THESE_EL HACHLOUFI

UNIVERSITÉ MOHAMMED V – AGDAL
FACULTÉ DES SCIENCES
Rabat
N° d’ordre 2656
THÈSE DE DOCTORAT
Présentée par
EL HACHLOUFI Mostafa
Discipline : Mathématiques Appliquées
Spécialité : Mathématiques Financières et Statistiques
Les Apports de l’Intelligence Artificielle aux Approches
Probabilistes pour l’Optimisation de Portefeuille d’Actifs Financiers
Soutenue le 29/06/2013
Devant le jury :
Président :
SOUISSI
Ali
PES
Université Mohammed V-Agdal, Faculté des Sciences –
Rabat
Examinateurs :
GUENNOUN
Zine El Abidine
PES
Université Mohammed V-Agdal, Faculté des Sciences –
Rabat
BENBACHIR
Saâd
PES
Université Mohammed V-Agdal, Faculté des Sciences
Juridiques, Economiques et Sociales Agdal– Rabat
HAMZA
Faris
PES
Université Abdel Malek Essaâdi, Faculté
Polydisciplinaire de Tetouan
BENSOUDA
Charaf
PES
Université Ibn Tofail, Faculté des Sciences – Kénitra
BELMAHJOUB
Faycal
PH
Université Ibn Tofail , Faculté des Sciences – Kénitra
Avant Propos
Les travaux présentés dans ce mémoire ont été effectués dans le laboratoire
Analyse, Algèbre et Aide à la Décision sous la direction de Monsieur Zine
El Abidine Guennoun.
Je tiens tout d’abord à remercier mon directeur de thèse Monsieur Zine
El Abidine
Guennoun qui a su me communiquer toutes ces années son
enthousiasme et sa motivation. Ses commentaires et suggestions tout au long de
ma thèse ont considérablement amélioré à la fois le contenu et la présentation
de cette dernière. Je remercie également mon co-encadrant Monsieur Faris
Hamza, Professeur d’enseignement supérieur à Université Abdel Malek Essaâdi,
Faculté Polydisciplinaire de Tetouan, pour les conseils et les remarques qu’il m’a
prodigués pendant cette période.
Je remercie également Monsieur Ali
Souissi, Professeur d’enseignement
supérieur à l’Université Mohamed V - Agdal, Faculté des Sciences de l’honneur
qui’il m’a fait d’avoir accepté de présider mon jury de thèse.
Je remercie aussi Monsieur Saâd
supérieur à l’Université Mohamed
Benbachir Professeur d’enseignement
V-Agdal, Faculté des Sciences Juridiques,
Economiques et Sociales – Rabat pour l’intérêt qu’il a porté à mes travaux en
acceptant la tâche fastidieuse de rapporteurs. Je remercie aussi Monsieur
Charaf
Bensouda et Monsieur Faycal Belmahjoub, Professeurs à l’Université
Ibn Tofail, Faculté des Sciences –Kénitra d’avoir accepté d’être membres de
jury.
Je tiens à remercier mes parents de leurs encouragements, ma femme pour son
aide précieuse et ses conseils lors de la préparation de la soutenance et mes
sœurs pour leur soutien.
Résumé
Dans ce travail, nous avons mis en œuvre de nouvelles approches basées sur les
méthodes d’intelligence artificielle et statistiques pour l’optimisation d’un
portefeuille d’actifs financiers. En effet, nous avons développé un algorithme
appelé MinVaRMaxVaL basé sur les algorithmes génétiques permettant, pour
une valeur de portefeuille fixée, de minimiser le risque mesuré par la valeur à
risque (VaR), puis de maximiser la valeur de portefeuille, d’une manière
dynamique, de telle sorte que le risque obtenu soit inférieur à celui obtenu
précédemment et la valeur finale de portefeuille soit supérieure à celle fixée à
l’avance. Cet algorithme est utilisé aussi pour optimiser un sous
portefeuille
d’actions. Ce dernier est obtenu par une méthode de classification K-Means et
réalise le rendement espéré le plus élevé et la VaR moyenne la plus petite.
Un autre algorithme appelé MinMRSV est réalisé en se basant sur les
algorithmes génétiques et les réseaux de neurones pour minimiser la mesure de
risque semi-variance (MRSV) d’une manière dynamique en considérant que les
proportions et les paramètres de cette mesure sont variables.
Nous avons aussi développé un algorithme qui permet de réduire la taille d’un
portefeuille en extrayant de ce dernier un sous portefeuille afin de réaliser un
surplus de gain financier en termes de réduction de coût et de performance au
niveau de la réduction des charges de calcul. Ce résultat est obtenu par la
sélection d’un nombre d’actions à partir de ce portefeuille qui a une contribution
faible (respectivement élevée) sur le risque (respectivement la valeur)
de
portefeuille. Ce sous portefeuille subit une procédure d’optimisation. Le même
objectif est atteint par un autre algorithme développé en se basant sur les
algorithmes génétiques, les réseaux de neurones et la logique floue pour
optimiser un portefeuille
de meilleures actions
sélectionnées, c'est-à-dire
celles ayant les rendements les plus élevés et les risques les plus petits en
utilisant la prévision et la classification.
Egalement, nous avons réalisé une formule explicite pour estimer la CVaR d'un
portefeuille d'actions investies dans un marché dont la
distribution des
rendements suit une loi log-normale.
Enfin, nous avons mis en œuvre une nouvelle approche permettant de choisir un
portefeuille optimal de produits financiers Islamiques en utilisant des
algorithmes génétiques de telle sorte que pour une valeur de portefeuille fixée,
le risque de ce dernier est nul ou presque nul, vu que l'investissement dans le
marché des produits financiers Islamiques est en pleine expansion.
Mots Clés :
Optimisation, Portefeuille, Actifs financiers, Risque, Algorithmes génétiques,
Réseaux de neurones, Logique floue, VaR, CVaR, Produits financiers Islamiques.
Abstract
In this work, we have implemented new approaches based on artificial
intelligence and statistical methods to optimize the portfolio of financial assets
we developed an algorithm called MinVaRMaxVaL based on genetic algorithms,
for a fixed value of portfolio, we minimize the risk measured by the value at
risk (VaR) and we maximize the value of the portfolio dynamically, such that
the risk obtained is lower than who is obtained previously and the final
portfolio value is higher than that fixed in advance.
This algorithm is also used to optimize a sub portfolio. It is obtained by a
method of K-Means classification and achieves the expected highest and the
average VaR smallest.
Another algorithm called MinMRSV is made based on genetic algorithms and
neural networks. This algorithm minimize the risk measure semi-variance
(MSRV) dynamically, whereas the proportions and the parameters of this
measurement are variable.
We have also developed an algorithm that reduces the portfolio size in order to
make a portfolio in portfolio that achieve a surplus of financial gain in terms of
cost reduction and performance at reduced loads.
This result is achieved by selecting a number of shares from the portfolio
which has a low (respectively higher) contribution of the portfolio risk
(respectively value). This sub portfolio undergoes an optimization procedure.
The same result is achieved by another algorithm based on genetic algorithms,
neural networks and fuzzy. This algorithm optimize a portfolio of the best
stocks selected, i.e: the stocks whose have the highest returns and smaller
risks using prediction and classification.
Also, we have made an explicit formula for estimating CVaR of a portfolio of
stocks invested in a market
whose return distribution follows a log-normal
distribution.
Finally, we implemented a new approach to select an optimal portfolio of Islamic
financial products using genetic algorithms such that for a fixed value of
portfolio risk, this risk is zero or almost zero. Because the investment in the
market for Islamic financial products is in full expansion.
Keywords:
Optimization, portfolio, financial assets, Risk, Genetic Algorithms, Neural
Networks, Fuzzy Logic, VaR, CVaR, Islamic financial products.
Tables des matières
INTRODUCTION GENERALE .................................................................................................. 1
CHAPITRE 1 : ETAT DE L’ART D’OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE
D’ACTIFS FINANCIERS ............................................................................. 6
I. THEORIE ET CONCEPT DE RISQUE ......................................................................... 7
1. DEFINITION ET CONCEPT DE RISQUE .................................................................................. 7
2. COHERENCE DE MESURE DE RISQUE..................................................................................... 9
II. APPROCHES D’OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE D’ACTIFS
FINANCIERS .............................................................................................................................11
1. APPROCHE
DE MARKOWITZ
(1952) ....................................................................................11
2. APPROCHE DE SHARPE (1963-1964) ................................................................................ 18
2.1 Modèle à indice simple de Sharpe ......................................................................... 18
2.2 Modèle de marché de Sharpe ................................................................................ 19
2.3 Modèle d’équilibre des actifs financiers (MEDAF)....................................... 23
3. APPROCHE
DE MARKOWITZ ET PEROLD (1981) .............................................................. 25
4. APPROCHE DE LAI (1991) ................................................................................................... 26
5. LE MODELE KONNO ET Y AMAZAKI (1991) ...................................................................... 28
6. LE MODELE DE SPERANZA (1993) .................................................................................... 30
7. MODELE
MOYENNE – SEMI-VARIANCES DE HAMZA & JANSSEN
(1995)................... 32
8. APPROCHE DE Y OUNG (1998) ........................................................................................... 34
9. APPROCHE BASEE SUR LA VALEUR A RISQUE (2000) ..................................................... 36
CHAPITRE 2 : ESTIMATION DE LA CVAR DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS
INVESTIES DANS UN MARCHE LOG-NORMAL .......................... 38
I. ELEMENTS DE PROCESSUS STOCHASTIQUES APPLIQUES A LA
FINANCE ................................................................................................................................... 38
1. LES PROCESSUS STOCHASTIQUES..................................................................................... 38
2. PROCESSUS ET LEMME D'ITO ............................................................................................ 39
3. LE MODELE DE BLACK & SCHOLES ...................................................................................... 41
4. LE MODELE DE M ERTON...................................................................................................... 44
II. ESTIMATION DE LA CVAR DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS
INVESTIES DANS UN MARCHE LOG-NORMAL .............................................. 45
1. LA VALUE AT RISK (VAR) ET LA CVAR ............................................................................. 46
2. LA VAR DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS.............................................................................. 49
3. LA CVAR DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS ........................................................................... 55
4. ESTIMATION DE LA CVAR DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS INVETIES DANS UN MARCHE
LOG-NORMAL ............................................................................................................................ 58
CHAPITRE 3 : OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS A L’AIDE
DES ALGORITHMES GENETIQUES ................................................... 62
I. LES ALGORITHMES GENETIQUES (AG) .............................................................. 62
1. CODAGE DE DONNEES ET GENERATION DE LA POPULATION INITIALE.......................... 63
2. EVALUATION DES INDIVIDUS ........................................................................................... 64
3. PRINCIPES DE SELECTION .................................................................................................. 64
4. OPERATEUR DE CROISEMENT ............................................................................................ 65
5. OPERATEUR DE MUTATION ................................................................................................ 65
II. OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS INVESTIES DANS
UN MARCHE LOG-NORMAL EN UTILISANT LA CVAR ET LES
ALGORITHMES GENETIQUES ................................................................................. 66
1. ALGORITHME D’OPTIMISATION......................................................................................... 67
2. PROCEDURE D’OPTIMISATION ........................................................................................... 67
III. OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS A L’AIDE DES
ALGORITHMES GENETIQUES ET LA VALEUR A RISQUE (VAR)..... 69
1. ALGORITHME D’OPTIMISATION MINVARMAXVAL ........................................................ 70
2. PROCEDURE D’OPTIMISATION ............................................................................................ 71
3. APPLICATION NUMERIQUE ................................................................................................. 71
IV. OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS EN UTILISANT LA
CLASSIFICATION ET LES ALGORITHMES GENETIQUES ........................ 73
1. ALGORITHMES D’OPTIMISATION ...................................................................................... 73
2. PROCEDURE D’OPTIMISATION ........................................................................................... 74
3. APPLICATION
NUMERIQUE ............................................................................................... 75
CHAPITRE 4 : OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS A L’AIDE
DES ALGORITHMES GENETIQUES ET LES RESEAUX DE
NEURONES .................................................................................................... 78
I. LES RESEAUX DE NEURONES .................................................................................. 78
1. LE RESEAU DE NEURONES MULTICOUCHE ......................................................................... 79
2. APPRENTISSAGE DES RESEAUX DE NEURONES ................................................................ 80
3. L’APPRENTISSAGE ET L’ALGORITHME DE RETROPROPAGATION ....................................... 81
II. LE MODELE DE REGRESSION MULTIPLE .......................................................... 83
1. ESTIMATION DES PARAMETRES
DU MODELE ................................................................... 84
2. ANALYSE DE VARIANCE ET LE COEFFICIENT DE DETERMINATION MULTIPLE.............. 85
3. TEST D’HYPOTHESES........................................................................................................... 86
II. MINIMISATION DE RISQUE SEMI-VARIANCE DE PORTEFEUILLE
D’ACTIONS EN UTILISANT LES RESEAUX DE NEURONES ET LES
ALGORITHMES GENETIQUES ................................................................................. 88
1. ALGORITHME DE MINIMISATION DE MRSV ................................................................... 89
2. APPLICATION NUMERIQUE ................................................................................................ 94
IV. OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS EN UTILISANT LES
ALGORITHMES GENETIQUES ET LES RESEAUX DE NEURONES......... 95
1. REGRESSION PAR LES RESEAUX DE NEURONES ................................................................ 95
2. ALGORITHME DE SELECTION DE PORTEFEUILLE OPTIMAL D’ACTIONS ......................... 97
3. APPLICATION NUMERIQUE ................................................................................................ 99
CHAPITRE 5 : OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS A L’AIDE
DES ALGORITHMES GENETIQUES,LES RESEAUX DE
NEURONES ET LA LOGIQUE FLOUE ............................................... 101
I.LA LOGIQUE FLOUE (LF) ............................................................................................. 101
1. OPERATIONS ET PROPRIETES
DES ENSEMBLES FLOUS ..................................................102
2. SYSTEME D’INFERENCE FLOUE.........................................................................................103
3. CONCEPTION DU CLASSIFICATEUR FLOU ........................................................................106
II. OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS A L’AIDE LES
RESEAUX DE NEURONES ET LA LOGIQUE FLOUE ET LES
ALGORITHMES GENETIQUES ................................................................................107
1. PREDICTION DES RENDEMENTS ET DES RISQUES DES ACTIONS PAR LES RESEAUX DE
NEURONES ...............................................................................................................................108
2. CONCEPTION DU CLASSIFICATEUR FLOU ........................................................................109
3. APPLICATION
NUMERIQUE ............................................................................................... 111
CHAPITRE 6: ALGORITHME D’OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE DE
PRODUITS FINANCIERS ISLAMIQUE .............................................. 113
1. NOTIONS DE BASE DE LA FINANCE ISLAMIQUE............................................................. 113
2. LES PRODUITS FINANCIERS ISLAMIQUES ..................................................................... 115
2.1 Mourabaha .................................................................................................................. 115
2.2 Al Ijar ......................................................................................................................... 115
2.3 Salam ........................................................................................................................... 116
2.4 Istisna’a ...................................................................................................................... 117
2.5 Moudaraba ................................................................................................................ 117
2.6 Moucharaka................................................................................................................ 118
3. RISQUE DE PRODUITS ISLAMIQUES................................................................................ 118
3.1 Les risques de la Mourabaha : .............................................................................. 118
3.2 Les risques de l’Istisnaa ........................................................................................ 119
3.3 Les risques de la Moudarabah..............................................................................120
3.4 Les risques de la Moucharaka ..............................................................................120
4. ALGORITHME D’OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE DE MODARABA ET MORABAHA...122
CONCLUSION ...........................................................................................................................125
PUBLICATIONS........................................................................................................................128
REFERENCES ............................................................................................................................. 131
Liste de figures
FIGURE 1.1 : FRONTIERE EFFICIENTE DANS LE PLAN ESPERANCEVARIANCE ......................................................................................................... 14
FIGURE 1.2 : RISQUE ET DIVERSIFICATION ........................................................... 23
FIGURE 3.1 : ALGORITHME GENETIQUE DE BASE.................................................. 63
FIGURE 3.2 : OPÉRATION DE CROISEMENT.............................................................. 65
FIGURE 3.3: OPÉRATION DE CROISEMENT ............................................................... 66
FIGURE 3.4 :ALGORITHME MINVARMAXVAL .......................................................... 70
FIGURE 3.5 : REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA VALEUR DU
PORTEFEUILLE EN UTILISANT L’ALGORITHME
MINVARMAXVAL ET LES ALGORITHMES GENETIQUES. .......... 72
FIGURE 3.6 : REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA VAR DU PORTEFEUILLE
EN UTILISANT L’ALGORITHME MINVARMAXVAL ET LES
ALGORITHMES GENETIQUES................................................................. 72
FIGURE 3.7 : CLASSES RETENUES PAR LA METHODE
DE
CLASSIFICATION ........................................................................................ 76
FIGURE 3.8: REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA VAR DE PORTEFEUILLE
INITIAL (IP) ET SOUS PORTEFEUILLE (SP) POUR UN NOMBRE
D’ACTIONS. ..................................................................................................... 76
FIGURE 3.9: REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA VAL DE PORTEFEUILLE
INITIAL (IP) ET SOUS PORTEFEUILLE (SP) POUR UN NOMBRE
D’ACTIONS. ..................................................................................................... 77
FIGURE 4.1 : STRUCTURE DE NEURONE....................................................................... 78
FIGURE 4.2: BOITE NOIRE DE RESEAUX DE NEURONES ARTIFICIELS....... 79
FIGURE 4.3 : STRUCTURE DE RÉSEAUX MULTICOUCHE ...................................... 80
FIGURE 4.4 : STRUCTURE DES AG UTILISEE DANS L’ALGORITHME
MINMRSV ......................................................................................................... 90
FIGURE 4.5 : STRUCTURE DES RN UTILISEE DANS L’ALGORITHME
MINMRSV ......................................................................................................... 92
FIGURE 4.6: ALGORITHME DE MINIMISATION DE MINMRSV ........................ 93
FIGURE 4.7: REPRESENTATION GRAPHIQUE DE RISQUE DE L’ALGORITHME
MINMRSV ET DE L’ALGORITHME MRSV-HJ POUR UN CERTAIN
NOMBRE DE RENDEMENTS INITIAUX ............................................... 94
FIGURE 4.8: BACKWARD DE PROPAGATION DE CORRECTION D’ERREUR ..... 96
FIGURE 4.9 : ALGORITHME DE SELECTION DE PORTEFEUILLE OPTIMAL . 98
FIGURE 4.10: LA VAR DE SOUS PORTEFEUILLE SP EN FONCTION DES
NOMBRE DES ACTIONS ............................................................................100
FIGURE 4.11: LA VAL DE SOUS PORTEFEUILLE SP EN FONCTION DES
NOMBRE DES ACTIONS ............................................................................100
FIGURE 4.12 : REPRESENTATION GRAPHIQUE DE RISQUE DE SOUS
PORTEFEUILLE SP PAR L’ALGORITHME ASPO ET
L’ALGORITHME BASE SUR L’AG POUR UN CERTAIN NOMBRE
DE RENDEMENTS.........................................................................................100
FIGURE 5.1 : REPRESENTATION D’UN SOUS-ENSEMBLE FLOU ET
PRINCIPALES CARACTERES.....................................................................102
FIGURE 5.2 :STRUCTURE D’UN SYSTEME D’INFERENCE FLOUE ......................104
FIGURE 5.3 : SCHEMA SYNOPTIQUE D’UN CLASSIFICATEUR FLOU ............106
FIGURE 5.4 : RESEAUX MULTICOUCHE ......................................................................109
FIGURE 5.5: REPRÉSENTATION DE LA FONCTION D'APPARTENANCE ........109
FIGURE 5.6 : BASE DE RÈGLES........................................................................................ 110
FIGURE 5.7: REPRESENTATION GRAPHIQUE DE RISQUE DU
PORTEFEUILLE INITIAL ET DE SOUS-PORTEFEUILLE DE
L'ALGORITHME RMSV ET DE L'ALGORITHME HJSV POUR UN
CERTAIN NOMBRE DE RENDEMENTS. ................................................ 112
FIGURE 5.8: REPRESENTATION GRAPHIQUE DE RISQUE DU
PORTEFEUILLE INITIAL ET DE SOUS-PORTEFEUILLE DE
L'ALGORITHME MSRV_IP ET DE L'ALGORITHME MSRV_SP
POUR UN CERTAIN NOMBRE DE RENDEMENTS. ............................ 112
FIGURE 6.1 : CONTRAT DE LA MOURABAHA ............................................................. 115
FIGURE 6.2 : CONTRAT DE AL IJAR ............................................................................. 116
FIGURE 6.3 : CONTRAT DE SALAM ............................................................................... 116
FIGURE 6.4: CONTRAT DE LA MOUDARABA ............................................................. 117
FIGURE 6.5 : CONTRAT DE LA MOUCHARAKA.......................................................... 118
Introduction générale
Contexte du travail
L’optimisation de portefeuille ou le choix optimal de portefeuille d’actifs
financiers est un sujet qui a occupé un intérêt particulier dans la recherche en
mathématiques financières.
Dans ce cadre, Markowitz
a été le premier à introduire
un modèle appelé
moyenne-variance en 1952 basé sur la variance des rendements de portefeuille
observés autour de leur moyenne comme mesure de risque pour le choix optimal
de ce dernier.
En effet,
le modèle de Markowitz
consiste à minimiser l’écart-type
ou la
variance pour un rendement donné ou de maximiser le rendement du portefeuille
pour un risque donné.
Cependant, plusieurs critiques ont été adressées à ce modèle comme le choix de
la variance en tant que mesure de risque, la charge de calcul et l’hypothèse sur le
caractère quadratique de la fonction objectif, l’hypothèse sur la normalité des
rendements des actifs financiers,…etc. Nous reviendrons plus en détails sur ces
critiques dans le premier chapitre.
Ces critiques donnent lieu à plusieurs tentatives d’amélioration de ce modèle ou
de développement de nouveaux modèles.
Dans ce cadre plusieurs modèles ont été proposés pour réduire la charge de
calcul et linéariser le problème de choix optimal de portefeuille dont ceux de
Sharpe et Stone sont les plus populaires.
D’autre part, plusieurs auteurs comme Konno, Konno et Yamazaki , Zenios et Pang
et Speranza ont proposé de calculer le risque de portefeuille en utilisant
1
la forme linéaire au lieu de la forme quadratique pour développer des modèles
de programmation linéaire afin de sélectionner un portefeuille optimal et inclure
le critère de risque asymétrique pour faciliter l’optimisation.
D’autres auteurs comme
Pedersen et Stchell ont généralisé une famille de
fonctions de risques en introduisant une classe qui englobe la majorité des
mesures de risque.
Egalement, Hamza et Janssen ont proposé une nouvelle mesure de risque sous la
forme d’une combinaison convexe des semi-variances, et ce dans le but de
généraliser les modèles standards de mesure de risque.
Dans le même sens, Homaifar, Grootveld et Huang ont développé des modèles
de mesure de risque en se basant sur la minimisation de la semi-variance.
Quand à Chopra et Hlouskova, une variété de modèles a été réalisée en utilisant
la variance comme mesure du risque dans diverses situations.
Tous les modèles précédemment soulignés ne permettent pas de calculer de
manière explicite la perte que pourra subir un investisseur ou une institution
financière (établissement de crédit , banque, compagnie d’assurance,…), d’où la
naissance d’une nouvelle mesure de risque appelée value at risk (VaR) développée
par la géante banque américaine J.P.Morgan en 1995.
Cette mesure permet de quantifier la perte maximale qui pourrait toucher un
portefeuille pour une certaine probabilité sur une période donnée.
La VaR présente plusieurs avantages comme la facilité de comparaison et
d'interprétation. Cependant, des études récentes, comme celle de Szergõ qui a
montré que celle-ci souffre de plusieurs inconvénients, le plus marquant étant la
non prise en compte du montant des pertes excédant la VaR
et
la
sous-
additivitée, ce qui signifie qu'avec cette mesure, toute diversification n'implique
pas un risque réduit.
2
Pour surmonter les limites de la VaR, une nouvelle mesure de risque appelée VaR
conditionnelle et notée CVaR définit comme étant la moyenne des VaR, de niveau
supérieur à celui de la VaR, est adoptée à sa place.
Objectifs et contributions
Les différents modèles présentés
précédemment
agissent soit sur le
rendement (en le maximisant pour un risque donné ) soit sur le risque (en le
minimisant pour un rendement donné) afin d’optimiser un portefeuille d’actifs
financiers, mais ils n’ agissent pas sur les deux en même temps d’une manière
dynamique. En effet, cette dernière n’est que peu entamée dans la littérature.
C’est ainsi que nous l’avons développée dans ce travail à travers un algorithme
dynamique appelé MinVaRMaxVaL.
En outre, tous ces modèles s’appliquent sur le portefeuille afin de déterminer, à
travers l’optimisation, les proportions du capital investies qui rendent optimal ce
dernier (but recherché).
Cependant, ils ne s’appliquent pas sur une partie ou un ensemble d’actifs
financiers de ce portefeuille pour atteindre le même but. Démarche qui est
presque absente et aussi peu entamée dans la littérature, et que nous avons
traité dans ce travail. Et ce, en faisant extraire à partir de ce portefeuille,
appelé portefeuille initial, un ensemble d’actifs financiers, appelé sous
portefeuille. Ce dernier est pertinent, c'est-à-dire donne lieu à un rendement
plus élevé et un risque plus bas par rapport à celui du portefeuille initial, ce qui
permet d’obtenir un sous portefeuille d'actifs financiers optimal d'une taille
réduite par rapport au portefeuille initial. Cette démarche conduit à un surplus
de gain financier en termes de coût et une performance à la réduction des
charges de calcul.
3
Cette approche est développée en utilisant les algorithmes génétiques et la
classification d’une part, les réseaux de neurones, la logique floue et les
algorithmes génétiques d’autre part.
Dans un autre cadre, les modèles construits pour minimiser la mesure de risque
semi-variance (MRSV), supposent que les paramètres de cette dernière sont
constants et agissent seulement sur les proportions. Dans ce travail ,
avons considéré
que
nous
les paramètres de risque mesuré par la combinaison
convexe des deux semi-variances, ainsi que les proportions du portefeuille, sont
variables et nous avons développé un algorithme dynamique appelé MinMRSV
afin de déterminer en même temps d’une façon dynamique les proportions et
les paramètres de risque (MRSV) conduisant au choix du portefeuille optimal.
Egalement, nous avons réalisé des formules mathématiques explicites et une
estimation de la CVaR pour les portefeuilles d'actifs financiers dans le cas où
les rendements suivent la loi normale et la loi log-normale en utilisant le modèle
de marché en temps continu développé par Merton.
Organisation du travail
Notre travail est organisé comme suit :
Dans le premier chapitre, nous avons traité la théorie et le concept de risque
puis nous avons
présenté
les différentes approches d’optimisation de
portefeuille d’actifs financiers existants dans la littérature, en expliquant les
diverses critiques
adressées à chacune de ces approches ainsi que quelques
avantages et inconvénients de certaines d’entre elles.
Dans le deuxième chapitre, nous avons présenté des applications de méthodes
statistiques pour l’estimation
de la mesure de risque CVaR de portefeuille
4
d’actifs financiers investis dans un marché Log-Normal ainsi que la minimisation
de risque de ce portefeuille mesuré parla CVaR.
Au niveau du troixème, du quatrième et du cinquième chapitre, un ensemble de
procédures d’optimisation de portefeuille d’actions basées sur l’intelligence
artificielle à savoir les algorithmes génétiques, les réseaux de neurones et la
logique floue a été présentées.
Dans le dernier chapitre, nous avons défini un nouvel algorithme d’optimisation de
portefeuille composé de deux produits financiers Islamiques à savoir : le produit
Mourabaha et le produit Moudaraba afin d’encourager les investisseurs
s’orienter vers le marché de produits financiers Islamiques.
5
à
Chapitre 1 : Etat de l’art de l’optimisation de portefeuille
d’actifs financiers
L’optimisation de portefeuille d'actifs financiers est depuis longtemps un sujet
d'intérêt majeur dans le domaine de la finance. Dans ce cadre les préoccupations
majeures de l’investisseur se résument souvent à savoir si son portefeuille
pourrait offrir un meilleur rendement sans que le risque auquel il est exposé ne
s’en trouve accentué.
Markowitz fut le premier à introduire un modèle appelé moyenne-variance basé
sur le risque dans l’optimisation de portefeuille en proposant la variance des
rendements observés autour de leur moyenne, comme mesure de risque. Mais son
modèle reste peu employé dans la pratique à cause des ressources importantes,
le caractère quadratique de la fonction objectif et la charge de calcul de la
matrice de variance-covariance.
Afin de simplifier les difficultés liées à la charge computationnelles du modèle
de Markowitz, plusieurs modèles ont été proposés comme des modèles
alternatifs à l’approche moyenne-variance. Certains auteurs ont tenté de
linéariser le problème de choix de portefeuille comme Sharpe qui a proposé le
modèle à indice, le modèle de marché et le modèle d’équilibre des actifs
financiers (MEDAF).
D’autres ont développé plusieurs modèles de programmation linéaire pour la
sélection de portefeuille optimal : Konno & Yamazaki et Speranza
ont proposé
de calculer le risque de portefeuille à l’aide de la forme linière au lieu de la
forme quadratique Ils ont proposé un modèle basé sur le critère de risque
asymétrique, ce qui permet d’éliminer les difficultés associées au modèle
d’optimisation quadratique.
6
Hamza & Janssen ont généralisé les modèles standards en proposant une mesure
de risque définie comme une combinaison convexe des deux semi-variances par la
simplification du critère moyenne-écart absolu en utilisant la forme linèaire.
I. Théorie et concept de risque
1. Définition et concept de risque
La théorie du risque a été développée par Frank Knight qui s’est intéressé à
démontrer qu’il existe deux types de risques. Le premier type de risque est
probabiliste et il peut être assuré tandis que le deuxième type de risque est
celui de risque d’entreprise qui est non assuré car lié à la politique de cette
dernière et non pas aux aléas.
Le risque est un évènement préjudiciable et aléatoire qui ne répond à aucun
facteur déterminé. Il correspond au hasard et non à l’incertitude.
Le risque est défini par l'imprécision au niveau de sa survenance, sa réalisation,
la date de sa réalisation et son montant.
La mesure de risque se base sur l'analyse de la probabilité, de survenance d’un
évènement et de son estimation.
La gestion des risques au sein des entreprises a suscité ces dernières années un
intérêt croissant ce qui a conduit à des investissements importants pour le
développement de systèmes efficaces et la mise en ouvre une série d’outils de
gestion de risque.
La gestion des risques joue un rôle très important dans la stabilité financière
des entreprises. En effet, plusieurs entreprises ont connu des pertes financières
importantes, ou même des faillites à cause d’une mauvaise maîtrise des risques.
7
Généralement, il existe deux grands types de risques. Les risques non
quantifiables, et les risques quantifiables.
Les risques non quantifiables sont des risques non mesurables et peuvent
engendrer des pertes financières importantes. Le risque légal, le risque
opérationnel, et le risque médiatique sont parmi les principaux risques
appartenant à cette famille.
Le risque légal survient lorsqu’une entreprise effectue des transactions
financières avec une autre non habilitée à effectuer une telle opération.
Le risque médiatique est dû à un événement qui entame la confiance ou nuit à
l’image de l’entreprise.
Le risque opérationnel est le risque de pertes directes ou indirectes résultant
d’une inadéquation ou d’une défaillance des systèmes internes, des personnes, ou
provenant d’évènements extérieurs.
Concernant les risques quantifiables, nous citons le risque de crédit et le risque
de marché.
Le risque de crédit (ou risque de défaut) survient lorsqu’une contrepartie ne
peut ou ne veut remplir ses obligations contractuelles.
Le risque de marché qui résulte des variations d’un ou de plusieurs facteurs du
marché. Les principaux risques de marché sont :
- Le risque de change :survient lorsque l’investisseur effectue des
transactions dans une devise étrangère.
- Le risque de taux d’intérêt
survient
lorsque l’investisseur a des
emprunteurs ou des prêteurs sur le marché. L’investisseur risque de voir
des résultats défavorables grâce aux variations de taux d’intérêt.
8
- Le risque sur portefeuille d’actions
dont l’évaluation du rendement
dépend des fluctuations des actions dans le marché.
2. Cohérence de mesure de risque
Soit  l’ensemble des valeurs ou les rendements possibles d’un actif financier
et
une collection de sous ensemble de  .
est un attribut de  si elle vérifie les conditions suivantes :


