lâmpadas, através de um teste preliminar de controle de
qualidade, observou-se o funcionamento das lâmpadas : acesa (A) e não acesa (N). Este
procedimento é realizado, até que duas lâmpadas consecutivas apresentam-se acesas (A) ou
que 4 lâmpadas tenham sido inspecionadas. Descreva um espaço amostral para este
experimento.
Resolução:
= {AA, NAA, ANAA, ANAN, ANNA, ANNN, NANA, NANN, NNAA, NNAN, NNNA, NNNN}
5. Deseja-se realizar um estudo sobre o rendimento escolar em crianças do ensino fundamental.
Com este propósito, dada uma população formada por 100 crianças, identificadas
sequencialmente (Ex. 1,2,...,100) selecionou-se uma amostra de 10 crianças, através de uma
amostragem sistemática. Dado que a 4ª criança foi sorteada, descreva as crianças que iriam
compor a amostra.
Resolução:
Dada a amostragem sistemática, inicialmente calculamos k=100/10 = 10. Partindo do pressuposto que
entre as 10 crianças, a 4ª criança inicialmente foi sorteada, a amostra formada por 10 crianças seria
representada por:
{4ª,14 ª,24 ª,34 ª,44 ª,54 ª,64 ª,74 ª,84 ª,94 ª }
6. Uma pesquisa realizada entre 2.018 eleitores indicou que 765 deles eram favoráveis ao
candidato A, 579 tinham a intenção de votar em B, 408 em C, e o restante indeciso.
a) Construa um intervalo de confiança de 95% para a proporção de todos os votantes
favoráveis ao candidato A, B, C, e indecisos. Compare-os.
b) Qual deve ser o tamanho da amostra para que o erro seja no máximo de 1%?
Resolução:
a)
e = z 0,025
.
pˆ(1 - pˆ )
pˆ(1 - pˆ )
= 1,96 .
.
n
n
Alternativa 1: utilizando estas fórmulas para cada candidato:
Candidato
A
B
C
Ind.
Total
N. intenções
765
579
408
266
2.018
ˆp
37,9%
28,7%
20,2%
13,2%
100,0%
e
2,1%
2,0%
1,8%
1,5%
ˆp + e
35,8%
26,7%
18,5%
11,7%
ˆp - e
40,0%
30,7%
22,0%
14,7%
Alternativa 2: utilizando pˆ = 0,50 na fórmula do erro para todos os candidatos, que leva ao
maior erro possível (margem de segurança):
Candidato
A
B
C
Ind.
Total
N. intenções
765
579
408
266
2.018
ˆp
37,9%
28,7%
20,2%
13,2%
100,0%
e
2,2%
2,2%
2,2%
2,2%
ˆp + e
35,7%
26,5%
18,0%
11,0%
ˆp - e
40,1%
30,9%
22,4%
15,4%
2
(1,96) .0,25
b) n =
2 = 9.604 eleitores
(0,01)
7. O fator K (medida de erodibilidade do solo em (MJ.mm)-1) de n = 17 unidades amostrais
(consideradas representativas) de solos brasileiros com horizonte B textural estão apresentados
a seguir:
0,008 0,045 0,024 0,034 0,027
0,008 0,031 0,009 0,014 0,004
0,032
0,018
0,032
0,012
0,008
0,004
0,025
Teste a hipótese de que a média brasileira do fator K para esse tipo de solo é igual ao valor de
referência 0,024.
Resolução:
Precisaremos de alguns dados para realizar esses testes: após os cálculos com os dados amostrais
chegamos aos seguintes resultados:
x = 0,0197 (MJ.mm)-1
s = 0,0125 (MJ.mm)-1
n = 17
Teste para média:
1°) H0 : µ = 0,0240 (MJ.mm)-1
2°) H1 : µ < 0,0240 (MJ.mm)-1 (porque a amostra sugere que, se não for 0,0240, é menor do que 0,0240,
já que x = 0,0197 é menor do que 0,0240).
3°) α = 1%
4°) Estatística de Teste: Distribuição t:
tc =
x-μ
s
=
0,0197 - 0,024
0,0125
n
= - 1,42
17
5°) Valor de t na tabela, com v = 16 GL: t1%;16= 2,583
6°) Conclusão: como: tc > - t1%;16 aceita-se H0 . Portanto, não se pode dizer que o fator K dos solos
brasileiros com horizonte B textural seja diferente do valor de referência.
8. Um pesquisador da área de “Olericultura” estudou duas variedades de tomate e anotou o teor
de vitamina B2 (Riboflavina), em mg/100 g de polpa do fruto, usando o delineamento
inteiramente ao acaso com dez repetições. Os resultados obtidos foram os seguintes:
9.
Repetições
Totais (Ti)
Variedades
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
40
38
34
34
30
28
32
35
33
36
340
B
35
41
39
50
43
42
40
38
41
31
400
Total Geral (G) = 740
i.
