Résumé du GRAND PRIX HISTORIQUE DE CHARADE 2012

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO
EA614 ANÁLISE DE SINAIS
T ESTE C OMPUTACIONAL 3
18/11/2015
Sinais contínuos são muito frequentemente encontrados em aplicações de engenharia elétrica. No
entanto, o processamento destes sinais é comumente realizado com computadores digitais, que
requerem que tanto o sinal no tempo, quanto sua representação no domínio da frequência – seu
espectro – sejam amostrados e processados como uma sequência.
A amostragem é uma operação que converte um sinal contínuo 𝑥 𝑡 em um sinal discreto 𝑥 𝑛 , tal
que
𝑥 𝑡
$%&'( = 𝑥 𝑛𝑇, ≡ 𝑥 𝑛 , 𝑛 ∈ ℤ,
(1)
onde 𝑇, é o período de amostragem – o intervalo de tempo transcorrido entre cada amostra. A
frequência (ou taxa) de amostragem 𝑓, = 1/𝑇, = 𝑁/𝑇 define quantas amostras 𝑁 existem em um
intervalo 𝑇.
Exercício 1: Amostragem
Considerando o sinal representado na Figura 1, determine:
a) Qual a frequência do tom puro representado (em Hertz)?
b) Qual a taxa de amostragem do sinal discreto?
c) Neste caso você espera que ocorra aliasing? Comente.
1
t [s]
𝑇,
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14 n
Figura 1: Gráfico de um tom puro (linha continua) e seus pontos de amostragem (círculos). Note que o gráfico possui
dois eixos horizontais. O eixo superior representa a variação com o tempo em segundos e o inferior a variação com os
índices de tempo discreto.
1
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Verifica-se que a Série de Fourier de Tempo Discreto (SFTD) transforma sinais discretos no tempo
em espectros discretos na frequência, como exemplificado na Figura 2. No entanto, ela assume
que os sinais tanto no tempo quanto na frequência sejam periódicos e, portanto, infinitos.
Se possuímos um sinal de tempo discreto finito 𝑥 𝑛 , podemos aproximar o cálculo do seu espectro
através do uso da SFTD. Para isto, é necessário replicar periodicamente o sinal 𝑥 𝑛 , obtendo
𝑥5 𝑛 . Como o cálculo da SFTD ocorre apenas em um período do sinal 𝑥5 𝑛 , define-se a
Transformada Discreta de Fourier (TFD) de 𝑥 𝑛 como a SFTD de 𝑥5 𝑛 no intervalo 0 ≤ 𝑛 < 𝑁.
Programas como o MATLAB utilizam um algoritmo rápido para o cálculo da TFD, o Fast Fourier
Transform (FFT). Portanto, no MATLAB, o espectro de um sinal é obtido com a função fft()e a
transformada inversa é calculada com a função ifft().
Tempo 𝑁
Espectro
2𝜋
Figura 2: Esboço de um sinal discreto e periódico no tempo (esquerda) e seu espectro, que também é discreto e
periódico (direita).
Exercício 2: Espectro
Para este exercício assuma uma frequência de amostragem de 𝑓, = 12 Hz e amostre sempre
𝑁 = 12 amostras de cada sinal.
a) Se um sinal no tempo contínuo 𝑥 𝑡 se relaciona com seu equivalente discreto por
𝑥 𝑛 ≡ 𝑥 𝑛𝑇, , como seus relativos espectros 𝑋 𝜔 e 𝑋 𝑘 se relacionam em função da
frequência de amostragem 𝑓, e do número de amostras 𝑁?
b) Amostre o sinal 𝑥= (𝑡) = cos(2𝜋 ⋅ 𝑡). Exiba o gráfico de 𝑥[𝑛] , usando para isto a função
stem(n,x). Garanta que a primeira amostra ocorra no eixo x em 𝑛 = 0.
c) Calcule o espectro deste sinal usando a função fft(). Exiba o gráfico de |𝑋= 𝑘 |, usando
para isto a função stem(k,X) e a função abs(X). Garanta que a primeira amostra ocorra
no eixo x em 𝑘 = 0.
d) Amostre o sinal 𝑥H (𝑡) = cos(2𝜋 ⋅ 3 ⋅ 𝑡) e calcule seu espectro. Observe o gráfico de |𝑋H 𝑘 | e
comente qual a diferença para o espectro anterior. Garanta que a primeira amostra ocorra
no eixo x em 𝑘 = 0.
e) Amostre o sinal 𝑥J (𝑡) = cos(2𝜋 ⋅ 6 ⋅ 𝑡) e calcule seu espectro. Observe o gráfico de |𝑋J 𝑘 | e
comente qual a diferença para o espectro anterior. Por que isto ocorre?
