TP multiplicationter

PSI Brizeux
TP-cours Multiplication de signaux
TP Cours
Multiplication des signaux
I) Généralités
A) Présentation du multiplieur analogique
Les multiplieurs de signaux analogiques sont couramment employés en électronique. Un tel circuit
comporte :
- deux bornes d’alimentation symétrique ±15V ;
- deux entrées différentielles X1, X2 et Y1, Y2 (les tensions appliquées ne doivent pas dépasser 10
Volts);
- un circuit multiplieur réalisant l’opération k (X1 − X 2 )(Y1 − Y2 ) , où k est une constante
caractéristique du composant, dont la dimension est l’inverse d’une tension ;
- un sommateur ajoutant la tension z(t) au résultat précédent (NB : si on ne se sert pas de cette
fonction, il est impératif de mettre cette entrée à la masse) ;
€
- une sortie S(t) réalisant l’opération : S(t) = k (X1 − X 2 )(Y1 − Y2 ) + z(t)
- une masse M.
Nous n’étudierons pas les défauts de ce composant qui restent négligeables pour des fréquences inférieures
€
au MHz et des tensions d’entrée supérieures à quelques
dizaines de mV.
Manipulation : avec 2 GBF, envoyer un signal continu x=(X1-X2) et un signal sinusoïdal y=(Y1-Y2). Faire varier x
en observant la sortie s à l’oscilloscope. Mesurer k.
B) Propriétés de la multiplication de deux signaux sinusoïdaux
L’opération de multiplication est une opération foncièrement non-linéaire : elle permet de générer de
nouvelles fréquences.
1) Aspect temporel
On écrit les tensions d’entrée sous la forme : ei(t) = ci + ai cos (ω t + ϕ ), où ci est la composante continue de
a
ei(t) et i la valeur efficace de la composante alternative sinusoïdale. Dans le cas général :
2
aa
aa
e1(t) × e 2 (t) = c1c 2 + a 1c 2 cos(ω1t + ϕ1 ) + a 2c1 cos(ω 2 t + ϕ2 ) + 1 2 cos (ω1 − ω 2 ) t + (ϕ1 − ϕ2 ) + 1 2 cos (ω1 + ω 2 )t + (ϕ1 + ϕ2 )
2
2
ι
[
€
ι
]
[
2) Aspect spectral
Représenter le spectre du signal de sortie en faisant apparaître l'origine des raies par l'intermédiaire de leur
amplitude. Examiner le cas où e1 et e2 sont des signaux purement sinusoïdaux.
On constate donc que e1 (t) × e 2 (t) génère 2 signaux de fréquences f 1 + f 2 et f 1 − f 2
]
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C) Généralisation
Dans le cas où e1(t) est sinusoïdale de fréquence f1 et e2(t) est un signal périodique quelconque de fréquence
f2 petite par rapport à f1, le spectre du signal de sortie s(t) est composé de deux parties : un “ spectre somme ”
identique à celui de e2(t) mais translaté de f1, et un “ spectre différence ” ou spectre miroir, symétrique du spectre
somme par rapport à f1. Dans le signal résultant, chaque raie de pulsation ωn appartenant au spectre du signal
périodique e2(t), est donc dédoublée en deux, l’une de pulsation ωn+ω et l’autre de pulsation ω n − ω1 puisque :
1
cos(ω n t + ϕn ) × cos(ω1t ) =
1
cos (ω n + ω1 ) t + ϕn + cos (ω n − ω1 ) t + ϕn
2
€
[ (
)
(
)]
Manipulation : appliquer une tension x(t) purement sinusoïdale de fréquence 20 kHz sur l’une des deux
entrées, et une tension créneau y(t) de 0,7 kHz de valeur moyenne nulle sur l’autre entrée. Noter les fréquences
€ le logiciel synchronie) et les amplitudes des composantes spectrales du signal de sortie du
(on utilisera
multiplieur. Quelle modification notez vous lorsque la valeur moyenne du signal créneau n’est plus nulle ?
