FRACTALES (et ondelettes) - Gipsa-lab

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FRACTALES (et ondelettes)
Pierre-Olivier Amblard
Laboratoire des Images et des Signaux, UMR CNRS 5083
Groupe Non Linéaire
CENTRE NATIONAL
DE LA RECHERCHE
SCIENTIFIQUE
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Fractales–3ème, analyse en ondelettes
Ondelettes continues
Ondelettes et signaux höldériens
Analyse en ondelette des signaux fractals
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Représentation en temps, en fréquence,. . .
espace L2 des signaux déterministes,
Z
Ex = ||x(t)||2 = |x(t)|2 dt < +∞
Le signal admet une transformée de Fourier
Z
X(ν) = x(t)e−2iπνt dt
La transformée de Fourier est unitaire : elle conserve les produits scalaires.
Encombrements temporel et fréquentiel
Z
1
(t − mx )2 |x(t)|2 dt
∆t2 =
Ex
Z
1
∆ν 2 =
(ν − mX )2 |X(ν)|2 dν
Ex
4
alors,
1
∆t∆ν ≥
4π
avec égalité si
−2iπmX t −b(t−mx )2
x(t) = ae
e
5
. . . et leurs limites
représentation fréquentielle : présuppose le même contenu à tous temps
1
0.5
0
−0.5
−1
0
1
2
3
4
0
5
10
15
20
5
time, s
6
7
8
9
10
50
40
30
20
10
0
25
30
frequency, Hz
35
40
45
50
6
Représentation temps-fréquence
idée : analyser le contenu fréquentiel à travers une fenêtre glissante
F (t, ν) =
Z
x(u)h∗ (u − t)e−2iπνu du
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Plan temps-fréquence, son pavage, et ses problèmes
Même résolution quelque soit la rapidité des phénomènes etudiés. . .
8
Un pavage alternatif
bonne résolution fréquentielle pour les phénomènes lents,
bonne résolution temporelle pour les phénomènes rapides
9
10
Transformée en ondelettes
Soit ψ(t) une fonction de L1 (R) et x(t) un signal de L2 (R).
Z
u
−
b
1
Tx (a, b) = √
x(u)ψ ∗
du
a
a
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Condition d’admissibilité et formule de reconstruction
Sous la condition dite d’admissibilité,
Z +∞
|ψ̂(ν)|2
dν < +∞
Cψ =
ν
0
où ψ̂(ν) est la transformée de Fourier de l’ondelette, on a
Z Z
1
t − b dadb
1
x(t) =
Tx (a, b) √ ψ
Cψ
a
a2
a
La condition d’admissibilité impose que la transformée de Fourier de
l’ondelette soit nulle pour la fréquence nulle. Autrement dit
Z
ψ(t)dt = 0
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Signaux höldériens
Un signal f (t) est dit höldérien en t0 d’ordre n + α, α ∈]0, 1[, s’il vérifie
|f (t) − Pn (t − t0 )| ≤ C|t − t0 |n+α
où Pn (t) est un polynôme de degré n.
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Analyse en ondelettes des signaux höldériens
Soit f (t) un signal höldérien en t0 d’ordre n + α, α ∈]0, 1[. Si l’ondelette ψ
R
a au moins n + 1 moments nuls, si (1 + |t|)n+1 |ψ(t)|dt < +∞, alors la
transformée en ondelette de f en t0 vérifie.
|Tf (a, t0 )| ≤ Can+α+1/2
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Une famille d’ondelettes : les dérivées de gaussienne
2
1
ψ0 = √ e−t /2
2π
ψn = (−1)n
et
dψn−1 (t)
dt
sont des ondelettes avec n moments nuls.
ψ
ψ
1
ψ
2
3
0.5
0.5
0.5
0.4
0.4
0.4
0.3
0.3
0.3
0.2
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
0
0
0
−0.1
−0.1
−0.1
−0.2
−0.2
−0.2
−0.3
−0.3
−0.3
−0.4
−0.4
−0.4
−0.5
−0.5
−0.5
−5
0
5
−5
0
5
−5
0
5
15
Illustration
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ψ
1
ψ
2
ψ
3
16
Estimation x(t) = t + |t|α , α ∈ [0, 1]
α=1.25
pente=−1.75
α=1.66
pente=−2.16
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Ondelettes et fBm
Considérons un fBm d’index H. Sa transformée en ondelette
Z
t−b
1
dt
TB (a, b) = √
BH (t)ψ ∗
a
a
est un champ aléatoire centré gaussien.
A une échelle donnée a, la transformée en ondelette est stationnaire au
second ordre
A une échelle donnée et un temps b fixé, Var[TB (a, b)] ∝ a2H+1
idée pour estimer H, calcul de
1
SB (a) =
T
Z
T /2
−T /2
|[TB (a, b)|2 db
18
H = 0.33
pente=1.56
2H+1=1.66
19
H = 0.66
pente=2.2
10
20
30
40
50
60
70
80
1000
2H+1=2.33
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
20
Bruits en 1/f et estimation spectrale
bruit en 1/f : signal stationnaire de DSP Sx (ν) = C/ν α .
Corrélation Γx ∝ |τ |α−1
On doit avoir α < 1.
Si α ∈]0, 1[, longue dépendance
Deux estimateurs spectraux : spectrogramme
2
Z T /2 Z
1
∗
−2iπνt ˆ
x(t)h (t − b)e
dt db
Spx (ν) =
T −T /2
et scalogramme
ˆ x (a) = 1
Sc
T
Z
T /2
−T /2
Z
2
1
t−b
∗
x(t)ψ
dt db
a
a
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Ondelette, 1er effet : biais

 E[Sc
ˆ x (a = ν0 /ν)] = Cν −α b1
 E[Sp
ˆ x (ν)]
= Cν −α b2 (ν)
=⇒ adéquation analyse en banc de filtre à surtension constante et
processus en 1/f .
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Ondelette, 2ème effet : variance
Variance d’estimateurs calculés sur une durée T de grandeurs
blanches ou mélangeantes : Var[b
e] ∝ 1/T
à longue dépendance : Var[b
e] ∝ 1/T 1−α
Exemple : pour la moyenne d’un signal de puissance unité, btenir une
variance de 10−3
blanc : 1000 échantillons
longue dépendance α = .1, 4600 échantillons
longue dépendance α = .4, 100000 échantillons !
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2ème effet, suite
Si l’ondelette a N moments nuls, alors à l’échelle a
Sxa (ν) = aC 0 ν 2N −α + o(ν 2N −α )
de sorte que
rxa (τ ) ≈
1
τ 2N +1−α
Si 2N + 1 − α > 1 ⇔ N > α/2 alors xa (t) est à mémoire courte
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Récapitulons. . .
La tranformée en ondelette
stationnarise les processus non stationnaire à accroissements
stationnaires,
est en adéquation avec les processus en 1/f ,
est un filtre blanchisseur (imparfait) des processus à longue
dépendance, dès que l’ondelette est bien choisie.
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