CB
 B
 A1 ,..., A
A
i
i =1
Soient
P:
[0,1] une
mesure de probabilité et le couple
(
,
)
un espace
mesurable.
On appelle une variable aléatoire sur ( ,
Soit X :  
) , toute fonction :
une variable aléatoire, vérifiant donc:
X
1
(]
, x ])
, x
Soit  , F , P  l’espace de probabilité et V un ensemble non vide de variables
aléatoires
-mesurable à valeurs réelle. On appelle une mesure de risque toute
fonction :
 :V 
X  X
Le risque auquel est soumis l’actif financier pour une période de temps
décrit par la variation de sa valeur ou son rendement dans cette période.
9
est
Dans ce cas, la mesure de risque est une fonction  faisant correspondre à un
risque X , un nombre positif noté   X  qui permet de quantifier le niveau de
danger inhérent à ce risque.
Selon Artzner et Heath [Art 97], une mesure de risque est dite cohérente si
elle vérifie les propriétés suivantes :
- Invariance par translation
Pout toute constante c et  X  on a :
  X  c    X   c
1.13
La propriété d’invariance par translation signifie que si on ajoute (ou soustrait)
un montant initial c au portefeuille initial dans l’actif de référence, la mesure
de risque  accroît (ou décroît) par c .
- Sous-additivité
Pour tous les risques
X  et
Y   on a :
  X  Y     X    Y 
1.14
La sous-additivité traduit l’effet de diversification que signifie la réduction de
risque et qui est mesuré par :    X  Y     X    Y    0 . Cela veut dire que
si on a deux portefeuilles de risques séparés, le capital requis pour le
portefeuille combiné est inférieur à la somme des capitaux requis pour chaque
portefeuille.
Remarque :
Si   X  Y     X    Y  quelles que soient les risques X et Y , on dit qu’il y a
l’additivité. Dans ce cas, l’effet de diversification est nul.
10
- Homogénéité
Pout toute constante c et  X  on a :
  cX   c  X 
1.15
La multiplication de chaque risque d’un portefeuille par un scalaire positif
augmente la mesure de risque par le même scalaire.
L’homogénéité peut être vue comme un cas limite de la sous-additivité, lorsqu’il
n’y a aucune diversification possible, c'est-à-dire :
  X  X  ...  X   c  X 
1.16
- Monotonicité
Pour tous les risques
X  et
Y   on a :
  X  Y   1    X    Y 
1.17
Cette propriété exprime que si le risque d’un portefeuille est supérieur à celui
d’un autre, le capital requis pour le premier portefeuille est supérieur à celui
requis pour le deuxième.
II. Approches d’optimisation de portefeuille d’actifs financiers
1. Approche de Markowitz (1952)
Soit p t le prix d’une action a à la fin de la période t , la variation de prix
 pt  pt 1 
désigne le gain, auquel s’ajoute éventuellement le revenu d t , appelé
dividende payé au cours de la période t .
Le rendement de cette action au cours de la période t est défini comme suit :
rt 
 pt  pt 1   d t
1.1
pt 1
11
Soit
P un
 A1 ,..., An 
portefeuille d’actions
x   x1 ,..., x n  où xi
représenté par un vecteur
désigne la proportion du capital C investie dans l’action ai
caractérisée par son rendement incertain ri  i  1,..., n  .
Le rendement de ce portefeuille est défini comme suit :
n
R  x    rj x j
1.2
j 1
La valeur et la variation de ce portefeuille sont définies respectivement comme
suit :
n
VaL 
1.3
x p
i
i
i 1
n
V  x  
 x p
i
i
1.4
i 1
Harry Markowitz [Mar 52] a eu le premier, l'idée de mesurer la rentabilité d'un
portefeuille par l'espérance de rendement et le risque par sa variance.
L’approche de Markowitz appelée aussi moyenne-variance consiste à minimiser
le risque de ce portefeuille en fixant le rendement minimal  attendu par cet
investisseur ou inversement, c'est-à-dire : Maximiser le rendement espéré en
fixant le risque minimal souhaité par cet investisseur.
Le rendement du portefeuille est une variable aléatoire dont l’espérance sera
donnée par :
 n
 n
E  R  x    E   r j x j    x j E r j 
 j 1
 j 1
Donc
n
E  R  x     x j rj
j 1
12
1.5
La variance du rendement de portefeuille est donnée par :
n
 n

  R  x    E  R  x   E  R  x     E   ri xi   ri xi 
 i 1
i 1

2
2
2
2
n
n
n
n
n
 n

2 2
 E    ri  ri  xi    xi  i    xi x j ij    xi x j cov  ri , rj 
i 1
i 1 j 1
i 1 j 1
 i 1

i j
Ce qui implique que :
n
n
1.6
  R  x    xi x j ij
2
i 1 j 1
L’algorithme d’optimisation de Markowitz qui en résulte s’écrit comme suit:
 n n

Min  xi x j ij 

 i 1 j 1
Sous les contraintes :
n
 x E  r   
j
j
j 1
n
x
j
1
j 1
xj  0
j =1,...,n
Il s’agit d’un problème de programmation quadratique
qui engendre une
combinaison moyenne-variance réalisable.
L’ensemble de combinaison possible des moyennes-variances de portefeuilles
est dit efficace, si parmi tous les portefeuilles de même rendement espéré que
lui, il n’existe aucun risque strictement inférieur.
La frontière efficace est l’ensemble de portefeuilles efficaces (efficients).
13
ER x
Rendement
 
Frontière efficiente
 
Ensemble des
combinaisons
Risque
2 R x 
Figure 1.1 : Frontière efficiente dans le plan Espérance-Variance
Dans le cas où x j , j =1,...,n est quelconque, c'est-à-dire les ventes à découverte
sont autorisées et si la contrainte sur la rendement minimum attendu par
l’investisseur est égal à  , on utilise la technique des multiplicateurs de
Lagrange pour calculer la solution optimale. La fonction Lagrangienne utilisée
est donnée par :
n
n
 n

 n

L x1 ,..., x n , 1 , 2    xi x j  ij  1   x j R j      2   x j  1
i 1 j 1
 j 1

 j 1

Il s’ensuit que
n
L
 2 x j ij  1Ri  2  0
xi
j 1
n
L
  xj Rj    0
1 j 1
n
L
  xj 1  0
2
j 1
Il en résulte que
C. x  K  x  C 1 .K
où
14
i  1,....., n
 211 ....... 21n

.......


C  2 n1 ....... 2 nn

 R1 ....... Rn

........
1
 1
R1
Rn
0
0
1


1 
0

0
avec :
 xt   x1 , x2 ,..., xn , 1 , 2 
t
 K = 0,0,...,0,


 ,1
nfois
Supposons qu’on a un capital C0 qu’on désire répartir entre n actions (actifs
risqués) et un actif sans risque caractérisé par un rendement fixe r0 ,
une
variance nulle (  n21  0 ) et une covariance nulle de son rendement avec les autres
rendements des actifs risqués (  i , n 1  0 pour i  1,..., n ).
Soit xi la proportion du capital C investie dans l’actif i  i 1,..., n et par xn  1 le
pourcentage du capital investi dans l’actif sans risque. On a:
 n

 n
 n n
 2  R  x    σ 2   R j x j  xn1r0   σ 2   R j x j    xi x j ij
 j 1

 j 1
 i 1 j 1
Alors les contraintes sur le rendement espéré et le capital deviennent :
n
x R
 x n1r0  
j
j
j
1
j 1
n 1
x
j 1
La fonction Lagrangienne est donnée par :
n
n
 n

 n1

L x1 ,..., x n , x n1 , 1 ,  2    x i x j  ij  1   x j R j  x n1 r0      2   x j  1
i 1 j 1
 j 1

 j 1

Il s’ensuit que
15
n
L
 2 x j ij  1Ri  2  0
xi
j 1
i  1,....., n
L
 1r0  2  0
xn 1
n
L
  x j R j  x n1r0    0
1 j 1
L n1
  xj 1  0
2
j 1
Il en résulte que:
C. x  K  x  C 1 .K
où :




C 





2 11.........
......
2 1n
..
0
.
2 n1......... 2 nn
0
0
R1
0
Rn
0
r0
1 ........
1
1
avec :
 xt   x1, x2 ,..., xn , xn1 , 1, 2 
t
 K = 0,0,...,0,0,

 ,1
nfois
16
1

.
Rn 1 
r0 1 

0 0
0 0 
R1
.
L’approche moyenne-variance proposée par Markowitz reste peut employée dans
la pratique à cause de plusieurs limites qui sont:
 La charge de calcul : le déroulement de l’optimisation nécessite le calcul
de
n  n  1
2
covariances, alors il est clair qu’à l’époque, ce programme
d’optimisation nécessitait des
ressources importantes en terme
matériel informatique.
 Le caractère non linèaire (quadratique ) de la mesure de risque utilisée
par Markowitz est très sensible à la taille du programme d’optimisation
utilisé pour la détermination de portefeuille optimal.
 La perception du risque par l’investisseur n’est pas symétrique par
rapport à la moyenne, alors que la variance prend en compte de la même
manière les variations
au dessous et en dessus de la rentabilité
espérée.
 La distribution de rendement : Markowitz suppose que le rendement des
actifs suit la loi normale, cependant plusieurs études ont montré que ce
résultat n’est pas toujours vérifié dans la réalité.
 Le coût de transaction : Les coûts de transaction ne sont pas pris en
compte dans l’approche de Markowitz, alors ils sont incontrôlables dans
la réalité.
 La mesure de risque introduite par Markowitz ne permet de mesurer de
manière explicite la perte éventuelle que pourra subir l’investisseur.
Il est intéressant de souligner que chacune de ces critiques adressées à cette
approche a conduit à des tentatives de modifier de cette approche pour
accommoder ces critiques émises sur un point ou un autre.
17
2. Approche de Sharpe (1963-1964)
2.1 Modèle à indice simple de Sharpe
Sharpe [Sha 63] a été
le premier qui a
tenté de simplifier le modèle de
Markowitz en développant les modèles à indice qui se base sur la simplification
de la matrice de variances-covariances afin de réduire la charge de calcul.
Sharpe a proposé une diagonalisation de cette matrice en se basant sur le
modèle à un seul indice en supposant que les fluctuations des rendements des
actions peuvent être exprimés à l’aide d’une régression simple.
Autrement dit,
pour
ri  ai  bi RI   i
i  1,..., n
1.7
où:
 RI : est le rendement de l’indice I
  i : est une variable aléatoire appelée
bruit blanc qui vérifié les
hypothèses suivant :
o E  i   0 , et  2  0
pour i  1,..., n
i


i  j ;
o   i ,  j  cov  i ,  j  0,
o   i ,I  cov   i , R I   0,
pour i  1,..., n
Le rendement de portefeuille devient :
n
n
 n
 n
R  x    xi ri   xi ai  RI   xi bi    xi i
i 1
i 1
 i 1
 i 1
n
Soit
xn  1 
xb
i i
il en résulte :
i 1
Rx  
n
n
xa
i i
i 1
 xn 1 RI   xi i
i 1
Le rendement espéré est donné par :
18
1.8
n
E  R  x     x i ai  xn 1 E  RI  ,
i 1
La variance du rendement est :
n
1.9
 P2   xi2 2i  xn21 I2
i 1
Donc on a besoin que de  n 1 termes à estimer au lieu de
n  n  1
2
variances et
covariances pour l’approche de Markowitz.
Le concept de l’approche de Markowitz est basé sur la diversification qui permet
de réduire davantage le risque du portefeuille. Malheureusement on ne peut
réduire complètement le risque en augmentant indéfiniment la taille de
portefeuille.
Sharpe a montré que le risque d’un portefeuille quelconque peut être décomposé
en deux parties : le risque diversifiable ou risque non systématique et le risque
non diversifiable ou risque de marché.
2.2 Modèle de marché de Sharpe
Sharpe [Sha 64] a remplacé l’indice I
par l’ensemble du marché M dans le
modèle à indice simple. Dans ce cas, ce modèle porte le nom modèle de marché.
Le modèle de marché suppose une relation linéaire entre le rendement d’une
action i et le rendement global du marché :
1.10
ri   i   i R M   i
où  i est une variable aléatoire définie comme dans le modèle à indice simple.
Les paramètres i et  i sont obtenus par la régression simple comme suit :
i 
cov  ri , RM   iM
 2
var  RM 
M
1.11
19
et
 i  E RI   i E RM   Ri  RM
1.12
Selon les hypothèses précédentes, il en résulte:
 i2  var  ri   var  i  i RM   i   var  i RM   i 
 i2 var  RM   var   i    i2 M2   2i
où
i 
cov  ri , RM   iM
 2
var  RM 
M
1.13
 Le coefficient bêta  i appelé le coefficient de risque systématique du
titre i permet de mesurer le pourcentage des fluctuations du rendement
de ce titre .
 Le risque d’une action peut être décomposé en deux parties :
o
 i2 M2 : représente le risque systématique de l’action
o 2i : représente le risque non systématique .
Soit un portefeuille x   x1,..., xn  composé de n titres où xi représente la
proportion du capital investie dans iéme titre. Le rendement de chaque titre i
s’écrit comme suit :
pour
ri   i   i RM   i
1.14
i  1,..., n .
Le rendement global de portefeuille est :
n
n
n
n
R  x    xi ri   xi i  RM  xi i   xi i
i 1
i 1
i 1
i 1
  P  RM  P    x  .
Le rendement du portefeuille est donné par :
E R  x    P   P E R M .   P   P RM
20
1.15
n
où  P   xi  i est appelé le coefficient bêta du portefeuille.
i 1
Le risque de portefeuille est :
 P2  Var  R  x    Var  P  RM  P    x    Var  RM  P    x 
 n

