Animal Classe Ordre Genre chat mammifère carnivore felis

Animal Classe Ordre Genre chat mammifère carnivore felis

Animal
chat
grenouille
raton-laveur
Classe
Ordre
Genre
mammifère carnivore felis
amphibien
anoure
pelophylax
mammifère carnivore procyon
1. Si f et g sont de classe C n , on a (f g)(n) =
Pn
n
k
k=1
f (k) g (n−k) .
2. Par définition, si A ∈ Mn (K), on pose det A = σ∈Sn ε(σ)
où ε : Sn −→ {±1} est la signature. Par exemple,
P
Qn
i=1
ai,σ(i) ,
!
a b
det
= ad − bc.
c d
3. Soient A et B deux ensembles avec B ⊂ A. On définit χB : A −→ {0, 1}
par

1 si x ∈ B
χB (x) =
0 sinon.
def
n o
4. Q = pq (p, q) ∈ Z × (Z \ {0})
5. Table de multiplication dans le groupe de Klein :
·
1
x
y
z
1
1
x
y
z
x
x
1
z
y
y
y
z
1
x
z
z
y
x
1
6.
1
2
17 7
x+
tan x = x + x3 + x5 +
3
15
315
62 9
1382 11
21844 13
+
x +
x +
x + O(x15 ) (1)
2835
155925
6081075
7.
Z 1
0
"
x2 + 1
x arctan x dx =
arctan x
2
#1
−
Z 1
0
0
dx
2
8. Si E1 , . . . , En sont des ensembles finis, on a
Card
n
[
Ei =
i=1
n
X
(−1)k−1
Card
16i1 <···<ik 6n
k=1
=
X
k
\
(−1)Card(A)−1 Card
X
A⊂[[1,n]]
A6=∅
1
Eij
j=1
\
i∈A
Ei .
(2)
9.
v
u
u
3 q
t
2
s
+
q2
10. ∀x ∈ ]−1, 1[, arcsin0 (x) =
−
4
p3
27
+
v
u
u
3 q
t
2
s
−
p3
q2
− ·
4
27
(3)
√ 1
.
1−x2
11. On appelle matrice hessienne d’une fonction f de n variables la matrice

Hf =
∂ 2f
∂xi ∂xj
!



=
16i,j6n
∂2f
∂x21
..
.
∂2f
∂xn ∂x1
···
..
.
···
∂2f
∂x1 ∂xn 

..
.
∂2f
∂x2n



12. On a ap ≡ a (mod p) pour tous a ∈ [[0, p − 1]] et p ∈ {2, 3, 5, 7, . . .}.
2