Corrigé du devoir à la maison no 6 Partie A 1. L`équation

Corrigé du devoir à la maison no 6
Partie A
1. L’équation différentielle
y +0,03y = 0,75 est de la forme
®
a = 0,03
y ′ + ay = b avec :
b = 0,75
Ses solutions sur [0; +∞[ sont donc les fonctions fk déb
finies sur [0; +∞[ par fk (t) = ke−at +
a
0,75
= ke−0,03t +
0,03
= ke−0,03t + 25
où k est une constante réelle.
′
2. Parmi les fonctions fk , on recherche celle qui vérifie
fk (0) = 1,3.
fk (0) = 1,3 ⇐⇒ k × e−0,03×0 + 25 = 1,3
⇐⇒ k × e0 = 1,3 − 25
⇐⇒ k = −23,7
Conclusion : La fonction f est définie sur [0; +∞[ par
f (t) = 25 − 23,7e−0,03t .
Partie B
1.
lim e−0,03t = 0 donc
t→+∞
lim − 23,7e−0,03t = 0 d’où
t→+∞
lim 25 − 23,7e−0,03t = 25.
t→+∞
Conclusion :
lim f (t) = 25 et C admet la droite
t→+∞
d’équation y = 25 pour asymptote horizontale en +∞.
2. a) ∀t > 0 f (t) = 25 − 23,7 × eu(t) avec u(t) = −0,03t
donc f ′ (t) = 0 − 23,7 × u′ (t) × eu(t)
= −23,7 × (−0,03) × e−0,03t
= 0,711e−0,03t
La fonction exponentielle est à valeurs strictement
positives sur R donc, a fortiori, sur [0; +∞[.
Par conséquent, f ′ est à valeurs strictement positives
sur [0; +∞[.
b) Sur [0; +∞[, f ′ est à valeurs strictement positives
donc f est strictement croissante.
On en déduit le tableau de variations de f :
t
0
Sgn.
f ′ (t)
Var.
f
+∞
+
25
1. Si le bassin n’était pas équipé d’un dispositif d’isolation par fermeture de vannes, la concentration en matières polluantes se stabiliserait autour de 25µg/L (car
lim f (t) = 25).
t→+∞
2. Si les capteurs déclenchent la fermeture des vannes une
demi-heure après l’accident alors l’objectif ne sera pas
atteint car f (30) > 15.
En effet, f (30) ≈ 15,4 (à 10−1 près).
3. À l’aide d’un tableau de valeurs, on obtient t0 ≈ 28 minutes (valeur approchée arrondie à la minute près par
défaut).
En effet, f (28) ≈ 14,8 (à 10−1 près) et f (29) ≈ 15,1 (à
10−1 près) donc f (28) < 15 < f (29).
4. a) ∀t > 0 F (t) = 25t + 790 × eu(t) avec u(t) = −0,03t
donc F ′ (t) = 25 + 790 × u′ (t) × eu(t)
= 25 + 790 × (−0,03) × e−0,03t
= 25 − 23,7e−0,03t
= f (t)
f est la dérivée de F donc F est une primitive de f
sur [0; +∞[.
b) Pour tout réel t supérieur ou égal à 2 :
Z t
1
V (t) = ×
f (x) dx
2
t−2
1
= × (F (t) − F (t − 2))
2
25t + 790e−0,03t −(25(t−2) + 790e−0,03(t−2) )
=
2
25t + 790e−0,03t − 25t + 50 − 790e−0,03t+0,06
=
2
790e−0,03t + 50 − 790e−0,03t e0,06
=
2
50 + 790e−0,03t (1 − e0,06 )
=
2
= 25 + 395e−0,03t (1 − e0,06 )
c) La courbe de V n’est ni la courbe 2 ni la courbe 3
car V (10) ≈ 6,9 (à 10−1 près), ce qui signifie que l’e
point d’abscisse 10 de la courbe de V a une ordonnée
proche de 6,9.
Par élimination, la courbe de V ne peut être que la
courbe 1.
d) Résolution graphique, dans l’intervalle [0; 60], l’équation V (t) = 12,5.
25
1,3
Courbe 1
20
−0,03t
3. ∀t > 0 f (t) = 15 ⇐⇒ 25 − 23,7e
= 15
⇐⇒ −23,7e−0,03t = −10
−10
⇐⇒ e−0,03t =
−23,7Å
ã
100
⇐⇒ ln(e−0,03t ) = ln
Å 237
ã
237
⇐⇒ −0,03t = − ln
100
1
⇐⇒ t =
ln(2,37)
0,03
100
⇐⇒ t =
ln(2,37)
3
L’équation f (t) = 15 admet une unique solution dans
100
l’intervalle [0; +∞[ et cette solution est
ln(2,37) soit
3
−1
environ 28,8 (à 10 près).
Partie C
15
12,5
10
5
0
10
20 22 30
40
50
60
L’équation V (t) = 12,5 admet une unique solution,
notée T , dans l’intervalle [0; 60] et, par lecture graphique, on estime que T ≈ 22.
e) Le réel T défini à la question précédente, correspond
à la durée, exprimée en minutes, séparant l’accident
du déclenchement de la fermeture des vannes.