 Var  RM  P   Var   x     P2Var  RM   Var   xi i 
 i 1

Donc
n
1.16
 P2   P2 M2   xi2 2i .
i 1
Supposons que x1  x2  .....  xn 
1
.
n
Alors :
 P2   P2 M2 
1 n 2
 
n 2 i 1 i
Posons M  max 2i , il en résulte que 0 
1 i  n
1.17
1
n2
n
2
 
i 1
i

nM M

.
n2
n
Donc lim n    P2    P2 M2 .
Comme dans le cas d’un seul titre, le risque de portefeuille peut être décomposé
en deux parties :
  P2 M2 : le risque systématique de portefeuille
n

2
i
2
 x 
i
: le risque non systématique qui peut être éliminé en diversifiant
i 1
le capital investi entre l’ensemble des actions.
Cette décomposition de risque est appelée l’effet de portefeuille ou l’effet de
construction de portefeuille sur le risque, qui se décompose en deux éléments :
 L’effet Markowitz (ou effet des corrélations négatives)
 L’effet de diversification (ou effet des non-corrélations).
21
Considérons un portefeuille contenant n titres à pondération égale :
xi 
1
n
pour tout
i  1,..., n .
Soit  ij la corrélation entre les rendements ri et rj des deux titres i et j.
Si  ij  0  i , j  1,..., n alors le risque de portefeuille sera :
Var R x  
n
2
i
x 
ii

i1
1
n2
n

1.18
2
i
i 1
Supposons que toutes les variances sont bornées, alors  i2  M pour tout
i  1,..., n . Il en résulte que Var  R  x   
M
. Donc limn  Var  R  x    0
n


Il s’agit de l’effet des non-corrélations.
Par contre si  ij  0  i , j  1,..., n
Var R x 
i  j 
alors le risque de portefeuille devient:
1 n 2 1 n n
  i  n2 
 ij
n2 i 1
i 1 j 1
1.19
i j
Pour n suffisamment grand, le risque de portefeuille devient
approximativement :
Var  R  x   
1 n n
 ij
n2 i 1 j 1
1.20
i j
n
Or  ij   i j  i , j  1,..., n
i  j ,
donc on aura
n
i1 j1
i j
Posons Covmoyenne 
n
i  1 j 1
i j
n n
1
nn  1
 ij . Il en résulte que
Covmoyenne  M 2 ,

n(n  1) i 1 j 1
n2
i j
Alors limn  Var  R  x     où   lim Covmoyenne .

n
  ij    i j  n 2 M 2 .

n 
Donc le risque de portefeuille se décompose en deux parties:
22
 Le risque diversifiable : la partie de risque qui est dû à l’effet de
diversification
et que l’on peut éliminer en
augmentant la taille de
portefeuille.
Le risque non-diversifiable (ou le risque de marché): la partie de risque

que l’on ne peut éliminer.
Remarque :
Il faut souligner que l’augmentation du nombre de titres au-delà d’un certain
seuil ne permet pas de réduire le risque. La figure suivante montre bien cette
situation:
Risque
Diversifiable

Non-diversifiable
n
Figure 1.2 : Risque et Diversification
2.3 Modèle d’équilibre des actifs financiers (MEDAF)
Suite à ses travaux concernant l’applicabilité de la matrice variancescovariances, Sharpe [Sha 71] a développé un nouveau modèle appelé le modèle
d’équilibre des actifs financiers (MEDAF) qui consiste à mesurer le degré de
sensibilité du rendement d’un actif par rapport à celui du marché.
Le modèle d’équilibre des actifs financiers se base sur plusieurs hypothèses :
 Le marché est supposé parfait :
 Pas de coût de transaction.
 Les dividendes et les gains de capitaux ne sont pas taxés
23
 Pas d’influence sur les prix par les acheteurs et les vendeurs qui
interviennent sur le marché.
 L’emprunt et le prêt des investisseurs se fait avec un taux pur sans
influence de son niveau et le taux d’emprunt est égal au taux de prêt.
 Tous les investisseurs font le choix de portefeuille selon le critère de
moyenne-variance.
 Tous les investisseurs ont la même période de l’investissement.
 Tous les investisseurs prennent leurs décisions en même temps.
 Tous les investisseurs détiennent leurs actifs pendant la même période.
 Tous les investisseurs ont la même vision vis à vis les anticipations des
performances futures des actifs.
Etant donné un portefeuille constitué de n actions de rendements r1 , r2 ,... et rn ;
et un actif sans risque de rendement r0 .
Le rendement espéré de ce portefeuille est donné par :
n
r   xi ri
i 1
où xi représente la proportion investie dans l’action Ai pour i  1,..., n .
La relation qui caractérise le modèle d’équilibre des actifs financiers MEDAF
est donnée par :

r i  r0   RM  r0

où :
 ri : le rendement espéré de l’action Ai
 R M : le rendement de portefeuille de marché
  M2 : le risque de portefeuille de marché
24
1.21
  
 iM
 M2
n
  iM   xi ij
i 1
3. Approche de Markowitz et Perold (1981)
Le modèle à indice simple de Sharp peut être généralisé à un modèle à plusieurs
indices qui offre à l’investisseur la possibilité d’investir sur un marché
international où figure plusieurs indices boursiers notamment le marché
européen , marché américain ou le marché asiatique.
Dans ce cadre, Markowitz et Perold [Mark 81] ont développé un modèle multiindiciels qui suppose qu’il y a une relation entre les titres sous la forme suivante :
Ri   i   i 1F1 ...  iK FK   i ,
i  1,..., n
1.22
où
 Fk représente le k ème facteur aléatoire;
 i et i sont des constants
  i est un bruit aléatoire de moyenne 0 et non corrélé avec Fk (pour tout
k  1,..., K )
 
Si  2i  E  2i

et  rs  cov Fr ,Fs
n
n

alors on obtient la relation suivante :
n
n
n
K
K
   ij xi xj   2i xi2      rs ir  js xi x j
i 1 j 1
i 1
i  1 j  1 r 1 s 1
Le programme d’optimisation est :
K K
 n

Min    i2 xi2    rs y r y s 
r 1 s 1

 i 1
25
1.23
Sous les contraintes :
n
 x E  r   
j
j
0
j 1
n

jk
x j  yk  0
k  1,..., K
j 1
n
x
j
1
j 1
xj  0
j =1,...,n
4. Approche de Lai (1991)
Afin d’améliorer la qualité d’optimisation, Lai [Lai 91] a proposé la programmation
multicritère pour l’optimisation de portefeuille en prenant en considération le
Skewness.
Selon Lai, étant donné un portefeuille x   x1 ,..., x n  où xi désigne la proportion
du capital C0 à investir par un investisseur dans les différents titres i i  1,..., n .
Le rendement et le rendement espéré de ce portefeuille sont donnés
respectivement par :
n
1.24
R  x    rj x j
j 1
et
n
n
j 1
j 1
R  x   E  R  x     E  rj  x j   rj x j
1.25
Les moments d’ordres deux et trois du portefeuille sont donnés respectivement
par :

V  R  x   E  R  x   r  x 
2

1.26
et

  R  x   E  R  x   r  x 
26
3

1.27
x / V  R x  1
Lai a proposé l’espace variance- unité
pour l’optimisation de
portefeuille. Selon cette hypothèse, l’algorithme d’optimisation multicritère à
résoudre s’écrit comme suit:

Max R  x  ,


Max   R  x  ,
Sous les contraintes suivantes :
V  R  x   1
n
x
1
j
j 1
xj  0
j = 1,..., n
Pour faire l’optimisation du portefeuille, Lai utilise les techniques de
programmation polynomiale afin de résoudre le
problème multicritère, et
propose l’algorithme suivant :

p
Min  d1  1   d 2 
p2

Sous les contraintes suivantes:
R  x   d1  R *
  x  d2   *
V  R  x   1
n
x
j
1
j 1
xj  0
j =1,...,n
d1 , d2  0
où:
 r * : est la valeur optimale de l’objective r  x  dans l’algorithme
uni-critère,
27
  * : est la valeur optimale de l’objective   R  x   dans l’algorithme
uni-critère,
 d1 : est la variable positive représente l’écart entre r  x  et r *
 d 2 : est la variable positive représente l’écart entre   R  x   et  *
 pi  i  1, 2  : paramètre subjectif positif qui mesure le degré de
préférence de l’investisseur entre les objectives.
5. Le Modèle Konno et Yamazaki (1991)
ont définit une fonction de risque K  x  appelé
Konno et Yamazaki [Kon 91]
écart moyen absolu du rendement du portefeuille par rapport à sa moyenne en
remplaçant la fonction quadratique de Markowitz par la fonction K afin de
rendre l’algorithme d’optimisation linéaire pour l’optimisation de portefeuille.
Ce modèle est exprimé comme suit:
 n
 n

K  x   E  R  x   R  x   =E   rj x j  E  rj x j  
 j 1
 
 j 1
1.28
Konno et Yamazaki ont illustré que sous l’hypothèse de la normalité des
rendements des actifs, la
mesure de risque K  x  est équivalent à celui de
Markowitz.
L’algorithme d’optimisation de portefeuille proposé par Konno & Yamazaki est
exprimé comme suit :

 n
 n
  
Min  K  x  =E   R j x j  E   R j x j   
 j 1
 j 1
  

Sous les contraintes suivantes :
28
1.29
n
 E r  x
j
j

j 1
n
x
j
1
j 1
x j  0,
j  1,..., n,
K  x  peut être estimé de la manière suivante:
1 T n
Kˆ  x  =
  r jt  rˆj x j
T-1 t 1 j 1
1.30
où :
rˆj 
1 T
 r jt
T t 1
j  1,..., n
Alors l’algorithme d’optimisation exprimé dans l’équation (1.29) devient :

1 T n
Min  Kˆ  x  =
   rjt  rˆj  x j
T - 1 t 1 j 1




Sous les contraintes suivantes :
n
 rˆ x
j
j

j 1
n
x
j
1
j 1
x j  0,
j  1,..., n.
Selon le théorème de Chvàtal [Chv 83] :
Min x
 Min y
Sous les contraintes suivantes :
yx

 y  x
Donc l’algorithme d’optimisation de Konno et Yamazaki est donné par :
29
1.31
 1 T

Min 
yt 

 T  1 t 1 
1.32
Sous les contraintes suivantes :
n


t = 1,..., T


t = 1,..., T
yt   rjt  rj x j  0
j 1
n
yt   rjt  rj x j  0
j 1
n
 r x
j
j

j 1
n
x
j
1
j 1
x j  0,
j  1,..., n
Remarque :
Il s’agit d’un algorithme d’optimisation linéaire ayant les caractéristiques
suivantes:
 nombre de variables: n+T,
 nombre de contraintes: 2T+2.
6. Le Modèle de Speranza (1993)
Speranza [Spe 93] a proposé une mesure de risque sous forme d’une combinaison
linéaire entre l’écart absolu en-dessous de la moyenne et l’écart absolu au-dessus
de la moyenne, et ce dans un but d’amélioration du modèle de Konno et Yamazaki.
Cette mesure de risque est définit comme suit :

  n
 n
n
 
n
 
S x  E  min 0,  Rj xj  E  Rj x j    E max 0, Rj x j  ERj x j  
 j 1

  j 1
 j 1
 
 j 1
 
30
1.32
où  et  sont les deux paramètres qui représentent les poids attribués à la
fonction de risque permettant de mesurer le degré d’aversion au risque de
l’investisseur.
Ce modèle peut prendre plusieurs formes selon les valeurs des paramètres  et
 .
Speranza a choisi   1 et   0 afin de rendre son modèle plus efficace, dans
ce cas la mesure de risque devient:

 n
 n
 
S  x   E   min  0,  R j x j  E   R j x j   
 j 1


 j 1
  

1.33
Alors l’algorithme d’optimisation est comme suit :
 n
 
1 T 
 min 0,  rjt  rj x j  

T - 1 t =1 
 j 1
 


Sous les contraintes suivantes :
n
 rj x j  
j 1
n
 xj  1
j 1
x j  0,
j  1,..., n,
Cet algorithme est équivalent à l’algorithme suivant :
 1 T 
Min 
 ut 
 T  1 t 1 
Sous les contraintes suivantes :
n


ut   rjt  rj x j  0
j1
n
 r x
j
j

j 1
31
t = 1,..., T
n
x
j
1
j 1
7. Modèle
x j  0,
j  1,..., n
ut  0,
t = 1,..., T
moyenne – semi-variances de Hamza & Janssen (1995)
Lorsqu’ il y a une asymétrie de l’information dans les données utilisées, les
mesures de risque précédent (variance, écart absolu) sont symétriques, elles ne
permettent pas de prendre en considération l’asymétrie de données.
Pour remédier à ce problème, Hamza et Janssen [Ham 95] ont proposé
une
mesure de risque définie par une combinaison convexe des deux semi-variances
de rendement de portefeuille par rapport à sa rentabilité espérée.
Ces deux semi-variances de rendement du portefeuille sont définies comme suit :
La première est celle qui mesure la variance en dessous de la moyenne:
 
E min 0, R  x   E  R  x  

2
1.34
La deuxième est celle qui mesure la variance au-dessus de la moyenne:
 
E max 0, R  x   E  R  x 

2
1.35
A partir de ces deux expressions, une nouvelle fonction est définie pour mesurer
le risque exprimé sous forme d’une combinaison convexe de ces deux semivariances comme suit:
 
N ,    E min 0, R  x   E  R  x  
où  et 

2
 
  E max 0, R  x   E  R  x  
2
 1.36
sont deux paramètres positifs indiquant le degré d’aversion au risque
de l’investisseur.
Alors l’algorithme d’optimisation est donné par :


Min Nˆ  ,    x 
32
1.37
Sous les contraintes suivantes :
n
 r x
j
j

j 1
n
x
1
j
j 1
xj  0
j = 1,... , n
où :
rj 
1
T
T
r
j  1,..., n
jt
t1
et
2
2
T   n

 n
 
1

N   ,   x 
  rjt  rj xj     rjt  rj xj  
T  1 t 1   j 1
 j1

 






1.38
Afin de simplifier cet algorithme d’optimisation, Hamza et Janssen ont proposé
une représentation plus simple en introduisant les variables auxiliaires
suivantes :
 n

u t   min 0,  r jt  rj x j 
 j 1



pour tout
t  1,..., T
et
 n

v t  max 0,  r jt  rj x j 
 j 1



pour tout t  1,..., T
L’algorithme d’optimisation précédent devient :
 1 T

Min 
 ut2   vt2 



 T  1 t 1
33
Sous les contraintes suivantes :
n
 rˆ x
j

j
j 1
n
x
1
j
j 1
n
r
 rˆj  x j  vt  ut
jt
t =1,...,T
j 1
ut vt  0
t  1,..., T
xj  0
j =1,...,n
ut  0, vt  0
t =1,...,T
8. Approche de Young (1998)
Young [You 98] a proposé un critère appelé « minimax » pour mesurer le risque
afin d’optimiser un portefeuille d’actions en se basant sur un ensemble de
données historiques de longueur T .
Dans ce cadre il a utilisé les notations suivantes:

r
jt


/ j  1,..., n; t  1,..., T : l’ensemble des rendements historiques.
rˆj 
1 T
 r jt : rendement espéré du titre j  1,..., n;
T t 1
n

x r
j jt
: rendement de portefeuille à l’instant t
j 1
n

 x rˆ
j j
: rendement espéré de portefeuille,
j 1

 : rendement minimum souhaité par l’investisseur.
En se basant sur le critère « minimax », l’algorithme optimisation de portefeuille
est donné par:
 n

max min  x j rjt 
 x j 1  j  n t  1,..,T  j  1

34
Sous les contraintes suivantes :
n
 x r

j j
j 1
n
x
j
1
j 1
x j  0 j  1,..., n..
Cet algorithme d’optimisation est équivalent au programme linéaire suivant:
max 
 ,x
Sous les contraintes suivantes:
n
x r
j jt
   0 t = 1,...,T
j 1
n
 x r
j j

j 1
n
x
j
1
j 1
x j  0 j  1,..., n..
Une expression équivalente à l’algorithme précédent, consiste à maximiser le
rendement espéré comme suit:
n
max
x
 x r
j j
j 1
Sous les contraintes suivantes :
n
x r
j jt
 z , t  1,..., T ,
j 1
n
x
j
 1,
j 1
x j  0 j = 1,..., n.
35
9. Approche basée sur la valeur à risque (2000)
Toutes les mesures précédentes
utilisées dans les différents modèles pour
optimiser un portefeuille d’actifs financiers ne permettent pas de calculer de
manière explicite la perte que pourrait subir un investisseur individuel ou une
institution financière (établissement de crédit, banque, compagnie de l’assurance
société cotée en bourse,…), d’où la naissance d’une nouvelle mesure de risque
appelée valeur à risque (Value at Risk) [Jor 00] permettant de calculer la perte
probable de manière explicite, rendue publique pour la première fois
par la
géante banque américaine J.P.Morgan en 1995 et publiée sous forme des travaux
académiques en début de l’année 2000.
Considérons un portefeuille  x1, x2 ,..., xn  où xi désigne la proportion du capital C0
investie dans un actif de valeur Vi i  i  1,..., n  .
Traditionnellement, cette approche consiste à minimiser le risque de ce
portefeuille donné par :
MinVaR 
Sous les contraintes :
n
x V
j
j
 V0
j 1
n
x
j
 C0
j 1
xj  0
j=1,..., n
où V0 est la valeur du portefeuille attendue par l’investisseur.
Les modèles d’optimisation classiques (vus précédemment) agissent soit sur le
rendement (en le maximisant pour un risque donné) ou sur le risque
36
(en le minimisant pour un rendement donné), afin de choisir un portefeuille
optimal d’actifs financiers, mais ils n’agissent pas sur les deux en même temps
d’une manière dynamique. En effet, cette démarche, d’ailleurs plus réaliste, n’est
que peu entamée dans la littérature.
En outre, tous ces modèles s’appliquent sur le portefeuille afin de déterminer, à
travers l’optimisation, les proportions du capital investies qui rendent optimal
l’investissement effectué (but recherché). Cependant, ils ne s’appliquent pas sur
une partie ou un ensemble d’actifs financiers de ce portefeuille pour atteindre le
même but. Démarche qui est
presque absente ou rarement entamée dans la
littérature, et que nous avons traitée dans ce travail. Et ce, en faisant extraire à
partir de ce
portefeuille, appelé portefeuille initial, un ensemble d’actifs
financiers, appelé sous portefeuille. Ces derniers sont pertinents, c'est-à-dire
donnent lieu à un rendement plus élevé et un risque plus bas par rapport à celui
du portefeuille initial, ce qui permet d’obtenir un sous portefeuille d'actifs
financiers optimal d'une taille réduite par rapport au portefeuille initial. Cette
démarche conduit à un surplus de gain financier en termes de coût et une
performance à la réduction de la charge de calcul.
Dans un autre cadre, les modèles construits pour minimiser la mesure de risque
semi-variance (MRSV), supposent que les paramètres de cette dernière sont
constants et agissent seulement sur les proportions.
Dans ce travail , nous avons considéré que les paramètres de risque mesuré par
la combinaison convexe des deux semi-variances, ainsi que les proportions du
portefeuille, sont variables et nous avons développé un algorithme dynamique
afin de déterminer simultanément et d’une façon dynamique les proportions et
les paramètres de risque (MRSV) conduisant au choix optimal du portefeuille.
Approche que nous avons développé dans ce travail en utilisant l’outil statistique
et les techniques de l’intelligence artificielle.
37
CHAPITRE 2 : ESTIMATION
DE LA
CVAR
DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS
INVESTIES DANS UN MARCHE LOG-NORMAL
I. Eléments de processus stochastiques appliqués à la finance
1. Les processus stochastiques
Un processus
stochastique [Ell 82]
est une suite de variables
aléatoires
indexées par le temps qui permet de modéliser l’évolution aléatoire d’une variable
au cours du temps.
Il existe deux classes de processus stochastiques : Les processus en temps
discret et les processus en temps continu.
Dans un processus en temps discret (continu), les variations de valeur de la
variable surviennent à des dates déterminées (à n’importe quel instant) et à une
date donnée, la loi de probabilité de cette variable est discrète (continue).
Celle-ci peut prendre des valeurs finies (dans un intervalle) qui font partie d’un
espace appelé espace d’états discret (continu).
Un processus est dit processus de Markov si la seule valeur présente d’une
variable est utile pour anticiper sa distribution future. En effet, les prédictions
sur la valeur future de ce processus ne dépendent pas des valeurs passées. La
valeur actuelle intègre toutes les informations contenues dans l’historique de
ces valeurs.
Soit z un processus de Markov tel que ces accroissements espérés sont nuls et
la variance de ces accroissements égale à 1 par une unité de temps (généralement
un an).
Ce processus est appelé processus de Winner standard ou mouvement brownien
standard.
38
Le processus z est un processus de Wiener,
s’il vérifie les deux propriétés
suivantes :
 La variation z durant un court intervalle de temps de longueur t
s'exprime comme suit :
z   t
où  est une variable aléatoire qui suit la loi normale N  0,1
 Les valeurs de z pour deux courts intervalles de longueur t sont
indépendantes.
2. Processus et lemme d'ltô
Soit z un processus de Winner standard [Lam 98], le processus de Wiener
général est une variable x définie en fonction de dz comme suit :
 2.1
dx  a.dt  bdz
.
où:
 a est une constante appelée drift de x .
 b est une constante tel que b  0 appelée écart-type de x .
Remarques:
1. Supposons que b.dz  0 alors dx  a.dt donc
équation par rapport au temps, on obtient :
dx
 a . En intégrant cette
dt