Reprendre les expériences avec cette fois une tension purement sinusoïdale x(t) de fréquence 5 kHz : on pourra
observer le phénomène de repliement du spectre miroir.
II – Application à la modulation et la démodulation d’amplitude
A) Nécessité, principe et intérêt de la modulation
Nécessité de la modulation : toute chaîne de transmission d’information comporte : un émetteur, un milieu
de transmission et un récepteur. La propagation à travers le milieu entraîne inévitablement des déformations du
signal du fait des phénomènes :
- d’absorption : dans le cas d’une onde plane, l’atténuation se traduit généralement par une amplitude
décroissant exponentiellement avec la distance : a(x) = a 0 .e −α( ν)x s , la constante d’atténuation α(ν) dépendant
souvent de la fréquence du signal ;
- de dispersion : la vitesse des ondes dans un milieu dépendant de leur fréquence, les diverses composantes
spectrales d’un signal présentent, lors de la réception, un retard différent.
€
€
Principe de la modulation : pour s’affranchir au mieux des distorsions introduites par le milieu de
propagation, la méthode la plus simple est de ne transmettre que des signaux à spectre étroit (tels que fmax - fmin
<< (fmax+fmin)/2), qui plus est, dans la bande de « transparence » du milieu.
Peu de signaux présentent un spectre étroit. Il est donc indispensable de convertir le signal informatif en un
autre signal respectant cette contrainte, et contenant toute l’information initiale. L’opération consistant, à partir
d’un signal informatif m(t), à élaborer un signal s(t) qui puisse être émis est appelée modulation. Inversement,
lors de la réception, il s’agit de retrouver m(t) à partir du signal reçu : on parle alors de démodulation.
signal d’information
basse fréquence
porteuse
haute fréquence
transmission
modulateur
émetteur
haute fréquence
récepteur
démodulateur
signal d’information
original
basse fréquence
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Ainsi, pour les signaux informatifs usuels, les fréquences sont de l’ordre de 20 Hz à 20 kHz (signaux audio)
ou de 50 kHz à 6 MHz (signaux vidéo). Le transport de ces informations se fait par ondes électromagnétiques de
fréquences bien plus élevées : de 100 kHz à 1 MHz pour un signal radio en modulation d’amplitude ; aux alentours
de 100 MHz pour un signal radio en modulation de fréquence ; autour du GHz pour la téléphonie mobile.
Ainsi, le signal utilisé pour la transmission est un signal quasi-sinusoïdal correspondant à une porteuse de
haute fréquence fp appartenant à la bande de transparence du milieu support et lentement modulé par le signal
informatif appelé modulante et comportant des basses fréquences f <<fp. Ce signal modulé occupe ainsi une
bande de fréquence étroite autour de fp. La modulation agit soit sur l’amplitude, la fréquence, ou la phase
instantanée de la porteuse : on parle alors respectivement de modulation d’amplitude, de fréquence ou de phase.
Les opérations de modulation (resp. démodulation) déplacent les spectres des signaux vers les hautes (resp.
les basses) fréquences.
Ces opérations nécessitent donc l’emploi de composants non-linéaires comme les multiplieurs ou les diodes.
Dans le cas de la modulation d'amplitude on a donc s(t)=F[m(t)].cos(ωpt) pour lequel m(t) est le signal
lentement variable qui contient l’information (signal modulant) et ωp la pulsation de la porteuse.