f) Amostre os sinal 𝑥L (𝑡) = cos(2𝜋 ⋅ 4 ⋅ 𝑡) e 𝑥N 𝑡 = cos 2𝜋 ⋅ 8 ⋅ 𝑡 e calcule seus espectros,
comparando-os. Você esperava este resultado? Por quê?
g) Altere a frequência de amostragem para 𝑓, = 24 Hz. Obtenha 12 amostras de 𝑥= (𝑡) e de
𝑥P (𝑡) = cos(2𝜋 ⋅ 2 ⋅ 𝑡) e compare com o item a). Comente. Calcule o espectro destes dois
sinais e compare com o item b). Comente.
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Sabemos que a convolução linear é uma operação que relaciona dois sinais 𝑎 𝑛 e 𝑏 𝑛 e resulta
em um terceiro sinal 𝑐 𝑛 = 𝑎 𝑛 ∗ 𝑏[𝑛] mais comprido que os dois sinais convoluídos. Se, no
entanto, 𝑎 𝑛 e 𝑏 𝑛 são sinais periódicos, então sua convolução também será periódica com
período igual ao mínimo múltiplo comum do período dos dois sinais convoluídos.
Agora, lembremos, como discutido acima, que a TFD tem como pressuposto implícito que a
representação discreta de um sinal corresponde, na realidade, à descrição de um sinal
periódico 𝑥5 𝑛 , cujo cada período é igual ao sinal limitado 𝑥 𝑛 sendo transformado. Sendo assim,
calcular a convolução de 𝑎 𝑛 e 𝑏 𝑛 através da propriedade da multiplicação do espectro obtido
pela TFD assume a convolução de sequências periódicas e resulta, portanto, também em uma
sequência periódica. Logo, a convolução obtida desta maneira é dita cíclica ou circular, e
representada por 𝑐 𝑛 = 𝑎 𝑛 ⊛ 𝑏[𝑛].
2
2
2
1.5
1.5
1.5
∗
1
0.5
0
0
=
1
0.5
5
10
15
20
0
0
1
0.5
5
10
15
20
0
0
5
10
15
20
Figura 3: Exemplo de convolução circular. Assume-se que os dois sinais sendo convoluídos são periódicos e verificase que o sinal resultante também é periódico.
Exercício 3: Convolução
a) O MATLAB possui a função sawtooth() que gera uma onda dente-de-serra de período 2𝜋.
Amostre um período desta onda 𝑥 𝑡 com 12 amostras e exiba o decurso temporal de 𝑥 𝑛 .
b) Assumindo a mesma taxa de amostragem de a), obtenha 8 amostras do sinal
ℎ 𝑡 = 𝛿(𝑡 − 0,25), exibindo o decurso temporal de ℎ 𝑛 . Comente o que aconteceria se
ℎ 𝑡 = 𝛿(𝑡 − 0,3).
c) Calcule a convolução linear 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ ℎ[𝑛], usando para isto a função y=conv(x,h).
Exiba o decurso temporal de 𝑦 𝑛 , obtendo para isto os índices adequados. Explique,
analiticamente, qual o comprimento do sinal resultante.
d) Exiba os gráficos dos espectros 𝑋 𝑘 e 𝐻 𝑘 obtidos com a função fft.
e) Sabemos que a convolução dos sinais no domínio do tempo é equivalente à multiplicação
do seus espectros. Calcule o espectro 𝑌 𝑘 usando multiplicação elemento-a-elemento
Y=X.*H. Qual o resultado obtido? Por quê?
f) Obtenha agora 12 amostras do sinal ℎ 𝑡 = 𝛿(𝑡 − 0,25), calcule 𝐻 𝑘 e calcule novamente o
espectro 𝑌 𝑘 usando a multiplicação elemento-a-elemento “.*”.
g) Obtenha o sinal 𝑦′ 𝑛 no tempo usando para isto a transformada inversa de Fourier, dada
pela função y=ifft(Y). Compare este resultado com 𝑦 𝑛 . Comente.
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h) Concatene os sinais 𝑥 𝑛 e ℎ[𝑛] com zeros de forma que estas duas sequências tenham o
mesmo comprimento que o resultado da convolução linear obtido em c). Agora calcule
𝑦′′ 𝑛 = 𝑥 𝑛 ⊛ ℎ[𝑛], através da multiplicação elemento-a-elemento no espectro. Compare
𝑦′′ 𝑛 com 𝑦′ 𝑛 e 𝑦 𝑛 .
i) Comente qual a condição necessária para que a convolução linear e a convolução circular
proporcionem resultados idênticos.
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