T
0
T
dx   adt  x0  aT
0
où T une période de temps et x0 est la valeur de x à la date zéro.
On dit que la valeur de x a augmenté de aT .
2. Le terme
b.dz est considéré comme l'ajout de bruit à la trajectoire
suivie par x .
39

3. La variation x  a.t  b. t suit une loi normale N at, b t

Le processus d’Itô [Bou 11] x est un processus de Winner général
paramètres
dont les
a et b sont en fonctions de x et t . Il s’écrit comme suit :
 2.2
dx  a  x, t  dt  b  x, t  dz
où :
 a est le drift de x
 b2 est la variance de x
Remarque:
Lorsque
le
temps
t
passe
à
t  t
la
valeur
x
passe
à
x  x
où
x  a  x, t  t  b  x, t   t , les paramètres a  x, t  et b  x, t  sont constantes
pendant l'intervalle de temps séparant t  t .
Soit x le processus d’Itô, une fonction f de x et t est exprimée sous la forme
suivante :
 f
f 1  2 f 2 
f
df   a  
b  dt  bdz
2
t 2 x
x
 x

 2.3
où :
 z est le même processus de Wiener que celui qui apparaît le processus x
 f est un processus d’Itô dont :
o le drift est égal :
f
f 1  2 f 2
a 
b
x
t 2 x 2
o La variance est égale :
2
 f  2
 x  b
 
40
3. Le modèle de Black & Scholes
Black et Scholes ont traité le problème de l’évolution des cours des actions et
l’évaluation et la couverture d’une option de type européen (call ou put) sur une
action ne distribuant pas de dividendes.
Pour décrire l’évolution des cours, Black & Scholes proposent un modèle à temps
continu avec un actif risqué et un actif sans risque.
Le cours d’un actif sans risque St0 est donné par l’équation suivante :
dVt0  rVt0 dt
où r désigne le taux d’intérêt.
Considérons une action A dont l'évolution du cours est modélisée par un
processus de Wiener général. L’espérance de rendement requis par les
investisseurs, qui est indépendante du prix de l'action, n’est pas prise en compte
par ce modèle. Ceci implique que le drift constant pour le cours de l'action ne
convient pas. Celui-ci doit être remplacé par un drift constant pour le processus
de rendement du cours.
Soit Vt la valeur de l'action à la date t dont le drift est supposé égal à  Vt où 
représente le taux de rendement espéré de l'action en question.
L’espérance de Vt pour un court intervalle de temps de longueur t est égale
Vt  t .
Supposons que la volatilité du cours de l'action est égale à zéro, alors ce modèle
s’exprime comme suit :
Vt  Vt t
Lorsque t  0 , il en résulte :
dVt
  dt
Vt
41
En intégrant cette équation entre t  0 et t  T , on obtient :
 2.4
VT  V0 e T
où V0 et VT sont respectivement les cours de l'action aux dates 0 et T .
Dans la réalité on ne peut pas imaginer une action dont les cours ont des
volatilités nulles. Cela amène à considérer que l'écart-type de la variation de
cours dans un intervalle de longueur t devrait être proportionnel au cours de
l'action d’où le résultat suivant :
dVt  Vt dt   Vt dz
ou encore
dVt
  dt   dz
Vt
 2.5
C’est le modèle de l’évolution des cours d’une action dont :
 est une constante qui désigne

le rendement espéré du cours de
l’action par unité de temps ;
  est une constante qui désigne la volatilité du cours de l’action
La version en temps discret du modèle de Wiener général
ou mouvement
brownien géométrique du cours d’action est donné par :
Vt
  t   t
Vt
ou encore
St  Vt t   Vt  t
42
 2.6
où:
 Le terme t représente le rendement espéré ;
 Le terme  t
représente la composante stochastique du dit
rendement ;
 Le terme  2 t représente la variance du rendement
Selon l’équation (2.6) , la variable
Vt
suit la loi normale N t , t .
Vt


Considérons le processus y  ln  x  où x est un processus d’Itô.
Comme
y 1
 ,
x x
y
2 y
1
 0 alors d’après l’équation (2.3) on obtient :
 2,
2
t
x
x

2 
df      dt   dz
2

 2.7
où  et  sont des constantes.
Donc le processus y est un processus de Winner général dont :
 Le drift est égale  
2
2
 La variance est égale  2


2 
La variation de ln  x entre t  0 et t  T suit une loi normale N   
T , T 
2 


Cela signifie que :
ln  xT   ln  x0 


2 
N   
 T, T 
2 


ou encore:
ln  xT 


2
N ln  x0     
2


43


 T , T 


 2.8
4. Le modèle de Merton
Merton [Mer 90] a développé un modèle d’équilibre des actifs financiers en
temps continu MEDAFTC pour décrire la relation des rendements instantanés
avec
les
covariances
instantanées
des
différents
titres.
Il
suppose
la log-normalité des distributions des prix futurs des titres.
Selon le modèle MEDAFTC, il existe un portefeuille de marché M , dont la valeur
Vm évolue suivant le mouvement Brownien géométrique:
dVm   mVm dt   mVm dzm
 2.9
où:
  m est le drift du portefeuille de marché.
  m est la volatilité du portefeuille de marché.
 z m est un processus brownien standard.
Les prix des
n actifs risqués évoluent selon les équations différentielles
stochastiques suivantes:
dVi  iVi dt   imVi dz m   iVi dz i
 2.10
où:
 i est le drift instantané de Vi
 i  1,..., n
 zi est le mouvement brownien standards mutuellement indépendants et
indépendants de z m ,  m
 i  1,..., n
  i est une constante positive
 i  1,..., n
Selon l’équation (2.9), chaque Vi  i  1,..., n  est décrit par un mouvement brownien
géométrique, où :
44
 la variance instantanée est égale à var Vi    im2   i2
 la volatilité du i ème titre est égale à  Vi   im2   i2 .
 la covariance de Vi et V j est égale à cov Si ,S j   im jm .
Le modèle MEDAFTC fournit la relation d’équilibre entre les rendements et les
covariances instantanées comme suit :
 i  r0 
 im m
  m  r0 
 2m
 i  1,..., n ;
 2.11
où
 r0 est le rendement de l’actif sans risque
  im m est la covariance entre Vi et Vm .
L’équation (2.9), l’équation (2.10) et l’équation (2.11) caractérisent le modèle de
marché en temps continu.
Dans la suite, nous supposons que Vm  T  et Vi T   i  1,..., n 
sont distribués
suivant une loi log-normale, et que les relations d’équilibre (2.11) sont vérifiées
pour tous les titres. On suppose aussi que la structure de portefeuille reste
constante durant  0,T  .
II. Estimation de la CVaR de portefeuille d’actions investi dans un
marché Log-Normal
Dans cette partie, nous développons une formule explicite pour calculer la valeur
conditionnelle à risque (CVaR) pour un portefeuille d'actifs financièrs investies
dans un marché log-normale, c’est à dire la distribution de rendements du
portefeuille suit la loi log-normale.
45
en exploitant dans ce cadre les résultats développés par El hachloufi, Guennoun
et Hamza [Elh 12] et Hamza et Janssen [Ham 08].
1. La Value at Risk (VaR) et la CVaR
La valeur à risque (VaR) a un intérêt considérable dans le domaine de la gestion
de risques dans les institutions bancaires. C’est une mesure du risque qui est
devenue populaire dans les banques en suivant les règles définies par le comité
Bale.
La valeur à risque VaR est une mesure de risque
proposée par la banque JP
Morgan en 1994.
Elle représente
portefeuille
la perte
maximale qui pourrait se présenter dans un
sur une période  0,t 
pour un niveau de probabilité
donné  .
Autrement dit :
P   V  t   VaR   1  
 2.12
où V  t   V  t   V  0  , avec :
 V  0 : valeur de portefeuille au début de la période.
 V  t  : valeur de portefeuille la fin de la période.
La Value at Risk dépend de trois paramètres :
 La distribution de la variation de la valeur de portefeuille
 La probabilité 1   pour lesquelles les pertes soient moins que la VaR
 L’horizon t pour la quelle la VaR est calculé .
Dans la littérature, il existe trois méthodes principales pour l’estimation de la
VaR, qui sont: La méthode de l’analyse historique, la méthode variancescovariances et la technique de simulation de Monté Carlo.
46
- La méthode variances-covariances
La méthode variances-covariances a été proposée par JP Morgan en 1994. Cette
méthode se base sur l’hypothèse de la normalité de la distribution de la valeur de
portefeuille.
Dans ce cas la variable aléatoire V  t   V  t   V  0  est distribuée suivant une loi


normale N E  V  t   ,   V  t  , alors la VaR au niveau de probabilité 1   
se calcule de la manière suivante:
P  V  VaR   1 
  V  E  V   VaR  E  V  
Il s’ensuit que P  
  1 
 




V


V







Il en résulte que
VaR  E  V 
 z
  V 
Donc
VaR  E  V   z  V 
 2.13
où z représente le quantile d’ordre  .
- La méthode historique
La méthode historique est une méthode très simple qui permet d’estimer la VaR
fondée sur la distribution empirique des données historiques de rendements.
La
méthode historique
ne pose aucune contrainte sur la distribution de
rendements, ainsi les cours passés doivent refléter les cours futurs de notre
portefeuille.
47
Pour estimer la VaR, tout d’abord on classe par ordre croissant toutes les
observations à considérés puis on identifie le centile qui, en fonction de seuil de
confiance choisi correspond à la VaR historique.
Par exemple, si on dispose d'un échantillon de 1000 observations historiques de
rendements et un niveau de confiance de 95% , la VaR est donnée par la valeur
du rendement qui correspond à la 50ème de données observée.
- La méthode de Monte Carlo
La méthode de simulation Monte Carlo [Elh 10]
consiste à
simuler plusieurs
trajectoires ou scénarios possibles d’un actif financier en choisissant le modèle
décrivant sont évolution d’une manière très fiable.
Elle suppose que ce modèle suit une loi paramétrique connue dont les paramètres
sont estimés en se basant sur les données historiques.
Le VaR obtenue pour un niveau de confiance donné est le quantile sélectionné
correspondant au scénario choisi.
La VaR représente plusieurs avantages tels que la facilité de comparaison et
d'interprétation. Cependant, des études comme celles de Szergõ [Sze 02] ont
montré que la VaR ne prend pas en compte le montant des pertes excédant la
VaR. Ainsi la VaR n'est pas sous-additive, cela veut dire qu’une diversification
n'implique pas un risque réduit.
Pour surmonter les limites de VaR, une nouvelle mesure de risque appelée la VaR
conditionnelle (VaR), définie comme la perte attendue dépassant la VaR peut
être adoptée. C’est la valeur moyenne des pertes qui excèdent la VaR.
La CVaR est exprimé comme suit :
1
CVaR  X  
1
VaR  X d
1   
48
 2.14
2. La VaR de portefeuille d’actions
On sait bien que dans le cas où la variable aléatoire V T   V T  V  0  est


distribuée suivant la loi normale N E  V  t   ,   V  t  , la VaR au niveau de
probabilité  est donnée par:
VaR  E  V  t      V  t 
 2.15
Ainsi, le calcul des deux paramètres de l’équation (2.15), c'est-à-dire E  V  et
V ar  V  nécessitent la connaissance des paramètres E  Vi  , V ar  Vi  et
cov  Vi , V j  pour toutes les actions Ai  i  1,..., n  ce qui donne lieu au calcul de
2n 
n n  1
paramètres au total.
2
Ceci constitue l’inconvénient de cette équation en terme de charge de calcul.
Pour remédier à ce problème, nous proposons d’employer le modèle de marché qui
est plus simple et plus utilisé .
Soient Vi  t  et V  t  respectivement
le cours de l’action i et la valeur du
portefeuille de n actions investies sur un marché déterminé à l’instant t .
Notons par xi lproportion investie dans l’action A i . Il s’ensuit que :
n
V  t    xiVi  t 
 2.16
i 1
La valeur de portefeuille à l’horizon T est donnée par :
n
n
V  T    xV
i i  T    xi 
Vi  0    Vi T  
i 1
i 1
Or le rendement Ri de l’action i  i  1,..., n  :
49
 2.17
Ri  T  
Vi  T   Vi  0 Vi T 

Vi  0 
Vi  0 
 2.18
Alors on obtient:
n
V  T    xi Vi  0   Ri T Vi  0 
i 1
Il en résulte que:
n
V  T  =  xiVi  0  1  Ri T  
 2.19
i=1
Sous l’hypothèse de validité du modèle de marché:
Ri T   r0   i  Rm T   r0 
 2.20
pour tout i  1,..., n ;
Il s’ensuit que :
E  V  T    V  0  r0    Rm  T   2r0  
 2.21
2


n V 0 x 
2
i   i
2 
V ar  V T    V  0     m    
  i 
i 1  V  0  


 2.22
et
2
où  est donné par :
n
n
 i xiVi  0

i 1
n
  x V 0
i i i

 x V 0
i 1
V 0
 2.23
i i
i 1
On sait que sous l’hypothèse de la normalité, la VaR au niveau de probabilité 
pour le portefeuille est donnée par :
VaR   E  V T       V T  
Il en résulte que :
50


VaR = V  0    r0    Rm  T   2 r0     

  m 
2
2
 Vi  0  xi  2 

  i 
i 1  V  0  

n
 2.24
Pour la modélisation de l’évolution des prix futurs des actions, nous utilisons
souvent la distribution log-normale.
Par l’utilisation du lemme d’Itô, la solution de l’équation (2.5) et celle de
l’équation (2.6) s’exprime comme suit :
 V T   
1 2
log  m
   m   m  T   m T Z m
2

 Vm  0   
 2.25
où Z m suit la loi normale réduite N  0,1 .
 V T   
1 2 1 2
log  i
   i   im   i  T   im T Z m   i T Z i
2
2 
 Vi  0   
 2.26
avec les Zi  i  1,..., n  sont des variables aléatoires suivent la loi normale centrée
réduite, mutuellement indépendantes et indépendantes de Z m .
Supposons que Vm  0  1 . Comme :
E Vm T   exp   mT 
 2.27
 VSm  T  
2 T
log 
   m   m T Z m
 E Vm T   
2


 2.28
 V T  
T


log  m
  N   2m ,  2mT 
 E Vm T   


2


 2.29
Alors on obtient :
Il s’ensuit que:
Donc pour tout quantile bilatéral   /2 de la loi normale réduite, on a :


P   2  Zm    2  1   .
51
Par conséquent :
T
T
T


P  2m   m T   2   2m   m T Zm   2m   m T   2   1   ,
2
2
2


ou encore


 V T  
T
2 T
P   m2   m T  2  log  m
   m   m T  2   1   ,
 E Vm T   
2
2




Il en résulte que:

 2T

 E Vm  T   exp  m 2   m T   2  



  1  .
P
 Vm  T  


 E V T  exp  2 T   T  
 m
m
 2 
  m  
2



Ce résultat
nous permet
 2.30
de construire un intervalle de confiance pour la
variable aléatoire Vm à l’horizon T à un niveau de probabilité 1   donné :
P Vm T  min  Vm  T   Vm T  max   1  
 2.31
où:

 2T

Vm T  max  E Vm T   exp  m 2   m T   2 




V T   E V  T   exp  2 T   T  
m
m
 2
 m

min
 m
2


Le rendement aléatoire de marché Rm T  est donné comme suit :
Rm T  
Vm T 
Vm  0 
Alors
Vm  0  1  Rm  T  
E Vm T  

Vm  0   Vm  T 
Vm  T 
T



exp   m2   m T Z m  .
E Vm  T  
E Vm T  
2


52
 E Vm T   
 2T

Il en résulte que Rm  T   
 exp   m   m T Z m   1
2


 Vm  0 
Donc
E Vm  T  
Vm  0 
Or
 V  0   Vm T  
 Vm T  
 E m
 =E 
  1  E Rm T    1
Vm  0 


 Vm  0  
Vt Vt t  Vt

 m t   m Z tm où Z tm
Vt
Vt

 2.32

N 0, t .
Pour  t , t  t   0, T  on a E  Rm T   mT . Alors on obtient:
T


Rm T     mT  1 exp   m2   m T Z m   1
2


Supposons que les relations d’équilibre de l’équation (2.7) sont vérifiées et
considérons le modèle de marché décrit par l’équation (1.2), alors on a :
n
V  T  =  xiVi  0  1   i   i  Rm T   r0T    i T   ,
i 1
Remplaçons Rm T  par sa formule, on obtient :
n




 2T

V T  = xV
  m T Zm  1 r0T   i T 
i i  0 1 i  i   mT 1 exp  m
2


i 1




n
xiVi  0 
Posons Y  
 i T    X i i T  ,
i 1 V  0 
i 1
n
où
Xi 
 2.33
xV
i i 0
,
V  0
En remplaçant i par   i   i  m T , alors on a :
 n


T
 


V  T    xiVi  0  1  i T  i mT   i  m  1 exp   2   T Z m   1  r0T    V  0 Y
2



 

 i 1
53
En utilisant les relations d’équilibres de modèle de Merton, il en résulte :
 n


 
 2T

V  T    xV
  m T Z m  1  r0T     V  0  Y
i i  0   1  r0T   i r0T   i    mT  1 exp   m
2



 

 i 1
n
Posons  
n
 i xiVi  0
i 1
n
  x V 0
i i i

 x V 0
i 1
V 0
Alors
i i
i 1


T
 


V T   V  0 1 r0T    mT  1 exp   m2   m T Z m   1 2r0T   Y 
2



 

 2.34
Supposons que le portefeuille soit suffisamment diversifié, tel que :
n
Y 
i 1
xV
i i 0
 i  0.
V 0
 2.35
Alors on obtient :


T



V T   V  0 1  r0T    mT  1 exp   m2   m T Zm  1  2r0T  
2





 2.36
Ces résultats peuvent être montrés comme suit :
Les variables aléatoires Yi 
xiVi  0 
i
V 0
sont indépendantes, avec E Yi   0
i  1,..., n . Selon le théorème de Alan [Alan.93] on a :


 E Y
i
i 1
2
  
i 1
xi2 Vi  0  
V  0 
2
2
 2i  

Alors
p .s
 Y  0 .
i
i1
Soit   2 le quantile bilatéral de la loi normale réduite, alors


P   2  Zm    2  1   .
Si   0 alors P V T min  V T   V T max   1   ,
54


T



Où V  T  min  V  0  1  r0T    mT  1 exp   m2   m T   2   1  2r0T  
2







T



et V  T  max  V  0  1  r0T    mT  1 exp   m2   m T   2   1  2r0T   .
2





Il en résulte que :
P V  0   V  T  max  V  0   V  T   V  0   V T  min   1   .
Donc la VaR pour le portefeuille à l’horizon T , au niveau de probabilité 1   est
donnée par VaR  V  0   V T min
ou encore


T



VaR  V  0  r0T    mT  1 exp   m2   m T   2   1  2r0T   .
2





 2.37
Si   0 alors VaR  V  0   V T max
Donc


T



VaR  V  0 r0T    mT  1 exp   m2   m T  2   1 2r0T  
2





 2.38
3. La CVaR de portefeuille d’actions
Selon
Elton et Gruber [Elt 74], Les études empiriques
sur les marchés
financiers de grande taille montrent que la distribution des rendements est
souvent log-normale.
Dans cette partie, nous développons des formules mathématiques
explicites
pour calculer la valeur conditionnelle à risque (VaR) pour les portefeuilles
d'actifs financiers
investis dans un marché, quand les distributions de
rendements de portefeuille sont log-normales en utilisant le modèle de marché
en temps continu développé par Merton.
55
Dans ce cadre on suppose que la structure du portefeuille reste constante sur
l'horizon d’un axe de temps considéré.
Dans le cas de distribution normale, on a :
CVaR  E  X  VaR  X  VaR   E  X X  VaR   VaR ,
1
Or E  X X  VaR  
1


VaR
1
xdFX  x  
1


VaR
xf X dx
où f X  x  
1
e
2
 x  m 
2
2 2
avec m et  sont respectivement la moyenne et la variance X .
Soit y 


VaR
xm
. Il vient :

1
xf X dx 
2
où
I1 

V a R  m

VaR  m

 y  m  e
 y2
2
dy 
1
2


VaR  m

ye
 y2
2
dy 
1
2

 VaR  m  
 I1  m  1   
,

2



1




ye
 y
2
2
dy .
Or:


z
ye
 y2
2

dy   e
 y2
2
z

(v  m )2
2 2
,
xf X dx 
1
 e
2
Il s’ensuite I 1  e
2
Z

 y2 
u
d    z 2 e du  e 2 ,
 2 
2
Alors
2


V a R
 V aR   m 
2
2

 V aR   m  
 m 1   






 V aR   m 
 V a R  m  
 
 m 1   

,







56

m VaR  m e

 y2
2
dy
2
où 
x 
  x
 x
1
e 2 ,
2

D’où le résultat suivant:
CVaR 
 VaR  m X 
 VaR  m X
1 
 X  
  mX  
1 
X
X





VaR  V  0     r   R T   2 r   
 m
 0

0 



où 


 x2
  x      x   1 e 2 .