Les intérêts de la modulation sont multiples :
- elle permet d’adapter la fréquence du signal à transmettre aux contraintes physiques inhérentes à la
propagation d’ondes électromagnétiques : longueur d’antenne (les antennes utilisées pour l’émission étant d’une
taille comparable à la longueur d’onde, une fréquence d’1 kHz nécessiterait une antenne de longueur … 300 km !),
zone de transparence (infra-rouge pour les fibres optiques)…
- elle permet le multiplexage : on peut transmettre simultanément et dans le même milieu de propagation,
plusieurs informations : il suffit d’utiliser des porteuses de fréquences différentes, suffisamment éloignées les unes
des autres pour éviter le chevauchement des spectres. A la réception, un filtrage passe-bande convenablement
accordé (en fréquence centrale et bande passante) permet de récupérer le signal voulu. On définit ainsi la notion de
canal de transmission : c’est l’intervalle fréquentiel dans lequel un opérateur peut émettre un signal sur un support
donné. Dans la bande de radiodiffusion F.M., par exemple, les canaux sont contigus dans l’intervalle [88;108
MHz], chacun d’entre eux étant repéré par sa fréquence centrale.
B) Les différentes modulations d’amplitude
Parmi les nombreuses méthodes utilisées, les modulations d’amplitude à porteuse conservée (M.A.P.C.) et à
porteuse supprimée (M.A.P.S.) sont les plus courantes. Dans les deux cas, F(m) est affine et l’on a :
M.A.P.C.
s(t) = Sm(1+km(t)).cosωpt
M.A.P.S.
s(t) = kSm.m(t).cosωpt
Le choix d’une loi de dépendance F(m(t)) linéaire présente, outre l’intérêt de la simplicité de réalisation, la
propriété de superposition. Si m(t) = m1(t) + m2(t), alors le terme kSmm(t).cosωpt s’écrit comme la somme de
kSmm1(t).cosωpt et de kSmm2(t).cosωpt, d’où l’intérêt d’étudier le cas particulier où m(t) est sinusoïdal, tout signal
périodique se décomposant en somme de fonctions harmoniques.
Dans le cas où m(t) = M.cos(ωmt), on a donc :
M.A.P.C.
s(t) = Sm(1+m.cos(ωmt)).cos(ωpt)
M.A.P.S.
s(t) = mSm.cos(ωmt).cos(ωpt)
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L’obtention d’un signal modulé à spectre étroit est possible à condition de choisir une valeur de fréquence
porteuse très supérieure à la fréquence du signal modulant : fp >>fm. Le signal utilisé pour la transmission est donc
un signal quasi-sinusoïdal correspondant à une porteuse de haute fréquence lentement modulé par le signal
d’information (modulante) comportant des basses fréquences. Le signal modulé occupe ainsi une bande de
fréquences proches de celle de la porteuse avec une largeur spectrale faible devant celle-ci.
Ceci permet en outre de multiplexer fréquentiellement les signaux et donc d’en transmettre un grand nombre sur
un même support en leur allouant un intervalle de fréquences distinct.
a)
Modulation d’amplitude sans porteuse (MAPS)
Manipulation : Appliquer sur une voie du multiplieur un signal sinusoïdal alternatif de fréquence fP ≈ 5kHz
et sur l'autre voie un signal sinusoïdal alternatif de fréquence fm dix fois plus petite.
Compte tenu des ordres de grandeur en fréquence (fm < fP) on peut considérer que l’amplitude du signal de
sortie (produit des deux signaux sinusoïdaux) est modulée par le signal de basse fréquence appelé signal modulant.
Utiliser l’oscilloscope pour visualiser le signal modulant et le signal de sortie s(t). On effectuera la
synchronisation sur le signal modulant.
Reproduire s(t) sur feuille.
Visualiser en XY (avec X = signal modulant) : l'observation d'une droite permet de vérifier la linéarité de
F(m)(linéarité du modulateur).
Analyser le spectre du signal de sortie et vérifier que l’on peut y isoler des composantes de fréquence (fP fm) et (fP + fm). Justifier le nom "sans porteuse".