Faça a análise de variância e aplique o teste F com
α = 1% . Considere Fα = 8,3. Com base nos
resultados do teste F recomende a melhor variedade.
ii. Avalie a precisão do experimento.
CV =
100
QM Erro Experimental
y..
Resolução:
i.
SQTotal
=
352 + 412 + ... + 362 −
SQVariedades =
7402
= 27.900,0 - 27.380,0 = 520,0
20
1
7402
 4002 + 3402  = 27.560,0 - 27,380,0 = 180,0
10
20
SQErro Experimental = SQTotal – SQVariedades = 520,0 – 180,0 = 340,00
Fontes de Variação
GL
SQ
QM
Fc
Variedades
1
180,0
180,0
9,52**
Erro Experimental
18
340,0
18,9
Total
19
520,0
Houve diferença entre as variedades ao nível de 1% de probabilidade. Como são apenas duas
variedades, para identificar a melhor conforme o teste F, basta verificar a de melhor média que
é a variedade B.
ii.
CV =
100 18,9
= 11,75%
37
y.. =
O experimento teve precisão média.
740
= 37
20
9. Num experimento foram comparadas cinco espécies de plantas forrageiras
usando o
delineamento blocos casualizados com quatro repetições. O Quadrado Médio do Erro
Experimental foi 21,0. As médias das espécies foram as seguintes:
yA = 54,5;
i.
yB = 40,0;
yC = 62,0;
y D = 53,5;
y E = 53,0
Aplique o teste de Tukey (α = 5%) para comparar as medias das espécies e discuta
os resultados. Utilize como valor de tabela
DMSα =
qα
qα = 4,4 .
QM Erro Experimental
J
ii. Compare a espécie B contra as espécies C, D e E juntas pelo teste de Scheffé (α = 5%).
Use como valor de tabela Fα = 3,1.
DMSα =
ˆ ˆ
(I -1) * Fα * Var(y)
ˆ ˆ = QMErro Experimental ∑ Ci2
Var(y)
J
i
Resolução:
i. Teste de Tukey
DMS = 4,4
21,0
= 10,1
4
Médias ordenadas :
yC = 62,0 a
62,0 - 10,1 = 51,9
54,5 - 10,1 = 44,4
yA = 54,5 a
53,5 - 10,1 = 43,4
53,0 - 10,1 = 42,9
yD = 53,5 a
yE = 53,0 a
yB = 40,0 b
As espécies A, C, D, E foram mais produtivas.
ii. Teste de Scheffé
Contraste Y = 3
H0 : Y = 0 ,
B
-
C
-
D
-
E
H1 : Y ≠ 0
Estimativa do contraste
yˆ = 3yB - yC - yD - yE
= 3 ( 40,0 ) - 62,0 - 53,5 - 53,0 = -48,5
ˆ ˆ = 21 ( 3)2 + ( -1)2 + ( -1)2 + ( -1)2  = 21 [12] = 63,0
Var(y)
4
4
DMS = (5 - 1) * 3,1 * 63,0 = 27,95
-48,5 = 48,5 > 27,95
Rejeita-se H0. O contraste não é nulo. A média da espécie B é inferior à média das
médias das espécies C, D e E juntas.
10. Um pesquisador da área de Ciência dos Alimentos irá instalar um experimento em laboratório
para comparar quatro tipos de embalagem (A, B, C, D) para frutos de pêssego. O delineamento
será inteiramente ao acaso com seis repetições. A parcela experimental será constituída por
uma bandeja com dez frutos.
i. Apresente uma casualização dos tratamentos no experimento;
ii. Escreva o modelo estatístico do experimento, com a descrição de todos os efeitos;
iii. Quantos frutos de pêssego serão utilizados na pesquisa?
Resolução:
i. O experimento terá I = 4 tratamentos com J = repetições, totalizando-se
4*6 = 24
parcelas. Com as parcelas numeradas de 1 a 24, por sorteio, os tratamentos serão
atribuídos às parcelas.
ii.
A
→ 21, 8, 12, 14, 4, 1
C
→ 11, 13, 22, 6, 5, 20
yij
→ 9, 15, 2, 24, 7, 17
B
D
→ 23, 10 , 18, 19, 3, 16
1
A
2
B
3
D
4
7
B
8
A
9
B
10
D
11
13
C
14
A
15
B
16
D
19
D
20
C
21
A
22
C
+
eij
+ ti
=
A
6
C
C
12
A
17
B
18
D
23
D
24
B
5
C
sendo:
•
•
yij o valor observado da variável resposta na embalagem i na repetição j;
a média geral;
•
t i o efeito da embalagem i, com i = 1, 2, 3, 4;
•
eij o erro experimental associado à observação yij , com
j = 1, 2,
3, 4, 5, considerado aleatório, independente e com distribuição normal de
média zero e variância
σ2 .
iii. O experimento terá 24 parcelas. Cada parcela é uma bandeja de dez frutos. Portanto o
experimento terá 240 frutos de pêssego.