2
  m 
2

   VaR

 2.39
2

 Vi  0  x i 
2 

  i 
V
0





n

i 1
Dans le cas de distribution log-normale, on a :
CVaR  E  X  VaR  X  VaR   E  X X  VaR   VaR ,
Or E  X X  VaR  
1
e
où f X  x  
x 2 
1
1
  Log  x   m 


VaR
xdFX  x  


VaR
xf X dx ,
2
2
2
1
1
 x  

,
avec m et  sont respectivement la moyenne et la variance X .
Log VaR   m
Soit
u
u2
2
 u m

.
Si VaR  0 alors


0
xfX dx 
1

2

1
Donc

e
0

1
C V a R 
e2
1
2

m
e
du 
 V a R
Si VaR  0 alors
57
1
2
e
1

2
2
m


0
e

u2
2
1
du  e 2

2
m
,


u
1
xf X dx 
 2


u
e

y2
2
e
 ym
dy  e
1 2
 m
2
1
2


u
e

y2
2
dy  e
1 2
 m
2
1    u  
,
Donc
1

1
C V aR 
e2
1 
2
m
1    u    Va R
 2.40
Par conséquent :
1
CVaR 
1 2
e
1 
2


  x   V  0  r0    Rm T   2r0    


m
2

Vi  0 xi  2 



V  0    i 
i 1 

n
 m 2  
 2.41
1    u   , si VaR  >0
où   x   
1, si non
4. Estimation de la CVaR de portefeuille d’actions investies dans un marché
log-normal
Dans cette partie, une estimation par un intervalle de confiance de la CVaR est
calculée pour une distribution log-normale des rendements.
2
 
En effet, Selon l’inégalité de Tchebychev,  >0 on a P  Y      Y  .
 
0  0,1 ,  
Y
tel que: P  Y      0 ,
0

 Y2 
Il en résulte que 1  P  Y 
  0 ,



0


 2
 Y2 
ou encore P   Y  Y 
  1  0 .




0
0


Si   0 alors
58



T



V  0   V  T  min  V  0   r0T    mT  1 exp  m2   m T   2   1  2r0T   Y  .
2






Il en résulte que


 2.42
P VaR  , 0  VaR  VaR  , 0  1   0
 1 122 m

1 122 m
1 122 m

P
e
1u  VaR ,0 
e
1u  VaR 
e
1 u VaR,0  1 0



1
1
1



P CVaR  , 0  CVaR  CVaR , 0  1  0
où CVaR  , 0 

 ,0
CVaR
 2.43
1 12 2  m
e
1   u   VaR  , 0
1

1 12 2 m

 Y2 
 2T


e
1 u  V  0 r0T    mT 1 exp m 2 m T 2  1 2r0T    
1 




0 


CVaR  , 0 
CVaR, p0 
1 12 2  m
e
1   u    VaR  , 0

1

1 122 m

 Y2 
 2T

e
1

u

V
0

rT



T

1
exp




T


1

2
rT

     0  m   m 2 m  2 0    
1





0 

Si   0 alors



T



V  0   V  T  max  V  0   r0T     mT  1 exp  m2   m T   2   1  2r0T   Y  .
2






Il en résulte que :


P VaR  , 0  VaR  VaR  , 0  1   0
 2.44
 1 12  2  m

1 12  2  m
1 12  2  m

P
e
 VaR  , 0 
e
 VaR 
e
 VaR   , 0   1   0
1
1
1



P CVaR, 0  CVaR  CVaR, 0  1  0
où
CVaR  , 0 
1 12 2  m
e
 VaR  , 0
1
59
 2.45
CVaR ,0 

 , p0
CVaR

1 12 2 m

T

2 


e
 V  0  r0T    mT  1 exp  m2   m T   2  1  2r0T   Y 
1 
2
0 






1 12 2 m

  Y2 
 2T


e
 V  0  r0T    mT 1 exp  m   m T  2   1 2r0T  

1
2
0 





.
Supposons que les erreurs i  i  1,..., n  suivent les lois symétriques unimodales
continues alors Y est distribué suivant une loi unimodale continue.
Soit u est la mesure d’asymétrie de Pearson donnée par u 
E Y   


Y
Y
où le coefficient  représente le mode de la distribution de Y .
Comme E  i   0 pour tout i  1,..., n alors E  Y   0 . La valeur correspondante au
maximum de la fonction de densité de Y est donnée par u  

Y
Selon l’inégalité probabiliste de Gauss, on a  >0 : P  Y    
4 1  u 2 


9  u 


2
4 1  u 2 
 2 1  u2

On a 0  0,1 ,  





u

 tel que : P  Y      0
Y
2
0
 0

3


9 
u
 Y



Donc 0  0,1  VaR, 0 , VaR,0 tel que :


P VaR , 0  VaR  VaR , 0  1   0
 2.46
Si   0 alors
 1 122 m

1 122 m
1 122 m

P
e
1u  VaR ,0 
e
1 u VaR 
e
1 u VaR,0  1 0



1
1
1



P CVaR, 0  CVaR  CVaR, 0  1  0
60
 2.47
où
CVaR, 0 

 2 1  u2

1 12 2 m

T



e
1   u    V  0 r0T    mT 1 exp  m2   m T 2  1  2r0T    Y 
 u 

1
2





 3 0

CVaR,0 

 2 1 u2

1 12 2 m


 2T

e
1  u  V  0 rT



T

1
exp




T


1

2
rT



u





 m
0
m
 2
0 
Y
 m
1
2





 3 0
 
Si   0 alors
 1 122 m

1 12 2 m
1 12 2 m
P
e
VaR ,0 
e
VaR 
e
VaR ,0  1 0
1
1
1



P CVaR  ,0  CVaR  CVaR  , 0  1  0
 2.48
où :
CVaR, 0 

 2 1 u2

1 12 2  m

T



e
V  0  r0T    mT  1 exp   m2   m T  2  1  2r0T    Y 
 u 
1
2





 3 0
 
CVaR,  0 
1 2

2 1  u2

 m
1

T



e2
   r0T     m T  1 exp   m2   m T   2   1  2 r0T    Y 
 u 
1 
2
0





 3
 
61
CHAPITRE 3 : OPTIMISATION
DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS A L’AIDE
DES ALGORITHMES GENETIQUES
I. Les algorithmes génétiques (AG)
Les algorithmes génétiques [Gol 89] sont
des méthodes d'optimisation
développées par John Holland en s'inspirant de l'évolution génétique des espèces
biologiques.
Ils manipulent une population de taille constante. Cette population est formée de
points candidats appelés chromosomes. Chaque chromosome est constitué d'un
ensemble d'éléments appelés gènes. Ce chromosome représente le codage d'une
solution potentielle au problème à résoudre.
Les algorithmes génétiques sont des algorithmes itératifs de recherche
d'optimum. A chaque itération, appelée génération, est créée une nouvelle
population avec le même nombre de chromosomes. Cette génération consiste en
des chromosomes mieux "adaptés" à leur environnement tel qu'il est représenté
par la fonction sélective. Au fur et à mesure des générations, les chromosomes
vont tendre vers l'optimum de la fonction sélective.
L'algorithme commence par la génération d'une population d'individus de façon
aléatoire. Pour passer d'une génération k à la génération k+1, trois opérations
appelées opérations génétiques sont répétées pour tous les éléments de la
population k. Ces opérations sont : la sélection, le croisement et la mutation.
La sélection des meilleurs chromosomes est la première opération dans un
algorithme génétique. Au cours de cette opération l'algorithme sélectionne les
éléments pertinents qui optimisent mieux la fonction objective.
62
Pour le croisement, il permet de générer deux chromosomes nouveaux "enfants"
à partir de deux chromosomes sélectionnés "parents".
Enfin, concernant la mutation, elle réalise l'inversion d'un ou plusieurs gènes d'un
chromosome [Can 00].
La figure 1 illustre les différentes opérations qui interviennent dans un
algorithme génétique de base [Ren 95].
Codage de données et génération de la population initiale
Evaluation des individus
Calcul de la fonction sélective
Répéter
Sélection
Croisement
Mutation
Calcul de la fonction sélective
Jusqu'à satisfaction du critère d'arrêt
Figure 3.1 : Algorithme génétique de base
1. Codage de données et génération de la population initiale
Le codage des données [Gol 85] est une opération qui consiste à associer à
chaque individu de l'espace de points une structure de données sous forme des
chaînes de bits contenant toutes les informations nécessaires pour la description
de ce point. Les codages réels sont désormais largement utilisés, notamment
dans l’optimisation de problèmes à variables réelles.
Le mécanisme de génération de la population initiale permet la production d'une
population d'individus non homogène qui servira de base pour les générations
prochaines.
63
2. Evaluation des individus
Au
niveau de cette étape on s’intéresse à calculer la force de chaque
chromosome ce qui permet de retenir les individus les plus forts lors de la
sélection.
Soit C  x  la valeur du critère à optimiser pour l’individu x . La
fonction force F  x  de l’individu x proposée par Goldberg [Goldberg,89] donnée
par:
C max  C  x  , C  x   0
F  x  
 0, C  x   0
3.1
où C max est un coefficient qui désigne la plus grande valeur observée de C  x  .
3. Principes de sélection
L’objectif de la sélection [Dav 91] est d’identifier les meilleurs individus d’une
population et d’´éliminer les mauvais. Dans la littérature il existe un nombre
important de méthodes de sélection plus ou moins adaptées aux problèmes
qu’elles traitent, dont la
plus populaire et adaptée à notre problème est la
méthode de sélection par la roulette.
Cette méthode consiste à affecter à chaque individu xi une force relative
appelée probabilité d’apparition donnée par :
p  xi  
F  xi 
n
 3.2
 F x 
k
k 1
où n est le nombre d’individu dans la population.
La sélection d’un individu se déroule comme suit :
i
Soient qi   p  X k  et r respectivement la probabilité d’apparition cumulée
k 1
d’un individu xi et le nombre aléatoire compris entre 0 et 1.
64
L’individu retenu est x1 si q1  r et xi si qi 1  r  qi . Ce processus est répété n
fois.
4. Opérateur de Croisement
Le croisement [Can 00] est une opération qui permet d’enrichir la diversité de la
population en manipulant la structure des chromosomes.
Généralement, les croisements sont effectués entre deux chromosomes
(parents) pour générer deux autres chromosomes (enfants).
Le croisement est effectué en tirant aléatoirement une position appelée site de
croisement dans chacun des parents, puis on échange les deux sous-chaînes
terminales de chacun des deux chromosomes, ce qui donne lieu à deux enfants.
Ce type de croisement est appelé le croisement à un-point.
Ce principe peut être étendu au croisement
k-points,
où
k représente le
nombre de sites de croisement en générant k+1 sous chromosomes qui sont
recombinés pour créer deux chromosomes fils. La figure suivante montre bien
cette situation.
Site de Croisement
Parents
Enfants
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
Figure 3.2 : opération de croisement
5. Opérateur de mutation
L’ opérateur de mutation [Lut 99] est un opérateur qui permet à un algorithme
génétique
d'atteindre tous les points de l'espace d'état d’une manière
65
susceptible, sans les parcourir tous dans le processus de résolution, ce qui
permet la convergence des algorithmes génétiques vers l'optimum global.
Cette opération consiste à remplacer aléatoirement un gène dans le chromosome
par une valeur aléatoire. Celle-ci peut être choisie dans le voisinage de la valeur
initiale. Elle est utilisée généralement pour les problèmes discrets.
La figure ci-dessous illustre bien ce mécanisme.
Gène à muter
Chromosome initial
1
0
0
0
1
1
1
1
Chromosome mutant
1
1
0
0
0
1
1
1
Figure 3.3: opération de croisement
Pour l’arrêt de cet algorithme, un critère d’arrêt peut définit arbitrairement
comme le nombre maximum d’itérations, la détection d’un optimum ou le nombre
de générations.
II. Optimisation de portefeuille d’actions investies dans un marché
Log-Normal en utilisant la CVaR et les algorithmes génétiques
Dans
cette partie, nous proposons une approche pour l’optimisation de
portefeuille d’actions investies dans un marché Log-Normal.
Cette approche consiste à minimiser le risque de ce portefeuille en utilisant la
CVaR précédemment calculé dans le chapitre précédent.
66
1. Algorithme d’optimisation
La procédure d’optimisation consiste à minimiser la CVaR sous un certain nombre
de contraintes en utilisant les algorithmes génétiques.


1 2
1 2 m


Min CVaR 
e
  x   V  0     r0    Rm T   2r0    
1 




  m 
2
2

 Vi 0  xi 
2 


  
V  0    i 
i 1 

n

Sous les contraintes:
 n
 xi  V0
 i 1
 xi  0, i  1,..., n
R  R
0

n

xiVi  0 
i  0
Y  
i 1 V  0 

2. Procédure d’optimisation
La population considérée ici est l’ensemble de chromosomes qui sont composés de
gènes représentant les proportions xi  i  1,..., N  de la richesse investies dans
les actions.
L'opération
suivante est l'évaluation des chromosomes générés dans l’étape
précédente par une fonction d'évaluation (fonction objective).
La fonction objective utilisée dans ce travail est :
f  x   CVaR  x 
 3.3
Après l'opération de l'évaluation, les meilleurs chromosomes sont sélectionnés en
utilisant la sélection de la roulette qui est associée à chaque chromosome une
probabilité de sélection Pi , où :
67


fi 
1 
Pi 
1
N  1 
f i 

 iPop 
 3.4
Chaque chromosome est reproduit avec une probabilité. Certains chromosomes
seront "plus" reproduits et d’autres «mauvais» qui vont être éliminés.
Ensuite, une opération de croisement est effectuée entre deux chromosomes
(parents) pour
générer deux
autres chromosomes (enfants) en
tirant
aléatoirement une position appelée site de croisement dans chacun des parents,
puis on échange les deux sous-chaînes terminales de chacun des deux
chromosomes.
En effet, l'enfant 1 se compose d'une partie du premier parent et de la seconde
partie de l'autre parent et l'enfant 2, est composé de la seconde partie du
premier parent et la première partie de l'autre parent.
Enfin, l’opération de mutation est appliquée afin d'atteindre toutes les parties
de l'espace d’état de solution. Il s'agit généralement d'établir un gène au hasard
dans le chromosome et le remplacer par une valeur aléatoire.
Si le résultat est favorable alors le chromosome optimal est obtenu. Sinon,
l'évaluation et la reproduction de ces étapes sont répétées jusqu'à un certain
nombre de générations ou jusqu'à la satisfaction d’un critère de convergence.
Les résultats obtenus, c'est-à-dire les proportions xi  i  1,..., N  de la richesse
investie
dans les actions constituent la solution optimale recherchée qui
minimise le risque CVaR de ce portefeuille.
68
III. Optimisation de portefeuille d’actions à l’aide des algorithmes génétiques et
la valeur à risque (VaR)
Dans cette partie, un algorithme dynamique appelé MinVaRMaxVaL [Elh112] est
proposé pour la sélection de portefeuille d’actions afin d’optimiser ce dernier
en utilisant les algorithmes génétiques et la valeur à risque (VaR).
L’objectif de cet algorithme est de minimiser le risque et de maximiser la
valeur de portefeuille en même temps à travers deux étapes.
La première étape consiste à minimiser le risque mesuré par la valeur à risque
(VaR) pour une valeur de portefeuille donnée. Alors que la deuxième étape, vise
une maximisation de la valeur de portefeuille, et ce de façon dynamique. Ainsi,
on obtient une valeur du portefeuille supérieure à celle fixée au niveau de la
première étape. La figure ci-dessous montre bien cette situation.
69
1. Algorithme d’optimisation MinVaRMaxVaL
Données Initiales : VaR0 et VaL0
M in V a R

S.C :
 n i  0, i  1, ..., k
 k
  n i  V0
 i 1

VaR  V aR 0
k

VaL0   n i  E   V i 

i 1
Non
Si VaR1  VaR0 
et
VaL0  VaL1 
Oui
VaL1 et
VaR1
 n

Max ni  E  Vi  
 i1

S.C :
ni  0, i  1,..., k
 k
 ni  V0
 i 1

VaR  VaR1
k

VaL1   ni  E   Vi 

i 1
Non
Si VaR2  VaR1 
et
VaL1  VaL2 
Oui
VaL2 et VaR2
Figure 3.4 :Algorithme MinVaRMaxVaL
70
est la valeur minimale du portefeuille attendue par l’investisseur,
VaL0   V0
  0,1 et V0 est le capital initial. VaR0 est le montant de la perte maximale
fixée à l'avance.
Les résultats obtenus, c'est-à-dire les nombres xi  i  1,..., N  de la richesse
investis
dans les actions constituent la solution optimale recherchée de ce
portefeuille.
2. Procédure d’optimisation
La procédure d’optimisation est la même que la procédure précedente, avec les
fonctions d'évaluation (fonction objective) suivantes :
 Dans le cas de la minimisation, nous utilisons : f  x   VaR ( x)
 Dans le cas de la maximisation, nous utilisons : g  V  x 
Aussi, les probabilités de sélection Pi , associées à chaque chromosome sont :


fi 
1 
 Pi 
1
pour le problème de minimisation ;
n  1 
f i 

 iPop 
 Pi 
gi
g
pour le problème de maximisation
j
jPop
3. Application numérique
Considérons un portefeuille constitué de 48 actions de la Bourse de Casablanca
prises mensuelles du 01/01/2008 au 01/01/2010. La distribution de valeurs ou
rendement de ces données est normal.
L’application de l’algorithme MinVaRMaxVaL sur ce portefeuille donne lieu aux
résultats illustrés sur les figures suivantes.
71
Selon la figures 3.5, on remarque que les valeurs de portefeuille obtenues par
notre algorithme sont supérieures
à celles obtenues par les algorithmes
génétiques.
En outre, d’après la figures 3.6, les VaR de portefeuille obtenues par notre
algorithme sont inférieures à celles obtenues par les algorithmes génétiques.
Ces résultats de simulation sont performants et montrent la validité de notre
approche proposée.
Figure 3.5 : Représentation graphique de la valeur du portefeuille en utilisant
l’algorithme MinVaRMaxVaL et les algorithmes génétiques.
Figure 3.6 : Représentation graphique de la VaR du portefeuille en utilisant
l’algorithme MinVaRMaxVaL et les algorithmes génétiques.
72
IV. Optimisation de portefeuille d’actions en utilisant la classification
et les algorithmes génétiques
1. Algorithmes d’optimisation
Cette approche [Elh212] est basée sur la classification et les algorithmes
génétiques pour obtenir un portefeuille d'actions optimal d'une taille réduite par
rapport au portefeuille initial, ce qui conduit à un surplus de gain financier en
terme de coût et de la réduction des impôts ; et une performance à la réduction
des charges de calcul.
Elle se déroule en deux étapes: La première étape consiste à classer les actions
de ce portefeuille dans des classes, appelées sous portefeuilles, ayant les
rendements espérés les plus proches entre eux ainsi que les Value at Risk (VaR)
en utilisant l’algorithme de classification K-Means, puis on applique un algorithme
d’optimisation appelé
MinVaRMaxVaL sur le portefeuille
obtenu par cet
algorithme de classification qui a le rendement espéré le plus élevé et la VaR
moyenne la plus petite.
L'algorithme MinVaRMaxVaL proposé pour la sélection optimale des actions de
portefeuille est basé sur les algorithmes génétiques et la (VaR).
Cet algorithme se déroule d’une manière dynamique en minimisant les risques
mesurés par la VaR et maximisant les valeurs de portefeuille au même temps à
travers deux étapes.
La première étape minimise la VaR pour une valeur donnée du portefeuille. Alors
que la deuxième étape, consiste à maximiser la valeur du portefeuille dont le
résultat obtenu est supérieur à la valeur du portefeuille fixée à la première
étape et le risque résultant de la seconde étape soit inférieur à celui obtenu à
la première étape.
73
Les proportions des actions obtenues sont celles des actions de portefeuille
optimal.
2. Procédure d’optimisation
Soient xi ( i  1,..., n) les proportions d’un capital C0 à investir dans les actions
caractérisées par les rendements espérés ri et les VaRi , rangées dans une
matrice suivante :
MaT   r1 , VaR1  ,...,  rn , VaRn  
(3.5)
La procédure d’optimisation consiste dans un premier temps à faire une
classification des éléments de cette matrice en utilisant l’algorithme K-Means.
Cet algorithme permet d’optimiser le critère de l’erreur quadratique d’une
manière itérative. Il se déroule comme suit :
a. Initialisation : Choix de centre initiaux m j (1) arbitraire du vecteur MaT .
b. Affectation : à l’itération i , l’élément x est affecté à la classe w j , si :
x  m j (i )  min lc1 x  ml (i )
(5.6)
Tous les échantillons sont classés selon cette règle (du centre le plus proche).
c. Mise à jour des centres :
- Calcul des nouveaux centres m j (i  1) pour minimiser l’erreur quadratique :
Jj 

x  m j (i  1)
2
(5.7)
xwj
- En annulant de la dérivée de cette expression par rapport à m j , on
obtient :
74
J j
mj
 2  ( x  m j )  0
(5.8)
xwj
d’où la valeur optimale de m j pour l’itération (i  1) :
m j (i  1) 
1
nj
x
(5.9)
xw j
d. Test de convergence : Si j , m j (i  1)  m j (i ) , l’algorithme s’arrête.
Si non il fait le retour à l’étape 2.
Le processus est ainsi réitéré jusqu’à atteindre un état de stabilité où aucune
amélioration n’est possible.
Deuxièmement, nous retenons la classe appelée sous portefeuille des actions
qui a le rendement espéré le plus grand et la VaR moyenne la plus petite.
Enfin, nous appliquons l’algorithme d’optimisation MinVaRMaxVaL précédemment
traité dans ce chapitre sur ce sous portefeuille.
Les proportions des actions du sous portefeuille retenu constituent le
portefeuille optimal recherché.
3. Application numérique
Soit un portefeuille composé de 48 actions de la Bourse de Casablanca prises
mensuelles du 30/06/2007 au 01/01/2010.
La distribution
de valeurs ou rendement de ces données est normale.
Après le calcul de la matrice des rendements espérés et les VaR des actions de
la matrice MaT nous procédons à la classification de ces éléments afin d’extraire
les classes homogènes (classes contenant les actions dont les rendements
espérés et les VaR sont très proches entre eux) comme indiqué par
75
la figure
3.7, enfin nous retenons la classe qui a le rendement espéré le plus grand et la
VaR moyenne la plus petite et en y applique l’ algorithme MinVaRMaxVaL.
En outre, selon la figure 3.8, les valeurs de la VaR obtenues par l’application de
l’algorithme MinVaRMaxVaL du sous portefeuille sont inférieures à celles du
portefeuille initial.
Ainsi d’après la figure 3.9, les valeurs de portefeuille sont supérieures à celles
du sous portefeuille. Ces comparaisons sont favorables à notre approche et
montre la performance de celle-ci.
Figure 3.7 : Classes retenues par la méthode
de classification
Figure 3.8: Représentation graphique de la VaR de portefeuille initial
(IP) et sous portefeuille (SP) pour un nombre d’actions.
76
Figure 3.9: Représentation graphique de la VaL de portefeuille initial
(IP) et sous portefeuille (SP) pour un nombre d’actions.
77
CHAPITRE 4 : OPTIMISATION
DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS A L’AIDE
DES ALGORITHMES GENETIQUES ET LES RESEAUX DE
NEURONES
I. Les réseaux de neurones
Les réseaux de neurones [Gac 97], inspirés de la structure et du comportement
des neurones biologiques, sont des modèles mathématiques et des outils
robustes utilisés dans la classification, la prévision et la reconnaissance de
formes.
Un neurone est un processus qui possède plusieurs entrées, dont à chacune
desquelles est affecté un poids qui représente la force de la connexion à ce
neurone. Ce neurone donne lieu à une sortie qui est transmise aux neurones
suivants. Le neurone se compose de deux parties :
 Une fonction d'entrée qui permet de calculer le potentiel du neurone
en multipliant chaque entrée par un poids, puis une sommation des
entrées pondérées est effectuée.
 Une fonction d’activation sert à génèrer la sortie du neurone en
utilisant le potentiel du neurone précédemment calculé.
Le fonctionnement de ce neurone est présenté sur la figure suivante :
x1
w1
x2
.
.
w2
Fonction
d’entrée
Fonction de
transfert
.
xn
wn
Figure 4.1 : Structure de neurone
78
y
Le potentiel p d’un neurone est donné par :
n
p  c0

 4.1
w x
i
i
i 1
où les wi sont les coefficients de pondérations et c0 est le bais qui peut être
envisagé comme le coefficient de pondération.
La valeur de la sortie du neurone est exprimée comme suit :

y  f  p   f  c0

avec
n


 4.2
 w x 
i
i
i 1
f est la fonction d’activation. Celle-ci peut prendre plusieurs formes par
exemple une fonction à seuil, une fonction linéaire ou non linéaire.
En général, un réseau de neurones est généralement formé d’une couche d’entrée
représentant les neurones d'entrées (variables d'input), d'une ou de plusieurs
couches cachées contenant plusieurs neurones ayant des connexions entrantes
qui proviennent des neurones de la couche d’entrée et d’une couche de sortie
représentant le vecteur de sorties (variables d'outputs) qui
permettent de
transférer les informations en dehors du réseau.