Prendre, pour signal modulant, un signal triangulaire alternatif de fréquence 30 plus petite que la porteuse.
b)
Modulation d’amplitude avec porteuse (MAPC)
Manipulation : Prendre comme signal modulant un signal sinusoïdal comportant une composante continue :
m(t) = M(1+mcos (ωmt+ϕ)) et comme porteuse un signal sinusoïdal de fréquence ≈ 5kHz.
m est appelé indice de modulation. Deux cas peuvent être distingués : si m<1, on a une modulation dite
classique, et si m>1 on a surmodulation (le cas ma →∞ correspond à la modulation sans porteuse).
Manipulation : utiliser l’oscilloscope pour visualiser le signal modulant et le signal de sortie et observer
l’influence de m sur la forme du signal de sortie. On constate que pour m<1, l’enveloppe du signal est l’image de
€
m(t) mais pas dans le cas m>1.
Reproduire s(t) sur feuille dans les deux cas
Visualiser en XY (avec X = signal modulant) et étudier l'influence de m.
Dans le cas m<1, analyser le spectre du signal de sortie et justifier le nom "avec porteuse".
C) La démodulation d’amplitude
1°)
Démodulation d’amplitude par détection d’enveloppe
NB : Cette méthode n’est applicable que dans le cas MAPC d’indice de modulation m<1.
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Rappel : fonctionnement d’un montage détecteur de crête :
Manipulation : Réaliser le montage ci-contre avec R = 10 kΩ
et C =10 nF.
Pour une tension sinusoïdale de quelques volts, reproduire
l’allure des signaux e(t) et s(t) pour f = 1 kHz, 10 kHz et 100
kHz.
Sur les courbes, identifier les phases où la diode est passante.
e(t)
R
C
s(t)
Comment observe-t-on l’influence de la tension seuil de la diode ?
Démodulation par détection de crête :
Manipulation : Envoyer en entrée du détecteur de crête le signal modulé de la partie précédente dans le cas de
la sous-modulation m <1. On choisira ici fp ≈ 100 kHz et fm ≈ 1 kHz.
détecteur de crête
C
signal modulé
R
filtre passe-bas
R’
C’
signal démodulé
Quelles conditions R et C doivent ils vérifier
dans notre cas pour que y(t) suive au mieux
l’enveloppe de s(t) (dont on rappelle qu’elle
est l’image de m(t)) ? Prendre R = 10 kΩ et
C = 10 nF. Observer le signal modulant et
celui à la sortie du détecteur de crête>
Tester l’influence de fm et fp sur la forme du signal en sortie du détecteur de crête.
En déduire l’utilité du filtre passe-bas et les valeurs R’ et C’ à choisir.
NB : il faut R’ >> R !!
2°)
Démodulation d’amplitude par détection synchrone
Cette méthode permet de récupérer le signal modulant sans les conditions restrictives précédentes.
Pour cela il faut disposer d’un signal synchrone avec la porteuse p(t) = UPcosωpt.
On a dans le cas (le plus simple) M.A.P.S. où s(t) = UmUP/2 [cos(ωP-ωm)t + cos(ωP+ωm)t] :
w(t) = s(t) × p(t) = UmU2P/4 [cos(2ωP-ωm)t + cos(2ωP+ωm)t + 2cos(ωmt].
Le spectre du produit du signal modulé en amplitude s(t) (sans porteuse) et d’un signal synchrone avec la
porteuse p(t) comprend donc une raie de pulsation ωm et les raies de pulsation 2ωP-ωm et 2ωP+ωm.
€
Ce résultat peut être généralisé à un signal modulant dont le spectre est limité à des fréquences inférieures à
ωP (par exemple à des signaux périodiques de fréquence très inférieure à fP).
Représenter le spectre de w(t) dans le cas de signaux périodiques quelconques
Il suffit ensuite de filtrer ce signal avec un filtre passe-bas de fréquence de coupure très supérieure à fm et
très inférieure à 2fp-fm.
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Prendre comme signal modulant un signal sinusoïdal alternatif de fréquence fm = 1 kHz et pour porteuse un
signal sinusoïdal alternatif de fréquence fp= 100kHz. Créer le signal module en utilisant un premier multiplieur.