X
Y
RN
Vecteur d’entré
Vecteur de sortie
Figure 4.2: Boite Noire de Réseaux de Neurones Artificiels
1. Le réseau de neurones multicouche
Le réseau de neurones multicouche est un réseau
dont les neurones sont
organisés en couches, les neurones d’une même couche n’étant pas connectés
entre eux. Il comporte une couche d’entrée composée des neurones d’entrées,
79
une ou plusieurs couches cachées composée d’un ensemble de neurones
permettant de transférer les données d’entrée vers la couche de sortie.
Celle-ci représentant les résultats calculés par le réseau.
La figure suivante présente le fonctionnement de ce réseau.
x1
x2
Sortie
xn
Entrées
Couche
Couche
d’entrée
Couche de
d’entrée
sortie ’entrée
Figure 4.3 : Structure de réseaux multicouche
2. Apprentissage des réseaux de neurones
L’apprentissage des réseaux de neurones [Her 94] est une procédure adaptative
qui permet d’ajuster les connexions des neurones à une source d’information.
Afin d’obtenir le comportement désiré par le réseau de neurones, on utilise
l’apprentissage qui permet de modifier le poids de chaque connexion. Ce qui
conduit à modifier le comportement de ce réseau en utilisant des règles
d’apprentissage. Celles-ci peuvent être regroupées en trois catégories :
l’apprentissage
supervisé,
l’apprentissage non supervisé
et l’apprentissage
renforcé.
L’apprentissage supervisé est une procédure qui permet au réseau de neurones à
tendre vers un objectif final. La réalisation de ce but se fait à l’aide d’une base
de données contenant plusieurs données entrées-sorties (les entrées du réseau
et les sorties désirées ou encore les solutions souhaitées pour l’ensemble des
sorties du réseau).
80
Concernant l’apprentissage non supervisé, il est utilisé pour ajuster les poids en
employant
un
d’apprentissage
seul
ensemble
des
données
d’apprentissage.
Ce
type
est très avantageux car il est caractérisé par une grande
capacité d’adaptation.
L’apprentissage renforcé
est une technique équivalente à l’apprentissage
supervisé à la seule différence qu’au lieu de fournir des résultats désirés au
réseau, on lui donne plutôt un grade (ou score) qui est une mesure du degré de
performance du réseau après quelques itérations.
3. L’apprentissage et l’algorithme de rétropropagation
L’algorithme d’apprentissage est une méthode mathématique qui
agit sur les
poids de connexions pour faire converger le réseau de neurones vers une solution
qui permettra à ce réseau d’obtenir le résultat désiré.
Ainsi elle permet d’identifier des paramètres conduisant à optimiser les valeurs
des poids du réseau.
Dans la pratique, il existe plusieurs algorithmes qui peuvent être mis en œuvre
pour réaliser cet apprentissage, parmi lesquels, on cite l’algorithme de
rétropropagation qui est bien adapté au problème que nous allons résoudre.
L’algorithme
de
rétropropagation
[Her
94]
ou
de
propagation
arrière
(Backpropagation en anglais) est un algorithme d’apprentissage supervisé le plus
utilisé.
Elle permet de calculer le gradient de l'erreur pour chaque neurone du réseau,
de la dernière couche vers la première.
Le principe de l’algorithme de la rétropropagation peut être tracé en trois
étapes primordiales:
81
 Orientation de l’information à travers le réseau;
 Rétropropagation des sensibilités ;
 Calcul du gradient
et ajustement des paramètres par la règle du
gradient en approximant une fonction y  f  x  où x et y sont des
vecteurs.
Le calcul du gradient et l’ajustement suit la procédure suivante:
1. Le vecteur d'entrée x est présenté à la couche d'entrée dont chaque
valeur de x est assigné à un neurone. Ces entrées sont alors propagées
par le réseau jusqu'à ce qu'elles atteignent la couche de sortie.
2. Pour chaque neurone, une activation ai est calculée selon la formule :


ai  F   w ji xi 
 j

 4.3
où :
 xi est la sortie du neurone j de la couche précédente,
 w ji est le poids de la connexion du neurone j vers le neurone i ,
 F est la fonction d'activation du neurone i .
3. Le vecteur de sortie produit par le réseau est comparé à celui de sortie
attendu.
4. Une erreur Err est calculée de la manière suivante :
Err    xi  yi 
2
 4.4
i
5. Si la valeur de l'erreur n'est pas proche de zéro, les poids des
connexions doivent être modifiés pour réduire cette erreur.
Chaque poids est soit augmenté soit réduit en rétro-propageant l'erreur
calculé.
82
6. La formule utilisée est donnée par:
 4.5
wij   i o j
où
 w ji est la variation du poids w ji

 est le taux d'apprentissage
  i est l'erreur sur la sortie du neurone i d'une couche.
Si le neurone est un neurone de sortie, alors l'erreur est :
 i  F '  ai  yi  xi 
 4.6
 i  F '  ai  sk k wk
 4.7
Si non
7. L'algorithme est répété pour chaque couple d'entrée/sortie jusqu'à ce
que l'erreur soit descendue en dessous d'un certain seuil acceptable.
II. Le modèle de régression multiple
Le modèle de régression simple [Dod 04] est un outil
statistique qui permet
d’étudier la relation existante entre deux variables x et y .
Ce modèle s’écrit sous la forme suivante :
y   0  1 X  
 4.8
où:
  0 et 1 sont les paramètres inconnus du modèle.
  est un terme d’erreur vérifiant les conditions suivantes : E ( )  0
et cov( )   2 .
Le modèle de régression simple peut être généralisé en modèle de régression
multiple ou régression multiple en ajoutant un nombre de variables appelées
variables explicatives dans le modèle.
83
Le modèle de régression multiple y en X est donné par la formule ci-dessous :
y  X 
 4.9
où:
 X est une matrice de dimension n  (k  1) .
  est le vecteur de coefficient de régression de dimension k  1
 y est un vecteur aléatoire de dimension n .
  est un vecteur aléatoire de dimension n qui désigne la partie résiduelle
du modèle avec n  (k  1) et Rank ( X )  k  1 .
Les vecteurs y et  vérifient les conditions suivants :
 H 1 : E ( )  0 et E ( z )  X  .
 H 2 : cov( )   2 I et cov( z)   2 I où I est la matrice unité.
1. Estimation des paramètres du modèle
L’estimation du vecteur  se fait par l’utilisation du principe des moindres
carrés. En effet, l'estimateur des moindres carrés ˆ est calculé à partir du
vecteur  en minimisant la quantité suivante :
q  z X
2
Donc la valeur de ˆ est donné par :
ˆ  ( X ' X ) 1 X ' z
 4.10
où X t est la transposé de X .
En pratique l’estimation de la variance des erreurs théoriques ou variance
théorique
2
est inconnue. Pour cela nous utiliserons la variance des erreurs
84
empiriques ei notée Se2 comme estimateur de cette valeur inconnue. Celle-ci est
donné par :
n
Se2 
n

2
i
i 1
n  p 1
  y  yˆ 
i

2
i
i 1
n  p 1
La variance résiduelle Se2 est un estimateur non biaisé de
2
. Donc l'estimateur
de variance ̂ sera :
Var (ˆ )  ˆ 2 ( X ' X ) 1
 4.11
Remarque
2
Les estimateurs  0 , 1 , ... et  k dépendent de
, ainsi plus
2
est petite plus
les estimateurs seront précis.
2. Analyse de variance et le coefficient de détermination multiple
L’analyse de la variance [Lab 83] de la régression multiple est un outil
permettant d’évaluer la qualité globale de la régression et le bloc des hypothèses
de départ.
L’objectif de l’analyse de la variance est de montrer que la majeure partie de la
variabilité de y peut s’expliquer par la variabilité de X et que celle des erreurs
est relativement petite.
Dans ce cas le modèle de régression multiple est validé. Ce qui se résume par:
n
n
n
SCT   ( yi  y ) 2   ( yi  yˆ i ) 2   ( yˆ i  y ) 2  SCR  SCE
i 1
i 1
i 1
où
 SCR : Somme des carrés résiduelle
85
 SCE : Somme des carrés expliquée
 SCT : Sommes des carrés totaux
 yˆ i désigne la valeur prévue de yi et y est la moyenne de y
Le coefficient de détermination multiple [Lab 83] permet de mesurer le degré
de liaison entre le modèle et les observations. Il mesure la liaison entre la
variable à expliquée y et l'ensemble des variables explicatives.
Ce coefficient représente la part de la variabilité « expliquée » dans la
variabilité totale.
C’est le rapport entre la dispersion expliquée par la régression (SCR) et la
dispersion totale (SCT), c'est-à-dire :
n
 ( yˆ  y )
2
i
R2 
i 1
n

(y  y)
2
SSR
SST
 4.12
i
i 1
 Si R 2 est proche de 1 alors le modèle est proche de la réalité
 Si R 2 est proche de 0 alors le modèle est mal expliqué.
3. Test d’hypothèses
-Test d’analyse sur les paramètres du modèle pris globalement
Le test d’hypothèse consiste à tester si au moins une des variables explicatives
explique d’une partie significative la variabilité dans le modèle. Ce test se traduit
par l’hypothèse suivante :
H 0 :  1   2  ...   k  0
contre
H1 : j 1, 2,..., n tel que  j  0
86
La validité du modèle de régression multiple peut être testée par une variable
auxiliaire F . En effet, sous l’hypothèse H 0 , la statistique :
F
SSR / k
SSE / n  k  1
 4.13
suit une loi de Fischer.
On rejette l’hypothèse H 0 au niveau  lorsque F  F où F  F ( k , n  k  1)
désigne le quantile de Fisher, ou lorsque P  Value associé à la statistique F est
significatif au niveau  , c’est à dire P  Value  
-Test d’hypothèses les paramètres du modèle pris individuellement
Dans ce cas l’ hypothèse énoncée est :
H0 :
j 0
contre
H1 :
j
0
Sous l’hypothèse H 0 , la statistique :
to 

bj   j
pour 1  j  p
Sbj
to suit la loi Student T .
Si to  t
où
t
2
2
 n  k  1
 n  p  1
ou si to   t
2
 n  k  1 on rejette
H 0 , si non on l’accepte.
désigne le quantile de loi Student de paramètres
( n  p  1) .
87

2
et
Remarque :
Si H 0 est retenue, alors la variable indépendante X j n’est pas significative (elle
n’explique pas les valeurs prises par y ).
-Vérification des hypothèses
Afin de vérifier les hypothèses émises sur le modèle de régression multiple, il
faut analyser en détail les résidus. Cela se fait généralement par les graphes.
Le graphique le plus classique est celui qui représente les résidus en fonction
des valeurs prédites yˆ i . S’il y a une indépendance entre les deux variables, c’est à
dire le nuage de points ne doit pas faire apparaître une structure particulière
alors les hypothèses du modèle de régression multiple sont bien respectées.
La vérification de l’indépendance peut s’effectuer par un graphique qui montre
les résidus en fonction du temps.
Cette analyse de l’indépendance ne peut être effectuée que lorsque les données
dépendent du temps. En effet, si les erreurs suivent un processus particulier au
cours du temps, alors il y a une présence d’autocorrélation.
II. Minimisation de risque semi-variance
de portefeuille d’actions en
utilisant les réseaux de neurones et les algorithmes génétiques
Lorsqu’ il y a une asymétrie de l’information dans les données utilisées dans le
choix optimal de portefeuille, les mesures de risque (variance, écart absolu) sont
symétriques, elles ne permettent pas de prendre en considération l’asymétrie de
données.
Pour remédier ce problème, Hamza et Janssen [Ham 98] ont proposé
une
mesure de risque définie par une combinaison convexe des deux semi-variances
de rendement de portefeuille par rapport à son rendement espéré.
88
Cependant la plupart de ces méthodes supposent que les paramètres de mesure
de risque semi-variance(MRSV) sont constants et agissent seulement sur les
proportions pour minimiser cette mesure.
Dans cette partie, nous considérons que les paramètres de risque mesuré par la
combinaison convexe
des deux semi-variances, ainsi que les proportions du
portefeuille, sont variables. Nous avons ainsi développé un algorithme dynamique
appelé
MinMRSV [Elh312] afin de déterminer
au même temps
d’une façon
dynamique les proportions et les paramètres de risque (MRSV) conduisant au
choix de portefeuille optimal.
Cet algorithme permet de minimiser la mesure de risque semi-variance (MRSV)
d’un portefeuille d’actions en utilisant les réseaux de neurones
et les
algorithmes génétiques.
L’algorithme MinMRSV se déroule en deux étapes : La première étape suppose
que les paramètres sont constants et on cherche les proportions qui minimisent
la MRSV en utilisant les algorithmes génétiques, alors que la deuxième étape
suppose que les proportions précédemment déterminées sont constants et on
modifie les paramètres de MRSV de telle sorte que le risque obtenu à ce niveau
soit inférieur ou égal à celui
obtenu dans la première étape en utilisant les
réseaux de neurones, et ainsi de suite jusqu’à l’obtention du risque le plus petit
possible.
1. Algorithme de minimisation de MRSV
Considérons la MRSV exprimée par la formule suivante :
R ,   x   1 f  x   1 g  x 
89
 4.14
où:


 f x  E min 0, R ( x)  R ( x )
 p

p
  

 g  x   E max  0, R p ( x)  R p ( x ) 

L’objectif de cet algorithme est
dynamique
2


2
de déterminer à la fois et d’une manière
les proportions des actions de portefeuille et les paramètres de
MRSV sous certaines contraintes pour
minimiser cette mesure de risque.
Il se déroule selon le mécanisme suivant :
a. Initialisation de données d’entrés:    0 ,    0 et x  x0
b. Cherchant les proportions x1 minimisant R ,  en utilisant les algorithmes
génétiques (AG) comme indiquée par la figure suivante:
0
x0
AG
x1 , R ,  ; G A
0
Figure 4.4 : Structure des AG utilisée dans l’algorithme MinMRSV
Sous les contraintes suivantes :
 R , ; GA  R , ; NN ;  k ,  k   0,1

 Rp  x    0

 xi  0
n
 x 1
i

i 1
90
où:
  0 : est le rendement fixé par l’investisseur
 R , ;GA : est le risque semi-variance obtenu par les algorithmes
génétiques
 R ,  ; NN : est le risque semi-variance obtenu par les réseaux de
neurones
Au niveau de la première étape, les proportions sont considérées variables et les
paramètres constants.
La procédure de minimisation par les algorithmes génétiques traitée dans cette
partie est la même que celle expliquée précédemment avec une nouvelle fonction
objective définie comme suit :
 4.15
h  R ,  x 
Concernant la deuxième étape, les proportions précédemment déterminées sont
considérées constantes et les paramètres variables.
La structure de réseaux de neurones utilisée dans cette partie contient deux
neurones dans la couche d’entrée, une seule neurone dans la couche cachée et
une seule neurone dans couche de sortie.
La fonction de transfert est la fonction linéaire. La démarche de minimisation
est comme suit :
c. Cherchons les paramètres  1 et 1 permettant d’obtenir un risque
inférieur ou égal au précédant R , ;GA en utilisant les réseaux de neurones
(RN) comme indiqué par la figure suivante:
91
f  x1 

 1 ,  1 , R  ,  ; N N  R  ,  ;G A
RN
g  x1 

Figure 4.5 : Structure des RN utilisée dans l’algorithme MinMRSV
d. Diminuer le risque comme suit : R ,   R ,  ;GA 
1
k
e. Revenir à l’étape 2. L’algorithme s’arrête lorsque il n’y a pas
d’amélioration considérable de risque R ,  ou après un certain nombre
d’itération.
92
L’algorithme de minimisation de MRSV est donné par la figure suivante :
Initialisation:    0 ,    0 , x  x0 ,    0

 AG  x , ,  
0
0
0

 s.c :
 R , ;GA , x1    R p   0

 xi  0
 n
 xi  1
 i 1
k  1, p 1
p 1
Quand
Faire
 RN  f  xk  , g  xk  
R
,

,


  ,  ;NN k k  
 s.c : R ,  ; NN  R , ; GA ; k ,  k  0,1
R ,  ; NN  R ,  ; NN 
1
k
 AG  xk , k ,  k 

 s.c :
R
 R ,  ; NN ;  k ,  k  0,1
  ,  ;GA
 R ,  ;GA , xk    Rp   0

 xi  0
 n
 xi  1
 i 1
k  k 1
Si

Pas d’amélioration de risque R , 

Après un certain nombre d’itération
Alors
p0
End
End
Figure 4.6: Algorithme de minimisation de MinMRSV
93
2. Application numérique
Considérons un portefeuille constitué de 48 actions de la Bourse de Casablanca
prises mensuelles du 01/01/2008 au 01/01/2010.
L’application de notre algorithme sur ces données consiste à déterminer d’une
manière continue et dynamique sous des contraintes données, les proportions des
actions de portefeuille et les paramètres de MRSV conduisant à minimiser cette
mesure et par conséquence le choix optimal de portefeuille.
Les résultats obtenus par cet algorithme sont performants. En effet, selon la
figure 4.7, on remarque que
les valeurs de MRSV obtenues par l’algorithme
MinMRSV pour un certains nombre de rendements initiaux sont plus petites par
rapport à celles obtenues par la MRSV-HJ proposé par Hamza et Janssen, et ce
pour les mêmes paramètres (paramètres obtenus par l’algorithme MinMRSV).
Figure 4.7: Représentation graphique de risque de l’algorithme MinMRSV et de
l’algorithme MRSV-HJ pour un certain nombre de rendements initiaux
94
IV. Optimisation de portefeuille d’actions en utilisant les algorithmes
génétiques et les réseaux de neurones.
Dans cette partie, nous présentons une approche pour l’optimisation de
portefeuille basée sur les algorithmes génétiques et les réseaux de neurones.
Cette approche se divise en en deux étapes: La première étape consiste à
sélectionner à partir d’un portefeuille appelé portefeuille initial PI, les actions
pertinentes ayant une influence positive sur
le risque et la valeur de
portefeuille, c'est-à-dire ceux qui donnent lieu un risque faible et une valeur
élevée
pour ce
portefeuille
en utilisant la régression par les réseaux de
neurones. Ces actions donnent lieu à un portefeuille appelé sous portefeuille SP.
Dans la deuxième étape, nous cherchons les proportions optimisant ce sous
portefeuille en utilisant les algorithmes génétiques dont la mesure de risque
utilisée est la valeur à risque VaR.
Cette approche permet de réaliser au détenteur de ce sous portefeuille de
taille réduite un surplus de gain financier en terme de réduction de coût et des
impôts ; et une performance au niveau de la réduction des charges de calcul
pendant la phase d’optimisation.
1. Régression par les réseaux de neurones
Dans notre
cas, l’architecture de réseaux de neurones utilisée est une
architecture contenant une seule couche d’entrée, une seule couche cachée
composée de n neurones où n représente le nombre de risques (rendements)
d’actions de portefeuille et une couche de sortie contenant un seule neurone
représentant le risque (le rendement) de portefeuille.
L'algorithme d'apprentissage utilisé est celui de rétro-propagation du gradient
supervisé. L'erreur
entre la sortie actuelle (obtenue par les réseaux de
neurones) et la sortie désirée (observée) se propage, tout en ajustant les poids
95
dont l'objectif est d'apporter des corrections aux poids du réseau
afin de
réduire l'erreur globale exprimée par la formule suivante :
E
1 nk
2
 S k  Ok 

2 i 1
 4.16
où :
 Sk est la valeur estimée ;
 Ok est la valeur observée ;
 E est l'erreur globale ;
 nk est la taille de l’échantillon d’apprentissage.
Le fonctionnement de ce réseau illustré comme suit :
Chaque neurone i ( i  1,..., n ) de la couche d’entrée reçoit une valeur de risque
(rendement) xi de l’action Ai qui sera pondérée par le scalaire wi puis le résultat
transmis à la couche de sortie. Dans ce cas, la sortie Sn est donnée par la
formule suivante :
n
S n   wi xi  bn
(4.17)
i 1
où les wi représentent les poids des connections entre le neurone i de la couche
d’entrée et le neurone de la couche sortie ; et le paramètre bn est la valeur de
biais.
x1
w1
x2
.
.
.
.
Sk
w2
wn
xn
Couche d’entrée
Couche de sortie
E
Couche cachée
Figure 4.8: Backward de propagation de correction d’erreur
96
1 nk
2
 S k  Ok 

2 i 1
2. Algorithme de sélection de portefeuille optimal d’actions
Notre
algorithme de sélection de portefeuille optimal ASPO [Elh413]
se
déroule en deux étapes : La première étape consiste à sélectionner les actions
ayant une contribution faible (respectivement élevé) sur le risque (la valeur) de
portefeuille en utilisant les risques (respectivement les valeurs) des ces actions.
Le modèle utilisé pour cette fin est celui obtenu par la régression par les
réseaux de neurones exprimé comme suit :
VaRˆ p  t   ˆ0  ˆ 1VaR 1  ...  ˆ  n VaR  n 
(4.18)
VaLˆ p  t   ˆ0  ˆ 1VaL 1  ...    n VaL n 
(4.19)
où:
 i  1,..., n et   i   1,..., n

VaL  i
est la valeur de l’action

VaR i
est le risque de l’action
 i 
 i 
 i 
 ˆ  i  est la contribution du risque de l’action
sur le risque de
portefeuille.
 i 
 ˆ i  est la contribution de la valeur de l’action
sur la valeur de
portefeuille.
La figure suivante explique bien la démarche de cette étape.
97
k 1 , r  1
-
VaRˆr , p : calculé par RN
ˆ  RNN VaRr , p ;VaR1 ,...,VaRn 
(réseaux de neurones)
ˆ  RNN VaLr , p ;VaL1 ,..., VaLn 
-
VaLˆr , p : calculé par RN
- ˆ : paramètre de la
VaRˆr , p  ˆ0  ˆ1VaR1  ...  ˆnVaRn
régression par les réseaux
VaLˆr , p  ˆ0  ˆ1VaL1  ...  ˆnVaLn
de neurones
Tant que
k0
Faire
 
ˆ
-  : paramètre de la régression
 
Max _ ˆ  Max ˆ , Min _ ˆ  Min ˆ


Pos _ ˆ  Pos  Min _ ˆ 
Si  Pos _ ˆ    Pos _ ˆ   0
Supp  Share  Pos _ ˆ 
par les réseaux de
Pos _ ˆ  Pos Max _ ˆ , ˆ ,
neurones
- Max _ ˆ : le maximum de
ˆ
ˆ
- Min _  : le minimum de 
Alors
- Pos _ ˆ : la position de
Max _ ˆ dans ˆ dans
Validation _ RNN(VaRr , p ;VaR1,...,VaRn ; Pos _ ˆ )
le modèle de
régression.
r  r 1

 RNN VaL
- Pos _ ˆ : la position de Min _ ˆ


ˆr  RNN VaRr , p ;VaR 1 ,...,VaR n r 1
ˆr
r, p
dans le modèle de
;VaL 1 ,..., VaL  n  r 1
régression.
VaRˆ r , p  ˆ0  ˆ 1VaR 1  ...  ˆ n r VaR  n  r 1
-
VaLˆr , p  ˆ0  ˆ 1VaL 1  ...    n  r VaL  n  r 1

 
Si VaRˆ r 1, p  VaRˆ r , p & VaLˆ r 1, p  t   VaLˆr , p
 : Supprimer l’action N°
modèle de régression

-
,
Supp 
Pos _  dans le
Alors
ˆ  ˆr
ˆ
Validation _ RNN 
 : Validation
de modèle de régression après la
ˆ  ˆr
suppression de l’action N°
Si non
k 0
Fin
Fin
Fin
Figure 4.9 : Algorithme de sélection de portefeuille optimal
98
Pos _ ˆ .
Les actions retenues par cet algorithme constituent un nouveau portefeuille,
appelé sous portefeuille SP.
La deuxième étape consiste à optimiser ce sous portefeuille retenu en utilisant
les algorithmes génétiques.
La procédure
d’optimisation par les algorithmes
génétiques est identique à la procédure précédente, avec la fonction objective
est:
f  x   r  x, ,  
(4.20)
3. Application numérique
Les données utilisées pour la modélisation (régression par les réseaux de
neurones) de risque (respectivement la valeur) de portefeuille sont les risques
(respectivement les valeurs) de différentes actions composant un portefeuille,
qui sont au nombre de 48 et sont prises mensuellement
de 30/12/2009 à
30/12/2011 de la bourse de Casablanca. La distribution de valeurs ou rendement
de ces données est normal.
Cette modélisation consiste à déterminer le modèle obtenu par les réseaux de
neurones dont
les entrées sont les risques des actions (respectivement les
valeurs) et la sortie est le risque (la valeur) de portefeuille. Les poids de ce
réseau de neurones constituent les paramètres de régression.
L’application de l’algorithme ASPO donne lieu à un sous portefeuille de 25 actions
dont les risques (respectivement les valeurs)
(respectivement une contribution élevée)
ayant
une contribution faible
sur le risque (respectivement la
valeur) de portefeuille et élimine 23 actions dont les risques (respectivement
les valeurs)
ont une influence élevée (respectivement faible) sur celui du
portefeuille comme indiqué par la figures 4.10 et la figure 4.11.
99
Figure 4.10: La VaR de sous portefeuille SP
en fonction des nombre des actions
Figure 4.11: La VaL de sous portefeuille SP
en fonction des nombre des actions
Ces actions obtenues par cet algorithme constituent un sous portefeuille SP qui
sera exploité
dans une procédure d’optimisation selon la démarche proposée
précédemment. Les résultats obtenus par cet algorithme montrent clairement la
performance de notre approche. En effet, selon la figure 4.12, on remarque que
les risques (respectivement les valeurs) obtenus par notre approche sont
inférieurs (respectivement supérieurs) que ceux basés sur l’optimisation fondée
seulement sur les algorithmes génétique.
Figure 4.12 : Représentation graphique de risque de sous
portefeuille SP par l’algorithme ASPO et l’algorithme basé
sur l’AG pour un certain nombre de rendements.
100
CHAPITRE 5 : OPTIMISATION
DES
DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS A L’AIDE
ALGORITHMES
GENETIQUES,LES
RESEAUX
DE
NEURONES ET LA LOGIQUE FLOUE
I.La logique Floue (LF)
La logique floue développée en 1965 par A. Zadeh consiste à étudier la
représentation des connaissances imprécises, des raisonnements approchés et la
modélisation des notions vagues du langage naturel afin de pallier à l’inadéquation
de la théorie des ensembles classiques dans ce domaine.
La théorie des ensembles flous peut être considérée comme une généralisation
de la théorie des ensembles classiques.
L’appartenance d’un élément à un sous-ensemble en théorie des ensembles
classiques est booléenne, alors que dans les sous-ensembles flous, elle
représente un degré d’appartenance qui fait partie de l’intervalle  0,1 .
Soit A un sous-ensemble flou d’un univers du discours U caractérisé par une
fonction d’appartenance  A d’un élément x U dans A définie comme suit:
A : U  0,1
5.1
Le sous-ensemble flou A dans l’univers du discours U est donné par :
A   x ,  A ( x )  x U 
Ce sous ensemble possède un certain nombre de caractéristiques comme :
 Le support : supp( A)   x U /  A ( x)  0
 La hauteur : haut( A)  sup  A ( x) / x U 
 Le noyau : noy( A)   x U /  A ( x)  1
101
 5.2
Remarque:
 Un ensemble flou est dit normalisé s'il est de l’ hauteur 1.
 Une valeur de degré d'appartenance 1 est dite valeur modale.
Figure 5.1 : Représentation d’un sous-ensemble flou
et principales caractères
Une variable linguistique est définit comme étant une variable dont les valeurs
sont des mots ou des phrases utilisés couramment dans une langue naturelle. Elle
est donnée par:
 X ,U , T ( X ),  
x
5.3
où:

X désigne le nom de la variable ;
 U est l’univers du discours associé à la variable X ;
 T ( X )  T1 ,T2 ,...,Tn  est l’ensemble des valeurs linguistiques de la variable
X

 x est la fonction d’appartenance associée à l’ensemble de termes
linguistiques.
1. Opérations et propriétés des ensembles flous
Les opérations logiques d’union (ou), les opérations d’intersection (et) et les
opérations de complémentation (non) sont des opérations qui peuvent être
appliquées aux ensembles flous comme dans le cas des ensembles classiques.
102
La définition de ces opérations se fait par l’utilisation des éléments suivants:
le max, le min, le produit et la somme moins le produit qui sont :

AB (u)  max  A (u), B (u)
et
A B (u)  min  A (u), B (u) 
  A  B (u )   A (u )   B ( u )   A (u )   B (u ) et  A B (u )   A (u )   B (u )
  A (u )  1   A ( u ) pour tout u U
 A  B Si  x  X :  A ( x )   B ( x )
 A  B Si  x  X :  A ( x )   B ( x)
Les ensembles flous possèdent certaines propriétés qui sont :
 Commutativité : A  B  B  A , A  B  B  A
 Associativité : A  ( B  C )  ( A  B )  C , A  ( B  C )  ( A  B )  C
 Distributivité : A  (B  C )  ( A  B )  ( A  C ) ,
A  (B  C )  ( A  B)  ( A  C )
 Idempotence : A  A  A , A  A  A
 Identité : A    A , A  1U  1U , A    , A  1U  A
 Loi de contradiction : A  A   i.e:  A A  x   0 .
 Loi du "excluded middle" : A  A  1U . i.e.  A A  x   1 .
2. Système d’Inférence Floue
Un Système d’Inférence Floue
est un système dont l’objectif
est de
transformer les données d’entrée issues du processus de fuzzification en
données de sortie à partir d’un ensemble de règles définies par le savoir-faire de
l’expert. La figure ci-dessous illustre bien son structure.
103
Figure 5.2 :Structure d’un Système d’Inférence Floue
Un Système d’inférence floue est constitué par trois étapes :
- Fuzzification
La fuzzification [Ton 95] est une opération qui consiste à caractériser les
variables linguistiques utilisées dans le système en transférant
les entrées
réelles en une partie floue définie sur un espace de représentation.
Les variables d’entrée et de sortie sont associées à des sous-ensembles flous.
- Le moteur d’Inférence
Le moteur d’inférence [Ton 95] est un mécanisme qui permet de condenser
l’information d’un système pour la représentation d’un problème quelconque en
utilisant un ensemble de règles définies.
Chaque règle fournit une conclusion partielle qui sera ensuite agrégée aux autres
règles pour donner une conclusion.
- Défuzzification
La défuzzification [Ton 95] est une opération inverse de la fuzzification qui
permet de transformer les sorties floues de l’inférence en une valeur non floue
comme réponse finale du système d’inférence floue
104
Toute variable de sortie doit être fuzzifiée en définissant correctement
l’univers du discours.
Une règle floue R est une règle définie de la forme suivante :
Si " x est A "
alors
" y est B ".
où A et B sont des variables linguistiques définies dans un univers du discours
X et Y .
 La première partie de la règle " x est A " est l’antécédent
 La deuxième partie de la règle " y est B " est le conséquent.
Les règles floues, peuvent être simples avec antécédent et conséquent
simples ou bien composées, avec la combinaison de plusieurs prémisses de la
forme conjonctive suivante :
 R : Si " x1 est A1 " et " x2 est A2 " et . . . et " xn est An " alors
" y est B "
ou bien de la forme :
 R : Si ” x1 est A1 ” et « x2 est A2 » et . . . et xn n’est pas An alors y est B
- Inférence à partir de règles floues
L’inférence floue [Ton 95] a pour objectif de déterminer les sorties du système
à partir des entrées floues issues de la fuzzification
Le mécanisme d’inférence consiste à dériver un ensemble flou de sorties à partir
de l’agrégation des conclusions en utilisant un ensemble de règles floues.
- Inférence avec une seule règle
Dans le cas où une seule règle floue est activée, l’inférence repose sur la valeur
d’appartenance  associée à la variable linguistique d’entrée. Alors la définition
de la règle est donnée comme suit :
Règle 1 : Si « x1 est A1 » et si
« x2 est A2 »
alors
« y est B ».
Donc le degré d’appartenance de la variable de sortie B est défini comme suit :
105
 B ( y )  min   A1 ( x1 ),  A2 ( x2 ) 
 5.4
- Inférence avec plusieurs règles
Dans le cas où plusieurs règles floues sont activées, l’inférence repose sur les
différentes valeurs d’appartenance µ associées aux variables linguistiques
d’entrée. Alors la définition des règles seront comme suit :
Règle 1 : Si « x1 est A11 » et si « x2 est A12 » alors « y est B1 ».
Règle 2 : Si « x1 est A21 » et si « x2 est A22 » alors « y est B2 ».
Si B1 et B2 sont la même valeur de la variable de sortie y , on combine les
inférences des deux règles en utilisant l’opérateur max.
Sinon, chaque règle donne un sous-ensemble flou sur la valeur de sortie y puis on
agrège les conclusions des deux règles.
3. Conception du classificateur flou
Un classificateur flou est toute application D tel que:
2
D :  p   0,1
x  D  x
Le résultat de la classification est alors donné par :
D  x    1  x  ,  2  x  
où i  x  est le degré d’appartenance de x à la classe C i comme indiqué dans la
figure ci-dessous.
X
Algorithme de
Classification
c  X 
Figure 5.3 : Schéma synoptique d’un classificateur flou
106
Le principe de la classification floue est d’affecter à une classe, tous les
individus ayant un degré d’appartenance supérieur ou égal à un seuil donné.
Chaque individu ayant la possibilité d’appartenir simultanément à plusieurs
classes, mais la variation de ce seuil modifiera la taille de ces classes
et
précisera l’appartenance de cet individu.
II. Optimisation de portefeuille d’actions à l’aide les réseaux de
neurones et la logique floue et les algorithmes génétiques
Dans cette partie, nous présentons une approche pour optimiser un portefeuille
d’actions. Cette approche consiste dans une première étape à la prédiction des
rendements et des risques de ce portefeuille en utilisant le réseau de neurones.
Dans la deuxième étape nous réalisons une classification des rendements prévus
en deux classes: classe de petits ou moyens risques et des rendements élevés,
notée classe c1 et une classe de grands ou moyens risques et petits rendements,
notée classe c2 utilisant la logique floue.
Enfin dans une dernière étape, nous appliquons un algorithme de minimisation de
risque mesuré par la semi-variance, appelé MRSV sur le portefeuille composé
d'actions de la classe c1 en utilisant les algorithmes génétiques et réseaux de
neurones.
La procédure de minimisation est la même que celle traitée dans la partie de
l’algorithme de minimisation de MRSV.
La procédure d'optimisation se fait en trois étapes successives:
 Étape 1 : Prévision des rendements et des risques d'actions en utilisant
les réseaux neuronaux ;
 Étape 2 : Classification des rendements et des risques en deux classes:
107
classe des actions de petits risques et des rendements élevés, notée, c1
et une autre classe d'actions de risque moyens ou élevés et de
rendements petits, notée c2 en utilisant la logique floue ;
 Étape 3: Minimisation de risque d'un portefeuille d'actions composé des
actions de la classe c1 , mesurée par la semi-variance en utilisant les
réseaux de neurones et les algorithmes génétiques.
1. Prédiction des rendements et des risques des actions par les réseaux de
neurones
Soit un portefeuille d'actions A1 , A 2 ,..., A n . Après avoir calculé les rendements et
les risques de ces actions à partir des données historiques jusqu’à la période tk ,
nous calculons les prévisions de ces rendements et ces risques en période tk 1 en
utilisant les réseaux de neurones.
Dans notre cas le réseau de neurones utilisé est un réseau multicouche et
l'algorithme d'apprentissage est l’algorithme rétropropagation du gradient.
La couche d'entrée contient k neurones permettant de recevoir un vecteur des
rendements historiques R   R1 , R2 ,..., Rk  de la période tk 1 (respectivement
un
vecteur des risques r   r1 , r2 ,..., rk  ). Alors que la couche de sortie ne contient
qu'un seul neurone qui permet de donner lieu au rendement prévu Rˆk 1
(respectivement
le risque prévu rˆk 1 ) à la période tk 1 , et ce pour toutes les
actions.
La couche cachée contient quatre neurones. En principe plusieurs autres valeurs
de nombre de couche cachée ont été testées, mais cette configuration donnera
le meilleur résultat.
Cette structure est donnée par la figure 11 où X i  Ri , ri  pour i  1, 2,..., k .
108
Couche
Couche
Couche de
d’entré
cachée
sortie
Figure 5.4 : Réseaux multicouche
2. Conception du classificateur flou
Un classificateur flou comme indiqué dans la figure ci-dessous est une
2
application D :  k  0,1
où D  x    1  x  ,  2  x   .
i  x  représente le degré d'appartenance de x à la classe C i où i 1,2 et
x   x1 , x2  est un vecteur de rendement x1 et de risque x2 .
L'objectif de cette procédure est d’attribuer à une classe tous les individus
ayant un degré d'appartenance à cette classe qui est au-dessus d’un seuil donné.
Les paramètres utilisés sont les rendements ( Ri 1,..., p ) et les risques ( ri 1,..., p ).
Chaque paramètre d'entrée est représenté
L’intervalle
par des valeurs linguistiques.
de ces valeurs est défini par des fonctions d'appartenance
trapézoïdales. Toutes les fonctions d'appartenance ont une forme trapézoïdale
ou triangulaire. La figure ci-dessous montre la fonction d'appartenance choisie
dans notre cas.
Figure 5.5: Représentation de la fonction d'appartenance
109
- Opération de Fuzzification
Dans notre cas, les entrées fuzzifiées sont les rendements Ri , les risques ri et
les sorties Si . Les entrées Ri ont été partitionnées en trois valeurs linguistiques:

H (élevées), M (moyennes), S (petites). Les sorties sont Si  0,1 .
Si S i  1 alors l’action ai  C 1 si non
ai  C 2 ,  i  1, 2,..., p  .