Entrer sur un second multiplieur le signal issu du premier et le signal correspondant à la porteuse (signal
de fréquence fP).
Isoler la composante fm en utilisant un filtre passe bas RC (10 nF, 47 kΩ). Utiliser l’oscilloscope pour
visualiser les différents signaux.
Reprendre l’étude précédente en utilisant un signal carré alternatif comme signal modulant. Modifier si
nécessaire la valeur du produit RC.
D) Réception « Grandes Ondes »
Les signaux des radios « grandes ondes » sont modulés en amplitude. Le signal modulant (voix, musique) est
« porté » par une porteuse de fréquence de l’ordre de 100 kHz. C’est cette fréquence porteuse (différente selon les
stations) qui permet de différencier les radios et permet et leur sélection : à la réception, celle-ci se fait par
l’intermédiaire d’un filtre passe-bande de fréquence centrale réglable, mais de bande passante suffisamment large
pour couvrir le spectre des fréquences audibles. Suivent alors les différentes opérations permettant la
démodulation.
1°)
Utilisation des modules « phytex »
Les antennes émettrices et réceptrices sont conçues pour fonctionner de façon optimale pour des fréquences
voisines de 120 kHz et permettent a priori de capter des radio telles que France Inter (164 kHz) ou encore Europe1
(185 kHz) : voir la partie « manipulation » de la notice « phytex ».
2°)
Radio Brizeux
La réception de ces Grandes Ondes commerciales étant très difficile dans la salle de TP, vous allez créer
votre propre onde radio en modulation d’amplitude.
Vous allez moduler une porteuse de fréquence voisine de 120 kHz (mais ne choisissez pas tous la même
porteuse !) avec un signal sinusoïdal de fréquence audible. Attention, le démodulateur étant un démodulateur à
détection de crête, il va falloir respecter la condition évoquée plus haut (MAPC d’indice de modulation m<1).
Emettre ce signal grâce au module « antenne émettrice ». Placer l’antenne réceptrice de façon convenable (voir
l’influence de la position relative des 2 antennes) et accordez votre réception sur votre émission (et pas celle de
votre voisin) en jouant sur la valeur de la capacité du condensateur réglable (gros bouton) : lorsque la hauteur
(fréquence) du son sortant du haut parleur correspondra à celle de votre signal modulant, c’est que vous serez
accordé !
Vous pourrez alors remplacer le GBF assurant la fréquence modulante, par un microphone et vous exprimer
… Radio Brizeux est née.
Demander au binôme d’à côté de tenter de la capter !
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III) Valeur efficace vraie d’un signal sinusoïdal non alternatif
On appelle valeur efficace vraie (TRMS : True Root Mean Square) d’un signal périodique v(t) la grandeur
Veff telle que : V2 =
1
T
T
∫ v 2 (t)dt =
v 2 (t)
0
a2
.
2
€Appliquer sur les deux entrées du multiplieur, le même signal sinusoïdal non alternatif de fréquence
f ≈ 200 Hz . Auparavant, mesurer, à l’aide du multimètre, la composante continue, la valeur efficace de la
composante alternative, et la valeur efficace vraie de ce signal sinusoidal.
€ du signal d’entrée cette
Mesurer la valeur continue du signal de sortie du multiplieur. Quelle valeur efficace
composante continue permet-elle d’atteindre ?
Donc, pour un signal sinusoïdal non alternatif de la forme : e(t) = c + acos(ωt+ϕ), Eeff =
c2 +
IV) Mesure d’une impédance
A) Principe
Soient u la tension aux bornes de l’impédance Z = Ze jϕ = R + j X et i l’intensité du courant qui la traverse.