p 1

Min  x  
 S   Min  x  ,
p





 p 1 p  1

 p 1 p 1


x,
Min  x   , Max 
x,
Max  x   
 M   Min 
p
p
 p

 p




 H   p  1 Max  x  , Max  x  
 p




où
x   Ri , ri  , i  1, 2,..., p et
x
1 p
 xi .
p i 1
- Les règles de base
Dans notre cas, la base de règles floues contient plusieurs règles. Ces règles ont
été élaborées manuellement. Nous avons adopté l'approche intuitive de la
construction de la base de connaissances définies comme suit :
- R1: Si ( Ri ) est H et ( ri ) est S Alors ( Si ) est C1
- R2: Si ( Ri ) est M et ( ri ) est S Alors ( Si ) est C1
- R3: Si ( Ri ) est M et ( ri ) est M Alors ( Si ) est C2
- R4: Si ( Ri ) est H et ( ri ) est H Alors ( Si ) est C2
- R5: Si ( Ri ) est S et ( ri ) est H Alors ( Si ) est C2
- R6: Si ( Ri ) est S et ( ri ) est M Alors ( Si ) est C2
Figure 5.6 : Base de règles
110
- Fonctionnement de défuzzification
Pour obtenir la sortie, nous utilisons le plus souvent la règle appelée centre de
masse, c'est à dire: nous calculons le centre de gravité de la surface
(l'intersection de la fonction d'appartenance de la valeur linguistique de la sortie
correspondante et celle qui a été trouvée par les règles de l'agrégation), donné
par :
*  
u    u  du
5.5
   u  du
Une fois l'opération de la classification est terminée, les actions de la classe C 1
seront soumises à une optimisation dynamique en utilisant l’algorithme de
minimisation du risque semi-variance (RMSV).
3. Application numérique
Dans cette section, nous présentons des résultats expérimentaux pour montrer
l'efficacité de notre algorithme proposé. Soit un portefeuille de 48 actions de la
Bourse de Casablanca prises mensuel du 01/01/2010 au 30/06/2012.
L'application de l'approche proposée consiste dans la première étape à réaliser
la prédiction des rendements (respectivement des risques) sur 48 actions pour
la période 01/30/2012, dans la deuxième étape, une classification des données
prévues est effectuée. Le résultat obtenu donne lieu à un sous-portefeuille de
20 actions qui sont considérées comme les meilleures actions du portefeuille des
48 actions. Ce sous-portefeuille va subir une procédure de minimisation dont le
risque est mesuré par la semi-variance dans la troisième étape.
111
Selon la figure 5.8, les risques (respectivement les rendements) obtenus par le
sous-portefeuille sont plus faibles (respectivement supérieurs) que ceux générés
par le portefeuille. En outre, d’après
la figure 5.9, nous remarquons que le
résultat de minimisation obtenu par l’application de notre méthode (RMSV) sur
le portefeuille est meilleur que celui obtenu par la méthode de Hamza & Janssen
(HJSV), ce qui illustre clairement la performance de notre approche.
Figure 5.7: Représentation graphique de risque du portefeuille initial
et de sous-portefeuille de l'algorithme RMSV et de l'algorithme
HJSV pour un certain nombre de rendements.
Figure 5.8: Représentation graphique de risque du portefeuille initial et de
sous-portefeuille de l'algorithme MSRV_IP et de l'algorithme MSRV_SP
pour un certain nombre de rendements.
112
CHAPITRE 6: ALGORITHME
D’OPTIMISATION
PRODUITS FINANCIERS
DE
PORTEFEUILLE
DE
ISLAMIQUE
La finance islamique se développe avec une rapidité surprenante.
Depuis sa création il ya trente ans, le nombre de banques islamiques [55] dans le
monde est passé de un en 1975 à plus de 300 aujourd'hui dans plus de 75 pays.
L'un des principaux objectifs de la finance islamique est la contribution à la
résolution des problèmes économiques grâce à des investissements. En effet, les
banques islamiques proposent plusieurs produits financiers islamiques, cependant,
on peut constater qu’en pratique, le produit Mourabaha [56] orienté vers la
consommation représente la majorité (peut atteindre parfois 90%) des produits
financiers commercialisés par la banque par rapport au produit Moudaraba (peut
atteindre parfois 3%) orienté vers l'investissement. Ceci risque d’éloigner la
banque islamique de son objectif principal qui est l’investissement, en optant
uniquement pour des produits basés sur la simple consommation.
Pour contribuer à la résolution de ce problème, nous développons une nouvelle
approche pour déterminer le choix optimal d'un portefeuille composé de produits
Mourabaha et Moudoraba.
L'objectif de cette approche est de fournir aux investisseurs un outil d'aide à la
décision afin de les encourager à s’orienter vers les produits financiers
Islamiques. En effet, cette approche consiste à déterminer les proportions à
investir dans le produit Moudaraba et celui de Mourabaha, de telle sorte que
pour une valeur ou un rendement donné, le risque sera nul ou presque nul.
1. Notions de base de la finance islamique
L'économie islamique [Abd 05] diffère de l’économie classique en tenant compte
des valeurs éthiques et morales fondées sur la religion.
113
Les fondements essentiels reposent sur le principe de l'unicité de Dieu et du
pouvoir de l'homme de choisir ses actions dans un souci de justice sociale dans le
cadre des instructions indiquées par le Coran. Celui-ci est un livre de préceptes
moraux révélé au prophète Mohamed par le Dieu. Ces préceptes sont complétés
par les mots et les actes du Prophète appelés Sunna.
Ces deux sources sont le fondement de la religion musulmane: ils exposent les
principes de base de la finance Islamique selon lesquels un musulman doit mener
sa vie et ses activités économiques. Ces principes sont :
- L'interdiction de la pratique de l'intérêt (Riba)
Cela veut dire qu’en Islam, il interdit que l’argent génère en lui-même de l’argent.
Cette interdiction peut être expliquée par le fait que l’argent n’a pas de valeur
intrinsèque, il s’agit uniquement d’un instrument d’échange.
- Le partage des profits et des pertes entre les différents acteurs dans
toutes les opérations financières
C’est un principe qui permet de rattacher le profit au risque, cela stipule que
l’investisseur de fonds assume toute responsabilité avec ses associés et ce en
partageant profit et perte.
- L'interdiction de la spéculation (gharar)
Il s’agit de tout contrat portant sur des éléments incertains ou qui ne sont pas
précisément définis.
- L'interdiction des jeux de hasard (Le maisir et qimar)
C’est une sorte de pari qui est réalisé sur la survenance de certains événements
en se basant sur des prévisions subjectives.
114
- L'interdiction d’exercer des activités économiques ou financières dans des
secteurs qui produisent des produits ou servies qui sont illicites ou interdits
(haram) selon les principes de Charia
Cela veut dire que chaque commerçant musulman ne doit opter que pour des
activités qui sont autorisées par la chariâa, et éviter toutes autres activités
prohibées comme l’alcool ou le porc.
2. Les produits financiers Islamiques
2.1 Mourabaha
C’est un contrat[Bou 92] qui permet à un consommateur d’acquérir un bien au
moyen de la banque, celle-ci s’engage à l’acheter à l’avance réellement et ensuite
le revendre au comptant ou à crédit à ce dernier, tout en fixant une marge
bénéficiaire, convenue entre les deux partie et ajoutée au prix initial.
Figure 6.1 : Contrat de la Mourabaha
2.2 Al Ijar
C’est un contrat [Bou 92] dans lequel une banque achète des terrains ou des
équipements et les met à la disposition du client moyennant un loyer, durant une
115
période déterminée. A la fin de cette période, la banque récupère son objet mis
en location pour le mettre à la disposition d'un autre client.
Le contrat peut contenir une option d‘achat qui permet au client de devenir
propriétaire du bien à la fin de la durée du contrat.
Figure 6.2 : Contrat de Al Ijar
2.3 Salam
C'est un contrat[Bou 92] de vente à livraison qui s’applique aux biens agricoles ou
manufacturés dont les quantités et les qualités peuvent être spécifiées.
L’acheteur paie le prix négocié comptant au vendeur en contrepartie
promesse de ce dernier de livrer le bien à terme.
Figure 6.3 : Contrat de Salam
116
d’une
2.4 Istisna’a
C’est une opération [Bou 92] (similaire au contrat Salam) qui donne lieu à un
contrat au niveau duquel la banque se présente en qualité d’entrepreneur
s’engageant à réaliser des travaux et s’obligeant à réaliser des produits finis tels
que la construction, transport.
La contrepartie étant une rémunération reçue de l’autre partie d’avance sous
forme fractionnée ou à terme.
2.5 Moudaraba
La banque s’associe à un client en apportant le capital et ce dernier le travail.
Ainsi, les résultats réalisés seront répartis qu’il s’agisse de perte ou de profit.
Cependant, c’est le client qui est sensé s’occuper de la gestion du projet.
Figure 6.4: Contrat de la Moudaraba
117
2.6 Moucharaka
C’est un contrat [Bou 92] qui permet à la banque de participer au financement
d’un projet bien précis, et ce en augmentant le capital ou en le formant, ce qui
donne lieu à une répartition des résultats entre les associés qu’il s’agisse de
profit ou de perte. Il peut s’agir de deux types de Moucharaka :
 la Moucharaka Tabita (fixe) : l’association entre la banque et son client
continue jusqu’à l’arrivée à terme du contrat ;
 la
Moucharaka
Moutanakissa
(dégressive) :
la
banque
se
retire
progressivement de la société au fur et à mesure de l’avancement du
projet financé.
Figure 6.5 : Contrat de la Moucharaka
3. Risque de produits islamiques
3.1 Les risques de la Mourabaha :
La Mourabaha présente un ensemble de risques [Com 95], à savoir l’insolvabilité
de l’associé Mourabaha qui peut causer à la banque un manque en investissement
118
de ses fonds dans d’autres projets. Aussi, l’associé peut profiter de la condition
consistant en l’absence de majoration en cas de retard de paiement des traites
et tarder volontairement ces dernières. S’ajoute à cela,
le risque lié aux
garanties déposées dans le cas où ces dernières sont vendues à une valeur
inférieure. Egalement, l’associé peut désister à l’opération d’achat en cas
d’absence d’obligation d’achat, en plus des risques liés aux délais de livraison, aux
marchandises livrées, à leur défaillance ou indisponibilité et enfin ceux relatifs
aux conflits avec les associés.
En outre, le risque de Mourabaha peut être nul si ce contrat s’applique à une
catégorie des clients fidèles comme les fonctionnaires par est exemple. Dans la
suite de ce travail on distingue deux types de catégories des clients : Catégorie
des clients fidèles noté C0 dont le risque est égale 0 et une catégorie des
clients non classés noté C1 dont le risque peut être non nul.
3.2 Les risques de l’Istisnaa
En effet, le contrat Istisnaa [Com 95] peut connaître plusieurs difficultés, car il
présente des risques liés à la transportation des produits fabriqués avec la
possibilité de leur endommagement, ceux relatifs aux variations des prix
préalablement fixés au contrat Istisnaa.
En outre, on peut bien noter les
perturbations relatives aux retards de livraison de la part du producteur ou bien
ceux des matières premières dans le cas où la banque est elle-même producteur.
D’autre part, dans certains cas, la réalisation d’un contrat Istisnaa parallèle
s’avère impossible d’où le risque d’échec de l’opération.
Egalement, il faut
souligner le risque d’endommagement de la marchandise sous la responsabilité de
la banque avant la livraison prévue au client demandeur et aussi celui de la nonconformité des produits à ceux commandés par le client à cause de la non
disponibilité de certaines matières premières.
119
3.3 Les risques de la Moudarabah
La Moudarabah représente un ensemble de risques [Com 95] qui peuvent être
classés en deux catégories : Ceux liés à la confiance accordée à l’associé dans le
cas où ce dernier ne respecte pas un niveau moral minimal, par exemple il peut
s’agir de détourner les fonds de la banque, de fausser les résultats réalisés afin
surévaluer les pertes de la société…etc. Et ceux liés au manque de compétences
chez l’associé de la Moudarabah en terme de la gestion et du management du
projet de la Moudarabah pouvant mener à une perte et une défaillance de la
société.
Aussi il faut noter que la nature même de la Moudarabah constitue un risque,
dans la mesure où la banque est tenue d’assurer toutes les conditions nécessaires
afin d’éviter toute perte et de mener à bien le projet.
3.4 Les risques de la Moucharaka
Ce type de produit représente l’inconvénient de
la nécessité d’exploiter des
investissements sur le long terme, et ce dans le but de pouvoir se retirer
progressivement de la société Moucharaka. Aussi, il peut être bloqué par un
manque au niveau des
ressources humaines ayant des compétences dans le
domaine des financements islamiques et capables de gérer et manager de tels
projets. En plus, la forme juridique de la société Moucharaka
constitue
également un risque dans le cas où les parts de celle-ci ne sont pas négociables.
En outre, les risques de cette forme d’investissement, peut émaner de
l’efficacité de l’évaluation préalable du projet faisant l’objet de la Moucharaka
et du manque des compétences nécessaires afin de le gérer. D’autre part,
l’incompétence de l’associé de la moucharakah ou une mauvaise étude du projet
avant sa réalisation peuvent être derrière l’échec de ce produit ou encore la
défaillance de l’associé lors de la distribution des bénéfices à la banque ou son
retard lors du règlement de ces derniers .
120
S’ajoute également aux risques de la Moucharaka ceux liés aux variations
possibles des prix sur le marché, à l’endommagement probable de la marchandise
sous la responsabilité de l’associé ou l’incapacité de l’associé à réaliser le projet
après l’arrivée à terme du financement.
D’autre part, il faut prendre en considération le risque de réalisation d’une perte
par la société ou d’un profit inférieur à celui prévu, le risque de perturbation de
la notoriété de la société suite à une mauvaise gestion de l’associé affectant
négativement l’image de cette dernière chez les investisseurs ou aussi le
prolongement de la durée d’exécution du projet Moucharakah pouvant mener à
une élévation des coûts.
Enfin, reste à souligner la possibilité de la mise en œuvre de certaines
modifications majeures non prévues dans l’étude du projet par l’associé lors de la
phase d’exécution, le risque d’une surproduction par rapport aux capacités de
production de la société menant à une hausse des coûts engagés, l’apparition de
nouveaux concurrents dans le marché où existe la société ce qui affectera le
niveau des ventes de cette dernière ou encore la confrontation de certaines
difficultés confrontées lors de la cession des parts de la Moucharakah.
Remarque:
Le risque de produit de Mourabaha peut être nul ou presque nul dans le cas où le
contrat de ce produit est conclu avec une classe de clients fidèles comme les
fonctionnaires par exemple. Notons cette classe C0 et les autres classes des
clients C1
121
4. Algorithme d’optimisation de portefeuille de Modaraba et Morabaha
Considérons un portefeuille P composé de deux sous portefeuilles P1 et P2 .
Le sous portefeuille P1 est constitué de p types de produits Moudaraba M d
dont les valeurs sont données par le vecteur md   md1 ,..., md p  et le sous
portefeuille P2 est constitué de q types de produits
valeurs sont données par le vecteur mr   mr1 ,..., mrq 
Mourabaha M r dont les
dans une période de
longueur T .
Soient x   x1 ,..., x p  (respectivement y   y1 ,..., yq  ) les proportions investies au
sous portefeuille P1 (respectivement au sous portefeuille P2 ) et C0 le montant
initial investi au portefeuille P composé de P1 et P2 .
L’objectif de cet algorithme est de déterminer les proportions x1 ,..., x p de sous
portefeuille P1 et celles y1 ,..., yq de sous portefeuille
P2 tout en favorisant le
produit M d par rapport à celui du produit M r de telle sorte que :
 La valeur de portefeuille P soit supérieure ou égale à une valeur donnée
0 ;
 Le risque de portefeuille P soit nul ou presque nul.
Dans cet algorithme le risque de P1 et la valeur de P2 sont respectivement
donnés par u et v définis comme suit:
 p

u  x   CVaR   xi .mdi 
 i 1

(6.1)
et
 q

v  y   E   yi .mri 
 i 1

(6.2)
122
Sachant que le risque du sous portefeuille P1 de produits Mourabaha M d pour
la classe C0 est nul ou presque nul et le risque du sous portefeuille P2
de
produits Moudaraba M r peut être non nul. Pour atteindre cet objectif, d’une
part, il faut que la valeur du sous portefeuille P1 générée par le sous portefeuille
P1 soit supérieure ou égale à la valeur du risque qui peut résulter du sous
portefeuille P2 . D’autre part, la valeur de portefeuille de P doit être supérieure
ou égale à  0 .
La formulation mathématique de ce problème peut être exprimée comme suit :
Considérons une fonction f donnée par :
f  x, y,    u  x   v  y 
où
(6.3)
  0,1
L’objectif précédent se traduit par la maximisation de la fonction f sous
certaines contraintes. Autrement dit :

Maxu ,v,K f u , v,  
Sous les contraintes :
 g  md , mr    0
 p
q

x


yj
 i

j 1
 i 1
u  v

où :

 p

 q

g
md
,
mr

E
x
.
md

E
   i i    yi .mri 
 
 i 1

 i 1



p
q
 K   x  y  C ;   0,1 ; x  0, y  0, i  1,..., p; j  1,..., q 
  i
 i  j

0
j

j 1
 i 1


123
(6.4)
La maximisation de la fonction
f
se fait par les algorithmes génétiques en
utilisant la procédure d’optimisation définie dans le chapitre 3, avec la fonction
d’évaluation est donnée par :
g  x   f  x, y,   .
124
Conclusion
Dans ce travail nous avons présenté des approches
visant l’optimisation de
portefeuille d’actifs financiers en combinant l’intelligence artificielle et les
méthodes statistiques. Nous procédons aussi à l’estimation de la CVaR de
portefeuille des actions investi dans un marché Log-Normal à l’aide des
processus stochastiques.
Nous avons utilisé les algorithmes génétiques pour réaliser un algorithme appelé
MinVaRMaxVaL, qui permet de minimiser le risque mesuré par la VaR pour une
valeur de portefeuille donnée dans une première étape, puis de la maximiser
dans une seconde étape, et ce d’une manière dynamique.
Le résultat obtenu par ce processus donne lieu à une valeur de portefeuille
supérieure à celle du portefeuille fixée à la première étape
et à un risque
inférieur à celui obtenu au niveau de la même étape.
Ainsi, nous avons combiné les algorithmes génétiques avec les réseaux de
neurones
pour développer un nouvel algorithme dynamique appelé MinMRSV
visant à minimiser la mesure de risque
semi-variance (MRSV) permettant la
sélection d’un portefeuille d’actions optimal d’une part. D’autre part, pour
sélectionner un portefeuille optimal de taille réduite à partir d’un portefeuille
initial permettant de réaliser un surplus de gain financier en terme de réduction
de coût et des impôts; et une performance au niveau de la réduction des charges
de calcul pendant la phase d’optimisation. Et ce à travers deux étapes : la
première étape consiste à sélectionner les actions pertinentes ayant une
influence positive sur le risque (respectivement la valeur) de portefeuille, c'està-dire les actions ayant une contribution faible (respectivement élevée) sur le
risque (respectivement la valeur) de portefeuille.
125
La deuxième étape consiste à optimiser le sous portefeuille constitué des actions
obtenues dans la première étape.
Dans le même sens, les algorithmes génétiques avec les réseaux de neurones et
la logique floue sont utilisés pour optimiser un portefeuille de meilleures actions
sélectionnées, c'est-à-dire celles ayant les rendements les plus élevés et les
risques les plus petits en utilisant la prévision et la classification des actions.
En outre, nous avons utilisé les algorithmes génétiques et la classification par la
méthode K-Means pour sélectionner un portefeuille optimal d’actions.
En effet, Cette approche consiste à répartir les actions de portefeuille en
classes
appelées
sous portefeuilles en utilisant l’algorithme
K-Means.
Puis choisir la classe, appelée sous portefeuille, qui a le rendement espéré le plus
élevé et la VaR moyenne la plus petite.
Ce sous portefeuille a subit un algorithme d’optimisation à savoir: L’algorithme
MinVaRMaxVaL.
En plus, nous avons développé une approche basée sur des concepts probabilistes
pour estimer une formule explicite de la valeur à risque conditionnelle CVaR d'un
portefeuille d'actions investi dans un marché dont la
distribution des
rendements suit une loi log-normale.
Egalement, une procédure de minimisation de risque mesuré par la CVaR est mise
en place en utilisant des algorithmes génétiques.
Enfin, une nouvelle approche est proposée pour choisir un portefeuille optimal de
produits financiers islamiques: Le produit Moudaraba et le produit Mourabaha en
utilisant des algorithmes génétiques vu que l'investissement dans le marché de
produits financiers Islamiques est en plein expansion.
L'objectif de cette approche est de déterminer les proportions investies dans le
produit Moudaraba et celles dans le produit Mourabaha tout en favorisant le
126
premier par rapport au deuxième, de telle sorte que pour une valeur de
portefeuille fixée, le risque de ce dernier est nul ou presque nul.
Comme perspective de ce travail, nous proposons de chercher un portefeuille
optimal d’actifs financiers Islamiques contenant des produits variés autres que
les produits Mourabaha et Moudaraba tout en favorisant ceux qui sont orientés
vers l’investissement que ceux orientés vers la consommation. Ainsi d’adapter
toutes les approches développées dans ce travail pour l’optimisation de
portefeuille d’actifs financiers dans l’optimisation de portefeuille
domaine de l’assurance.
127
dans le
Publications
Les articles
1.
M.Elhachloufi,
Z.Guennoun,
Using Classification
F.Hamza,
Stocks Portfolio Optimization
and Genetic Algorithms, Applied Mathematical
Sciences, Vol 6, 2012, no. 94, 4673 – 4684.
2.
M.Elhachloufi, Z.Guennoun, F.Hamza, Minimizing Risk Measure SemiVariance Using
Neural Networks and Genetic Algorithms, Volume 4,issue
2012, Journal of Computational Optimization in Economics and Finance.
3.
M.Elhachloufi, Z.Guennoun, F.Hamza, Optimization of Stocks Portfolio
Using Genetic Algorithms and Value at
Risk, International Journal of
Mathematics and Computation, Vol. 20, Issue 3 October 2012.
4.
M.Elhachloufi,
Z.Guennoun, F.Hamza, Optimization
Stocks Portfolio
Optimization using Neural Network and Genetic Algorithm, International
Research Journal of Finance and Economics Issue 104 (2013)
5.
F. Hamza, M. El Kharrim, M. El hachloufi, chapitre : “Mean Variance
Portfolio Selection Subject to Value-at-Risk Constraints Applied to Real
Stock Market Data” de l’ouvrage: Computational Techniques for Banking
and Risk Management.
Series: Studies in Financial Optimization and Risk ManagementSeries Editor - Prof. Constantin Zopounidis (Technical University
of
Crete) Binding: Hardcover, Pub. Date: 2013 - 3rd Quarter, ISBN: 978-162618-522-7.
128
6.
M.Elhachloufi,
Z.Guennoun,
F.Hamza,
Gestion de portefeuille
d’actions dans un contexte des algorithmes génétiques et réseaux de
neurones, Revue TANGIS de Droit et d’Economie, N°10/2011.
Les articles suivants sont soumis pour publications dans les journaux
internationnaux suivants:
 M.Elhachloufi,Z.Guennoun,F.Hamza,VaR/CVaR Estimation Under
Lognormal Distribution for Stock Market Data, Arab Journal Of
Mathematical Sciences.
 M.Elhachloufi,Z.Guennoun, F.Hamza,Portfolio Optimization Problem Using
CVaR and Genetic Algorithms Invested In a Log-Normal Market, Applied
Mathematical Finance.
 M.Elhachloufi,Z.Guennoun,F.Hamza,Optimization
of
Shares
Portfolio
Using Neural Networks, Fuzzy Logic and Genetic Algorithms, Journal Of
Advanced Scientific Research.
 M.Elhachloufi,Z.Guennoun,F.Hamza,Algorithm of Optimal Portfolio Choice
of Islamic Financial Products, International Journal Frontiers in Science
and Engineering.
Les communications
1.
M.Elhachloufi, Z.Guennoun,F.Hamza, Choix optimal de portefeuille
d’actions en utilisant une méthode basée sur la valeur à risque (VaR) et
les algorithmes génétiques ,SMA2, FSR - du 28 au30 juin 2010.
2.
M.Elhachloufi, Z.Guennoun,F.Hamza, Optimisation et assurance de
portefeuille de placements islamiques à l’aide de l’intelligence artificielle,
Forum International : « La finance Islamique : Alternative ou Complément
à la finance conventionnelle, FSJES, Tanger, 24 Mars,2012.
129
3.
M.Elhachloufi,
Z.Guennoun,F.Hamza,
Portfolio Optimization using
Islamic
Financial
Products
Artificial Intelligence Algorithm,
Second
Spring School Numerical Methods for Partial Differencial Equations, 1620 April 2012 at Tetouan, Morroco Rabat September 18-20, 2012.
4.
M.Elhachloufi, Z.Guennoun,F.Hamza, Optimization of Shares Portfolio
Using Genetics Algorithms and Value at Risk, International Conference
on Complex Systems (ICCS’12), Palais
des Roses Hotel, Agadir,
Morroco,5-6 November,2012.
5.
M.Elhachloufi, Z.Guennoun,F.Hamza, Minimizing Risk Measure SemiVariance Using Neural Networks and Genetic Algorithms, International
Conference on
Software Engineering Databases and Expert Systems
(SEDEXS'12), FST Satat 14-16 uin 2012.
6.
M.Elhachloufi, Z.Guennoun,F.Hamza, Optimization of Smart Choice of
Shares Portfolio Using Artificial
Intelligence, Second International
Conference on Innovative Computing Technology (INTECH’12), Faculté de
sciences – Rabat
7.
M.Elhachloufi, Z.Guennoun,F.Hamza, Prévision de Value at Risk (VaR)
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