On prend i comme origine des phases : I = I ; U = Ue jϕ . Ici U et I sont des valeurs efficaces. On rappelle que, dans
cette convention, pour un produit on a :
*
2
- valeur moyenne de u(t) × i(t) : <u
€× i> = Re(U I ) = R I qui permet donc d'atteindre R ;*
- de même si u' désigne une tension déphasée de -π/2 par rapport à u : <u' × i> = Im(U I ) = X I2 qui
€
permet donc d'atteindre X.
€
On désigne par Z une boîte noire€qui contient une résistance et une capacité en série.
€
On place en série avec Z une résistance R0 de 1 kΩ.
On appelle u0 la tension aux bornes de R0 et u la tension aux bornes de Z. On rappelle que les entrées du
multiplieur sont différentielles.
B)
Partie réelle
La composante continue du produit (u × u0) est égale à R0<u × i> = R0RI2 =
Le montage de principe est donc
€ le suivant :
€
€
RU20
.
R0
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X1
u0
R0
X2
S
e
Y1
u
passe-bas
Z
Y2
multiplieur
Le rôle du filtre passe-bas étant de mesurer la valeur de la composante continue (et donc de la valeur
RU20
moyenne !) du signal de sortie du multiplieur. On a donc : S =
R0
Appliquer u et u0 sur les entrées du multiplieur ; régler la fréquence du GBF de manière à ce que S soit bien
débarrassé des composantes variables du signal de sortie du multiplieur.
Mesurer S, mesurer la valeur efficace de u0. En déduire la valeur R de la partie réelle de l'impédance.
€
C) Partie imaginaire
Soit u’ une tension dont l’amplitude est égale à celle de u, mais déphasée de π/2 par rapport à u ; la
XU20
2
composante continue du produit (u’ × u0) est égale à R0<u' × i> = R0XI =
.
R0
Le montage de principe est donc le suivant :
€
X1
€
u0
€
R0
X2
S
e
u
Z
Y1
passe-bas
déphaseur
π/2
Y2
multiplieur
XU20
(à condition toujours que les fréquences non nulles à la sortie du filtre
R0
multiplieur soient bien filtrées par le passe-bas).
On aurait donc ici S =
€
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V)
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Effet Doppler
A) Principe
Soit un émetteur fixe à l’origine de l’axe Oz qui délivre une onde plane se propageant selon Oz. Soit s(t) le
signal émis en z = 0. On a s(t) = S cos(ωt).
Cible
V
Emetteur
Elle parvient à une cible de l’axe d’abscisse z avec un retard τ =
z
, si c est la célérité de l’onde dans le
c
z
)).
c
Si de plus cette cible se déplace à la vitesse V le long€de l’axe Oz, z = Vt+z0 et s(z,t) = S cos(ω(t Vt + z 0
ωV
ωz
)), que l’on peut réécrire sous la forme : s(z,t) = S cos[(ω)t - 0 ].
c
c
c
€
milieu considéré. On a donc en z : s(z,t) = S cos(ω(t-τ)) = S cos(ω(t -
ωV
Tout se passe comme si l’onde reçue par la cible possédait la pulsation ω r = ω −
.
c
€
€
Si la cible s’éloigne de l’émetteur, la fréquence lui paraîtra plus basse (son plus grave dans le cas des ondes
sonores ; décalage vers le rouge dans le cas des ondes optiques). Si elle se rapproche de l ‘émetteur, la fréquence
€
sera reçue plus grande (son plus aigu ; décalage vers bleu).
B)
Application à la mesure de vitesse
Du fait du trajet aller-retour, la pulsation de l’onde reçue (notée sR(t)) au niveau de l’émetteur après
2ωV
réflexion sur la cible est : ω r = ω −
. C’est la mesure de ce décalage en fréquence qui permet de remonter à la
c
valeur de V.
2fV
Ex : pour V = 30m/s , c = 340 m/s et f=1 kHz, Δf =
= 180Hz .
c
€
C) Utilisation de multiplieurs
€ de mesurer Δf :
Montrer que le dispositif suivant permet
signal émis
analyseur
de
spectre
€
signal reçu
multiplieur
passe-bas